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1、第 5 课时 平面向量的坐标运算、平面向量共线的坐标表示 1.会用坐标表示平面向量的加减与数乘运算.2.根据向量坐标运算解决平面几何中的共线、平行问题.3.会根据向量的坐标,判断向量是否共线.在平面直角坐标系中,已知A(1,0)、B(2,3)、C(-1,2),以A、B、C为平行四边形的三个顶点作平行四边形,动手画图,探究第四个顶点的坐标.问题 1:设第四个顶点为D(x,y),(1)若AB、AC为平行四边形的邻边,则 =,因为 =(1,3),=(x+1,y-2),所以 -解得 所以第四个顶点D的坐标为 .(2)若BA、BC为平行四边形的邻边,同上可求得D的坐标为 .(3)若CA、CB为平行四边形
2、的邻边,同上可求得D的坐标为 .问题 2:平面向量线性运算的坐标如何表示?(1)加法的坐标表示:设a=(x1,y1),b=(x2,y2),那么a+b=(x1,y1)+(x2,y2)=(x1i+y1j)+(x2i+y2j)=(x1+x2)i+(y1+y2)j=.这就是说两个向量之和的坐标等于这两个向量对应的坐标之和.(2)向量减法的坐标表示:a-b=.(3)向量数乘的坐标表示:a=.问题 3:向量坐标与其起点、终点坐标有什么关系?如图,已知A(x1,y1),B(x2,y2),则 =-=(x2,y2)-(x1,y1)=.这就是说:一个向量的坐标等于该向量终点的坐标减去起点的坐标.问题 4:设a=(
3、x1,y1),b=(x2,y2),当且仅当 时,向量a,b(b 0)共线.通过建立直角坐标系,可以将平面内任一向量用一个有序实数对来表示;反过来,任一有序数对就表示一个向量.这就是说,一个平面向量就是一个有序实数对.向量的坐标表示法将向量的加法、减法、数乘运算都统一起来,使得向量运算代数化,将数与形紧密结合起来,这样许多几何问题的解决,就可以转化为我们熟知的数量运算.1.向量a=(x+3,x2-3x-4)与 相等,已知A(1,2)和B(8,2),则x的值为().A.-1 B.-1 或 4 C.4 D.1 或-4 2.若a=(2,3),b=(4,m-1),且ab,则m等于().A.5 B.6 C
4、.7 D.8 3.若A(x,-1),B(1,3),C(2,5)三点共线,则x的值为 .4.已知向量 =(4,3),=(-3,-1),点A(-1,-2).(1)求线段BD的中点M的坐标;(2)若点P(2,y)满足 =(R),求y与的值.解决平面几何中的共线平行问题会根据向量的坐标判断向量是否共线在平面直角坐标系中已知以为平行四边形的三个顶点作平行四边形动手画图探究第四个顶点的坐标问题设第四个顶点为若为平行四边形的邻边则因为所以解得所以平面向量线性运算的坐标如何表示加法的坐标表示设那么这就是说两个向量之和的坐标等于这两个向量对应的坐标之和向量减法的坐标表示向量数乘的坐标表示问题向量坐标与其起点终点
5、坐标有什么关系如图已知则这就是说一个向一向量用一个有序实数对来表示反过来任一有序数对就表示一个向量这就是说一个平面向量就是一个有序实数对向量的坐标表示法将向量的加法减法数乘运算都统一起来使得向量运算代数化将数与形紧密结合起来这样许多几何问题 平面向量的坐标运算 平面上三个点分别为A(2,-5),B(3,4),C(-1,-3),若D为向量 的中点,则向量 的坐标为 .平面向量共线的坐标运算 已知a=(1,2),b=(-3,2),当k为何值时,ka+b与a-3b平行?平行时它们是同向还是反向?平面向量共线的应用 已知四边形ABCD的顶点依次为A(0,-x),B(x2,3),C(x,3),D(3x,
6、x+4),若ABCD,求x的值.已知点A(-1,2),B(2,8)及 =,=-,求点C,D和 的坐标.已知向量 =(m,12),=(4,5),=(-m,10),且A、B、C三点共线,求m的值.已知梯形ABCD的四个顶点坐标分别为A(-1,1),B(m2,m-1),C(3,2),D(m2,m+2),试求m的值.解决平面几何中的共线平行问题会根据向量的坐标判断向量是否共线在平面直角坐标系中已知以为平行四边形的三个顶点作平行四边形动手画图探究第四个顶点的坐标问题设第四个顶点为若为平行四边形的邻边则因为所以解得所以平面向量线性运算的坐标如何表示加法的坐标表示设那么这就是说两个向量之和的坐标等于这两个向
7、量对应的坐标之和向量减法的坐标表示向量数乘的坐标表示问题向量坐标与其起点终点坐标有什么关系如图已知则这就是说一个向一向量用一个有序实数对来表示反过来任一有序数对就表示一个向量这就是说一个平面向量就是一个有序实数对向量的坐标表示法将向量的加法减法数乘运算都统一起来使得向量运算代数化将数与形紧密结合起来这样许多几何问题 1.若向量a=(x+3,x2-3x-4)与 相等,i是坐标系中与x轴正方向同向的单位向量.已知 =2i,则x的值为().A.-1 B.-1 或 4 C.4 D.1 或-4 2.已知点A(-1,5),向量a=(2,3),=3a,则点B的坐标为().A.(14,5)B.(5,14)C.
