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1、学习必备 欢迎下载 高中数学 微积分 一、导数 1导数的定义 定义：设函数 yf x在点0 x的某邻域内有定义，若极限 000limxxf xf xxx存在，则称函数f在点0 x处可导，并称该极限值为函数f在点0 x处的导数，记为0fx（或000|x xx xx xdydfydxdx，）若令0 xxx，00yf xxf x ，则 000limxxf xf xxx可改写为 0000limxfxxfxfxx 所以，导数是函数增量y与自变量增量x之比的极限这个增量比称为函数关于自变量的平均变化率（又称差商），而导数0fx则为f在0 x处关于x的变化率若 000limxxf xf xxx极限不存在，则
2、称f在点0 x处不可导 2导函数 若函数在区间I上每一点都可导（对区间端点，仅考虑相应的单侧导数），则称f为I上的可导函数此时，对每一个xI，都有f的一个导数 fx（或单侧导数）与之对应，这样就定义了一个在I上的函数，称为f在I上的导函数，也简称为导数，记为f 或y，即 0limxfxxfxfxxIx ，3导数的几何意义 函数f在点0 x处的导数0fx是曲线 yfx在点00,xy处的切线斜率曲线 yfx在点00 xy，处的切线方程为 000yyfxxx 4求导法则 （1）基本求导法则 学习必备 欢迎下载 uvuv ；uvu vuv，cucu（c为常数）；2uu vuvvv ，21vvv ；反函
3、数导数 1dydxdxdy；复合函数导数 dydydudxdudx（2）基本初等函数导数公式 0c（c为常数）；1xx（为任意实数）；sincosxx，cossinxx；2tansecxx，2cotcscxx，secsectanxxx，csccsccotxxx；lnxxaaa，xxee 1loglnaxxa，1ln xx 5导数的应用（1）判断函数单调性 定理：设函数 fx在区间I上可导，则 fx在I上递增（减）的充要条件是 00fx 推论：设函数 fx在区间I上可导，若 00fx，则 fx在区间I上严格递增（严格递减）（2）函数的极值 定 义：若 函 数 fx在 点0 x的 某 邻 域0Ux
4、内 对 一 切0 xUx有 00fxfxfxfx，则称函数 fx在点0 x取得极大（小）值，称点0 x为极大（小）值点极大值和极小值统称为极值；极大值点和极小值点统称为极值点 处可导并称该极限值为函数在点处的导数记为或若令则可改写为所以导数是函数增量与自变量增量之比的极限这个增量比称为函数关于自变量的平均变化率又称差商而导数则为在处关于的变化率若极限不存在则称在点处不可导导函导数或单侧导数与之对应这样就定义了一个在上的函数称为在上的导函数也简称为导数记为或即导数的几何意义处的导数是曲线函数在点在点处的切线斜率曲线在点处的切线方程为求导法则基本求导法则学习必备欢迎下载为常数反可导则在上递增减的充
5、要条件是推论设函数在区间上可导若则在区间上严格递增严格递减函数的极值定义若函数在点的某邻域内对一切有则称函数在点取得极大小值称点为极大小值点极大值和极小值统称为极值极大值点和极小值点学习必备 欢迎下载（3）最值 对于闭区间,a b上的连续函数 fx，我们只要比较f在所有稳定点、不可导点和区间端点上的函数值，就能从中找到f在区间,a b上的最大值与最小值 二、定积分 1.定义：设f是定义在 ab，上的一个函数，J是一个确定的实数 若对任给的正数，总存在某一正数，使得对ab，的任何分割T，以及在其上任意选取的点集i，只要T，就有1niiifxJ ，则称函数f在区间ab，上可积或黎曼可积；数J称为f
6、在区间ab，上的定积分或黎曼积分，记为 baJfx dx，其中f称为被积函数，x称为积分变量，ab，称为积分区间，,a b分别称为这个定积分的下限和上限 牛顿 莱布尼茨公式：若函 数f在ab，上连续，且存在 原函数F，即 Fxf x，xab，则f在,a b上可积，且 bafx dxF bF a，这称为牛顿莱布尼茨公式，它也常写为|bbaafx dxF x 2.几何意义：对于,a b上的连续函数f，当 0f x，xab，定积分的几何意义就是 yf x，xa，xb，0y 所围成的曲边梯形的面积；当 0f x，xab，时，这时 baJfxdx 是位于x轴下方的曲边梯形面积的相反数，不妨称之为“负面积
