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1、课 题：曲线和方程（一）曲线和方程 教学目标：1了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系，领会“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念及其关系，并能作简单的判断与推理 2在形成概念的过程中，培养分析、抽象和概括等思维能力，掌握形数结合、函数与方程、化归与转化等数学思想，以及坐标法、待定系数法等常用的数学方法 3培养学生实事求是、合情推理、合作交流及独立思考等良好的个性品质，以及主动参与、勇于探索、敢于创新的精神 教学重点：理解曲线与方程的有关概念与相互联系 教学难点：定义中规定两个关系（纯粹性和完备性）授课类型：新授课 课时安排：1 课时 教 具：多媒体、实物投影仪 教材分析：曲线属于“形”的范
2、畴，方程则属于“数”的范畴，它们通过直角坐标系而联系在一起，“曲线和方程”这节教材，揭示了几何中的“形”与代数中的“数”的统一，为“依形判数”和“就数论形”的相互转化奠定了扎实的基础这正体现了几何的基本思想，对解析几何教学有着深远的影响曲线与方程的相互转化，是数学方法论上的一次飞跃本节教材中把曲线看成是动点的轨迹，蕴涵了用运动的观点看问题的思想方法；把曲线看成方程的几何表示，方程看作曲线的代数反映，又包含了对应与转化的思想方法 由于曲线和方程的概念是解析几何中最基本的内容，因而学生用解析法研究几何图形的性质时，只有透彻理解曲线和方程的意义，才能算是寻得了解析几何学习的入门之径求曲线的方程的问题
3、，也贯穿了这一章的始终，所以应该认识到，本节内容是解析几何的重点内容之一 根据大纲要求，本节内容分为 3 个课时进行教学，具体的课时分配是：第一课时讲解“曲线与方程”与“方程与曲线”的概念及其关系；第二课时讲解求曲线方程的一般方法，第三课时为习题课，通过练习来总结、巩固和深化本节知识，并解决与曲线交点有关的问题。考虑到本节内容的基础性和灵活性，可以对课本例题和练习作适当的调整，或进行变式训练 针对第一课时概念强、思维量大、例题习题不多的特点，整节课以启发学生观察思考、分析讨论为主。当学生观察例题回答不出“为什么”时，可以举几个点的坐标作检验，这就是“从特殊到一般”的方法；或引导学生看图，这就是
4、“从具体（直观）到抽象”的方法；或引导学生回到最简单的情形，这就是以简驭繁；或引导学生看（举）反例，这就是正反对比，总之，要使启发方法符合学生的认知规律 教学过程：一、复习引入：温故知新，揭示课题 问题：(1)求如图所示的 AB 的垂直平分线的方程；(2)画出方程0yx和方程2xy 所表示的曲线 观察、思考，求得(1)的方程为xy，(2)题画图如下 讲解：第(1)题是从曲线到方程，曲线 C(即 AB 的垂直平分线)点的坐标(x,y)方程 f(x,y)=0 第(2)题是从方程到曲线，即方程 f(x,y)=0 解(x,y)(即点的坐标)曲线 C 教师在此基础上揭示课题，并提出下面的问题让学生思考
5、问题:方程 f(x,y)=0的解与曲线 C 上的点的坐标，应具备怎样的关系，才叫方程的曲线，曲线的方程 设计意图：曲线的概念及其关系并能作简单的判断与推理在形成概念的过程中培养分析抽象和概括等思维能力掌握形数结合函数与方程化归与转化等数学思想以及坐标法待定系数法等常用的数学方法培养学生实事求是合情推理合作交流及独立学难点定义中规定两个关系纯粹性和完备性授课类型新授课课时安排课时教具多媒体实物投影仪教材分析曲线属于形的畴方程则属于数的畴它们通过直角坐标系而联系在一起曲线和方程这节教材揭示了几何中的形与代数中的数的统响曲线与方程的相互转化是数学方法论上的一次飞跃本节教材中把曲线看成是动点的轨迹蕴涵
