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1、第 七 章 不 等 式/,325 7.3 基 本 不 等 式 五 年 高 考 考 点 式 编 排 题 组 式 训 练 考 点|基 本 不 等 式 夕 整 他 旦 1 Z1.（2018 天 津，13,5 分）已 知 a,/,e R.且 a-3Z+6=0,则 2+1 的 8最 小 值 为.0 答 案 y2.（2017江 苏，1 0,5分）某 公 司 一 年 购 买 某 种 货 物 6 0 0吨，每 次 购 买 4 吨,运 费 为 6 万 元/次,一 年 的 总 存 储 费 用 为 4A 万 元 要 使 一 年 的 总 运 费 与 总 存 储 费 用 之 和 最 小，则 化 的 值 是.答 案 30
2、1 g3.（2020 天 津，14,5 分）已 知 a 0,6 0,且（ib=1,则 二 F 4-2a 2b a+b的 最 小 值 为.。答 案 44.（2020 江 苏，12,5 分）已 知=l（4,y e R）,则 x2+y2 的 最 小 值 是.4 答 案 y5.（2017天 津，1 2,5分）若 叫 b w R,而 0,则 叱 当 一 的 最 小 ab值 为.。答 案 4Q 以 下 为 教 师 用 书 专 用（1一 8）1.（2015福 建 理，5,5 分）若 直 线 三+=l（a 0,b 0）过 点（I,a b1）,则 的 最 小 值 等 于（）A.2 B.3 C.4 1）.5。答
3、案 C 因 为 直 线 三+W=l（a 0,6 0）过 点（1,1）,所 以 a b-5-+4=1.所 以 a+Z=（a+6）（-+-!-）=2+-+2+a b X a b/b a2、/；。=4,当 且 仅 当 a=b=2 时 取“=，故 选 C.v I）aI 22.（2015湖 南 文,7,5分）若 实 数,/，满 足 一+丁=依，则 ah的 a b最 小 值 为（）A.V2 B.2 C.272 D.40 答 案 C 依 题 意 知 a0,6 0,则+丁 N 2/丁 二,当 a b ab 很 1 9 1 2且 仅 当 一=丁，即 6=2。时,“=”成 立.因 为-+丁=疝，所 以 a b a
4、 b2 j y/ab N-,即 向 三 2应 所 以 ab的 最 小 值 为 26，故 选 C.依 3.（2014 重 庆 文,9,5 分）若 log4（3a+46）=log2 5/,则 a+b 的 最 小 值 是（）A.6+273 B.7+23 C.6+473 D.7+4 石。答 案 D 由 1（唱 式 3+4/）=log?得 3a+4b=ab,且 a0,60,fz=，由 a 0,得 b3.b-5.a+6=64-=64-4（/y312=（6-3）+-4-7 2 7 1 2+7=b-3 b-3 b-34 5+7,即 a+b的 最 小 值 为 7+473.4.（2014福 建,9,5分）要 制
5、作 一 个 容 积 为 4 m）高 为 1 m 的 无 盖 长 方 体 容 器.已 知 该 容 器 的 底 面 造 价 是 每 平 方 米 2 0元,侧 面 造 价 是 每 平 方 米 10元，则 该 容 器 的 最 低 总 造 价 是（）A.80 元 B.120 元 C.160 元 D.240 元。答 案 C 设 底 面 矩 形 的 长 和 宽 分 别 为 m、6 m,则 向=4.容 器 的 总 造 价 为 20 容+2（a+6）x 1 0=80+20（a+6）元,80+20（“+/）2 8 0+40 依=160（当 且 仅 当 a=6 时 等 号 成 立）.故 选 C.5.（2018江 苏
