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1、2020-2021学年丹阳高级中学 如皋中学高一上学期期末数学试卷一、单选题(本大题共9小题，共43.0分)1.设有集合勰和卸,，且 锻 ，曲承二舐:导&彼僵微承隹虚廉要斡娓常数卜嬲=极 武 吟 外!=：u电 球 昨 耳，则集合麟r的真子集个数是()r 、留 任 jA.4 B.3 C.3或1 D.02.已知扇形的周长是8 cm,当扇形面积最大时，扇形的圆心角的大小为()A.B.C.1 D.2343.下列说法正确的是()A.基函数的图象恒过瓣.顺点 B.指数函数的图象恒过乳期。点C.对数函数的图象恒在出轴右侧 D.基函数的图象恒在阳轴上方4.10.在锐角三角形，豳 修 中，嵋庭第分别为内角思鼠蓝
2、的对边，若滴=容，给出下列命题：鼻 属 嵋；“也 限 理U；品二都十觞淇中正确的个数是例 用 图A.a B.jj,C.3：D.55.已知函数/(%)=(丸+-/+.+4(61/为常数，a l),且川g(log81000)=6,则flg&2)的值是()A.2 B.6 C.-6 D.-2fln(x+1),%06.已知函数/(%)=(工 n,若？n 九，且f(?n)=f(九)，则2九一 m的取值范围是()%十 I,X UA.(2,2e-2 B.(2,2e-2)C.e-1,2 D.e-1,2)7.在力BC中，B=*。为BC边上一点，AD=y/13,AC=7,CD=4,则AB=()A.渔 B.V6 C.
3、辿 D.2V62 28.当小片一1时，下列关于方程组IT：!:口1的判断，正 确 的 是()(%十 TTiy LTnA.方程组有唯一解C.方程组无解或有无穷多解B.方程组有唯一解或有无穷多解D.方程组有唯一解或无解9.如图，在窿哪窗中，碱=嗫 疆,过点翻的直线分别交射线愚鼠城窗于不同的两点鹭螺,A.罅唬 B.乐春 C.毓 D.翦二、多选题(本大题共4 小题，共 20.0分)10 .下列不等式中成立的是()1 Q 1A.O.40 3 O.10 7 B.l o g43 l o g54 C.s i n -bN2,则()A.b2 a2b+ab2C.ab a+b D.：+二2 ab a b1 3.己知/
4、(x)=2 c o s 2 G x +9)-1,(3 0，w e (0,)，具有下面三个性质:将/(x)的图象右移兀个单位得到的图象与原图象重合;V X E R,/(%)0,方程|/()|=m有两个不相等的实数解；(4)函数g(x)=/(%)-x在R上有三个零点.24.已知函数/(x)=xm-:且/(4)=(1)求m的值.(2)判断/(x)在(0,+8)上的单调性，并用定义证明.(3)求/(在 2,5上的值域.25.21、(13分)设 函 数/=IKK6+阳,若对于，3 0恒成立，求实数的取值范围；(2)若对于无口2,f(力0恒成立，求实数E 的取值范围。参考答案及解析1.答案：D解析：试题分
5、析：由于集合N是数集，集合M是点集，所以它们的交集是空集，没有真子集.考点：集合的运算.2.答案：D解析：解：.扇形的周长为8cm,扇形半径为r,弧长为/,732r+Z =8,即1 =8-2 r,(0 r 2)VO1 1：S=-lr=-(8 2r)-r r2+4r=(r-2)2+4当半径r=2cm时，扇形的面积最大为4cm2,此时，a=：=：=2(rad),故选：D.首先根据扇形的弧长与半径的关系，建立等式，然后根据面积公式转化成关于r的二次函数，通过解二次函数最值求结果.本题考查扇形的面积和弧长公式的计算，利用一元二次函数的性质进行求解，属于基础题.3.答案：C解析：试题分析：暴函数的图象恒
