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1、学习好资料 欢迎下载 基本不等式例题讲解 例 1已知 0a1,求证:aa1419.分析:对不等式的证明方法较多,要看清题目的条件与结论,寻找适当的证明方法.证法一:(比较法)0a0 91410)1()13()1()1(94)1(91412aaaaaaaaaaaaa故 证法二:(分析法)0a0 aa1419(1-a)+4a9a(1-a)9a2-6a+10(3a-1)20,此不等式显然成立.故原不等式成立.证法三:(三角代换法)0a1 设a=cos2(00,b0,c0 时,a+b+c3333111,abccbaabc(a+b+c)(cba111)9 而aa141=)2121)(12121(aaaa
2、aa9 故aa1419.评述:不等式证明方法较多,具体问题具体分析是证明不等式的精髓,灵活地选用证明方法是证明不等式的技巧、巧妙地变形是证明不等式的关键,联系和联想是证明不等式的重要学习好资料 欢迎下载 观点,提高思维能力是证明不等式的落脚点.例 2已知a0,b0,且a+b=1,求证:(a+a1)(b+b1)425.分析:此题入口较宽,应随时根据变形后式子的特点联系要证的不等式来分析思考证明方法.证法一:(分析综合法)欲证原不等式成立,只须证明 4(ab)2+4(a2+b2)-25ab+40 4(ab)2-33ab+80 ab41或ab8 a0,b0,a+b=1 ab8 不可能成立 1=a+b
3、2ab ab41,从而得证.证法二:(均值代换法)设a=21+t,b=21-t(-21t1(a1)分析:含参数不等式的求解,要视参数为常数,按照通常求解的过程进行求解,直到会出现几种可能时,再分类讨论,解含参数不等式时应尽可能向同类型不含参数不等式接近.解:原不等式等价于2)2()1(xaxa0(a-1)(x-12aa)(x-2)0 当a1时,式(x-12aa)(x-2)0 12aa-2=-11a-10 12aa2,原不等式的解集为(-,12aa)(2,+).当a1 时,式(x-12aa)(x-2)0 由 2-12aa=1aa知:当 0a2,则原不等式的解集为(2,12aa);当a=0 时,原
4、不等式为(x-2)20,解集为;当a0 时,12aa2,原不等式的解集为(12aa,2)综上所述,当a0 时,原不等式解集为(12aa,2);当a=0 时,解集为;当 0a1 时解集为(-,12aa)(2,+).评述:本题需要两级分类,第一级按a1 和a1 分为两类,在a1 的情况下,又要按两根适当的证明方法证法一比较法故证法二分析法此不等式显然成立故原不等式成立证法三三角代换法设则有故证法四综合法时而故评述不等式证明方法较多具体问题具体分析是证明不等式的精髓灵活地选用证明方法是证明不等式的技不等式的落脚点例已知且求证分析此题入口较宽应随时根据变形后式子的特点联系要证的不等式来分析思考证明方法
5、证法一分析综合法欲证原不等式成立只须证明或不可能成立从而得证证法二均值代换法设则左式显然等号当且仅当法是不等式证明活的特色应给予足够重视例解关于的不等式分析含参数不等式的求解要视参数为常数按照通常求解的过程进行求解直到会出现几种可能时再分类讨论解含参数不等式时应尽可能向同类型不含参数不等式接近解原不等学习好资料 欢迎下载 12aa与 2 的大小关系分为a0,a=0 和 0a1 三类.要重视分类讨论思想的培养,学习时,要学会分析引起分类讨论的原因,合理地分类,做到不重不漏.适当的证明方法证法一比较法故证法二分析法此不等式显然成立故原不等式成立证法三三角代换法设则有故证法四综合法时而故评述不等式证明方法较多具体问题具体分析是证明不等式的精髓灵活地选用证明方法是证明不等式的技不等式的落脚点例已知且求证分析此题入口较宽应随时根据变形后式子的特点联系要证的不等式来分析思考证明方法证法一分析综合法欲证原不等式成立只须证明或不可能成立从而得证证法二均值代换法设则左式显然等号当且仅当法是不等式证明活的特色应给予足够重视例解关于的不等式分析含参数不等式的求解要视参数为常数按照通常求解的过程进行求解直到会出现几种可能时再分类讨论解含参数不等式时应尽可能向同类型不含参数不等式接近解原不等