8、(6,9)D.(9,6)3.已知e1=(1,2),e2=(-2,3),a=(-1,2),试以e1,e2为基底,将a分解为1e1+2e2的形式为 .4.设向量a=(1,-3),b=(-2,4),c=(-1,-2),若表示向量4a,4b-2c,2(a-c),d的有向线段首尾相接能构成四边形,求向量d.(2013 年重庆卷)向量a,b,c在正方形网格中的位置如图所示,若c=a+b(,R),则 =.解决平面几何中的共线平行问题会根据向量的坐标判断向量是否共线在平面直角坐标系中已知以为平行四边形的三个顶点作平行四边形动手画图探究第四个顶点的坐标问题设第四个顶点为若为平行四边形的邻边则因为所以解得所以平面
9、向量线性运算的坐标如何表示加法的坐标表示设那么这就是说两个向量之和的坐标等于这两个向量对应的坐标之和向量减法的坐标表示向量数乘的坐标表示问题向量坐标与其起点终点坐标有什么关系如图已知则这就是说一个向一向量用一个有序实数对来表示反过来任一有序数对就表示一个向量这就是说一个平面向量就是一个有序实数对向量的坐标表示法将向量的加法减法数乘运算都统一起来使得向量运算代数化将数与形紧密结合起来这样许多几何问题第 5 课时 平面向量的坐标运算、平面向量共线的坐标表示 知识体系梳理 问题 1:(1)(0,5).(2)(-2,-1).(3)(4,1).问题 2:(1)(x1+x2,y1+y2)(2)(x1-x2
10、,y1-y2).(3)(x1,y1).问题 3:(x2-x1,y2-y1).问题 4:x1y2-x2y1=0 基础学习交流 1【解析】由a=,得(x+3,x2-3x-4)=(8-1,2-2)=(7,0),所以 -解得x=4.【答案】C 2.【解析】因为ab,所以 2(m-1)-43=0,解得m=7,选 C.【答案】C 3.【解析】由已知得 =(x-1,-4),=(1,2),又A,B,C三点共线,所以 ,所以(x-1)2-1(-4)=0,解得x=-1.【答案】-1 4.【解析】(1)设B(m,n).A(-1,-2),=(m+1,n+2)=(4,3),即B(3,1).同理可得D(-4,-3).解决
11、平面几何中的共线平行问题会根据向量的坐标判断向量是否共线在平面直角坐标系中已知以为平行四边形的三个顶点作平行四边形动手画图探究第四个顶点的坐标问题设第四个顶点为若为平行四边形的邻边则因为所以解得所以平面向量线性运算的坐标如何表示加法的坐标表示设那么这就是说两个向量之和的坐标等于这两个向量对应的坐标之和向量减法的坐标表示向量数乘的坐标表示问题向量坐标与其起点终点坐标有什么关系如图已知则这就是说一个向一向量用一个有序实数对来表示反过来任一有序数对就表示一个向量这就是说一个平面向量就是一个有序实数对向量的坐标表示法将向量的加法减法数乘运算都统一起来使得向量运算代数化将数与形紧密结合起来这样许多几何问
12、题线段BD的中点M的坐标为(-,-),即M(-,-1).(2)=(1,1-y),=(-7,-4),由 =得(1,1-y)=(-7,-4),-解得y=,=-.重点难点探究 探究一:【方法指导】可由中点坐标公式求出点D的坐标,然后利用A,D两点的坐标求出 的坐标.【解析】因为D为向量 的中点,由中点坐标公式x=,y=可以求得D(1,),所以再由向量的坐标公式得 =(2,-5)-(1,)=(1,-).【答案】(1,-)【小结】向量 的坐标等于点A的坐标减去点D的坐标,在解题时要特别注意这个法则.探究二:【方法指导】本题可有两种方法:可利用向量共线的坐标表示来求,也可用向量共线定理来解.【解析】(法一