6、过纵毒点，4错；指数函数的图象恒过尊 理 点，B错；幕函数的图象恒在寓轴上方，反 例 察=点，。错.考点：本题考查指数函数、对数函数、基函数的图像、性质.4.答案：C解析：本题考查锐角三角形的特点；考查三角形的正弦定理、余弦定理.锐角三角形ABC中三个角都是锐角，得到2B及兀-38都是锐角，求出角B的范围，进而可说明其它项.解：锐角三角形4BC中,Q B 0 C -52 2 20 B -2 J o 2 B -20J I-3 5 2解得当B36 4.a sin Jc T-.-2cos3，b sinB6 4.史 co sB 更,2 2 2C O S5 3v Q2=/?2+。2 _ 2bccosA,
7、v 62+c2-2bccosA (h2+be)=c2-2bccosA-bec(c-2bcosA b)=c x 2R(sinC-2sinBcosA-sinB)=2Rc(sin3B 2sinBcos2B-sins)=2Rc(sinBcos2B+cosBsinlB 2sinBcos2B-sinB)=2Rc(cosBsin2B-sinBcos2B-sinB)=0,a2=b2+be.对.故选：C.5.答案：A解析：本题主要考查函数值的计算，利用条件求出/(%)+/(-%)=8是解决本题的关键，考查学生的计算能力，属于中档题.根据条件化简得到/(x)+/(-%)=8,然后利用对数的基本运算即可得到结论.解
8、：,(%)=(六 +,+法+4ax+l2(谈-1)/+bx+4,1 1 o T)=(Ki+5)y 版+4 ,f (%)+/(%)=4+4=8,v lg(log81000)=lg(log210)=Ig 嗫)=lg(%2)T=T g0g2),由 flg(log81000)=6 得 HTgUg2)=6,/H g(2)+/lg(2)=8,/lg&2)=8-6 =2,故选A.6.答案：A解析：本题考查分段函数的运用，考查构造函数法，以及函数的单调性的运用，考查运算能力，属于中档题.由分段函数的解析式可得2n m=2n-2)(1+n)+2,设g(n)=n-ln(l+n),0 n 0解：函数/(X)=，刀+
9、1%S 0，若 瓶 小 且/(巾)=/5)，可得 1+-m =ln(l+n),且 0 V 几 W e 1,则 2九 m=2n-2/n(l+n)+2,设g(n)=n ln(l+n),0 n e 1,可得g(n)=1-土 =岩 在 0 0),结合函数g(x)的单调性，即可判断D.解：A.O.40 3 O.10 3 O.10-7,故 A 错误；B-：均3 1g5 (吟 竺)2 (等)2=ig24,.鲁 瞿，g p io g43 l o g54,故 8 正确；C.令/(久)=卓，X e (0,1),则/(%)=xcosx-sinx _ cosx(x-tanx)0,/(%)在(0,1)上递减，r2-r1
10、，BPs in 1 o)，g(x)=2(l-lnx)g(x),在(0,e)上递增，在(e,+8)上递减,9(g(6)，即亲 若 即 乃 韭，故。正确;故选：BCD.1 1 .答案：BC解析:本题以命题的真假判断为载体，考查了三角函数的性质，属于拔高题.4 根据正弦函数和余弦函数性质判断；B 根据奇偶函数定义判断；C 根据复合函数值域判断；D 根据周期函数定义判断.解：对于A,f(x)与g(x)的定义域都是R,所以4 错；对于B,因为/(-X)=f(x),g(-x)=g(x),/Q)和g(x)都是偶函数，所以B 对；对于C,因为s in x 6 1,1 u (一看今，所以/(x)的值域为 c o
