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1、向量的加法【学习目标】1.理解并掌握向量加法的概念，了解向量加法的儿何意义及其运算律。2.掌握向量加法运算法则，能熟练地进行加法运算。3.数的加法与向量的加法的联系与区别。【学习重难点】1.向量加法的概念。2.向量加法的运算法则。3.数与向量的类比。【学习过程】预习教材P137-P141的内容，思考以下问题:1.两个向量相加就是两个向量的模相加吗？2.向量的加法如何定义?3.在求两向量和的运算时，通常使用哪两个法则？【新知初探】1.向量加法的三角形法则 一般地，平面上任意给定两个向量“，b,在该平面内任取一点刃，作.看=a,BC=b,作出向量衣，则向量疋称为向量o与6的至1（也称疋为向量“与b
2、 的和向量），向量“与b的和向量记作吐0因此齐+说=疋。这种求两向量和的作图方法也常称为向量加法的三角形法则。对任意向it“，Yf fl+o o+a=/.向量，b的模与a-b的模之间满足不等式|a|0|W|a+b|W|o|+|b|。2.向量加法的平行四边形法则 一般地，平面上任意给定两个不共线的向量宀b,在该平面内任取一点 作厉=“，-I&=0,以AB,AC为邻边作一个平行四边形ABDC,作岀向量爼）,因为施=-花，因jtAb=AB+BD=AB+AC.问题这种求两向量和的作图方法也常称为向量加法的平行四边形法则。山向量加法的平行四边形法则不难看出，向量的加法运算满足交换律，即对 于任意的向nt
3、 a、b,都冇“+Q=Z+/.3.多个向量相加 结合律：(“+b)+c=a+(b+c)。因为向量的加法满足交换律和结合律，所以有限个向量相加的结果是唯一的,我们可以任意调换其中向量的位置，也可以任意决定相加的顺序。例如(”+b)+(c+)=“+(b+c)+切=(+c)+“+B.【自我检测】1.判断正误(正确的打J”，错误的打“X”)(1)“+(Z+c)(a+b)+C.()(2)AB+BA=O.()(3)求任意两个非零向量的和都可以用平行四边形法则。()2.CB+AD+BA于()A.DB B.04 C.CD D.DC 3.边长为1的正方形ABCD中，ABBC=()A.2 B.2 C.1 D.2y
4、2 4._ 如图，在平行四边形45CD中，R1+DC=_ B C 解析:lli行四边形法则可知D：4+DC=DB.练地进行加法运算数的加法与向量的加法的联系与区别学习重难点向量加法的概念向量加法的运算法则数与向量的类比学习过程预习教材的内容思考以下问题问题两个向量相加就是两个向量的模相加吗向量的加法如何定义在求两向取一点刃作看作出向量衣则向量疋称为向量与的至也称疋为向量与的和向量向量与的和向量记作吐因此齐说疋这种求两向量和的作图方法也常称为向量加法的三角形法则对任意向向量的模与的模之间满足不等向量加法的平行四边形因为施花因这种求两向量和的作图方法也常称为向量加法的平行四边形法则山向量加法的平行
5、四边形法则不难看出向量的加法运算满足交换律即对于任意的向都冇多个向量相加结合律因为向量的加法满足交换律和结合律所以有限个探究点一：向量加法运算法则的应用 1.(1)如图，在曲C中，D,E分别是曲，2C上的点，F为线段DE延 长线上一点，DE/BC.AB/CF,连接CD那么(在横线上只填上一个向量)：练地进行加法运算数的加法与向量的加法的联系与区别学习重难点向量加法的概念向量加法的运算法则数与向量的类比学习过程预习教材的内容思考以下问题问题两个向量相加就是两个向量的模相加吗向量的加法如何定义在求两向取一点刃作看作出向量衣则向量疋称为向量与的至也称疋为向量与的和向量向量与的和向量记作吐因此齐说疋这
6、种求两向量和的作图方法也常称为向量加法的三角形法则对任意向向量的模与的模之间满足不等向量加法的平行四边形因为施花因这种求两向量和的作图方法也常称为向量加法的平行四边形法则山向量加法的平行四边形法则不难看出向量的加法运算满足交换律即对于任意的向都冇多个向量相加结合律因为向量的加法满足交换律和结合律所以有限个B C 鮎+屈=AD+FC=AD+BC+FC=(2)如图屮所示，求作向量和a+B.如图乙所示，求作向量和“+6+C.a b 甲 互动探究 1.变问法在例1(1)条件下，求CB+CFO 解：因为BC/DF,BD/CF,所以四边形BCFD是平行四边形，所以场+CF=CD.2.变问法在例1(1)图形
7、中求作向量鬲+万片+占。解：过/作AG/DF,且AG=DF交CF的延长线于点G,则ai+DF=DG.作鬲=彷，连接万行，规律方法(1)三角形法则可以推广到”个向量求和，作图时要求“首尾相连”，即 个首尾相连的向量的和对应的向量是第一个向量的起点指向第个向量的终点 的向量。练地进行加法运算数的加法与向量的加法的联系与区别学习重难点向量加法的概念向量加法的运算法则数与向量的类比学习过程预习教材的内容思考以下问题问题两个向量相加就是两个向量的模相加吗向量的加法如何定义在求两向取一点刃作看作出向量衣则向量疋称为向量与的至也称疋为向量与的和向量向量与的和向量记作吐因此齐说疋这种求两向量和的作图方法也常称
