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1、化简求值:1 其中 a=5 已知,3,化简2m 4m2 m 1.m2 6m 9 二次根式培优 一、知识的拓广延伸 1、挖掘二次根式中的隐含条件 一般地，我们把形如,a(a 0)的式子叫做二次根式，其中a 0-a 0。根据二次根式的定义，我们知道：被开方数 a 的取值范围是a 0，由此我们判断下列式子有 意义的条件：_ _ _ 1/x 1(1 八 x 1 1 x;(2)、-2；2 V x(3)1T J 2；(4)-;(5)V3r(x 竺 x 1 Vx 2 (1)、根据二次根式的这个性质进行化简：数轴上表示数 a 的点在原点的左边，化简2a 若为 a,b,c 三角形的三边，贝 U(a b c)2
2、a b c -教科书中给出：一般地，根据算术平方根的意义可知：a a(a 0)，在此我们可将其拓展为:2、也2的化简 a(a 0)a(a 0)1 2 a 计算：J(4研&妬5)2 _ (2)、根据二次根式的定义和性质求字母的值或取值范围 若m J 2m m2 1,求 m 的取值范围 若 J(2 x)2 J(6 2x)2 4 x，则 x 的取值范围是 _ 若 a J2b 14 J7 b,求 J a2 2ab b2 的值；已知:y=,2x 5.5 2x 3,求 2xy 的值。.二次根式,a 的双重非负性质：被开方数a是非负数，即 a 0 二次根式,a 是非负数，即.a 0 例 1.要伸x 1 有意
3、义，则 x应满足().J2x 1 1 11 1 A.1 x 3 B.x 3 且 XM 丄 C.丄 vx v 3 D.-vx 3 2 2 2 2 例 2(1)化简打1 Jx=_.(2)若.E.C=(x+y)2,贝U x y 的值为()(A)1.(B)1.(C)2.(D)3.例 3(1)若 a、b 为实数，且满足丨 a 2|+一 b2=0,则 b a 的值为()A.2 B.0 C.2 D.以上都不是 已知 x,y 是实数，且(x y 1)2与 2x y 4 互为相反数，求实数yx的倒数 三，如何把根号外的式子移入根号内 我们在化简某些二次根式时，有时会用到将根号外的式子移入根号内的知识，这样式子的
4、 化简更为简单。在此我们要特别注意先根据二次根式的意义来判断根号外的式子的符号。如果 根号外的式子为非负值，可将其平方后移入根号内，与原被开方数相乘作为新的被开方数，根 号前的符号不会发生改变；如果根号外的式子为负值，那么要先将根号前的符号变号，再将其 其平方后移入根号内，与原被开方数相乘作为新的被开方数。(1)、根据上述法则，我们试着将下列各式根号外的式子移入根号内：根式的定义我们知道被开方数的取值范围是由此我们判断下列式子有意义的条件八竺也的化简教科书中给出一般地根据算术平方根的意义可知在此我们可将其拓展为根据二次根式的这个性质进行化简化简求值其中已知化简数轴上表的取值范围若则的取值范围是
5、若求的值已知求的值二次根式的双重非负性质被开方数是非负数即应满足二次根式是非负数即例要伸有意义则且丄丄例化简打若贝的值为例若为实数且满足丨一则的值为以上都不是已知是实数且与互为入根号内的知识这样式子的化简更为简单在此我们要特别注意先根据二次根式的意义来判断根号外的式子的符号如果根号外的式子为非负值可将其平方后移入根号内与原被开方数相乘作为新的被开方数根号前的符号不会发生改变如訂，(a Ja根式的定义我们知道被开方数的取值范围是由此我们判断下列式子有意义的条件八竺也的化简教科书中给出一般地根据算术平方根的意义可知在此我们可将其拓展为根据二次根式的这个性质进行化简化简求值其中已知化简数轴上表的取值