7、”；对于一般非定号的 f x而言，定积分J的值则是曲线 yf x在x轴上方部分所有曲边梯形的正面积与下方部分所有曲边梯形的负面积的代数和 3.性质：性 质 1：若f在,a b上 可 积，k为 常 数，则kf在ab，上 也 可 积，且 bbaakf x dxkfx dx 性 质 2：若f、g都 在,a b上 可 积，则fg在ab，上 也 可 积，且处可导并称该极限值为函数在点处的导数记为或若令则可改写为所以导数是函数增量与自变量增量之比的极限这个增量比称为函数关于自变量的平均变化率又称差商而导数则为在处关于的变化率若极限不存在则称在点处不可导导函导数或单侧导数与之对应这样就定义了一个在上的函数称
8、为在上的导函数也简称为导数记为或即导数的几何意义处的导数是曲线函数在点在点处的切线斜率曲线在点处的切线方程为求导法则基本求导法则学习必备欢迎下载为常数反可导则在上递增减的充要条件是推论设函数在区间上可导若则在区间上严格递增严格递减函数的极值定义若函数在点的某邻域内对一切有则称函数在点取得极大小值称点为极大小值点极大值和极小值统称为极值极大值点和极小值点学习必备 欢迎下载 bbbaaafxg xdxfx dxg x dx 性质 3：若f、g都在ab，上可积，则f g在ab，上也可积 性质 4：f在,a b上可积的充要条件是：任给,ca b，f在ab，与ab，上都可积此时又有等式 bcbaacfx
9、 dxfx dxfx dx 性质 5：设f为,a b上的可积函数若 0f x，,xa b，则 0bafx dx 性质 6：若f在,a b上可积，则f在ab，上也可积，且 bbaaf x dxf x dx 性质 7：（积分第一中值定理）若f在ab，上连续，则至少存在一点ab，使得 bafx dxfba 性质8：设f在ab，上连续，若 xaF xf t dt，,xa b则 F x在ab，上处处可导 4.定积分的应用 求平面图形的面积：由连续曲线(0)yf x以及直线xa，xb ab，0y 所围成的曲边梯形的面积为 bbaaAfx dxydx，如果f在ab，上不都是非负的，则所围成图形的面积为 bb
10、aaAfx dxydx一般地，由上、下两条连续曲线 2yfx与 1yfx以及两条直线xa，xb ab所围成的平面图形的面积为 21baAfxfxdx 三、例题选讲 例 1 求下列函数的导数（1）xxxy35；（2）xxycossin；（3）xxy1；（4）13cos2xxxy 解析：根据求导法则及四则运算进行求解（1）1352435xxxxxy；处可导并称该极限值为函数在点处的导数记为或若令则可改写为所以导数是函数增量与自变量增量之比的极限这个增量比称为函数关于自变量的平均变化率又称差商而导数则为在处关于的变化率若极限不存在则称在点处不可导导函导数或单侧导数与之对应这样就定义了一个在上的函数称
11、为在上的导函数也简称为导数记为或即导数的几何意义处的导数是曲线函数在点在点处的切线斜率曲线在点处的切线方程为求导法则基本求导法则学习必备欢迎下载为常数反可导则在上递增减的充要条件是推论设函数在区间上可导若则在区间上严格递增严格递减函数的极值定义若函数在点的某邻域内对一切有则称函数在点取得极大小值称点为极大小值点极大值和极小值统称为极值极大值点和极小值点学习必备 欢迎下载（2）xxxxysincoscossin；（3）22111111xxxxxxxxy；（4）3sincos23coscos222xxxxxxxxy 例 2 求过曲线xyln2上点 2，eA处的切线方程 解析：利用导数的几何意义得到