11、 s l,l ,因为c o s x e -1,1 b 2,A,错误，比如a =3,b=2,3 4不成立；B,a3+b3-(a 2 b +a h2)=a2(a b)b2(a d)=(a -6)2(a +b)0 成立；C,由a b -a b=a(b-1)-b=(b-l)(a -言)=(b -l)a -(1 +)0,故 C成立；i=(a-2)故。不成立b 2ab 2ab故选：BC.根据不等式的性质，逐一判断即可.考查不等式比较大小，利用了作差法，因式分解法等，中档题.1 3.答案：BCD解析：解：由f(x)=2 c o s 2 0 x +9)-1,(3 0，w (0,：),得f(x)=C O S(3
12、 X+2 a),将/(%)右移几个单位得到的函数表达式为y =coso)(x-7T)+2(p=COS(COX+2。-37T),若此时函数图像与原图像重合，则3 n =2/CTT,k e Z,即a =2 k,fc G Z,因为f(x)在x e (0泻)时存在两个零点，所以拳 即W T(拳所以拳解得当 3 6,所以3 =4,则/(x)=cos(4x+2卬)，又因为V x 6 R,/(x)W|f(,)|,所以/(覆=1,即有苧+2 0 =/OT,k e z,则3=等一手 k e z,又伊(0,9,所 以 伊=&所以/(x)=cos(4x+9,4 o 3对4 ：由2/C TT 工 4x+二4 2kn
13、4-u,k E Z,得竺%4-,k E Z,3 2 12 2 6所以函数人X)的单调递减区间为件一3，竺+打，kez,Z lz L 6当/c=0时，函数/(%)在 一5g上单调递减；由2攵 兀+兀W 4%+?2/nr+2TT,fc e Z,得丝+巴工工工”+m，k E Z,3 2 6 2 12所以函数f(x)的单调递增区间为停+9旁+百，kZ,Z 6 N 1Z当k=0时，函数/(x)在 邑 壬 上单调递增；所以函数f Q)在(0谭)上单调递减，在 麻；)上单调递增，故A错误；对B：勺=cos*+g)=c o s M”加、A n.n、57r z 2九、2n 1/(-)=COS(y +-)=COS
14、y=COS(7T +y)=C O Sy=/(-7T)=COS(-7T+-)=COS(27T+7T)=COS-7 T =COS(7T )=COS,16 4 3 12 12 12 12所以f a)+f )+/(7 r)=c o s g +i-c o s g =i 故 B 正确;对c：将f(x)的图像左移5个单位长度后得到的图像解析式为九=cos4(x+)+|=-s in 4 x,所以函数八(乃的图像关于原点对称，故C正确；对。：扇 等关于x=W对称的区间为0镇，当x e O用 时，4%+巳 呜 司,所 以/(%)，_ 峙,所以当无生争时，g(x)的值域为 一1，斗 故。正确.故选：BCD.根据条件
15、可得3 =2/c,k e z,根 据 可 得?.?，由此可得当 3 =今 又 泞 所 以？怎=或广广一则为.%=3或4g三=3;石=21 6.答案：2解析：解：.函数g(x)=的反函数图象过点(鱼,电)，二函数过点弓,鱼)，即日小1 =1，解得m=2加,.”二 当 二.,第一象限内的点M(x(),y o)、直线n：y =x及函数g(x)组成系统T(M,n,g),即点M(x(),y o)关于y =x的对称点(y o，X o)在函数g(x)=出 的 图 象 上，XQ=(x0 O,yo 0),=x 0 y 0 =2 sqrt2y 0 -l,.代 数式(/r a c l x _ 0 +/r a c x
16、 _ 0 )2 )(y _ 0)+/r a c l 2 y ,0 )=/r a c y -1 0 x _ 0 +/r a c x _ 0 4 y _ 0 )+/,r a c l 2 x _ 0 y _ 0 +f rac x _ 0 y _ 0 2 2 sqrt/rac l 4 +2 sqrt/rac l 4 =2,当且仅当 fracy_0(x_0=/rac x _ 0 )4 y _ 0 M fracl(12x_0y)_0=/rac x _ 0 y _ 0 2 ,即 y _ 0 =s”2 2 ._()=时等号成立.故答案为：2.应用反函数的性质求出g(x)的表达式，同时带去点M的坐标列出等式，带
