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1、2023年高考数学模拟试卷注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5 分，共 60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.中国的国旗和国徽上都有五角星，正五角星与黄金分割有着密切的联系，在如图所示的正五角星中，以A、3、C、。、E 为顶点的多边形为正五边形，且 PT=五 二!A P,则 AT 避二!
2、E S=（）2 2C浮RDD.52 .一个正三棱柱的正（主）视图如图，则该正三棱柱的侧面积是（）C.8D.63,南宋数学家杨辉在 详解九章算法和 算法通变本末中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有高阶等差数列，其前7 项分别为1,4,8,14,23,36,5 4,则该数列的第19项为（）（a：12+22+32+，J +D（2 +D）6A.1624 B.1024 C.1198 D.15604.数列。满足：。+2+q=%+i，=1，%=2,S 为其前项
3、和，则邑019=（）A.0 B.1 C.3 D.45.若将函数/（x）=2sin（x+J l 的图象上各点横坐标缩短到原来的g（纵坐标不变）得到函数g（x）的图象，则下列说法正确的是（）A.函数g（x）在（0，高上单调递增 B.函数g（x）的周期是1C.函数g（x）的 图 象 关 于 点 性，oj对称 D.函数g（x）在 。史 上 最 大 值 是16.根据最小二乘法由一组样本点（x,y）（其中i =l,2,L ,3 0 0）,求得的回归方程是$=晟+&,则下列说法正确的是（）A.至少有一个样本点落在回归直线m=晟+。上B.若所有样本点都在回归直线$=晟+2上，则变量同的相关系数为1C.对所有的
4、解释变量巧（i =1,2,L ,3 0 0 ）,bxt+a的值一定与有误差D.若回归直线夕=/；x +4的斜率g0,则变量x与y正相关7.如图网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的所有棱中最长棱的长度为（）A.2 B.2 7 2 c.2G D.1x+y 08 1A.3 B.2 C.D.1 01 39.如图是正方体截去一个四棱锥后的得到的几何体的三视图，则该几何体的体积是（）它011 0.将函数y =s i n2 x的图像向左平移。(0)个单位得到函数皿2龙+的图像，则。的最小 值 为()A.-6c.普 欧1 1.若复数z满足以|=1,则|z (其中i为虚数单位)
5、的最大值为()A.1 B.2 C.3 D.41 2 .若函数f(x)=a k 4i(a o,a R)满足f(l)=3，则f(x)的单调递减区间是()A.(-c o,2 B.2,+oo)C.2,+oo)D.(0 0,2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共2 0分。1 3 .已知函数.f(x)=sin +?0)的一条切线(e =2.7 1 8 2 8 为自然对数的底数)，则实数h=.1 5.已知抛物线C:y 2=4 x的焦点为尸，过点尸且斜率为1的直线/交抛物线C于M,N两点，hJMF +N F,-2若线段MN的垂直平分线与x轴交点的横坐标为。，则方的值为.1 6.函数/(x)=a/与g(x)
6、=-x-1的图象上存在关于x轴的对称点，则实数”的 取 值 范 围 为.三、解答题：共7 0分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。1 7 .(1 2分)如 图，在直三棱柱A B C 中，A B =A C =y2 6 C =A4=2,。为8C的中点，点V在线段A4上，且。“平面(1)求证：A M =AM.(2)求 平 面 与 平 面。区4所成二面角的正弦值.1 8 .(1 2分)如图所示，直角梯形A B C D中，AD/BC,A D A B,A B =B C 2 A D =2,四边形E D C F为矩形,C F=5 平 面 皮)C EJ平面A B C D.E求证：D F 平面A B E；(