6、，1 3,5分）在 4 A B C 中，角 4,8,C 所 对 的 边 分 别 为 a,b,c,LABC=120。，4 4 8 c 的 平 分 线 交 AC 于 点。，且 BD=1,则 4a+c的 最 小 值 为.Q 答 案 9合 解 析 本 题 考 查 基 本 不 等 式 及 其 应 用.依 题 意 画 出 图 形，如 图 所 示.B易 知 S AABD+S&BCD=S2BC,a 1 1 1即 不-csin 6 0 0+-asin 600=-acsin 120,2 2 21 I/.a+c=ac9.+=1,、/1 I c 4a4a+c=(4a+c)I+I=5+2 9,a c a c当 且 仅
7、当 r=空 4a，即 a=34，c=3 时 取“二”.a c 2 一 题 多 解 1 作 DE/C B 交 4 8 于,:8。为 的 平 分 线，氤 一 庆 二 丁，DE/CH,：.=,AC AB BC a+c(t c BE;BA,ED=BC.a+c a+c BA-BC.a+c a+c访=(二 就 上 前 a+c a+c J+2 I R4 I-ICIa+c326 5 年 高 考 3 年 模 拟 B 版(教 师 用 书)1-7,=uc=a+c.-1-1.(a+c)2 c(a+c1)I=5+c+4“29,当 且 仅 当 c=4a,a c a c3即 a=,c=3 时 取“二”.一 题 多 解 2
8、以 8 为 原 点，4。所 在 直 线 为 x 轴 建 立 如 图 所 A,D,C 三 点 共 线，AD/DC,1 1/.ac=a+cy:.+=1,、/1 1-c 4a 八，c 4a4Q+C=(4+c)+I=5+N9,当 且 仅 当=,a c/a c a c3即 a=,c=3 时 取=.6.(2017 山 东，12,5 分)若 直 线 二+=l(“0,50)过 点(1,a b2),则 2a+b的 最 小 值 为.0 答 案 8品 解 析 由 题 设 可 得-+彳 川，60,a b：.2a+b=(2a+b)(+-)=2+-+24+2/芈=a b J a b N a b8(当 且 仅 当 上 二
9、上 即 仁 2a时,等 号 成 立).a b/故 2a+b的 最 小 值 为 8.7.(2019 天 津 文，13,5 分)设 x 0,y 0,x+2y=4,则(x+I)(2 y+l)的 最 小 值 为 孙 9。答 案 y后 解 析 本 题 主 要 考 查 基 本 不 等 式 的 运 用.考 查 学 生 对 基 本 不 等 式 及 其 简 单 变 形 使 用 条 件 的 掌 握 程 度，以 及 学 生 的 推 理、运 算 能 力.(%+l)(2y+l)_2与,+力+2y+l _2盯+5_2+_5_xy xy xy xy”0,y0,.4=x+2y2 解 得 W 2,当 且 仅 当 力 二 2*2
10、,即 久=2 且 y=1时“二”成 立.此 时 2+xy 25 c 5 9.(x+l)(2 y+l 9一 三 2+=，故-4 勺 最 小 值 为 不.xy 2 2 xy 2的)思 路 分 析 首 先 将 分 子 展 开，并 把 已 知 条 件 x+2y=4 代 入，则 原 式 化 简 为 2+2,注 意 到 x 与 2V的 和 为 定 值，用 基 本 不 等 xy式 即 可 求 町 的 最 大 值，最 终 得 到 原 式 的 最 小 值，在 此 应 特 别 注 意 基 本 不 等 式 的 使 用 条 件“一 正、二 定、三 相 等“，注 意 等 号 是 否 成 立.8.(2015 重 庆 文，
11、14,5 分)设 a,6O,a+=5,则 v W+”的 最 大 值 为.0 答 案 3夜 份 解 析 解 法 一:令/=、/a+l+Jb+3,则 C(Ja+1+Jb+3)2=+1+6+3+2 Ja+1,Jb+3 W9+a+1+6+3=18,当 且 仅 当/E=/川 不，7 3即。二 5,=彳 时，等 号 成 立.即 i的 最 大 值 为 3 0解 法 二:设 J&+1=m,/6+3=n,则 m,均 大 于 零，因 为 m2+n2 2mn,所 以 2(/+2)n(m+ri)2,所 以 rn+nW,m2+n2,所 以 J a+1+Jb+3 W&,Ja+1+3=3&,当 且 仅 当/寸=/了，即。弋