17、入代数式中利用基本不等式即可得出答案.本题考查的知识点是复合函数的对称性的应用，基本不等式的应用，属于中档题.1 7.答案：1 1解析：解：(i)5 -(7 T -3)+()4 +lg5+lg2+eln2+hg0.01=吗4-1 +吗)3褚 +l g(5 x 2)+2 +：x(-2)=-l +(1)-2+l +2-i=1_1+9+1+2,1=1 1.故答案为：1 1.由有理数指数累及对数运算公式代入求解即可.本题考查了有理数指数基及对数运算公式的应用，属于基础题.1 8.答案：1 0,+0 0)由图象可知当 =0或久=1时，/(%)取得最大值1.又y =k(x-1)过点(1,0),二当k 0时
18、，直线y =k(x-1)与y =f(x)的图象只有一个交点，当k )=(-1 +cosx,设 g(x)=/z(x)=-1 +cosx,当xe(0,兀)时，g(x)sinx o，雄)=-1=0,71n即当X e(0 时，存在/吗)吗)0,f(x)在(0,殉)上单调递增，当 W (%0,7 T)时,/(%)0,/(%)在。0，兀)上单调递减，所以/Q)在(0,兀)上存在唯一的极大值点沏%。/G)=呜 一 三+1 +。2*0,所以/(F)3 -+s i n +a=a 3 -+s i n -+s i n 0,e3 e6 e6 e6 es因为/(与=-3 -当+s i n +Q=Q-3 当+s i n
19、r 一 +s i n r 0,，e3 e6 e5 e5 e6 e6因为 0，所以f。)在(0,&)上恰有一个零点，当 G T T,6)时，/(%)=：1 +cosx,(7 T)=-1+COS TC=-2 1 +c o s =-0,6 6 6 6令 f (x)0 得q=1 cosx,因为y =1 与y =1 -c o s 不 在 兀，6)上单调递减，所以尸。)=0 在 6)上有唯一的根，且记 第1 E%6),使 得/Q 1)=O,综合可知/(%)在%0，%力上单调递减，在Q i，6)上单调递增，则/(%i)/(6)=ln6-6+sin6+Q ln6-6+1 +3 V ln6 2 0,因为f(%o
20、)f(6)0,所以/(x)在%o,6)上恰有1 个点，当 G 6,+o o)时，/(x)Inx-+4,设(%)=Inx%+4,W (x)=：-1 0,所以0(%)在 叵+8)上单调递减，则3(%)(6)=InG-6+4=ln6 2 0,所以当 6 6,+oo)时，/(%)(p(x)(p(6)0,恒成立，所以/(%)在6,+8)上没有零点，综上，当QE 1,3时，/(%)有且仅有2个零点.解析：(1)/。)=1 一 1+c o s x,设g(%)=/(%)=：-1+c o s x,分析g(x)的单调性，极值，即可得出答案.(2)由(1)知，存在&6 弓)，使得/(3)=0，分别求当X (0,0)
21、时，当%兄 6)时，当 E6,+8)时，零点个数，即可得出答案.本题考查导数的综合应用，解题中注意转化思想的应用，属于中档题.21.答案:解：,f (x)=cos2%+Vsinxcosx+1,x E R1+cos2x V3=-F sin2x+12 2V3 1 3=sin2x-V-cos2x+-=sin(2x+)+1，O Z(1)由周期公式可得，最小正周期丁 =兀，函数的最大值为|,最小值点(2)令一7r 4 2/CTT 4 2%+&4 +2kn,k E Z,解得：一：乃+k 4工+攵 江，fc G Z,3 6函数的单调递增区间 一 日+k兀 A+k 柯，k&Z.解析：本题主要考查二倍角公式，辅