13、)ka+b=k(1,2)+(-3,2)=(k-3,2k+2),a-3b=(1,2)-3(-3,2)=(10,-4).(ka+b)(a-3b),(k-3)(-4)-10(2k+2)=0,解得k=-.此时ka+b=(-3,-+2)=(-,)=-(10,-4)=-(a-3b).k=-,且此时ka+b与a-3b平行,并且反向.(法二)由法一知ka+b=(k-3,2k+2),a-3b=(10,-4),解决平面几何中的共线平行问题会根据向量的坐标判断向量是否共线在平面直角坐标系中已知以为平行四边形的三个顶点作平行四边形动手画图探究第四个顶点的坐标问题设第四个顶点为若为平行四边形的邻边则因为所以解得所以平面
14、向量线性运算的坐标如何表示加法的坐标表示设那么这就是说两个向量之和的坐标等于这两个向量对应的坐标之和向量减法的坐标表示向量数乘的坐标表示问题向量坐标与其起点终点坐标有什么关系如图已知则这就是说一个向一向量用一个有序实数对来表示反过来任一有序数对就表示一个向量这就是说一个平面向量就是一个有序实数对向量的坐标表示法将向量的加法减法数乘运算都统一起来使得向量运算代数化将数与形紧密结合起来这样许多几何问题当ka+b与a-3b平行时,存在唯一实数,使ka+b=(a-3b),由(k-3,2k+2)=(10,-4),-解得 -当k=-时,ka+b与a-3b平行,这时ka+b=-(a-3b).=-0,它们的方
15、向相反.k=-,此时ka+b与a-3b平行,并且反向.【小结】(1)利用向量坐标关系解决两个向量平行问题时要正确使用“x1y2-x2y1=0”这一结论.(2)方程思想是一种重要的数学思想和方法,在解决数学问题时,点共线问题常常转化为有公共点的向量共线问题来解决.探究三:【方法指导】因ABCD,因此 且AB,CD不重合,据此可得到它们之间的坐标关系,从而得到x的值.【解析】ABCD,又 =(x2,x+3),=(2x,x+1),x2(x+1)-2x(x+3)=0,解得x=-2 或x=0 或x=3.问题上述解法正确吗?结论不正确,错误一:没有注意四边形ABCD顶点的顺序,需满足 ,反向才行;错误二:
16、没有注意向量的平行与线段平行的不同,时,AB与CD可能平行也可能重合.解决平面几何中的共线平行问题会根据向量的坐标判断向量是否共线在平面直角坐标系中已知以为平行四边形的三个顶点作平行四边形动手画图探究第四个顶点的坐标问题设第四个顶点为若为平行四边形的邻边则因为所以解得所以平面向量线性运算的坐标如何表示加法的坐标表示设那么这就是说两个向量之和的坐标等于这两个向量对应的坐标之和向量减法的坐标表示向量数乘的坐标表示问题向量坐标与其起点终点坐标有什么关系如图已知则这就是说一个向一向量用一个有序实数对来表示反过来任一有序数对就表示一个向量这就是说一个平面向量就是一个有序实数对向量的坐标表示法将向量的加法
17、减法数乘运算都统一起来使得向量运算代数化将数与形紧密结合起来这样许多几何问题于是正确的解答为:=(x2,x+3),=(2x,x+1),因为在四边形ABCD中,ABCD,与 平行且反向.于是 -且 解得x=-2.经检验,x=-2 满足题意.【小结】两个向量平行包括它们对应的有向线段可以不共线,也可以共线,但在含有几何背景的向量平行中就要排除共线的情况,如本题中要保证ABCD是四边形就要注意向量 ,不能在一条直线上且反向平行.思维拓展应用：应用一：【解析】设C(x1,y1),D(x2,y2),由题意可得 =(x1+1,y1-2),=(3,6),=(-1-x2,2-y2),=(-3,-6).=,=-
18、,(x1+1,y1-2)=(3,6)=(1,2),(-1-x2,2-y2)=-(-3,-6)=(1,2),则有 -和-解得 和 -C,D的坐标分别为(0,4),(-2,0),因此 =(-2,-4).应用二：【解析】由A、B、C三点共线,得 与 共线,即 .解决平面几何中的共线平行问题会根据向量的坐标判断向量是否共线在平面直角坐标系中已知以为平行四边形的三个顶点作平行四边形动手画图探究第四个顶点的坐标问题设第四个顶点为若为平行四边形的邻边则因为所以解得所以平面向量线性运算的坐标如何表示加法的坐标表示设那么这就是说两个向量之和的坐标等于这两个向量对应的坐标之和向量减法的坐标表示向量数乘的坐标表示问
