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1、学习好资料 欢迎下载 基本不等式及应用 一、考纲要求：1.了解基本不等式的证明过程 2会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题 3了解证明不等式的基本方法综合法 二、基本不等式 基本不等式 不等式成立的条件 等号成立的条件 abab2 a0，b0 ab 三、常用的几个重要不等式(1)a2b22ab(a，bR)(2)ab(ab2)2(a，bR)(3)a2b22(ab2)2(a，bR)(4)baab2(a，b 同号且不为零)上述四个不等式等号成立的条件都是 ab.四、算术平均数与几何平均数 设 a0，b0，则 a，b 的算术平均数为ab2，几何平均数为 ab，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均
2、数不小于它们的几何平均数 四个“平均数”的大小关系；a，bR+：当且仅当ab时取等号.五、利用基本不等式求最值：设 x，y 都是正数(1)如果积 xy 是定值 P，那么当 xy 时和 xy 有最小值 2 P.(2)如果和 xy 是定值 S，那么当 xy 时积 xy 有最大值14S2.强调：1、在使用“和为常数，积有最大值”和“积为常数，和有最小值”这两个结论时，应把握三点：“一正、二定、三相等、四最值”.当条件不完全具备时，应创造条件.正：两项必须都是正数；定：求两项和的最小值，它们的积应为定值；求两项积的最大值，它们的和应为定值。等：等号成立的条件必须存在.2、当利用基本不等式求最大(小)值
3、等号取不到时，如何处理？（若最值取不到可考虑函数的单调性）想一想:错在哪里？2222abab2ababab已知函数，求函数的最小值和此时x的取值xxxf1)(11:()22112.fxxxxxxxx解当 且 仅 当即时 函 数取 到 最 小 值已知函数，求函数的最小值)2(23)(xxxxf33()22223326fxxxxxxxxx解：当 且 仅 当即时，函 数的 最 小 值 是。23x 大 家 把代 入 看 一 看，会 有什 么 发 现？用 什 么 方 法 求 该 函 数 的最 小 值？学习好资料 欢迎下载 3、已知两正数 x，y 满足 xy1，则 z(x 1x)(y 1y)的最小值为_
4、解一：因为对 a0，恒有 a1a2，从而 z(x 1x)(y 1y)4，所以 z 的最小值是 4.解二：z2x2y22xyxy(2xyxy)222xyxy22(21)，所以 z 的最小值是 2(21)【错因分析】错解一和错解二的错误原因是等号成立的条件不具备，因此使用基本不等式一定要验证等号成立的条件，只有等号成立时，所求出的最值才是正确的【正确解答】z(x 1x)(y 1y)xy1xyyxxyxy1xyxy22xyxy2xyxy2，令 t xy，则 0t xy(xy2)214，由 f(t)t 2t在(0，14 上单调递减，故当 t 14时，f(t)t 2t有最小值334，所以当 xy12时
5、z 有最小值254.误区警示：(1)在利用基本不等式求最值(值域)时，过多地关注形式上的满足，极容易忽视符号和等号成立条件的满足，这是造成解题失误的重要原因如函数 y12x3x(x0)有最大值 12 6而不是有最小值 12 6.(2)当多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否都能保证等号成立，并且要注意取等号条件的一致性，否则就会出错 课堂纠错补练：若 0 x2，则 f(x)sinx 4sinx的最小值为_ 解析：令 sinx t,00，b0，ab1，求证：1a1b4.【证明】(1)a0，b0，ab1，1a1babaabb2baab 22baab4(当且仅当 ab12时等号成立)1a1b4.原
6、不等式成立 练习：已知 a、b、c 为正实数，且 abc1，求证：(1a1)(1b1)(1c1)8.证明：a、b、c 均为正实数，且 abc1，(1a1)(1b1)(1c1)1a1b1cabc bcacababc2 bc2 ac2 ababc8.当且仅当 abc13时取等号 考点 2 利用基本不等式求最值 (1)合理拆分项或配凑因式是常用的技巧，而拆与凑的目标在于使等号成立，且每项为正值，必要时需出现积为定值或和为定值(2)当多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错，因此在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立的条件不仅是解题的必要步
7、骤，而且也是检验转换是否有误的一种方法 例 4：(1)设 0 x2，求函数)2(2xxy的最大值【分析】由和或积为定值从而利用基本不等式求最值，然后确定取得最值的条件【解】(1)0 x0，y x42x 2 x2x 2x2x2 2，当且仅当 x2x 即 x1 时取等号，当 x1 时，函数 y x42x的最大值是 2.(2)x0，求 f(x)12x3x 的最小值；（3）已知:x0,y0.且 2x+5y=20,求 xy 的最大值.（4）已知y4a2a，求y的取值范围 显然 a2，当 a2 时，a20，4a2a4a2(a 2)224a2a226，值问题了解证明不等式的基本方法综合法二基本不等式基本不等