8、为向量加法的三角形法则对任意向向量的模与的模之间满足不等向量加法的平行四边形因为施花因这种求两向量和的作图方法也常称为向量加法的平行四边形法则山向量加法的平行四边形法则不难看出向量的加法运算满足交换律即对于任意的向都冇多个向量相加结合律因为向量的加法满足交换律和结合律所以有限个(2)平行四边形法则只适用于不共线的向量求和，作图时要求两个向量的 起点重合。(3)求作三个或三个以上的向量的和时，用三角形法则更简单。1.如图，在正六边形dSCDEF中，O是其中心。练地进行加法运算数的加法与向量的加法的联系与区别学习重难点向量加法的概念向量加法的运算法则数与向量的类比学习过程预习教材的内容思考以下问题
9、问题两个向量相加就是两个向量的模相加吗向量的加法如何定义在求两向取一点刃作看作出向量衣则向量疋称为向量与的至也称疋为向量与的和向量向量与的和向量记作吐因此齐说疋这种求两向量和的作图方法也常称为向量加法的三角形法则对任意向向量的模与的模之间满足不等向量加法的平行四边形因为施花因这种求两向量和的作图方法也常称为向量加法的平行四边形法则山向量加法的平行四边形法则不难看出向量的加法运算满足交换律即对于任意的向都冇多个向量相加结合律因为向量的加法满足交换律和结合律所以有限个u 则（1）AB+CD=_；（2）_ AB+AF+BC=；（3）_ OC+dD+EF=o 探究点二：向量加法运算律的应用 2.（1）
10、设“=（AB+CD）+（说+负），是一个非零向量，则下列结论 正确的有 _。（将正确结论的序号填在横线上）“b：a+b=a；a+b=b：0+b|V|”|+|b|。（2）如图，E,F,G,H分别是梯形ABCD的边28,BC,CD,D4的中 厉+西+西；EG+CG+ai+EB.规律方法 向量加法运算律的意义和应用原则（1）意义 向量加法的运算律为向量加法提供了变形的依据，实现恰当利用向量加法法 则运算的LI的。实际上，山于向量的加法满足交换律和结合律，故多个向量的加 法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行。（2）应用原则 利用代数方法通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相连”，通过向量加 法的
11、结合律调整向量相加的顺序。1.已知正方形43CD的边长等于1,则AB+AD+BC+DC=_ o 解析：AB+AbBCrDC=（-正+说）+（-巫+说）=AC+AC=2AC|=2 迈。答案：22 探究点三：向量加法的实际应用 练地进行加法运算数的加法与向量的加法的联系与区别学习重难点向量加法的概念向量加法的运算法则数与向量的类比学习过程预习教材的内容思考以下问题问题两个向量相加就是两个向量的模相加吗向量的加法如何定义在求两向取一点刃作看作出向量衣则向量疋称为向量与的至也称疋为向量与的和向量向量与的和向量记作吐因此齐说疋这种求两向量和的作图方法也常称为向量加法的三角形法则对任意向向量的模与的模之间
12、满足不等向量加法的平行四边形因为施花因这种求两向量和的作图方法也常称为向量加法的平行四边形法则山向量加法的平行四边形法则不难看出向量的加法运算满足交换律即对于任意的向都冇多个向量相加结合律因为向量的加法满足交换律和结合律所以有限个3如图，用两根绳子把重ION的物体W吊在水平杆子AB,ZACW=规律方法 利用向量的加法解决实际应用题的三个步骤 4.如图所示，一架飞机从/地按北偏东35的方向飞行800km到达E地 接到受伤人员，然后乂从3地按南偏东55。的方向飞行800kin送往C地医院,求这架飞机飞行的路程及两次位移的和。【达标反馈】1.化简AE+EB+BC于（）A-AB E.CE C.AC D
13、.BE 2.对于任意一个四边形九8CQ,下列式子不能化简为说的是（）A.BA+AD+DC B.BD+S4+AC C.AB+BD+DC D.DC+BA+AD 3._ 在菱练地进行加法运算数的加法与向量的加法的联系与区别学习重难点向量加法的概念向量加法的运算法则数与向量的类比学习过程预习教材的内容思考以下问题问题两个向量相加就是两个向量的模相加吗向量的加法如何定义在求两向取一点刃作看作出向量衣则向量疋称为向量与的至也称疋为向量与的和向量向量与的和向量记作吐因此齐说疋这种求两向量和的作图方法也常称为向量加法的三角形法则对任意向向量的模与的模之间满足不等向量加法的平行四边形因为施花因这种求两向量和的作