6、了用运动的观点看问题的思想方法把曲线看成方程的几何表示方程看作曲线的代数反映又包含了对应与转化的思想方法由于曲线和方程的通过复习以前的知识来引入新课，然后提出问题让学生思考，创设问题情境，激发学生学习的欲望和要求 二、讲解新课：1.运用反例，揭示内涵 由上面得出：“曲线上的点的坐标都是方程的解”和“以方程的解为坐标的点都在曲线上”后，不急于抛物线定义，而是让学生判断辨别 问题：下列方程表示如图所示的直线 C，对吗为什么（1）0 yx;（2）022yx;（3）|x|-y=0.上题供学生思考，口答方程(1)、(2)、(3)都不是表示曲线 C 的方程 第（1）题中曲线 C 上的点不全都是方程0 yx
7、的解，如点(-1,-1)等，即不符合“曲线上的点的坐标都是方程的解”这一结论；第(2)题中，尽管“曲线 C 上的坐标都是方程的解”，但以方程022yx的解为坐标的点不全在曲线 C上，如点(2，-2)等，即不符合“以方程的解为坐标的点都在曲线上”这一结论；第(3)题中，类似(1)(2)得出不符合“曲线上的点的坐标都是方程的解”，“以方程的解为坐标的点都在曲线上”事实上，(1)(2)(3)中各方程表示的曲线应该是下图的三种情况：上面我们既观察、分析了完整地用方程表示曲线，用曲线表示方程的例子，又观察、分析了以上问题中所出现的方程和曲线间所建立的不完整的对应关系 2讨论归纳，得出定义 讨论题：在下定
8、义时，针对（1）0 yx 中“曲线上有的点的坐标不是方程的解”以及（2）022yx中“以方程的解为坐标的点不在曲线上”的情况，对“曲线的方程应作何规定 学生口答，老师顺其自然地给出定义这样，我们可以对“曲线的方程”和“方程的曲线”下这样的定义：曲线的概念及其关系并能作简单的判断与推理在形成概念的过程中培养分析抽象和概括等思维能力掌握形数结合函数与方程化归与转化等数学思想以及坐标法待定系数法等常用的数学方法培养学生实事求是合情推理合作交流及独立学难点定义中规定两个关系纯粹性和完备性授课类型新授课课时安排课时教具多媒体实物投影仪教材分析曲线属于形的畴方程则属于数的畴它们通过直角坐标系而联系在一起曲
9、线和方程这节教材揭示了几何中的形与代数中的数的统响曲线与方程的相互转化是数学方法论上的一次飞跃本节教材中把曲线看成是动点的轨迹蕴涵了用运动的观点看问题的思想方法把曲线看成方程的几何表示方程看作曲线的代数反映又包含了对应与转化的思想方法由于曲线和方程的在直角坐标系中，如果某曲线 C 上的点与一个二元方程0),(yxf的实数解建立了如下关系：(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解；（纯粹性）(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点（完备性）那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线 设计意图：上述概念是本课的重点和难点，让学生自己通过讨论归纳出来，老师再说清楚这两大性质(纯粹性和完备
10、性)的含义，使学生初步理解这个概念 3变换表达，强化理解 曲线可以看作是由点组成的集合，记作 C；一个关于 x,y 的二元方程的解可以作为点的坐标，因而二元方程的解也描述了一个点集，记作 F 请大家思考：如何用集合 C 和点集 F 间的关系来表达“曲线的方程”和“方程的曲线”定义中的两个关系，进而重新表述以上定义 关系(1)指集合 C 是点集 F 的子集，关系(2)指点集 F 是点集合 C 的子集 这样根据集合的性质，可以用集合相等的概念来定义“曲线的方程”与“方程的曲线”，即：FCCFFC)2()1(设计意图：通过集合的表述，使学生对曲线和方程的关系的理解得到加深和强化，在记忆中上也趋于简化
11、 三、讲解范例：例 1 解答下列问题，且说出各依据了曲线的方程和方程的曲线定义中的哪一个关系(1)点)2,52(),4,3(21MM是否在方程为2522yx的圆上(2)已知方程为2522yx的圆过点),7(3mM，求 m 的值 学生练习，口答；教师纠错、小结 依据关系(1)，可知点1M在圆上，2M不在圆上 曲线的概念及其关系并能作简单的判断与推理在形成概念的过程中培养分析抽象和概括等思维能力掌握形数结合函数与方程化归与转化等数学思想以及坐标法待定系数法等常用的数学方法培养学生实事求是合情推理合作交流及独立学难点定义中规定两个关系纯粹性和完备性授课类型新授课课时安排课时教具多媒体实物投影仪教材分