12、 7,6=3时，”一 成 立,所 以 所 求 最 大 值 为 3鱼.考 点 清 单 外 学 生 用 书 P117知 识 结 构 化 考 点 清 单 化 考 点 基 本 不 等 式 1.基 本 不 等 式 基 本 不 等 式 不 等 式 成 立 的 条 件 等 号 成 立 的 条 件/r-a+bVab W-2a0,60 a=b平 均 数，基 本 不 等 式 可 叙 述 为:两 个 正 数 的 算 术 平 均 数 不 小 于 它 们 的 几 何 平 均 数.2.基 本 不 等 式 的 变 形(l)a2+62(D 2ab(a.feeR).(2)；+幺 才 2(a,b同 号).I)a其 中 为 正 数
13、 的 算 术 平 均 数./认 为 正 数 a,b的 几 何第 七 章 产 等 式/327（4）-N-N 5-（a0,/0,当 且-1-a 1）仅 当 a=6 时 取“=”）.注 意 运 用 基 本 不 等 式 及 其 变 形 时，一 定 要 验 证 等 号 是 否 成 立.3.基 本 不 等 式 与 最 值 已 知 v0,y0,（1）如 果 积 叶 是 定 值 p,那 么 当 且 仅 当 x-y时,x+y有 最 小 值 2 4（简 记:积 定 和 最 小）.（2）如 果 x+y是 定 值 s,那 么 当 且 仅 当 x=y 时，町 有 最 大 值 2?（简 记:和 定 积 最 大）.注 意（
14、1）应 用 基 本 不 等 式 的 前 提 是“一 正”“二 定”“三 相 等”.“一 正”指 正 数，“二 定”指 求 最 值 时 和 或 积 为 定 值，“三 相 等”指 等 号 成 立.（2）连 续 使 用 基 本 不 等 式 时，牢 记 等 号 要 同 时 成 立.题 型 方 法 令 学 生 用 书 P118题 型 经 典 方 法 实 用 利 用 基 本 不 等 式 求 最 值 的 方 法 1.代 数 式 最 值 的 求 解 方 法 拼 凑 法 拼 凑 法 就 是 将 相 关 代 数 式 进 行 适 当 变 形，通 过 添 项、拆 项、变 系 数、凑 因 子 等 方 法 凑 成 和 为
15、 定 值 或 积 为 定 值 的 形 式，然 后 利 用 基 本 不 等 式 求 解 最 值.拼 凑 法 的 实 质 在 于 对 代 数 式 的 灵 活 变 形.注 意 变 形 的 等 价 性 及 应 用 基 本 不 等 式 的 前 提 条 件.2.条 件 最 值 的 求 解 方 法 常 数 代 换 法（1）常 数 代 换 法 求 最 值 的 步 骤 根 据 已 知 条 件 或 其 变 形 确 定 定 值（常 数）；把 确 定 的 定 值（常 数）变 形 为 1；把“1”的 表 达 式 与 所 求 最 值 的 表 达 式 相 乘 或 相 除，进 而 构 造 和 或 积 为 定 值 的 形 式；
16、利 用 基 本 不 等 式 求 解 最 值.（2）常 数 代 换 法 求 最 值 适 用 的 题 型 及 解 题 通 法 当 式 子 中 含 有 两 个 变 量，且 条 件 和 所 求 的 式 子 分 别 为 整 式 和 分 式 时，常 构 造 出（ax+by）-+m,n 为 正 数）的 形 z，、/fn n,bniy anx,式,利 用（ax+by）I H-I=am+bn+-+-N am+bn+“x y J x y2/砧（当 且 仅 当 竽=拳 时 等 号 成 立）得 到 结 果.口（1）（2020广 东 珠 海 高 三 期 末,9）已 知 x0,y0,z0,9 1且+=1,则%+y+z的