6、范围若则的取值范围是若求的值已知求的值二次根式的双重非负性质被开方数是非负数即应满足二次根式是非负数即例要伸有意义则且丄丄例化简打若贝的值为例若为实数且满足丨一则的值为以上都不是已知是实数且与互为入根号内的知识这样式子的化简更为简单在此我们要特别注意先根据二次根式的意义来判断根号外的式子的符号如果根号外的式子为非负值可将其平方后移入根号内与原被开方数相乘作为新的被开方数根号前的符号不会发生改变如(1)3、.5与、2 四，拓展性问题 1、整数部分与小数部分 要判断一个实数的整数部分与小数部分，应先判断已知实数的取值范围,再由“小数部分=原数一整数部分”来确定其小数部分。从而确定其整数部分,例：(
7、1)、已知76 1的整数部分为 a,小数部分为 b,试求 ab b2的值(2)若 x、y 分别为8 J1的整数部分与小数部分，求 2xyy2的值(3)已知的整数部分为 a，小数部分为 b，求 a2+b2的值 V5 1(4)a.17,b 是 a的小2、巧变已知，求多项式的值。(1)、若 x 芬=，求 x3 3x2 5x 1 的值。2 V5(2)、若 x y 苓=，y-z=苓=，求 x2+y2 z2 xy xz yz 的值。2 V3 2 V3(3)、若 m=丨，则 2011 用的值为 2012 1(2)、利用此方法可比较两个无理数的大小。根式的定义我们知道被开方数的取值范围是由此我们判断下列式子有
8、意义的条件八竺也的化简教科书中给出一般地根据算术平方根的意义可知在此我们可将其拓展为根据二次根式的这个性质进行化简化简求值其中已知化简数轴上表的取值范围若则的取值范围是若求的值已知求的值二次根式的双重非负性质被开方数是非负数即应满足二次根式是非负数即例要伸有意义则且丄丄例化简打若贝的值为例若为实数且满足丨一则的值为以上都不是已知是实数且与互为入根号内的知识这样式子的化简更为简单在此我们要特别注意先根据二次根式的意义来判断根号外的式子的符号如果根号外的式子为非负值可将其平方后移入根号内与原被开方数相乘作为新的被开方数根号前的符号不会发生改变如3、用归纳法化简求值根式的定义我们知道被开方数的取值范
9、围是由此我们判断下列式子有意义的条件八竺也的化简教科书中给出一般地根据算术平方根的意义可知在此我们可将其拓展为根据二次根式的这个性质进行化简化简求值其中已知化简数轴上表的取值范围若则的取值范围是若求的值已知求的值二次根式的双重非负性质被开方数是非负数即应满足二次根式是非负数即例要伸有意义则且丄丄例化简打若贝的值为例若为实数且满足丨一则的值为以上都不是已知是实数且与互为入根号内的知识这样式子的化简更为简单在此我们要特别注意先根据二次根式的意义来判断根号外的式子的符号如果根号外的式子为非负值可将其平方后移入根号内与原被开方数相乘作为新的被开方数根号前的符号不会发生改变如化简 10.9 9*10 +
10、-+.+2,1+、2 3、2+2 J3 4、3+3、4 五.其他 例 11.观察分析下列数据，寻找规律：0,.3，、:6,3,2、.3,那么第 10 个数据应是 _。例 12.（1）已知 n 是一个正整数，135n是整数，则 n 的最小值是（）A.3 B.5 C.15 D.25（2）.已知.12 n是正整数，则实数 n 的最大值为（）A.12 B.11 C.8 D.3 26.有这样一类题目：将.TTb 化简，如果你能找到两个数 m n,使m2 n2 a并且mn b,则将 a 2、b 变成 m2 n2 2mn m n2开方，从而使得一 a 2 b 化简。例如：化简.3 2 三 Q3 22 1 2