7、2)求平面ABE 与平面E F B 所成锐二面角的余弦值.在线段DF上是否存在点P,使得直线B P 与平面ABE 所成角的正弦值为Y3,若存在，求出线段BP的长，若不4存在，请说明理由.1 9.(1 2 分)已 知/(x)=|2 x +5|-x-g .(1)求 不 等 式 的 解 集；4 4(2)记/*)的最小值为?，且正实数凡匕满足-+-=。+.证明：a+b.2.a-m b b-m a2 0.(1 2 分)已 知“，h,c 分别是 ABC三个内角 A,B,。的对边，acosC+/3 csin A-h+c.(1)求 A;若 a =6，b+c-3,求 b,c.2 1.(1 2 分)已知函数/(x
8、)=a lnx+x(a w R).(1)讨论/(x)的单调性；(2)若对Vx e(O,+8),/(x)e a x 0 恒成立，求。的取值范围.2 2.(1 0 分)已 知 x,j,z 均为正数.(1)若 孙 4x j z；xyz 1 _(2)若 一1=一，求 2 小 贺.2 4 的最小值.x+y+z 3参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.A【解析】利用平面向量的概念、平面向量的加法、减法、数乘运算的几何意义，便可解决问题.【详解】解：A T-E S =SD-SR=RD=-Q R.2 2故选：A【点睛】本题以正五角星为
9、载体，考查平面向量的概念及运算法则等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，属于基础题.2.B【解析】根据正三棱柱的主视图，以及长度，可知该几何体的底面正三角形的边长，然后根据矩形的面积公式，可得结果.【详解】由题可知：该几何体的底面正三角形的边长为2所以该正三棱柱的三个侧面均为边长为2的正方形，所以该正三棱柱的侧面积为3x2x2=12故选：B【点睛】本题考查正三棱柱侧面积的计算以及三视图的认识，关键在于求得底面正三角形的边长，掌握一些常见的几何体的三视图，比如：三棱锥，圆锥，圆柱等，属基础题.3.B【解析】根据高阶等差数列的定义，求得等差数列%的通项公式和前项和，利用累加法求得数列
10、4 的通项公式，进而求得49,【详解】依题意a；1,4,8,14,23,36,5 4,.两两作差得bni 3,4,6,9,13,1 8,两两作差得c1,2,3,4,5,.设该数列为%,令b“=a”+设 也 的前项和为为，又令设 c,J的前几项和为C”.日 n2+几 中 日，-rr 4-7 2 ,八 n（n 1）rr 1 mi l易g=，C =-，进而得。=3 +C =3H-,所以/?=3H-=-+3,贝!I 2 2 2 2 2 二的+?（匕 1）+3,所以 川=1 +纥，所以9 =1 0 2 4.6故选：B【点睛】本小题主要考查新定义数列的理解和运用，考查累加法求数列的通项公式，考查化归与转化
11、的数学思想方法，属于中档题.4.D【解析】用 +1去换%+2 +an=an+中的“，得 +3 +”+1 =。+2 9 相加即可找到数列 4的周期，再利用S2 0 1 9=3 3 6 s 6 +at+a2+%计算.【详解】由已知，an+2+a =an+i,所 以 矶+%=限 ，+，得。“+3=一/，从而为+6=%，数列是以6为周期的周期数列，且前6项分别为1,2,1,-1,-2,-1,所以6=0,2 0 1 9=3 3 6（。+/+。6）+1+。2+。3=0+1+2+1=4.故选：D.【点睛】本题考查周期数列的应用，在求$2 0 1 9时，先算出一个周期的和即6,再将 2 0 1 9表示成3 3