17、最 小 值 为（）y+z xA.8 B.9 C.12 D.16（2）（2019安 徽 江 南 十 校 第 二 次 大 联 考，10）已 知 实 数%满 足 logj-%1,则 函 数 y=8%+丁 的 最 大 值 为（）A.-4 B.8 C.4 D.O解 析（1）y0,z0,y+z O,X+=1,%0,y+z x(+9 I=10+9-4-+y+-zH 10+x y+z)y+z x当 且 仅 当 二 二 二,即 y+z=3”时 等 号 成 立,y+z xx+y+z的 最 小 值 为 16.故 选 D.(2)由 log，与 l 得 0 x,/.-1 2x-I 1,则 函 数/（%）=1+*：x-1
18、的 最 小 值 为 _.0 答 案 4E 到（2（）21辽 宁 沈 阳 期 末,7）已 知 实 数”0/0,且 2+=2向,则。+26的 最 小 值 为（）D.4 及 0 答 案 BPP3（2021福 建 南 平 期 末，8）已 知 化 0,y0,且 2x+y+6-xy=0,则 号 的 最 小 值 为（）A.16 B.18 C.20 D.220 答 案 B328 5 年 高 考 3 年 模 拟 B 版（教 师 用 书）三 年 模 拟 考 点 基 础 练 综 合 提 升 练 A 组 考 点 基 础 题 组 夕 铃 鞋 旦 考 点 I 基 本 不 等 式 1.（2021河 南 郑 州 一 模，10
19、）已 知 a0,Z0,且 a+6=l,则 下 列 选 项 错 误 的 是（）X.a2+b2-B.2 ft2 2C.log2+log2-2 D.而 答 案 C2 12.（2020四 川 模 拟,7）已 知 实 数,a+=5,则+1 丁 的 a b-1最 小 值 为（）、3+272 八 3+4 至 3+2 后 3+4双 A.B.C.-D.-4 4 6 6 答 案 A3.（2019新 赧 昌 吉 教 育 共 同 体 联 考，9）在 1和 17之 间 插 入（几-2）个 数，使 这 个 数 成 等 差 数 列，若 这（-2）个 数 中 第 一 个 为 a,第（-2）个 为 6,当 上+9 取 最 小
20、值 时 力 的 值 为（）a I）A.6 B.7 C.8 D.9。答 案 D4.（2020安 徽 合 肥 二 模，11）九 章 算 术 中“勾 股 容 方”问 题:“今 有 勾 五 步，股 十 二 步，问 勾 中 容 方 几 何?”魏 晋 时 期 数 学 家 刘 徽 在 其 九 章 算 术 注 中 利 用 出 入 相 补 原 理 给 出 了 这 个 问 题 的 一 般 解 法：如 图 1,用 对 角 线 将 长 和 宽 分 别 为 b 和 的 矩 形 分 成 两 个 直 角 三 角 形，每 个 直 角 三 角 形 再 分 成 一 个 内 接 正 方 形（黄）和 两 个 小 直 角 三 角 形（
21、朱、青）.将 三 种 颜 色 的 图 形 进 行 重 组，得 到 如 图 2 所 示 的 矩 形,该 矩 形 的 长 为 Q+6,宽 为 内 接 正 方 形 的 边 长 之 由 刘 徽 构 造 的 图 形 可 以 得 到 许 多 重 要 的 结 论.如 图 3,设。为 斜 边 B C 的 中 点，作 直 角 三 角 形 4 8 C的 内 接 正 方 形 的 对 角 线 由/ION4/可 得 a，62 22aAA.（2）B.C.D.Q 答 案 A5.（2021江 西 五 市 九 校 联 考，14）若 正 实 数 a,6 满 足 a+6=1,则 的 最 小 值 为 3a b0 答 案 5B 组 综