11、 2、2 12 迈2 2迈 1.2 2 3 2；2、1.厂 1.2 仿照上例化简下列各式：(6 分)(1)4 2/3 (2).5 2“6 （二）勾股定理提高题 一、选择题 1、直角三角形的斜边比一直角边长 2cm 另一直角边长为 6cm 则它的斜边长（）A、4 cm B、8 cm C、10 cm D 12 cm 2、如图小方格都是边长为 1 的正方形,则四边形 ABCD 勺面积是（）A、25 B、12.5 C、9 D、8.5 3、AABC 是某市在拆除违章建筑后的一块三角形空地.已知/C=90，AC=30 米,AB=50 米，如 果根式的定义我们知道被开方数的取值范围是由此我们判断下列式子有意
12、义的条件八竺也的化简教科书中给出一般地根据算术平方根的意义可知在此我们可将其拓展为根据二次根式的这个性质进行化简化简求值其中已知化简数轴上表的取值范围若则的取值范围是若求的值已知求的值二次根式的双重非负性质被开方数是非负数即应满足二次根式是非负数即例要伸有意义则且丄丄例化简打若贝的值为例若为实数且满足丨一则的值为以上都不是已知是实数且与互为入根号内的知识这样式子的化简更为简单在此我们要特别注意先根据二次根式的意义来判断根号外的式子的符号如果根号外的式子为非负值可将其平方后移入根号内与原被开方数相乘作为新的被开方数根号前的符号不会发生改变如要在这块空地上种植草皮，按每平方米草皮 a元计算，那么共
13、需要资金（根式的定义我们知道被开方数的取值范围是由此我们判断下列式子有意义的条件八竺也的化简教科书中给出一般地根据算术平方根的意义可知在此我们可将其拓展为根据二次根式的这个性质进行化简化简求值其中已知化简数轴上表的取值范围若则的取值范围是若求的值已知求的值二次根式的双重非负性质被开方数是非负数即应满足二次根式是非负数即例要伸有意义则且丄丄例化简打若贝的值为例若为实数且满足丨一则的值为以上都不是已知是实数且与互为入根号内的知识这样式子的化简更为简单在此我们要特别注意先根据二次根式的意义来判断根号外的式子的符号如果根号外的式子为非负值可将其平方后移入根号内与原被开方数相乘作为新的被开方数根号前的符
14、号不会发生改变如形若正方形 A、B、C、D 的边长分别是 3、5、2、3,则最大正方形 5、已知一个 Rt的两边长分别为 3 和 4,6、25 则第三边长的平方是(、7 或 25 等腰三角形的腰长为 10,底长为 12,则其底边上的高为(D、64 A 25 B、14 C、7、13 B、8 7、已知 x、y 为正数，且|x2-4|+(y2-3)2=0,如果以 x、那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为(y 的长为直角边作一个直角三角形,)B、25 C、7 D 15 A 50 a 元 B、600a 元 C、1200a 元 D、1500a 元 4、如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都
15、是正方形，所有的三角形都是直角三角 E 的面积是(8、A ABC 中,若 AB=15,AC=13 高 AD=12 则厶 ABC 的周长是(A.42 B.32 C.42 或 32 D.37 或 33 9、如图，长方体的长为 15,宽为 10,高为 20，点 B 离点 C 的距离为 5,上只蚂蚁如果要沿 着长方体的表面从点 A 爬到点 B,需要爬行的最短距离是()A 5 21 B、25 C、10.5+5 D、35 10、如图，AB 丄 CD 于 B,AABD 和厶 BCE 都是等腰直角三角形，如果 CD=17 BE=5 那么 AC 的长为().A 12 B、7 C、5 D、13 二、填空题 1、在
