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1、学习好资料 欢迎下载【教学过程】*揭示课题 7.2.3 平面向量的数乘运算*情境导入 有一同学从 O 点出发，向东行进，1 秒后到达 A 点，按照相同的走法，问 3 秒后人在哪里，用向量怎么表示？观察图 715 可以看出，向量OC与向量 a共线，并且 OC3a 图 7 15*引入新知 一般地，实数与向量 a的积是一个向量，记作a，它的模为|aa （73）若|a0，则当0 时，a 的方向与 a 的方向相同，当0 时，a 的方向与 a的方向相反当0 时，a=0。实数与向量的乘法运算叫做向量的数乘运算。由上面定义可以得到，对于非零向量 a、b，当0时，有 abab （74）容易验证，对于任意向量 a
2、,b及任意实数、，向量数乘运算满足如下的法则：111 aaaa，；2aaa；3aaa；abab 【做一做】请画出图形来，分别验证这些法则 向量加法及数乘运算在形式上与实数的有关运算规律相类似，因此，实数运算中的去括号、移项、合并同类项等变形，可直接应用于向量的运算中但是，要注意向量的运算与数a a a a O A B C 学习好资料 欢迎下载 的运算的意义是不同的*例题讲解 例 1 在平行四边形 ABCD 中，O 为两对角线交点如图 716，ABa，ADb，试用 a,b表示向量AO、OD 例2 计算：（1）（-3）4a（2）5（a+b）-2（a-b）（3）（a+4 b-3 c）-（2 a-3
3、b-5 c）*练习强化 1 计算：（1）3（a 2 b）2（2 ab）；（2）3 a 2（3 a 4 b）3（a b）2设 a,b不共线，求作有向线段OA，使OA12（ab）*揭示课题 7.4.1 平面向量的内积*情境导入 如图 721 所示，水平地面上有一辆车，某人用 100 N 的力，朝着与水平线成30角的方向拉小车，使小车前进了 100 m那么，这个人做了多少功？我们知道，这个人做功等于力与在力的方向上移动的距离的乘积如图 722 所示，设水平方向的单位向量为 i，垂直方向的单位向量为 j，则 F xi+y j cos30sin30FiFj，F s 图 721 30O 图 716 相同的
4、走法问秒后人在哪里用向量怎么表示观察图可以看出向量与向量共线并且图引入新知一般地实数与向量的积是一个向量记作它的模为若则当时的方向与的方向相同当时的方向与的方向相反当时实数与向量的乘法运算叫做向量法则做一做请画出图来分别验证这些法则向量加法及数乘运算在式上与实数的有关运算规律相类似因此实数运算中的去括号移项合并同类项等变可直接应用于向量的运算中但是要注意向量的运算与数学习好资料欢迎下载的运算的意向线段使揭示课题平面向量的内积情境导入图如图所示水平地面上有一辆车某人用的力朝着与水平线成角的方向拉小车使小车前进了那么这个人做了多少功我们知道这个人做功等于力与在力的方向上移动的距离的乘积如图所示设水
5、学习好资料 欢迎下载 即力 F 是水平方向的力与垂直方向的力的和，垂直方向上没有产生位移，没有做功，水平方向上产生的位移为 s，即 WFcos30 s10023 105003（J）*引入新知 力 F 与位移 s都是向量，而功 W 是一个数量，它等于由两个向量 F，s的模及它们的夹角的余弦的乘积，W 叫做向量 F 与向量 s的内积,它是一个数量，又叫做数量积 如图 723，设有两个非零向量 a,b，作OAa,OBb,由射线OA与OB 所形成的角叫做向量a与向量b的夹角，记作我们规定，0180 两个向量 a,b的模与它们的夹角的余弦之积叫做向量a与向量 b的内积，记作 ab,即 aba|b|cos
6、 (7.10)上面的问题中，人所做的功可以记作 WFs.由内积的定义可知 a00,0a0 由内积的定义可以得到下面几个重要结果：（1）当0 时，ab|a|b|；当180时，ab|a|b|.（2）cos|a ba b.（3）当 ba时，有0，所以 aa|a|a|a|2，即|a|a a.（4）当,90a b时，ab，因此，abcos900,ab因此对非零向量 a，b，有 ab0ab.可以验证，向量的内积满足下面的运算律：（1）abba（2）(a)b(ab)a(b)（3）(ab)cacbc 注意：一般地，向量的内积不满足结合律，即 a(bc)（ab）c.B A O 图 723 a b 相同的走法问秒
7、后人在哪里用向量怎么表示观察图可以看出向量与向量共线并且图引入新知一般地实数与向量的积是一个向量记作它的模为若则当时的方向与的方向相同当时的方向与的方向相反当时实数与向量的乘法运算叫做向量法则做一做请画出图来分别验证这些法则向量加法及数乘运算在式上与实数的有关运算规律相类似因此实数运算中的去括号移项合并同类项等变可直接应用于向量的运算中但是要注意向量的运算与数学习好资料欢迎下载的运算的意向线段使揭示课题平面向量的内积情境导入图如图所示水平地面上有一辆车某人用的力朝着与水平线成角的方向拉小车使小车前进了那么这个人做了多少功我们知道这个人做功等于力与在力的方向上移动的距离的乘积如图所示设水学习好资
8、料 欢迎下载*例题讲解 例 1 已知|a|3,|b|2,60,求 ab 例 2 已知|a|b|2,ab2,求 *练习强化 1.已知|a|7，|b|4，a和 b的夹角为60，求 ab 2.已知 aa9,求|a|3.已知|a|2,|b|3,30，求(2ab)b *归纳小结 向量的数乘运算得到的是什么向量？向量的内积运算得到的是什么？结论：向量的数乘运算得到的是平行向量，向量的模为|aa 向量的内积运算得到的是数量，aba|b|cos 相同的走法问秒后人在哪里用向量怎么表示观察图可以看出向量与向量共线并且图引入新知一般地实数与向量的积是一个向量记作它的模为若则当时的方向与的方向相同当时的方向与的方向相反当时实数与向量的乘法运算叫做向量法则做一做请画出图来分别验证这些法则向量加法及数乘运算在式上与实数的有关运算规律相类似因此实数运算中的去括号移项合并同类项等变可直接应用于向量的运算中但是要注意向量的运算与数学习好资料欢迎下载的运算的意向线段使揭示课题平面向量的内积情境导入图如图所示水平地面上有一辆车某人用的力朝着与水平线成角的方向拉小车使小车前进了那么这个人做了多少功我们知道这个人做功等于力与在力的方向上移动的距离的乘积如图所示设水