12、 6 5 6+4+4+%即可，本题是一道中档题.5.A【解析】根据三角函数伸缩变换特点可得到g(x)解析式；利用整体对应的方式可判断出g(x)在 上 单 调 递 增，A正确;关于点(一专,-1)对称，C错误；根据正弦型函数最小正周期的求解可知B错误；根据正弦型函数在区间内值域的求解可判断出最大值无法取得，O错误.【详解】将“X)横坐标缩短到原来的;得：且()=2 4 2+?卜当向时，2x+-e ,-jsinx在 仁 马 上 单 调 递 增 .g(x)在(0总 上 单 调 递 增，A正确；g(x)的最小正周期为：7=乃.不是g(x)的周期，8错误；当.后时，2 x+0,g-=-112 o V.g
13、(x)关于点 q,-1对称，C错误；当J时,2 告 信 仁 .便 士(。，1)此时g(x)没有最大值，。错误.本题正确选项：A【点睛】本题考查正弦型函数的性质，涉及到三角函数的伸缩变换、正弦型函数周期性、单调性和对称性、正弦型函数在一段区间内的值域的求解；关键是能够灵活应用整体对应的方式，通过正弦函数的图象来判断出所求函数的性质.6.D【解析】对每一个选项逐一分析判断得解.【详解】回归直线必过样本数据中心点，但样本点可能全部不在回归直线上，故A错误；所有样本点都在回归直线 =上，则变量间的相关系数为 1,故B错误；若所有的样本点都在回归直线9=菽+后 上，则%+3的值与y,相等，故c错误；相关
14、系数r与B符号相同，若回归直线$=八+6的斜率8 0,则r 0,样本点分布应从左到右是上升的，则变量X与y正相关，故D正确.故选D.【点睛】本题主要考查线性回归方程的性质，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.7.C【解析】利用正方体将三视图还原，观察可得最长棱为4 0,算出长度.【详解】几何体的直观图如图所示，易得最长的棱长为A O =故选：C.【点睛】本题考查了三视图还原几何体的问题，其中利用正方体作衬托是关键，属于基础题.8.D【解析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义求解最大值即可.【详解】x+y2解：画出满足条件2 x-3 y 0如图点坐标分别为A（0,3）1（
15、3,l）,C（0,2）,目标函数f+尸 的几何意义为，可行域内点（x,y）与坐标原点（0,0）的距离的平方，由图可知B（3,-l）到原点的距离最大，故 任 +丁 =32+（1）2 =1 0.故选：D【点睛】本题考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，属于中档题.9.C【解析】根据三视图作出几何体的直观图，结合三视图的数据可求得几何体的体积.【详解】根据三视图还原几何体的直观图如下图所示：由图可知，该几何体是在棱长为1的正方体ABC。-A B C A中截去四棱锥4-ABC。所形成的几何体,I 2该几何体的体积为V=l3-x l2xl=-.3 3故选：C.【点睛】本题考查利用三视图计算几何体的
16、体积，考查空间想象能力与计算能力，属于基础题.1 0.B【解析】根据三角函数的平移求出函数的解析式，结合三角函数的性质进行求解即可.【详解】将函数y =s i n 2 x的图象向左平移（p（p 0）个单位，得至（y=sin 2（x+夕）=sin（2x+2（p）,T V此时与函数y =s i n（2 x +：）的图象重合，6贝!2（p=2k:i+,即 0=攵）+2，ZEZ,6 12T T二当=0时，。取得最小值为。=五，故选：B.【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数的平移关系求出解析式是解决本题的关键.1 1.B【解析】根据复数的几何意义可知复数z对应的点在以原点为圆心，1为半
17、径的圆上，再根据复数的几何意义即可确定即可得|z-i|的最大值.【详解】由|z|=l知，复数z对应的点在以原点为圆心，1为半径的圆上，|z-i|表示复数二对应的点与点（0,1）间的距离，又复数2对应的点所在圆的圆心到（0）的距离为1,所以2-必=1 +1 =2-故选：B【点睛】本题考查了复数模的定义及其几何意义应用，属于基础题.1 2.B【解析】由 f(l)=_ 得 a2=,F或a=3舍)，即f(x)=($=7.由于丫=小-4|在(-8,2 上单调递减,在2,+8)上单调递增,所以f(x)在(-8,2 上单调递增，在 2,+8)上单调递减,故选B.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共2 0