12、切线斜率是解题关键xxy2ln2，由导数的 几 何 意 义，曲 线 在 点 2，eA处 的 斜 率exkex2|2，故 所 求 的 切 线 方 程 为 exey22，即02 eyx 例 3 求8224xxy的单调区间 解析：令 0114144423xxxxxxxy，得01x，12x，13x，列表如下：x 1，01，10，1 xf 0小于 0大于 0小于 0大于 xf 单调递减 单调递增 单调递减 单调递增 所以 xf在区间 01，1上单调递增；在区间1，10，上单调递减 例 4 已知函数 cbxxxxf2321（1）若 xf有极值，求b的取值范围；（2）若 xf在1x处取得极值，当 21，x时
13、，2cxf恒成立，求c的取值范围；（3）若 xf在1x处取得极值时，证明：对 21，内的任意两个值1x，2x，都有 2721xfxf 解析：（1）bxxxf23，令 0 xf，由0，得0121 b，即121b；（2）因为 xf在1x处取得极值，故 01 f，即013b，得2b，令处可导并称该极限值为函数在点处的导数记为或若令则可改写为所以导数是函数增量与自变量增量之比的极限这个增量比称为函数关于自变量的平均变化率又称差商而导数则为在处关于的变化率若极限不存在则称在点处不可导导函导数或单侧导数与之对应这样就定义了一个在上的函数称为在上的导函数也简称为导数记为或即导数的几何意义处的导数是曲线函数在
14、点在点处的切线斜率曲线在点处的切线方程为求导法则基本求导法则学习必备欢迎下载为常数反可导则在上递增减的充要条件是推论设函数在区间上可导若则在区间上严格递增严格递减函数的极值定义若函数在点的某邻域内对一切有则称函数在点取得极大小值称点为极大小值点极大值和极小值统称为极值极大值点和极小值点学习必备 欢迎下载 0 xf，得321x，12x，当x的取值为32，1，1，2时，经比较，当2x时，cxf2max，所以22cc，解得2c或1c；（3）可以计算得 cxf2max，cxf23min，所以对 21，内的任意两个值1x，2x，都有 2723221ccxfxf 例 5 计算：（1）dxx1022；（2）
15、dxxx20cos；（3）dxbxax212，其中a，b为实数 解析：（1）37231|2312103102xxdxx；（2）18|sin21cos220220 xxdxxx；（3）233723238|232123212bababaxbxadxbxax 例 6 计算由曲线2xy 与xy2所围成的图形的面积 解析：如图，所求面积为图中阴影部分的面积 解方程组，xyxy22得交点横坐标为0 x及1x 曲边梯形曲边梯形313132|31|32103102310210 xxdxxdxxSSSOABDOABC 处可导并称该极限值为函数在点处的导数记为或若令则可改写为所以导数是函数增量与自变量增量之比的极
16、限这个增量比称为函数关于自变量的平均变化率又称差商而导数则为在处关于的变化率若极限不存在则称在点处不可导导函导数或单侧导数与之对应这样就定义了一个在上的函数称为在上的导函数也简称为导数记为或即导数的几何意义处的导数是曲线函数在点在点处的切线斜率曲线在点处的切线方程为求导法则基本求导法则学习必备欢迎下载为常数反可导则在上递增减的充要条件是推论设函数在区间上可导若则在区间上严格递增严格递减函数的极值定义若函数在点的某邻域内对一切有则称函数在点取得极大小值称点为极大小值点极大值和极小值统称为极值极大值点和极小值点学习必备 欢迎下载 处可导并称该极限值为函数在点处的导数记为或若令则可改写为所以导数是函数增量与自变量增量之比的极限这个增量比称为函数关于自变量的平均变化率又称差商而导数则为在处关于的变化率若极限不存在则称在点处不可导导函导数或单侧导数与之对应这样就定义了一个在上的函数称为在上的导函数也简称为导数记为或即导数的几何意义处的导数是曲线函数在点在点处的切线斜率曲线在点处的切线方程为求导法则基本求导法则学习必备欢迎下载为常数反可导则在上递增减的充要条件是推论设函数在区间上可导若则在区间上严格递增严格递减函数的极值定义若函数在点的某邻域内对一切有则称函数在点取得极大小值称点为极大小值点极大值和极小值统称为极值极大值点和极小值点