14、图方法也常称为向量加法的平行四边形法则山向量加法的平行四边形法则不难看出向量的加法运算满足交换律即对于任意的向都冇多个向量相加结合律因为向量的加法满足交换律和结合律所以有限个形 ABCD 中，ZDAB=60,AB=1,则BC+CD=_ 答案：1 4.若“表示“向东走8km”，b表示向北走8km”,则|卄创=a_b的方向是 _ o练地进行加法运算数的加法与向量的加法的联系与区别学习重难点向量加法的概念向量加法的运算法则数与向量的类比学习过程预习教材的内容思考以下问题问题两个向量相加就是两个向量的模相加吗向量的加法如何定义在求两向取一点刃作看作出向量衣则向量疋称为向量与的至也称疋为向量与的和向量向
15、量与的和向量记作吐因此齐说疋这种求两向量和的作图方法也常称为向量加法的三角形法则对任意向向量的模与的模之间满足不等向量加法的平行四边形因为施花因这种求两向量和的作图方法也常称为向量加法的平行四边形法则山向量加法的平行四边形法则不难看出向量的加法运算满足交换律即对于任意的向都冇多个向量相加结合律因为向量的加法满足交换律和结合律所以有限个【参考答案】【自我检测】1.答案：(1)J(2)J(3)X 2.解析：选 C.CB+AD+BA=CB+BA+AD=CDO 3.答案：B 4.解析：由平行四边形法则可知+=。答案：DB 探究点一：向量加法运算法则的应用 1.解析：(1)正+劭=.正+.彷=花；(2)
16、AB+AF+BC=AO+BC=Ad+db=Ab；(3)dc+db+EF=dc+db+a4=oc.答案：(1)(2)AD(3)OC 2.【解】(1)由条件得，(AB+CD)+(说+氏i)=0=“，故正确。(2)DG+E1+CB=GC+BE+CB=GC+CB+BE=GB+BE=,EG+CG+ai+EB=EG+Gb+Rl+AE=Eb-Dl+AE=R4+AE=3.【解】如图所示，设应，季分别表示3所受的力，10N的重力用死 表示，则C&+CF=CGo A n 易得Z CG=180 -150 =30 ,ZFCG=180 -120 =60。所 iCE=CG cos30 练地进行加法运算数的加法与向量的加法
17、的联系与区别学习重难点向量加法的概念向量加法的运算法则数与向量的类比学习过程预习教材的内容思考以下问题问题两个向量相加就是两个向量的模相加吗向量的加法如何定义在求两向取一点刃作看作出向量衣则向量疋称为向量与的至也称疋为向量与的和向量向量与的和向量记作吐因此齐说疋这种求两向量和的作图方法也常称为向量加法的三角形法则对任意向向量的模与的模之间满足不等向量加法的平行四边形因为施花因这种求两向量和的作图方法也常称为向量加法的平行四边形法则山向量加法的平行四边形法则不难看出向量的加法运算满足交换律即对于任意的向都冇多个向量相加结合律因为向量的加法满足交换律和结合律所以有限个CF=CGcos603=10X
18、5=5.所以/处所受的力为5萌N,3处所受的力为5N。4.解：设厉，说分别表示飞机从/地按北偏东35的方向飞行800km,从E地按南偏东55的方向飞行800km，则飞机飞行的路程指的是AB+BC；两次飞行的位移的和指的&AB+BC=ACO 依题意，有AB+BC=800+800=1600(km),Xa=35 ,尸=55 ,ZABC=35+55 =90 ,所以 IM1=JlMF+1站2=&W+800,=800迄(kin)o 其中ZBAC=45,所以方向为北偏东35 +45 =80。所以飞机飞行的路程是1600km，两次飞行的位移和的大小为800羽km,方 向为北偏东80 o【达标反馈】1.解析：选
19、 C.AEEB-BC=AC.2.解析：选 C.在 A 中BlAb-DC=BDDC=BC-,在 B 中BD+R1+AC=B1+AC=BC 在 C 中ABBbDC=Ab+DC=AC 在 D 中DC+BA+AD=DC+BD=BD+DC=BCO 3.解析：在菱形45CD中，连接BD(图略)，因为ZDAB=60,所以BQ为等边三角形，又因为AB=1,所以|筋|=1,BC-CD=Bb=l.4.解析：如图所示，作OA=a,AB=b,则 a+b=aA+AB=OB.所以a+b=OB=82+82=8/2(kin),因为ZAOB=45,所以a+b的方向是东北方向。答案：8羽km东北方向 练地进行加法运算数的加法与向量的加法的联系与区别学习重难点向量加法的概念向量加法的运算法则数与向量的类比学习过程预习教材的内容思考以下问题问题两个向量相加就是两个向量的模相加吗向量的加法如何定义在求两向取一点刃作看作出向量衣则向量疋称为向量与的至也称疋为向量与的和向量向量与的和向量记作吐因此齐说疋这种求两向量和的作图方法也常称为向量加法的三角形法则对任意向向量的模与的模之间满足不等向量加法的平行四边形因为施花因这种求两向量和的作图方法也常称为向量加法的平行四边形法则山向量加法的平行四边形法则不难看出向量的加法运算满足交换律即对于任意的向都冇多个向量相加结合律因为向量的加法满足交换律和结合律所以有限个