18、分。1 3.,A/2+1_ 4 _【解析】先根据零点个数求解出。的值，然后得到g(x)的解析式，采用换元法求解g(x)在 0,4上的值域即可.【详解】因 为/(幻=5也/+?)(0%)在 0,句上有两个零点，所以+?卜口4十 2 2)471，所以7 1 CD7 1+3 447 11所以一2z/1-2+f因为X 0,所以+，所以g s i n 犬+()1,行,所以Z w 1,0,所以 g(x)=f V2+=V2+1,g(元).=(一 =c -m a x I 2)4 v /m i n I 2 2 J 4 4所以 g(x)-；,0 +1 .故答案为：T加+1【点睛】本题考查三角函数图象与性质的综合，
19、其中涉及到换元法求解三角函数值域的问题，难度较难.对形如y =s i n x +c o s x +a s i n x c o s x的函数的值域求解，关键是采用换元法令s i n x+c o s x =f ,然后根据（s i n x+c o s x）2=l +2s i n x c o s x,将问题转化为关于f的函数的值域，同时要注意新元f的范围.14.-1【解析】根据切线的斜率为e,利用导数列方程，由此求得切点的坐标，进而求得切线方程，通过对比系数求得）的值.【详解】（=则X =所 以 切 点 为 故 切 线 为y +l =-即丁=-2,故。=一1.故答案为：一1【点睛】本小题主要考查利用导
20、数求解曲线的切线方程有关问题，属于基础题.15.1【解析】设M（3,y J,N（X 2，%），写出直线方程代入抛物线方程后应用韦达定理求得芯+，由抛物线定义得焦点弦长，求得b,再写出M N的垂直平分线方程，得。，从而可得结论.【详解】抛物线C：/=4 x的焦点坐标为（1,0）,直线/的方程为y=x-l,据得r-6犬+1 =0.设加（石,凹）,（,必），则 x,+x2=6,y +%=4,，b=-=（x,+1 +x2+1）=4.线段M/V垂直平分线方程为y-2=l x（x-3）,令y =0,则x =5,所以a =5,所以=故答案为：1.【点睛】本题考查抛物线的焦点弦问题，根据抛物线的定义表示出焦点
21、弦长是解题关键.16.a【解析】先求得与g(X)关于X轴对称的函数(幻=x+1,将问题转化为/(X)=a e 与(x)=x+1的图象有交点，即方程aex=x +l有解.对。分成a =0M 0三种情况进行分类讨论，由此求得实数a的取值范围.【详解】因为g(x)=-X-1关于X轴对称的函数为hx)=x+1,因为函数/(x)=a e与g(x)=-x-1的图象上存在关于%轴的对称点，所以x)=a e 与/z(x)=x+l的图象有交点，方程a e =X +l有解.a =0时符合题意.时转化为e =!(x+l)有解，即 =3 ,y =(x+l)的图象有交点，y =(x+l)是过定点(一 1,0)的直线，其
22、a a a斜率为工，若。0,设丫=。1y =(x +l)相aQa切时，切点的坐标为(九e”),则,加+1 a,解得。=1,切线斜率为，=1,由图可知，当,2 1,即0a W l时,y =e y =(x +1)的图象有交点，此时，/(x)=a e -x 2与 力。)=一/+8+1的图象有交点，函 数fx)=ae-x2a与g(x)=f x l的图象上存在关于X轴的对称点，综上可得，实数a的取值范围为a wl.故答案为：aF-=0,则 叱/平 面 45E.(U)由题意可得平面8所 的 法 向 量 机=(2后 百,4),结合(I)的结论可得|cos6|=前向=，即平面钻石与平面EFB所成锐二面角的余弦