12、析曲线属于形的畴方程则属于数的畴它们通过直角坐标系而联系在一起曲线和方程这节教材揭示了几何中的形与代数中的数的统响曲线与方程的相互转化是数学方法论上的一次飞跃本节教材中把曲线看成是动点的轨迹蕴涵了用运动的观点看问题的思想方法把曲线看成方程的几何表示方程看作曲线的代数反映又包含了对应与转化的思想方法由于曲线和方程的依据关系(2)，求得23m 例 2 证明以坐标原点为圆心，半径等于 5 的圆的方程是2522yx 由学生自己阅读课本解答，教师适时插话，强调证明要紧扣定义，分两步进行 给出推论，升华定义：(1)两曲线0),(:,0),(:2211yxfCyxfC的交点的坐标必为方程组0),(0),(2
13、1yxfyxf的实根（2）两曲线)(:),(:21xyCxfyC的交点的横坐标必为方程)()(xxf的实根 四、课堂练习：1如果曲线C上的点满足方程F（x,y)=0，则以下说法正确的是（）A.曲线C的方程是F(x,y)=0 B.方程F(x,y)=0 的曲线是C C.坐标满足方程F(x,y)=0 的点在曲线C上 D.坐标不满足方程F（x,y)=0 的点不在曲线C上 分析：判定曲线和方程的对应关系，必须注意两点：（1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解，即直观地说“点不比解多”称为纯粹性；（2）以这个方程的解为坐标的点都在曲线上，即直观地说“解不比点多”，称为完备性，只有点和解一一对应，才能说曲线的
14、方程，方程和曲线 解：由已知条件，只能说具备纯粹性，但不一定具备完备性.故选 D 2.判断下列结论的正误，并说明理由.（1）过点A（3，0）且垂直于x轴的直线的方程为x=0;(2)到x轴距离为 2 的点的直线方程为y=-2;(3)到两坐标轴的距离乘积等于 1 的点的轨迹方程为xy=1;(4)ABC的顶点A（0，-3），B（1，0），C（-1，0），D为BC中点，则中线AD的方程为x=0 分析：判断所给问题的正误，主要依据是曲线的方程及方程的曲线的定义，即考查曲线上的点曲线的概念及其关系并能作简单的判断与推理在形成概念的过程中培养分析抽象和概括等思维能力掌握形数结合函数与方程化归与转化等数学思想
15、以及坐标法待定系数法等常用的数学方法培养学生实事求是合情推理合作交流及独立学难点定义中规定两个关系纯粹性和完备性授课类型新授课课时安排课时教具多媒体实物投影仪教材分析曲线属于形的畴方程则属于数的畴它们通过直角坐标系而联系在一起曲线和方程这节教材揭示了几何中的形与代数中的数的统响曲线与方程的相互转化是数学方法论上的一次飞跃本节教材中把曲线看成是动点的轨迹蕴涵了用运动的观点看问题的思想方法把曲线看成方程的几何表示方程看作曲线的代数反映又包含了对应与转化的思想方法由于曲线和方程的的纯粹性和完备性.解：（1）满足曲线方程的定义.结论正确 （2）因到x轴距离为 2 的点的直线方程还有一个；y=2，即不具
16、备完备性.结论错误.（3）到两坐标轴的距离的乘积等于 1 的点的轨迹方程应为xy=1,即xy=1.所给问题不具备完备性 结论错误 （4）中线AD是一条线段，而不是直线，x=0(-3 y 0),所给问题不具备纯粹性.结论错误.3.方程（3x-4y-12)log2(x+2y)-3=0 的曲线经过点A（0，-3）、B（0，4）、C（47,35）、D（4，0）中的（）个 个 个 个 分析：方程表示的两条直线 3x-4y-12=0 和x+2y-9=0，但应注意对数的真数大于 0，x+2y0 解：由对数的真数大于 0，得x+2y0.A(0,-3)、C(47,35)不合要求 将B（0，4）代入方程检验，不合
17、要求.将D（4，0）代入方程检验，合乎要求.故选 B.4.已知点A（-3，0），B（0，5），C（4，-335），D（3sec,5tan),其中在曲线459522 yx上的点的个数为（）曲线的概念及其关系并能作简单的判断与推理在形成概念的过程中培养分析抽象和概括等思维能力掌握形数结合函数与方程化归与转化等数学思想以及坐标法待定系数法等常用的数学方法培养学生实事求是合情推理合作交流及独立学难点定义中规定两个关系纯粹性和完备性授课类型新授课课时安排课时教具多媒体实物投影仪教材分析曲线属于形的畴方程则属于数的畴它们通过直角坐标系而联系在一起曲线和方程这节教材揭示了几何中的形与代数中的数的统响曲线与方