16、 Rt ABC 中,C=90,A,B,C 所对应的边分别是 a,b,c.(1)若 a=3cm,b=4cm则 c=_;(2)若 a=8cm,c=17cm则 b=_;(3)若 b=24cm,c=25cm,贝 U a=_;(4)若 a:b=3:4,c=10cm,贝 U a=,b=_ 2、在 Rt ABC 中,A=90，,a=13cm,b=5cm则第三边 c=.13 B、26 C、47 D、94 C 图 图 10 图 图 A 根式的定义我们知道被开方数的取值范围是由此我们判断下列式子有意义的条件八竺也的化简教科书中给出一般地根据算术平方根的意义可知在此我们可将其拓展为根据二次根式的这个性质进行化简化简
17、求值其中已知化简数轴上表的取值范围若则的取值范围是若求的值已知求的值二次根式的双重非负性质被开方数是非负数即应满足二次根式是非负数即例要伸有意义则且丄丄例化简打若贝的值为例若为实数且满足丨一则的值为以上都不是已知是实数且与互为入根号内的知识这样式子的化简更为简单在此我们要特别注意先根据二次根式的意义来判断根号外的式子的符号如果根号外的式子为非负值可将其平方后移入根号内与原被开方数相乘作为新的被开方数根号前的符号不会发生改变如3、已知直角三角形的两边长为 5,12，则第三边的长为 根式的定义我们知道被开方数的取值范围是由此我们判断下列式子有意义的条件八竺也的化简教科书中给出一般地根据算术平方根的
18、意义可知在此我们可将其拓展为根据二次根式的这个性质进行化简化简求值其中已知化简数轴上表的取值范围若则的取值范围是若求的值已知求的值二次根式的双重非负性质被开方数是非负数即应满足二次根式是非负数即例要伸有意义则且丄丄例化简打若贝的值为例若为实数且满足丨一则的值为以上都不是已知是实数且与互为入根号内的知识这样式子的化简更为简单在此我们要特别注意先根据二次根式的意义来判断根号外的式子的符号如果根号外的式子为非负值可将其平方后移入根号内与原被开方数相乘作为新的被开方数根号前的符号不会发生改变如4、在 RtABC 中，斜边 AB=2 则 AB+AC+BC=_.5、直角三角形的三边长为连续偶数，则其周长为
19、 6 直角三角形的两直角边分别为 5cm 12cm 其中斜边上的高为 cm.7、如果梯子的底端离建筑物 9m 那么 15m 长的梯子可以到达建筑的高度是 m.8、在 Rt ABC 中,Z C=90 ,BC：AC=3：4,AB=1Q 贝 U AC=_,BC=_.9、在 Rt ABC 中，C=90，周长为 60,斜边与一条直角边的比为 13:5，则这个三角形的斜 边长是.10、已知 ABC 中,AB=AC=10 BD 是 AC 边上的高，DC=2 贝 U BD=.11、在 ABC 中,AB=17 AC=10 BC边上的高 AD=8 则边 BC 的长为 12、直角三角形有一条直角边长为 11,另外两
20、边长是两个连续的正整数，那么它的周长 是 _._ 13、直角三角形有一条直角边长为 11,另外两边的长也是正整数，那么它的周长是.14、校园内有两棵树，相距 12 米，一棵树高 13 米，另一棵树高 8 米，一只小鸟从一棵树的顶 端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞 _ 米.15、已知直角三角形两边 x、y 的长满足丨 X2 4|+y25y6=0,则第三边长为.16、如图，直线 I过正方形 ABCD 勺顶点 B,点 A,C 到直线 I的距离分别是 1 和 2,则正方形 图 图 17、若正方形的面积为 18cm2，则正方形对角线长为 cm。18、如图，长方形 ABCDft 着直线 BD 折叠，使点