22、 合 应 用 题 组 号 学 生 用 书 P”9。2 5分 钟 g 5 0 分 一、选 择 题（每 小 题 5 分，共 4 0分）1.（2021四 川 顶 级 名 校 一 模,9）设 a0,/0,a+k 1,则 下 列 选 项 错 误 的 是（）A.2+62的 最 小 值 为！4 1氏 3+；的 取 值 范 围 是 9,+8）a bC（a+l）（/，+l）的 的 小 值 为 2 nD.若 cl,则（绰 匚 2）一 的 最 小 值 为 8 ab/c-1。答 案 C2.（2021河 南 顶 级 名 校 4 月 联 考，10）已 知 各 项 均 为 正 数 的 等 比 数 列|aj,%,3%成 等
23、差 数 列，若 中 存 在 两 项 aM,%,1 4使 得 4a,为 其 等 比 中 项，则-!-+上 的 最 小 值 为（）m nA.4 B.9 C.D.3 2。答 案 D3.（2021山 西 高 考 前 测 试,7）已 知 a,6,ce（0,+8），且 a4,向+的=4,贝”上 2+六 2+-3的 2最 小 值 是（）a b+c a+b+cA.8 B.6 C.4 D.2 答 案 A4.（2021江 西 宜 春 重 点 高 中 月 考,9）已 知%0,y0,%+2y=3,PllJ-的 最 小 值 为（）孙 A.3-2 B.2 氏 1 C.72-1 L）.+I 答 案 B5.（2021江 西
24、重 点 中 学 盟 校 联 考，7）已 知 直 线 ax+2by-1=0和 x2+/=1相 切,则 ab的 最 大 值 是（）、1,1 c 垃 nA.B.-C.-D.14 2 20 答 案 A6.（2020云 南 曲 靖 麒 麟 模 拟，8）已 知 y=log2（/-2*+17）的 值 域第 七 章 不 等 式/3292 I为%+8)，当 正 数“/+=m时,7。+4 的 最 小 7.(2020吉 林 通 钢 一 中 等 三 校 第 五 次 联 考，10)在 Rt A A B C 中，已 知 乙 C 二 90。，G4=3,C8=4,/为 线 段 A 8 上 的 一 点，且 无 二 值 为()A
25、TB.55+2V2/4D.9Q 答 案 A4+y 2-，则 工+，的 最 小 值 为()CA CB x7 73 Q RC.D.12 3 6 3。答 案 C8.(2019陕 西 汉 中 重 点 中 学 3 月 联 考，8)已 知 工 0,函 数/(h)=(e-a)-+(e+“)-的 最 小 值 为 6 jj|ja=()e-eA.-2 B.-1 或 7 C.l 或-7 D.2。答 案 B二、填 空 题(每 小 题 5 分，共 1()分)9.(2021东 北 三 省 四 市 教 研 联 合 体 模 拟，13)若“0.60,a+Z)=I 22,则+7的 最 小 值 为.a b.4 3+2含 Q 答 案
26、-10.(2019西 藏 拉 萨 中 学 高 三 月 考，14)设“5、c 均 为 正 实 数，若 a+c=l,贝 l j+N.a b cQ 答 案 9C 组 教 师 专 用 题 组 一、选 择 题 1.(2021云 南 曲 靖 第 二 中 学 二 模,3)已 知 a,6,ce(0,+8),3-2+c=0,则 的()bA.最 大 值 是 用 C.最 小 值 是 打 行 一 3A3是 是 值 值 大 小 最 最.0 答 案 B 因 为 3a-26+c=0,所 以 6=-,所 以 一=2 b舞 W 覆 喙 当 且 仅 当 3 时，等 号 成 立.故 选 B.2.(2021黑 龙 江 哈 尔 滨 师
27、 范 大 学 附 属 中 学 期 末，6)已 知 x0.y0,且 33+二 1;1,则 3#+4y的 最 小 值 是 jx 5y)A.5C 竺 B.6J 53 1。答 案 A 因 为，0。,且 短 g 1,贝 I 3x+4y=(3%+4y)3 1一 十 5x 5y八 3%12v=9+-+4 是 y13+2:5,当 且 仅 当 3%上=卑 12 V,即 y%x=l,1 时，等 号 成 立.故 选 A.y=T。方 法 总 结 已 知 Y0,y0.(1)若*+y=s(和 为 定 值)，则 当 x=y 时，积 号 取 得 最 大 值-(简 记：和 定 积 最 大)；4(2)若 4y=p(积 为 定 值
