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1、课 题：平面向量的数量积及运算律（1）教学目的：1 掌握平面向量的数量积及其几何意义；2 掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；3 了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题；4 掌握向量垂直的条件 教学重点：平面向量的数量积定义 教学难点：平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用 授课类型：新授课 课时安排：1 课时 教 具：多媒体、实物投影仪 内容分析：本节学习的关键是启发学生理解平面向量数量积的定义，理解定义之后便可引导学生推导数量积的运算律，然后通过概念辨析题加深学生对于平面向量数量积的认识 主要知识点：平面向量数量积的定义及几何意义；平面向量数量积的 5
2、 个重要性质；平面向量数量积的运算律 教学过程：一、复习引入：1 向量共线定理 向量b与非零向量a共线的充要条件是：有且只有一个非零实数，使b=a 2平面向量基本定理：如果1e，2e是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数1，2使a=11e+22e 3平面向量的坐标表示 分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底任作一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y，使得yjxia 把),(yx叫做向量a的（直角）坐标，记作),(yxa 4平面向量的坐标运算 若),(11yxa，),(22yxb，则ba),(2121yyxx，ba),(2
3、121yyxx，),(yxa 若),(11yxA，),(22yxB，则1212,yyxxAB 5ab(b0)的充要条件是 x1y2-x2y1=0 6线段的定比分点及 P1,P2是直线 l上的两点，P 是 l上不同于 P1,P2的任一点，存在实数，使 PP1=2PP，叫 做 点P分21PP所 成 的 比，有 三 种 情 况：0(内分)(外分)0(-1)(外分)0 (-1 0)7 定比分点坐标公式：若点P(x1,y1)，(x2,y2)，为实数，且PP12PP，则点P的坐标为（1,12121yyxx），我们称为点P分21PP所成的比 8 点P的位置与的范围的关系：当时，PP1与2PP同向共线，这时称
4、点P为21PP的内分点 当(1)时，PP1与2PP反向共线，这时称点P为21PP的外分点 9 线段定比分点坐标公式的向量形式：在平面内任取一点O，设1OP，2OP，可得OP=baba1111 10力做的功：W=|F|s|cos ，是 F与 s的夹角 二、讲解新课：1两个非零向量夹角的概念 已知非零向量与，作OA，OB，则（）叫与的夹角 说明：（1）当时，与同向；（2）当时，与反向；（3）当2时，与垂直，记；（4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的范围 0 180 2平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量与，它们的夹角是，则数量|a|b|cos 叫与的数量积，记作 a b，即有
5、 a b=|a|b|cos ，（）并规定0与任何向量的数量积为 0 探究：两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由 cos 的符号所决定 C 运算律了解用平面向量的数量积可以处理有关长度角度和垂直的问题掌握向量垂直的条件教学重点平面向量的数量积定义教学难点平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用授课类型新授课课时安排课时教具多数量积的运算律然后通过概念辨析题加深学生对于平面向量数量积的认识主要知识点平面向量数量积的定义及几何意义平面向量数量积的个重要性质平面向量数量积的运算律教学过程一复习引入向量共线定理向量与非零向量共线的的任
6、一向量有且只有一对实数使平面向量的坐标表示分别取与轴轴方向相同的两个单位向量作为基底任作一个向量由平面向量基本定理知有且只有一对实数使把叫做向量的直角坐标记作平面向量的坐标运算若则若则的充要条件是线（2）两个向量的数量积称为内积，写成 a b；今后要学到两个向量的外积 ab，而 a b 是两个向量的数量的积，书写时要严格区分符号“”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“”代替（3）在实数中，若 a 0，且 a b=0，则 b=0；但是在数量积中，若 a 0，且 a b=0，不能推出b=0因为其中 cos 有可能为 0 （4）已知实数 a、b、c(b 0)，则 ab=bc a=c但是 a
