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1、初中精品资料 欢迎下载 二次根式培优习题训练 【知识要点】1.二次根式的定义：形如的式子叫二次根式，其中 叫被开方数，只有当是一个非负数时，才有意义 2.()()aaa20 3.公式aaa aa a200|()()与()()aaa20的区别与联系.（1）a2表示求一个数的平方的算术根，a的范围是一切实数（2）()a2表示一个数的算术平方根的平方，a的范围是非负数（3）a2和()a2的运算结果都是非负的 4、性质：（1）非负性：a a()0是一个非负数 注意：此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用到 （2）.()()aaa20注意：此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于，可以把任意一个非负数
2、或非负代数式写成完 全平方的形式：aaa()()20 （3）aaa aa a200|()()注意：（1）字母不一定是正数（2）能开得尽方的因式移到根号外时，必须用它的算术平方根代替 （3）可移到根号内的因式，必须是非负因式，如果因式的值是负的，应把负号留在根号外 5、（1）最简二次根式：被开方数是整数，因式是整式；被开方数中不含能开得尽方的数或因式；分母中不含根号（2）同类二次根式（可合并根式）：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式，即可以合并的两个根式。6、（1）分母有理化：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。（2）有理化因式：两个含有二次根式的
3、代数式相乘，如果它们 的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式。有 理化因式确定方法如下：单项二次根式：利用aaa来确定，如：aa与，abab与，ba 与ba 等分别互为有理化因式。两项二次根式：利用平方差公式来确定。如ab与ab，abab与，axb yaxb y与分别互为有理化因式。（3）分母有理化的方法与步骤：先将分子、分母化成最简二次根式；将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式；最后结果必须化成最简二次根式或有理式 7、二次根式的运算：（1）二次根式的乘法法则：两个因式的算术平方根的积，等于这两个因式积的算术平方根。反过来就是积的算术平方根的性质。abab（a0，
4、b0）（2）二次根式的除法法则：两个数的算术平方根的商，等 于这两个数的商的算术平方根。反过来就是商的算术平方根的性质。=（a0，b0）注意：乘、除法的运算法则要灵活运用，在实际运算中经常从 等式的右边变形至等式的左边，同时还要考虑字母的取值范围，最 后把运算结果化成最简二次根式（3）二次根式的加减法法则：需要先把二次根式化简，然后把 被开方数相同的二次根式（即同类二次根式）的系数相加减，被开 方数不变。注意：对于二次根式的加减，关键是合并同类二次根式，通 常是先化成最简二次根式，再把同类二次根式合并但在化简二次 根式时，二次根式的被开方数应不含分母，不含能开得尽的因数 8、混合运算：（1）确
5、定运算顺序；（2）灵活运用运算定律；（3）正确使用乘法公式；（4）大多数分母有理化要及时；（5）在有些简便运算中也许可以约分，不要盲目有理化；9、比较大小：（1）根式变形法：当0,0ab时，如果ab，则ab；如果ab，则ab。（2）平方法：当0,0ab时，如果22ab，则ab；如果22ab，则ab。（3）分母有 理化法：通过分母有理化，利用分子的大小来比较。（4）分子有 理化法：通过分子有理化，利用分母的大小来比较。（5）倒数法（6）媒介传递法 适当选择介于两个数之间的媒介值，利用传递 性进行比较。（7）作差比较法在对两数比较大小时，经常运用如 abab初中精品资料 欢迎下载 下性质：0aba
6、b ；0abab （8）求商比较 法它运用如下性质：当a0，b0时，则：1aabb；1aabb 【典例解析】一、概念 1、下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：2、33、1x、x（x0）、0、42、-2、1xy、xy（x0，y 0）2把二次根式xy（y0）化为最简二次根式结果是（）Axy（y0）Bxy（y0）Cxyy（y0）D以上都不对 3化简422xx y=_ （x0）4a21aa化简二次根式号后的结果是_ 5以下二次根式：12；22；23；27中，与3是同类二次根式的是（）A和 B和 C和 D和 6在8、1753a、293a、125、323aa、30.2、-218中，与3a是同类二次
7、根式的有 7.若最简二次根式22323m 与212410nm是同类二次根式，求 m、n 的值 8.2+3的有理化因式是_；x-y的有理化因式是_-1x-1x的有理化因式是_ 2.把下列各式的分母有理化（1）151；（2）112 3；（3）262；（4）3 34 23 34 2 二、二次根式有意义的条件：1（1）当 x是多少时，31x在实数范围内有意义？（2）当 x是多少时，23x+11x在实数范围内有意义？（3）当 x是多少时，23xx+x2在实数范围内有意义？（4）当_时，212xx 有意义。2.使式子2(5)x 有意义的未知数 x 有（）个 A0 B1 C2 D无数 3已知 y=2x+2x
8、+5，求xy的值 6要是下列式子有意义求字母的取值范围（1）(2)(3)(4)三、二次根式的非负数性 1若1a+1b=0，求 a2004+b2004的值 2.若2440 xyyy ，求xy的值。四、aaaa2 的应用 a0 3 x125x22xx 221xx 初中精品资料 欢迎下载 1先化简再求值：当9a时，求 a+21 2aa的值，甲乙两人 的解答如下：甲的解答为：原式=a+2(1)a=a+（1-a）=1；乙的 解答为：原式=a+2(1)a=a+（a-1）=2a-1=17 两种解答中，_ 的解答是错误的，错误的原因是_ 2.若-3 x2时，试化简x-2+2(3)x+21025xx。3化简 a
9、1a的结果是（）Aa Ba C-a D-a 五、求值问题:1.当 x=15+7,y=715,求 x2-xy+y2的值 2已知 a=3+22，b=3-22，则 a2b-ab2=_ 3.已知 a=3-1,求 a3+2a2-a的值 4先化简，再求值 （6xyx+33xyy）-（4xxy+36xy），其中 x=32，y=27 六、大小的比较 1.比较3 5与5 3的大小。（用两种方法解答）2.比较23 1与121的大小。3.比较76与65的大小。七、其他 1等式2111xxx 成立的条件是（）Ax1 Bx-1 C-1 x1 Dx1或 x-1 2.已知9966xxxx，且 x为偶数，求（1+x）22541xxx的值 A2 B3 C4 D1 3.如果,则 x的取值范围是 。4.设 a=23，b=32，c=25，则 a、b、c 的大小关系是 。5.若n243是一个整数，则整数 n 的最小值是 。6.已知111 的整数部分为 a，小数部分为 b，试求 111ba的值 八、计算 1.32nnmm（-331nmm）32nm（m0，n0）2.-3222332mna（232mna）2amn（a0）3.2211aaaa 4.2ababababab 2(2)2xx 初中精品资料 欢迎下载