8、式不等式成立的条件等号成立的条件三常用的几个重要不等式同号且不为零上述四个不等式等号成立的条件都是四算术平均数与几何平均数设则的算术平均数为几何平等号五利用基本不等式求最值设都是正数如果积是定值那么当时和有最小值如果和是定值那么当时积有最大值强调在使用和为常数积有最大值和积为常数和有最小值这两个结论时应把握三点一正二定三相等四最值当条件不完全具备等号成立的条件必须存在当利用基本不等式求最大小值等号取不到时如何理若最值取不到可考虑函数的单调性想一想错在哪里已知函数最小值和此时的取值求函数的解当且仅当即时函数取到最小值已知函数求函数的最小值解当且仅学习好资料 欢迎下载 当且仅当4a2a2，即 a4
9、 时取等号，当 a2 时，a20，y0，且 xy1，求3x4y的最小值 x0，y0，且 xy1，3x4y(3x4y)(x y)73yx4xy723yx4xy74 3，当且仅当3yx4xy，即 2x 3y 时等号成立，3x4y的最小值为 74 3.练习：求下列各题的最值(1)已知 x0，y0，lgx lgy 1，求 z2x5y的最小值；解：(1)由 x0，y0，lgx lgy 1，可得 xy10.则2x5y2y5x102 10 xy102.zmin2.当且仅当 2y5x，即 x2，y5 时等号成立(2)x0，求 f(x)12x3x 的最大值；x0，f(x)12x3x212x3x12，等号成立的条
10、件是12x3x，即 x2，f(x)的最小值是 12.(3)x3，求 f(x)4x3x 的最大值 x3，x30，f(x)4x3x4x3(x 3)3 43x(3 x)3243x3x31，当且仅当43x3x，即 x1 时，等号成立故 f(x)的最大值为1.值问题了解证明不等式的基本方法综合法二基本不等式基本不等式不等式成立的条件等号成立的条件三常用的几个重要不等式同号且不为零上述四个不等式等号成立的条件都是四算术平均数与几何平均数设则的算术平均数为几何平等号五利用基本不等式求最值设都是正数如果积是定值那么当时和有最小值如果和是定值那么当时积有最大值强调在使用和为常数积有最大值和积为常数和有最小值这两
11、个结论时应把握三点一正二定三相等四最值当条件不完全具备等号成立的条件必须存在当利用基本不等式求最大小值等号取不到时如何理若最值取不到可考虑函数的单调性想一想错在哪里已知函数最小值和此时的取值求函数的解当且仅当即时函数取到最小值已知函数求函数的最小值解当且仅学习好资料 欢迎下载（4）14,0,0baba，求ab的最大值。考点 3 利用基本不等式求最值的解题技巧 1.代换：化复杂为简单，易于拼凑成定值形式。2拆、拼、凑，目的只有一个，出现定值 例 3：（1）已知Rba,abba3，求ab的最小值。（2）已知)10(122xxxy，求y的最大值。（3）已知Rba,，1222ba，求21ba的最大值。
12、（4）求函数xxy2512的最大值。（5）设 abc0，求 2a21ab1aab10ac25c2的最小值。A2 B4 C2 5 D5【分析】通过拆、拼、凑创造条件，利用基本不等式求最值，但要注意等号成立时的条件【解析】原式(a210ac25c2)1abab1aaba(a b)a2aba(a b)(a 5c)21abab1aaba(a b)021abab21aabaab4，当且仅当 ab1aab1a5c，即 a 2，b22，c25时，等号成立【答案】B 练习：（1）(2011 年浙江)设 x，y 为实数，若 4x2y2xy1，则 2xy 的最大值是_ 解析：4x2y2xy1，4x24xyy23x
13、y1(2x y)213xy322xy32(2xy2)2(2x y)2138(2x y)2(2x y)285 即2 1052xy2 105当且仅当 2xy 时取等号，(2x y)最大值2510.值问题了解证明不等式的基本方法综合法二基本不等式基本不等式不等式成立的条件等号成立的条件三常用的几个重要不等式同号且不为零上述四个不等式等号成立的条件都是四算术平均数与几何平均数设则的算术平均数为几何平等号五利用基本不等式求最值设都是正数如果积是定值那么当时和有最小值如果和是定值那么当时积有最大值强调在使用和为常数积有最大值和积为常数和有最小值这两个结论时应把握三点一正二定三相等四最值当条件不完全具备等号
14、成立的条件必须存在当利用基本不等式求最大小值等号取不到时如何理若最值取不到可考虑函数的单调性想一想错在哪里已知函数最小值和此时的取值求函数的解当且仅当即时函数取到最小值已知函数求函数的最小值解当且仅学习好资料 欢迎下载（2）已知45x，求54124xxy的最大值。（3）已知0yx，1xy，求yxyx22的最小值及相应的yx,的值。考点 4 基本不等式的实际应用 应用基本不等式解决实际问题的步骤是：(1)仔细阅读题目，透彻理解题意；(2)分析实际问题中的数量关系，引入未知数，并用它表示其他的变量，把要求最值的变量设为函数；(3)应用基本不等式求出函数的最值；(4)还原实际问题，作出解答 例 4