7、b=b c a=c 如右图：a b=|a|b|cos =|b|OA|，b c=|b|c|cos =|b|OA|a b=b c 但 a c (5)在实数中，有(a b)c=a(b c)，但是(a b)c a(b c)显然，这是因为左端是与 c共线的向量，而右端是与 a 共线的向量，而一般 a 与 c不共线 3“投影”的概念：作图 定义：|b|cos 叫做向量 b 在 a 方向上的投影 投影也是一个数量，不是向量；当 为锐角时投影为正值；当 为钝角时投影为负值；当 为直角时投影为 0；当 =0 时投影为|b|；当 =180 时投影为|b|4向量的数量积的几何意义：数量积 a b 等于 a 的长度与
8、 b 在 a 方向上投影|b|cos 的乘积 5两个向量的数量积的性质：设 a、b 为两个非零向量，e是与 b 同向的单位向量 1 e a=a e=|a|cos 2 a b a b=0 3 当 a 与 b 同向时，a b=|a|b|；当 a 与 b 反向时，a b=|a|b|特别的 a a=|a|2或aaa|4 cos =|baba 5|a b|a|b|三、讲解范例：例 1 判断正误，并简要说明理由 00；0；0ABBA；若0，则对任一非零有；，则与中至少有一个为 0；对任意向量，都有（）（）；与是两个单位向量，则 解：上述 8 个命题中只有正确；对于：两个向量的数量积是一个实数，应有 0；对
9、于：应有0；对于：由数量积定义有cos，运算律了解用平面向量的数量积可以处理有关长度角度和垂直的问题掌握向量垂直的条件教学重点平面向量的数量积定义教学难点平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用授课类型新授课课时安排课时教具多数量积的运算律然后通过概念辨析题加深学生对于平面向量数量积的认识主要知识点平面向量数量积的定义及几何意义平面向量数量积的个重要性质平面向量数量积的运算律教学过程一复习引入向量共线定理向量与非零向量共线的的任一向量有且只有一对实数使平面向量的坐标表示分别取与轴轴方向相同的两个单位向量作为基底任作一个向量由平面向量基本定理知有且只有一对实数使把叫做向量的直角坐
10、标记作平面向量的坐标运算若则若则的充要条件是线这里是与的夹角，只有或时，才有；对于：若非零向量、垂直，有；对于：由可知可以都非零；对于：若与共线，记 则（）（）（），（）（）（）（）若与不共线，则()（）评述：这一类型题，要求学生确实把握好数量积的定义、性质、运算律 例 2 已知，当，与的夹角是 60时，分别求 解：当时，若与同向，则它们的夹角，cos0 36118；若与反向，则它们的夹角180，cos180 36（-1）18；当时，它们的夹角90，；当与的夹角是 60时，有 cos60 36219 评述：两个向量的数量积与它们的夹角有关，其范围是0，180，因此，当时，有 0或 180两种可
11、能 四、课堂练习：五、小结 通过本节学习，要求大家掌握平面向量的数量积的定义、重要性质、运算律，并能运用它们解决相关的问题 六、课后作业：七、板书设计（略）八、课后记及备用资料：1 概念辨析：正确理解向量夹角定义 对于两向量夹角的定义，两向量的夹角指从同一点出发的两个向量所构成的较小的非负角，因对向量夹角定义理解不清而造成解题错误是一些易见的错误，如：1 已知ABC中，求BCCA 对此题，有同学求解如下：解：如图，BC，CA，BCCABCCAcos58cos60 20 分析：上述解答，乍看正确，但事实上确实有错误，原因就在于没能正确理解向量夹角的定义，即上例中BC与CA两向量的起点并不同，因此
12、，并不是它们的夹角，而正确的夹角应当是C的补角 120 2 向量的数量积不满足结合律 分析：若有（）（），设、夹角为，、夹角为，则()运算律了解用平面向量的数量积可以处理有关长度角度和垂直的问题掌握向量垂直的条件教学重点平面向量的数量积定义教学难点平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用授课类型新授课课时安排课时教具多数量积的运算律然后通过概念辨析题加深学生对于平面向量数量积的认识主要知识点平面向量数量积的定义及几何意义平面向量数量积的个重要性质平面向量数量积的运算律教学过程一复习引入向量共线定理向量与非零向量共线的的任一向量有且只有一对实数使平面向量的坐标表示分别取与轴轴方向
13、相同的两个单位向量作为基底任作一个向量由平面向量基本定理知有且只有一对实数使把叫做向量的直角坐标记作平面向量的坐标运算若则若则的充要条件是线cos，()cos 若，则，进而有：（）()这是一种特殊情形，一般情况则不成立举反例如下：已知，2，与夹角是 60，与夹角是 45，则：()（cos60）21，()（cos45）而21，故（）（）运算律了解用平面向量的数量积可以处理有关长度角度和垂直的问题掌握向量垂直的条件教学重点平面向量的数量积定义教学难点平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用授课类型新授课课时安排课时教具多数量积的运算律然后通过概念辨析题加深学生对于平面向量数量积的认识主要知识点平面向量数量积的定义及几何意义平面向量数量积的个重要性质平面向量数量积的运算律教学过程一复习引入向量共线定理向量与非零向量共线的的任一向量有且只有一对实数使平面向量的坐标表示分别取与轴轴方向相同的两个单位向量作为基底任作一个向量由平面向量基本定理知有且只有一对实数使把叫做向量的直角坐标记作平面向量的坐标运算若则若则的充要条件是线