28、)，则 当 x-y 时，和 工+),取 得 最 小 值 2 4(简 记：积 定 和 最 小).3.(2021甘 肃 兰 州 下 学 期 诊 断，11)已 知 函 数 j6 2a-岳：(Q 0/0)的 一 个 极 值 点 为 1,则 ab的 最 大 值 为()0 答 案 D fh f(x)-bx 得/(%)=rx2-ax-b,6 2 2依 题 意 有/(1)=-a-b=0,即 a+Z=g,又 a(M0,所 以=依=而 R,当 且 仅 当。”2 169 时 取 等 号，4即 心 的 最 大 值 为.故 选 D.164.(2021云 南 昆 明 一 中 模 拟,9)函 数 y=ln4+J 的 值 域
29、 为 In x()A.(-oo,-2 B.2,+oo)C.(-oo,-2 U2,+oo)D.-2,20 答 案 C 当 比 1 时,y=ln%+J-N 2 八 n J=2,In x A/In x当 0%1 时，y=In A：+=-(-In x)+1 WIn x L In x/J 小.R J W-2,所 以 函 数 的 值 域 为(-8,-2 U 2,+8),故 选 c.5.(2021全 国 百 强 名 校“领 军 考 试”，6)中 国 是 发 现 和 研 究 勾 股 定 理 最 占 老 的 国 家 之 一，周 髀 算 经 就 记 载 有 勾 股 定 理 的 一 个 特 例，在 国 外，古 希
30、腊 的 著 名 数 学 家 毕 达 哥 拉 斯 也 发 现 了 这 个 定 理，历 史 上 有 很 多 勾 股 定 理 爱 好 者 通 过 构 造 图 形 证 明 了 勾 股 定 理，下 图 就 是 其 中 一 个，该 图 中 四 边 形 ABCD满 足 TT乙 ABC=乙 DCB=5，AB=CE=a、BE=CD=b、在 四 边 形 ABCD内 任 取 1点，则 该 点 落 在 内 的 概 率 的 最 小 值 为()330 5 年 高 考 3 年 模 拟 B 版（教 师 用 书）A-T 4BTCTQ 答 案 B 本 题 考 查 几 何 概 型 及 基 本 不 等 式；考 查 数 学 抽 象 与
31、 数 学 运 算 的 核 心 素 养.四 边 形 4 8 c o 的 面 积 为 噂（a+6）=虫 要，是 腰 为 的 等 腰 直 角 三 角 形，其 面 积 为 巴 5-，所 以 在 四 边 形，上 245C”内 任 取 L 点，则 该 点 落 在 4OE内 的 概 率 为 扁 才 2（a2元+b2）-3 故 选 区 6.（2021北 京 东 城 二 模,4）已 知+/=2,那 么 a+6的 最 大 值 为（）A.l B.72 C.2 D.272。答 案 C 本 题 考 查 基 本 不 等 式，考 查 逻 辑 推 理 的 核 心 素 养，试 题 体 现 基 础 性.*.*2;cJ+Z2（a+
32、）2=02+/2+2（）w2+2=4,从 而 a+bW2,当 且 仅 当 a=b=时 取 等 号，因 此 的 最 大 值 为 2,故 选 C.7.（2021重 庆 一 模,6）已 知,60,而=6+8,则 而 的 最 小 值 为（）A.4 B.8 C.12 D.16。答 案 D 由 均 值 不 等 式 a+/）22（当 且 仅 当=6 时 等 号 成 立），彳 导 ab=a+b+S 2 Vab+8,即（Vab-4）（y/ab+2）N0,.而 N16,当 且 仅 当 a=b=4 时,而 取 到 最 小 值 16.8.（2021上 海 静 安 一 模,11）在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy中