23、值为之叵.31(HD 设。2二九力尸二卜4,2 4,6/1),e 0,l,则BP=(-2一 1,2 4-2,6/1),而平面ABE的法向量=(7 3,0,1),据此可得sin。=际 成，卜 会，解方程有2=(或 几=：.据此计算可得附|=2.试题解析：(I)取。为原点，D 4所在直线为x轴，O E所在直线为z轴建立空间直角坐标系，如图，则A(l,0,0),B(l,2,0),(0,0,73),尸(.BE=(1,2,AB=(0,2,0),设平面ABE的法向量=(x,y,z),.=0，不妨设=(6,0,1),又E=(1,2,6),:.D FF=SM=6,：DF L n，又；OF 二平面 ABE，二
24、OF/平面 ABE.(H)：BE=(-2,B b=(2,0,G),设平面3 F的法向量加=(x,y,z),x 2y+y/3z-0,/T/r d m-n 10 55/JT 不妨设：=(2。3,J3,4),/.COS61=I rj =-2x+V3z=0,2-V31 31J.平面ABE与平面EFB所成锐二面角的余弦值为豆豆.31(HD 设DP=/iO/?=4(l,2,6)=(-A,2A,V3A),/IG0,1,A P(-2,2 A,/l),:.BP=(-/l-1,2 Z-2,V3A),又 .平面 ABE的法向量，z =(百,0,1),sin0=|cosBP,/?|二I/3A 3+/3Z|6 1 ；=
25、丁，:.8A2-62+1 =0,，4=不或 4=二2山+1)2+(24-2)2+3%4 2 4当 =g时，B P=一|，一1，等，.明=2；当 丸=；时，B P=一 一|，),.阳=2.综上，|BP|=2.13 719.(1)一或 一7尸(2)见解析【解析】(1)根据/(x)=|2x+5|-，利用零点分段法解不等式，或作出函数f(x)的图像，利用函数的图像解不等式；4 4(2)由(1)作出的函数图像求出f(x)的最小值为 3,可知机=-3,代入-+-=+。中，然后给等式a-m b b-m a两边同乘以G+力，再将4。+4人写成(a+3b)+(3a+加 后，化简变形，再用均值不等式可证明.【详解
26、】(1)解法一：1。用，一：时，spx 解得不，2 2 25 1 9 7 12.x 一时，f().1,即 3x4.1 9 解得 x ；2 2 2 6 23x.时，即无+口.1,解得X.2 2 2综上可得，不 等 式 的 解 集 为 卜1%,或 .一(1.I o 5 I解法二：由/(x)=|2x+5|-x-=3工+/,-2 *,作出/(幻图象如下：由图象可得不等式/（%）.1的解集为1 x|-T 或%一（1 152 2(2)由/(x)=|2x+5|-1x-23 x 4 ,一21 151X H-,X.-,2 2一 x b(b+3a即-+-(a +3 8)+(b+3 a)=2+-+-.2+2J -=
27、(a +3。b+3a)b+3a a+3b b+3a)a+3b J4,（当 且 仅 当 型=网 即a 时取等号）b+ia a+3h故。+此2,得证.【点睛】此题考查了绝对值不等式的解法，绝对值不等式的性质和均值不等式的运用，考查了分类讨论思想和转化思想，属于中档题.T T20.(1)；(2)b=1,c =2或。=2,c =1.【解析】（1）利用正弦定理，转化原式为s i n A c o s C +6 s i n C s i n A =s i n B +s i n C，结合5 =-A-C,可得s i n(A-力=g,即得解；(2)由余弦定理a 2=0 2+c 2 3 c c o s A，结合题中数
28、据，可得解【详解】(1)由a c o s C +J c s i n A =b +c及正弦定理得s i n A c o s C +/3 s i n C s i n A =s i n B +s i n C.因为8 =万一 A-C,所以s i n 3 =s i n A c o s C +c o s A s i n。，代入上式并化简得V 3 s i n C s i n A =c o s A s i n C +s i n C .由于s i n C R 0,所以 s i n(A-?)=Q.jr又0A 2+C?-2Z?c c o s A即 3 =(Z?+c)2-2Z?c-b c =9-3 b c,所以b c