22、助角公式，考查正弦函数的性质的简单应用，属于基础题.结合二倍角公式及辅助角公式对已知函数进行化简可得=sin(2x+|,(1)结合周期公式可求最小正周期T,结合正弦函数的性质可求函数的最大值，最小值；(2)令一:兀+2kli 2.x H CW=b则 褊=近 +而=一 3方一五，JN =+CN=2a+b，A、P、M和8、P、N分别共线，二存在实数;I、使AP=A A M =-A a-3 Ab 丽=丽=2 方+石，故 以=前 一 而 =Q+2”)苍+(3 4+)丸而瓦？=BC+CA=2a+3 b,H解 得 屋故 而=，初，B P=l B N,即4 P：P M =4：l.BP：PN=3：2；解析：根
23、 据 题 意 把 设 丽=落CN=b，作为该平面的一组基底，根据向量运算的三角形法则及共线向量定理分别表示出前，而，即可求得A P：PM,B P；P N 的值.考查向量加法的三角形法则和共线向量定理以及平面向量基本定理，要用已知向量表示未知向量，把向量放在封闭图形中求解，体现了转化的思想和数形结合的思想方法.23.答案：解：函数丫 =/。)=占,x 01+x0,x=0 x,%V 0A-X定义域为R，值域为(-1,1),函数f(x)为奇函数,函数/(X)在(一8,+8)上递增.对于(1),由/(X)为奇函数，可知(1)正确;对于(2),由函数/Xx)在(-8,+8)上递增，可知(2)正确；对于(
24、3),作出y=|/(%)|和丫=加 的图象，由图象观察可得当0 z n 0 时，W =x，方程无解;当x 0 时，=x,方程无解.即有函数g(x)只有一个零点.可知(4)错误.综上可得(1)(2)正确，(3)(4)错误.解析：运用绝对值的定义，将函数写成分段函数的形式，写出定义域和值域、奇偶性和单调性，运用奇偶性即可判断(1);运用单调性即可判断(2)；运用数形结合的思想方法，画出y=|/(x)|和y=m的图象，观察即可得到m的范围，即可判断(3)：由函数方程的思想，可得f(x)=x 只有一解，即可判断(4).本题考查函数的性质和运用，主要考查绝对值函数的图象和性质，以及函数和方程的关系及转化
25、思想，数形结合的思想方法，属于中档题和易错题.24.答案：解：(1)；函数/。)=%?；,由/(4)=3可得：=解得：m=1.m的值为1.(2)由(1)可得=x g设0 V 与 x2y9 9则/(刈)一/(打)=匕 一 彻 一 二+看 ,x1 x2 0,2(%2-%1)乂 一 珀 一 一-0 1 -x2)X2+xtx2X1X2 0,0 1 X2)X2+%2%1%2即/(Xl)/(X2)，f(x)在(0,+8)上是单调增函数.(3)由(2)可知f(x)在(0,+8)上是单调增函数，即在 2,5 上的也是增函数.当x=2时，/(x)取得最小值为1,当久=5时，/取得最大值为学故得/(%)在 2,5
26、 上的值域为口,.解析：本题主要考察了函数解析式的求法，单调性的定义证明以及利用单调性求解值域问题.属于基础题.(1)根据/(4)=带入计算可得m的值.(2)求解/(x)的解析式，利用定义证明即可.(3)利用单调性求解f(x)在 2,5 上的值域即可.25.答案：(1)-1 x 2(2)m 2解析：解：(1)大 一 村 一6+网 0=&(/-*+1)-6 flx(x2-x+l)-6 0对”L 2 J Q)。恒成立=卜+7+)_6尸 一1 2(2)u?-MEr-6+)Rm(x,-x+l)-6 0对于xwL2,x)。恒成立n 1 a工=_+1在*L 2 上的最小值又？二+i在XEL2上的最小值是2故n 2