33、,。、0 是 位 于 不 同 象 限 的 任 意 角，它 们 的 终 边 交 单 位 圆（圆 心 在 坐 标 原 点。）于 两 点.若 两 点 的 纵 坐 标 分 别 为 正 数“、仇 且 cos（s-0）W0,则+/）的 最 大 值 为（）A.l B.V2 C.2 D.不 存 在。答 案 B 根 据 题 意 出 若 是 位 于 不 同 象 限 的 任 意 角，且 它 们 的 终 边 在 工 轴 上 方,不 妨 令 a 为 第 一 象 限 角 刀 为 第 二 象 限 角，则 点 A（户,6）,由 三 角 函 数 的 定 义 知 cos a=A/1-a2,cos/3=-/-b,sin a=a,s
34、in 尸=6,贝 cos（a-j8）=cos acos j8+sin asin jS=-V 1-a2 V-b2+ab W 0,而 a 0,6 0,/.W J 1-T,J l-b2=（ab）2（1-a2）（-/）=（J+/这,a+6=-J（a+b）2-,_ _ _/TV a2+b2+2ab W A/a2+f）2+（I2+b2 W&，当 且 仅 当 a=b=时 取“二”，所 以 a+b的 最 大 值 是 含，故 选 B.解 题 技 巧 用 a、表 示 出 点 4、8 的 坐 标，利 用 三 角 函 数 的 定 义 结 合 cos（a-/3）W 0 探 求 出 a、6 的 关 系 再 求 解.9.（
35、2021湖 南 六 校 4 月 联 考，6）数 学 里 有 一 种 证 明 方 法 叫 做 Proofs without words,也 称 为 无 字 证 明，一 般 是 指 仅 用 图 形 语 言 而 无 需 文 字 解 释 就 能 不 证 自 明 的 数 学 命 题.由 于 这 种 证 明 方 法 的 特 殊 性，无 字 证 明 被 认 为 比 严 格 的 数 学 证 明 更 为 优 雅.如 图 所 示，在 等 腰 直 角 48。中，点 0 为 斜 边 A R 的 中 点，点 D 为 斜 边，仍 上 异 于 顶 点 的 一 个 动 点，设/仍=%用）=6,则 该 图 形 可 以 完 成
36、的 无 字 证 明 为（）A-2/A/O6(a0,60)C.这-/ab(0,b0)a+bB.(“0,/)0)D.T+Z/H 2 a(a 0,历 0)答 案 B 由 题 图 易 得 1 a+bOC=-A B=-,OD=()B-BD=2 21%,在 Rt AOCD 中，CO=VOC2+OD2，显 然 0CWCD,故 选 B.二、填 空 题 10.（2021甘 肃 永 昌 第 一 高 级 中 学 期 末，15）已 知 函 数/（%）=3+2a-的 图 象 恒 过 定 点 4,若 点 A 在 直 线 77+701=0上，其 I 2中 利 0,则 一 十 二 的 最 小 值 为 m n。答 案 8份 解
37、 析 函 数 f（x）=ax+2a-=a（%+2）T,故 函 数 y=f（x）的 图 象 恒 过 定 点 4（-2,-1）,乂 点 4（-2,-1）在 直 线 mx+叼+1=0 上，=0,则 2ni+n=1,因 为 m 0,所 以 0,所 以-+Z=（+（2m+n）=n m n m n Jmn+4nm+4N2 7 4nm+4,=8-1 1 2当 且 仅 当=K 时，等 号 成 立，因 此,一+已 的 最 小 值 2 m n为 8.方 法 总 结 当 式 子 中 含 有 两 个 变 量,且 条 件 和 所 求 的 式 子 分 别 为 整 式 和 分 式 时，常 构 造 出（3+勿）（a,6,2,