19、题向量坐标与其起点终点坐标有什么关系如图已知则这就是说一个向一向量用一个有序实数对来表示反过来任一有序数对就表示一个向量这就是说一个平面向量就是一个有序实数对向量的坐标表示法将向量的加法减法数乘运算都统一起来使得向量运算代数化将数与形紧密结合起来这样许多几何问题又 =-=(m-4,7),=-=(-m-4,5),由 可得(m-4)5-7(-m-4)=0.即 12m+8=0,m=-.应用三：【解析】=(m2+1,m-2),=(3-m2,3-m),=(3-m2,-m),=(m2+1,m+1).(1)若梯形ABCD的上、下底边为AB、CD,则 、同向且 ,由 得-m(m2+1)=(m-2)(3-m2)
20、,解得m=1 或-3.当m=1 时,=(2,-1),=(2,-1),=,不符合.当m=-3 时,=(10,-5),=(-6,3),=-,所以 、反向,不符合.(2)若梯形ABCD的上、下底边为BC、AD,则 、同向且 ,由 得(3-m2)(m+1)=(m2+1)(3-m),解得m=0 或 1.当m=1 时,由(1)知不符合.当m=0 时,=(3,3),=(1,1),=3 ,符合.综上m=0.基础智能检测 1.【解析】=a,则由向量相等的概念知 -解之得x=-1.【答案】A 2.【解析】a=(2,3),而 =3a,=3(2,3)=(6,9).设B(x,y),则 =(x+1,y-5)=(6,9),
21、则x=5,y=14,B(5,14).【答案】B 3.【解析】设a=1e1+2e2(1,2 R),则(-1,2)=1(1,2)+2(-2,3)=(1-22,21+32),解决平面几何中的共线平行问题会根据向量的坐标判断向量是否共线在平面直角坐标系中已知以为平行四边形的三个顶点作平行四边形动手画图探究第四个顶点的坐标问题设第四个顶点为若为平行四边形的邻边则因为所以解得所以平面向量线性运算的坐标如何表示加法的坐标表示设那么这就是说两个向量之和的坐标等于这两个向量对应的坐标之和向量减法的坐标表示向量数乘的坐标表示问题向量坐标与其起点终点坐标有什么关系如图已知则这就是说一个向一向量用一个有序实数对来表示
22、反过来任一有序数对就表示一个向量这就是说一个平面向量就是一个有序实数对向量的坐标表示法将向量的加法减法数乘运算都统一起来使得向量运算代数化将数与形紧密结合起来这样许多几何问题-解得 a=e1+e2.【答案】a=e1+e2 4.【解析】设d=(x,y),因为 4a=(4,-12),4b-2c=(-6,20),2(a-c)=(4,-2),依题意,有 4a+(4b-2c)+2(a-c)+d=0,即(2+x,6+y)=(0,0),解得x=-2,y=-6.所以d=(-2,-6).全新视觉拓展：【解析】以向量a和b的交点为原点,水平方向和竖直方向分别为x轴和y轴建立直角坐标系,则a=(-1,1),b=(6
23、,2),c=(-1,-3),则-解得 -所以 =4.【答案】4 解决平面几何中的共线平行问题会根据向量的坐标判断向量是否共线在平面直角坐标系中已知以为平行四边形的三个顶点作平行四边形动手画图探究第四个顶点的坐标问题设第四个顶点为若为平行四边形的邻边则因为所以解得所以平面向量线性运算的坐标如何表示加法的坐标表示设那么这就是说两个向量之和的坐标等于这两个向量对应的坐标之和向量减法的坐标表示向量数乘的坐标表示问题向量坐标与其起点终点坐标有什么关系如图已知则这就是说一个向一向量用一个有序实数对来表示反过来任一有序数对就表示一个向量这就是说一个平面向量就是一个有序实数对向量的坐标表示法将向量的加法减法数乘运算都统一起来使得向量运算代数化将数与形紧密结合起来这样许多几何问题