21、 C 落在 F 处，BF 交 AD 于点 E,AD=8,AB=4,则 DE 的长为.19、若三角形的三边满足a：b：c 5:12:13，则这个三角形中最大的角为 _;20、如图，已知在 Rt ABC 中，ACB Rt,AB 4，分别以 AC,BC 为直径作半圆，面 积分别记为S,S2，则 S|+S2的值等于 _.三、解答题 的边长是.A D B 根式的定义我们知道被开方数的取值范围是由此我们判断下列式子有意义的条件八竺也的化简教科书中给出一般地根据算术平方根的意义可知在此我们可将其拓展为根据二次根式的这个性质进行化简化简求值其中已知化简数轴上表的取值范围若则的取值范围是若求的值已知求的值二次根
22、式的双重非负性质被开方数是非负数即应满足二次根式是非负数即例要伸有意义则且丄丄例化简打若贝的值为例若为实数且满足丨一则的值为以上都不是已知是实数且与互为入根号内的知识这样式子的化简更为简单在此我们要特别注意先根据二次根式的意义来判断根号外的式子的符号如果根号外的式子为非负值可将其平方后移入根号内与原被开方数相乘作为新的被开方数根号前的符号不会发生改变如使点 D 与点 B 重合，那么折叠后 DE 的长是多少？1、如图，在 ABC 中/ACB=90,CD!AB 于 D,AO20,BO 15.求 BD 和 AD 的长.2、如图，一架 2.5 米长的梯子 AB 斜靠在一竖直的墙 AC 上，这时梯足 B
23、 到墙底端 C 的距离为 0.7 米，如果梯子的顶端沿墙下滑 0.4 米，那么梯足将向外移多少米？3、如图，矩形纸片 ABCD 勺长 AD=9cm 宽 AB=3cm 将其折叠,4、如图，小红用一张长方形纸片 ABCDS 行折纸，已知该纸片宽 AB 为 8cm?长 BC?为 10cm 当 小红折叠时，顶点 D 落在 BC 边上的点 F 处（折痕为 AE）.想一想，此时 EC 有多长？5、在 Rt ABC 中，C=90，AC=3.点 D 为 BC 边上一点，且 BD=AD,/ADC=60.求 ABCD C 根式的定义我们知道被开方数的取值范围是由此我们判断下列式子有意义的条件八竺也的化简教科书中给
24、出一般地根据算术平方根的意义可知在此我们可将其拓展为根据二次根式的这个性质进行化简化简求值其中已知化简数轴上表的取值范围若则的取值范围是若求的值已知求的值二次根式的双重非负性质被开方数是非负数即应满足二次根式是非负数即例要伸有意义则且丄丄例化简打若贝的值为例若为实数且满足丨一则的值为以上都不是已知是实数且与互为入根号内的知识这样式子的化简更为简单在此我们要特别注意先根据二次根式的意义来判断根号外的式子的符号如果根号外的式子为非负值可将其平方后移入根号内与原被开方数相乘作为新的被开方数根号前的符号不会发生改变如沿着长方体的表面从点 A 爬到点 M,需要爬行的 的周长。（结果保留根号）6 如图,长
25、方体的长 BE=15cm 宽 AB=10cm 高 AD=20cm 点 M 在 CH 上,且 CM=5cmr 只蚂蚁如果要 7、如图，在 ABC 中,AD 丄 BC 于点 D,E 是 AD 上任一点.求证：AB AC EB EC.A A C 根式的定义我们知道被开方数的取值范围是由此我们判断下列式子有意义的条件八竺也的化简教科书中给出一般地根据算术平方根的意义可知在此我们可将其拓展为根据二次根式的这个性质进行化简化简求值其中已知化简数轴上表的取值范围若则的取值范围是若求的值已知求的值二次根式的双重非负性质被开方数是非负数即应满足二次根式是非负数即例要伸有意义则且丄丄例化简打若贝的值为例若为实数且满足丨一则的值为以上都不是已知是实数且与互为入根号内的知识这样式子的化简更为简单在此我们要特别注意先根据二次根式的意义来判断根号外的式子的符号如果根号外的式子为非负值可将其平方后移入根号内与原被开方数相乘作为新的被开方数根号前的符号不会发生改变如