15、围建一个面积为 360 m2 的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用的旧墙需维修)，其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为 2 m的进出口，如图所示 已知旧墙的维修费用为 45 元/m，新墙的造价为 180 元/m.设利用的旧墙长度为 x(单位：m)，修建此矩形场地围墙的总费用为 y(单位：元)(1)将 y 表示为 x 的函数；(2)试确定 x 使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用【分析】(1)首先明确总费用 y旧墙维修费建新墙费，其次，列出 y 与 x 的函数关系式；(2)利用基本不等式求最值，最后确定取得最值的条件，作出问题结论【解】(1)如图，设矩形的另
16、一边长为 a m.则 y45x180(x 2)1802a225x360a360.由已知 xa360，得 a360 x，所以 y225x3602x360(x2)(2)x2，225x3602x2 225360210800.y225x3602x36010440.当且仅当 225x3602x时，等号成立 即当 x24 m 时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是 10440 元 方法归纳：(1)利用基本不等式解决实际问题时，应先仔细阅读题目信息，理解题意，明确其中的数量关系，并引入变量，依题意列出相应的函数关系式，然后用基本不等式求解(2)在求所列函数的最值时，若用基本不等式时，等号取不到，可利用函数单
17、调性求解 练习：1、有一座大桥既是交通拥挤地段，又是事故多发地段，为了保证安全，交通部门规定：大桥上的车距 d(m)与车速 v(km/h)和车长 l(m)的关系满足：dkv2l 12l(k 为正常数)，假定车身长都为 4 m，当车速为 60 km/h时，车距为 2.66 个车身长 值问题了解证明不等式的基本方法综合法二基本不等式基本不等式不等式成立的条件等号成立的条件三常用的几个重要不等式同号且不为零上述四个不等式等号成立的条件都是四算术平均数与几何平均数设则的算术平均数为几何平等号五利用基本不等式求最值设都是正数如果积是定值那么当时和有最小值如果和是定值那么当时积有最大值强调在使用和为常数积
18、有最大值和积为常数和有最小值这两个结论时应把握三点一正二定三相等四最值当条件不完全具备等号成立的条件必须存在当利用基本不等式求最大小值等号取不到时如何理若最值取不到可考虑函数的单调性想一想错在哪里已知函数最小值和此时的取值求函数的解当且仅当即时函数取到最小值已知函数求函数的最小值解当且仅学习好资料 欢迎下载(1)写出车距 d 关于车速 v 的函数关系式；(2)应规定怎样的车速，才能使大桥上每小时通过的车辆最多？解：(1)当 v60 km/h 时，d2.66l，k2.66l 12l602l2.166020.0006，d0.0024v22.(2)设每小时通过的车辆为 Q，则 Q1000vd4，即
19、Q1000v0.0024v2610000.0024v 6v.0.0024v 6v20.0024v 6v0.24，Q10000.24125003.当且仅当 0.0024v 6v，即 v50 时，Q取最大值125003.答：当 v50 km/h 时，大桥上每小时通过的车辆最多 2、设计一幅宣传画，要求画面面积为 48402cm，画面的宽与高的比为)10(，画面的上下各留 8cm的空白，左右各留 5cm空白，怎样确定画面的高于款的尺寸，使宣传画所用纸张面积最小？如果要求43,32，那么为何值时使宣传画所用纸张面积最小？归纳提升：1创设应用基本不等式的条件：(1)合理拆分项或配凑因式是常用的技巧，而拆
20、与凑的目的是使“和式”或“积式”为定值，且每项为正值；(2)在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤，而且也是检验转换是否有误的一种方法 2常用不等式：以下不等式在解题时使用更直接(1)a 1a2(a0，且 aR)，当且仅当 a1 时“”成立(2)baab2(a0，b0，a，bR)，当且仅当 ab 时“”成立 (3)使用重要不等式求最值时，若等号不成立，应改用单调性法一般地函数 yaxbx，当 a0，b0时函数在 ba，0)，(0,ba 上是减函数，在(，ba)，(ba，)上是增函数；当 a0，b0 时，可作如下变形：y(ax)(bx)来解决最值问题 值问题了解证明不等式的基本方法综合法二基本不等式基本不等式不等式成立的条件等号成立的条件三常用的几个重要不等式同号且不为零上述四个不等式等号成立的条件都是四算术平均数与几何平均数设则的算术平均数为几何平等号五利用基本不等式求最值设都是正数如果积是定值那么当时和有最小值如果和是定值那么当时积有最大值强调在使用和为常数积有最大值和积为常数和有最小值这两个结论时应把握三点一正二定三相等四最值当条件不完全具备等号成立的条件必须存在当利用基本不等式求最大小值等号取不到时如何理若最值取不到可考虑函数的单调性想一想错在哪里已知函数最小值和此时的取值求函数的解当且仅当即时函数取到最小值已知函数求函数的最小值解当且仅