29、 =2.而匕+c =3,所以匕，c为一元二次方程d 3%+2=0的两根.所以/?=1,c =2或6 =2,c-1.【点睛】本题考查了正弦定理，余弦定理的综合应用，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.2 1.(1)当“0时，在(0,-。)上单调递减，在(a,物)上单调递增；当。20时，/在(0,+8)上单调递增；(2)0,+o o).【解析】(1)求出函数的定义域和导函数，ff(x)=,对。讨论，得导函数的正负，得原函数的单调性；(2)法一：由X/(x)-ev-a x x-ex,分别运用导函数得出函数s(x)=x-e，(尤 0),x)=x-I n x(x 0)的单调性，和其
30、函数的最值，可得r-ev,可得的范围；x-nx法二:由/(x)-e*-a x 0得 f(x)ax+ex,化为/(x)/(e、)令/z(x)=x-e (x0),研究函数的单调性，可得”的取值范围.【详解】(1)f(x)的定义域为(o,+8),r(x)=+i=山,X当。o得x -a,/(x)0得0 x 0恒 成 立,/(x)在(0,+8)上单调递增；(2)法一：由/(x)-e*-a x-e*,令s(x)=x-e*(x 0),则丁(x)=l e*0,二s(x)在(0,+8)上单调递减，/.5(X)s(0)=-1,5(X)0,即x-e*0),f (x)=1 =-,X X则x l J (x)0/(x)在
31、(1,内)上单调递增,0 x l,f(x)0,即 x-l n x 0,x-ev 小/.a -(*)x-nxY AX当a N O时，0,，(*)式恒成立，即,f(x)e-依 ()恒成立，满足题意x-l n x法二:由/(%)-e v-a x ()得/(x)a r+e”，.,.f(e)=a x +e ,，/(x)0),贝i j厅(x)=l e 0,，(x)在(0,+8)上单调递减，/.h(x)h(0)=-1,h(x)0,即 x e 当a N O时，由(I)知/(x)在(0,+8)上单调递增，./(*)/(1)恒成立，满足题意当“0时，令夕(无)=a l n尤-e,则=0),所以*(x)在(0,+s
32、)上单调递减，又 破l)=-e 0时，0(X)-K O,，mrG(),l),使得p(r)=(),.当/e(),r)时，。(入0)0(r)=(),g p a I n x0 eXa,又X0 叽，a I n x0+x0 e 0+cvc0,/(x0)-e 0-0,不满足题意，综上所述，。的取值范围是2,+8)【点睛】本题考查对于含参数的函数的单调性的讨论，不等式恒成立时，求解参数的范围，属于难度题.22.(1)证明见解析；(2)最小值为1【解析】(1)利用基本不等式可得|x+z|-|y+z|N 2 jE-2 2 j正=4 z 2 j石，再根据0孙1 时，即可证明|x+z卜ly+z|4 x y z.Xy
33、Z I|j(2)由-=-,得 一+=3,然后利用基本不等式即可得到盯+”+”2 3,从而求出2孙 加2皿的最x+y-i-z 3 y z x z x y小值.【详解】(1)证明：”，y,z均为正数,A|x+z|y+z=(x+z)(j+z)2/AZ-2yyz=4zy/xy,当且仅当x=y=z 时取等号.又 V 0 x j 4孙z,，|x+z卜 ly+z|4xjz；xyz 1 111c(2)-:-=,即-1-1-=3.x+y +z 3 yz xz xy:yz4-.2yyz =2,yz yzxz H-.2/xz,=2,xz xzi c I r cxy H-2 xy,=2,xy xy当且仅当x=y=z=l时取等号，111,xy+yz+xz H-1-1-.o,xy yz xz：.xy+yz+xz3,A 2-2，z-2xz=2x-，+，z+x l,：.2X -z-2m 的最小值为 1.【点睛】本题考查了利用综合法证明不等式和利用基本不等式求最值，考查了转化思想和运算能力，属中档题.