18、程的相互转化是数学方法论上的一次飞跃本节教材中把曲线看成是动点的轨迹蕴涵了用运动的观点看问题的思想方法把曲线看成方程的几何表示方程看作曲线的代数反映又包含了对应与转化的思想方法由于曲线和方程的分析：由曲线上的点与方程的解的关系，只要把点的坐标代入方程，若满足这个方程，说明这是这个方程的解，这个点就在该方程表示的曲线上.解：将点A（-3，0）、B（0，5）、C（4，-335）、D（3sec,5 tan)代入方程459522 yx459522 yx检验，只有点A和点B满足方程.故选B.5.如果两条曲线的方程F1(x,y)=0 和F2(x,y)=0，它们的交点M（x0,y0)，求证：方程F1(x,y
19、)+F2(x,y)=0 表示的曲线也经过M点.（为任意常数）分析：只要将M点的坐标代入方程.F1(x,y)+F2(x,y)=0，看点M的坐标是否满足方程即可 证明：M(x0,y0)是曲线F1(x,y)=0 和F2(x,y)=0 的交点，F1（x0,y0)=0,F2(x0,y0)=0.F1(x0,y0)+F2(x0,y0)=0(R)M(x0,y0)在方程F1(x,y)+F2(x,y)=0 所表示的曲线上.评述：方程F1(x,y)+F2(x,y)=0 也称为过曲线F1(x,y)=0 和F2(x,y)=0 的交点的曲线系方程 五、小结：“曲线的方程”、“方程的曲线”的定义在领会定义时，要牢记关系(1
20、)、(2)两者缺一不可，它们都是“曲线的方程”和“方程的曲线”的必要条件两者满足了，“曲线的方程”和“方程的曲线”才具备充分性只有符合关系(1)、(2)，才能将曲线的研究转化为方程来研究，即几何问题的研究转化为代数问题这种“以数论形”的思想是解析几何的基本思想和基本方法 六、课后作业：1点 A(1，-2)、B(2，-3)、C(3，10)是否在方程0122yxyx的图形上 2(1)在什么情况下，方程cbxaxy2的曲线经过原点(2)在什么情况下，方程222)()(rbyax的曲线经过原点 3证明以 C(a，b)为圆心，r 为半径的圆的方程为222)()(rbyax 曲线的概念及其关系并能作简单的
21、判断与推理在形成概念的过程中培养分析抽象和概括等思维能力掌握形数结合函数与方程化归与转化等数学思想以及坐标法待定系数法等常用的数学方法培养学生实事求是合情推理合作交流及独立学难点定义中规定两个关系纯粹性和完备性授课类型新授课课时安排课时教具多媒体实物投影仪教材分析曲线属于形的畴方程则属于数的畴它们通过直角坐标系而联系在一起曲线和方程这节教材揭示了几何中的形与代数中的数的统响曲线与方程的相互转化是数学方法论上的一次飞跃本节教材中把曲线看成是动点的轨迹蕴涵了用运动的观点看问题的思想方法把曲线看成方程的几何表示方程看作曲线的代数反映又包含了对应与转化的思想方法由于曲线和方程的4证明动点 P(x，y)
22、到定点 M(-a，0)的距离等于 a(a 0)的轨迹方程是0222axyx 作业答案：1点 A(1，-2)、C(3，10)在方程0122yxyx的图形上；点 B(2，-3)不在图形上 2(1)c=0，(2)222rba 3、4仿照课本例子，分两种情况易证 七、板书设计（略）八、课后记：曲线的概念及其关系并能作简单的判断与推理在形成概念的过程中培养分析抽象和概括等思维能力掌握形数结合函数与方程化归与转化等数学思想以及坐标法待定系数法等常用的数学方法培养学生实事求是合情推理合作交流及独立学难点定义中规定两个关系纯粹性和完备性授课类型新授课课时安排课时教具多媒体实物投影仪教材分析曲线属于形的畴方程则属于数的畴它们通过直角坐标系而联系在一起曲线和方程这节教材揭示了几何中的形与代数中的数的统响曲线与方程的相互转化是数学方法论上的一次飞跃本节教材中把曲线看成是动点的轨迹蕴涵了用运动的观点看问题的思想方法把曲线看成方程的几何表示方程看作曲线的代数反映又包含了对应与转化的思想方法由于曲线和方程的