38、九 为 常 数）的 形 式，利 用（ax+by）（+1=am+bn+-+-N x y）x yam+bn+2-Jabmn（当 且 仅 当 皿？=竺 时 等 号 成 立，得 到 结 果.11.（2021江 西 宜 春 中 学、万 载 中 学、樟 树 中 学 第 一 次 联 考，15）为 了 贯 彻 落 实 十 九 大 提 出 的“精 准 扶 贫”政 策，某 地 政 府 投 入 16万 元 帮 助 当 地 贫 困 户 通 过 购 买 机 器 办 厂 的 形 式 脱 贫，假 设 该 厂 第 一 年 需 投 入 运 营 成 本 3 万 元，从 第 二 年 起 每 年 投 入 运 营 成 本 比 上 一
39、年 增 加 2 万 元，该 厂 每 年 可 以 收 入 20万 元,若 该 厂（N-）年 后，年 平 均 盈 利 额 达 到 最 大 值，则 等 于 _.（盈 利 额=总 收 入-总 成 本）0 答 案 4台 解 析 设 每 年 的 运 营 成 本 为 数 列 i,依 题 意 该 数 列 为 等 差 数 列，且 3=3,d=2,所 以 年 后 总 运 营 成 本 S“二 叫 因 此，年 平 均 盈 利 额 为 20，L（F+2）-16=_”一 竺+&言 n n-2yp+18=10,当 且 仅 当=4 时 等 号 成 立.故 年 平 均 盈 利 额 达 到 最 大 值 时,“为 4.方 法 总
40、结 求 解 不 等 式 的 实 际 应 用 问 题 时，应 先 准 确 建 立 相 应 的 教 学 模 型（一 般 涉 及 运 用 基 本 不 等 式 求 解 最 值 模 型 和第 七 章 不 等 式/331一 元 二 次 不 等 式 模 型），然 后 根 据 所 学 内 容 准 确 求 解，再 把 数 学 模 型 的 运 算 结 果 转 化 为 实 际 问 题 中 的 答 案 即 可.12.（2021安 徽 江 淮 十 校 第 三 次 质 检，16）已 知 正 数 a,满 足。+I 4/+一+=10,则 a+b的 最 大 值 是 a b0 答 案 9I 4后 解 析 设/贝+=10-/,a
41、b所 以“10T)=(a+)(+?)=5+幺+孚 29,a b)a b当 且 仅 当 2a=6时 取 等 号，所 以，-10什 9W0,解 得 1&W 9,即 a+6的 最 大 值 为 9.合 解 析 a+b+c=l=c-1=-a-b.-a2+b2+2 a2+l+b2+l原 式 2a+2b,言-v-2.当 且 仅 当 a=1,6=1时，“二”成 立.14.（2021天 津 红 桥 一 模，14）已 知 0,），-1,且 力+/=1,则 公+3 v2的 最 小 值 为 x y+IQ 答 案 2+73份 解 析+-=x+y-1+-+-7=-+-7=x y+1 x y+1 x y+1上 中+高 13
42、.(2021 天 津 南 开 一 模，14)已 知 aO,6 O,a+6+c=1,则 a2+l)2+2的 最 大 值 是 224+23(+1)=2+3,0 答 案-2当 且 仅 当 3 d$时,“=，成 立.X）+I一 年 原 创 夕 学 生 用 书 P119甄 选 情 境 素 养 专 家 独 家 命 制 1.(2021 5 3 原 创 题)已 知 二 次 不 等 式“/+2&x+0的 解 集 为 卜 上#,则 s=J+?-2(a+Z)的 最 小 值 为()A.2-4V2 B.2+472 CA-4-J2 D.4+4-720 答 案 C2.（2021 5 3 原 创 题）对 于 函 数/（%）,若 与，叼 满 足/（阳）+/（町）=/（阳，2），则 称 修，”2为 函 数/（%）的 一 对“类 对 数”.若 正 实 数 a 与 b 为 函 数/（x）=H（A-#0）的 一 对“类 对 数”，则+4 b的 最 小 值 为.0 答 案 9