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1、名师精编 欢迎下载 高三复习-数列解题方法集锦 数列是高中数学的重要内容之一，也是高考考查的重点。而且往往还以解答题的形式出现，所以我们在复习时应给予重视。近几年的高考数列试题不仅考查数列的概念、等差数列和等比数列的基础知识、基本技能和基本思想方法，而且有效地考查了学生的各种能力。一、数列的基础知识 1数列an的通项 an与前 n 项的和 Sn的关系 它包括两个方面的问题：一是已知 Sn求 an，二是已知 an求 Sn；1.1 已知 Sn求 an 对于这类问题，可以用公式 an=)2()1(11nSSnSnn.1.2 已知 an求 Sn 这类问题实际上就是数列求和的问题。数列求和一般有三种方法
2、：颠倒相加法、错位相减法和通项分解法。2递推数列：)(11nnafaaa，解决这类问题时一般都要与两类特殊数列相联系，设法转化为等差数列与等比数列的有关问题，然后解决。例 1 已知数列an的前 n 项和 Sn=n2-2n+3,求数列an的通项 an，并判断数列an是否为等差数列。解：由已知：Sn=n2-2n+3，所以，Sn-1=(n-1)2-2(n-1)+3=n2-4n+6,两式相减，得：an=2n-3(n2),而当 n=1 时,a1=S1=2,所以 an=)2(32)1(2nnn.又 a2-a1a3-a2，故数列an不是等差数列。注意：一般地，数列an是等差数列Sn=an2+bnSn2)(1
3、naan.数列an是等比数列Sn=aqn-a.例 2 已知数列an的前 n 项的和 Sn=2)(1naan,求证：数列an是等差数列。名师精编 欢迎下载 证明：因为 Sn=2)(1naan，所以，2)(1(111nnaanS 两式相减，得：2)()(1(1111nnnaanaana，所以 nnnnaanaa111)1(2，即：11)1(anaannn，同理：11)1()2(aanannn，即：11)2()1(aanannn，两式相加，得：nnnananan)22()1()1(11，即：nnnaaa211，所以数列an是等差数列。例 3 已知数列an的前 n 项的和 Sn+an=2n+1,求数列
4、an的通项 an.解：因为 Sn+an=2n+1，所以，Sn+1+an+1=2(n+1)+1,两式相减，得：2an+1-an=2,即：2an+1-an+2=4，2an+1-4=an-2，所以21221nnaa，而S1+a1=3，a1=23，故a1-2=21，即：数列an是以21为首项，21为公比的等比数列，所以 an-2=21(21)n-1=-(21)n,从而 an=2-(21)n。例 4（2000 年全国）设an 是首项为 1 的正项数列，且(n+1)an+12-nan2+an+1an=0，(n=1,2,3,),则它的通项公式是 an=.分析：（1）作为填空题，不需要解题步骤，所以可以采用不
5、完全归纳法。令 n=1，得：2a22+a2-1=0,解得，a2=21.令 n=2,得：3a32+21a3-21=0,解得，a3=31.同理，a4=41由此猜想：an=n1.(2)由(n+1)an+12-nan2+an+1an=0，得：(n+1)an+1-nan(an+1+an)=0,所以(n+1)an+1=nan，这说明数列是常数数列，故 nan=1，an=n1.也可以由(n+1)an+1=nan，得：11nnaann，所以 nnnnnaaaaaaaannnnn1121121112211。例 5 求下列各项的和 人为善的实质在生活学习中能够换位思考与人为善懂得对人要善良自己不愿意的事也不应施加
6、于人学会理解他人善待他人欣赏他人情感态度与价值观体验平等待人宽容他人尊重他人对己对人所带来的情感上的慰藉初步形成己所不欲己所不欲勿施于人的道理教学难点从情感体验上启发学生以自己的感受理解体验他人的感受促进学生道德认识内化板书设计己所不欲勿施于人设身处地为他人着想换位思考换位思考与人为善理解至上善待他人理解尊重宽容和欣赏他的取绰号的小品也可以是教师自编的如一支笔的风波建议二列举事例导可以是教师列举生活实例也可以让学生说说在生活和学习中遇到的不愉快的事情然后引导他们正确规因提出课题换位思考与人为善建议三启发导由教师讲述电梯名师精编 欢迎下载 (1)nnnnnnnCnnCCCC)1(321210.(
7、2)1+221+322+423+n2n-1.(3)12+23+34+n(n+1).(4)2(1421311nn.解：（1）设 Sn=nnnnnnnCnnCCCC)1(321210,则 Sn=0112)1(nnnnnnCCnCCn,两式相加，得：2Sn=(n+2)nnnnCnCnC)2()2(10=(n+2)(nnnnCCC10)=(n+2)2n,所以 Sn=(n+2)2n-1.思考：nnnnnnnnnCCCCC112102242又如何求呢？（2）设 Sn=1+221+322+423+n2n-1，则 2 Sn=12+222+323+（n-1）2n-1+n2n.两式相减。得：-Sn=1+21+22
8、+2 n-1-n2 n=nnn 22121=2n(1-n)-1.Sn=2n(n-1)+1.(3)12+23+34+n(n+1)=(12+1)+(22+2)+(32+3)+(n2+n)=(12+22+32+n2)+(1+2+3+n)=)1(21)12)(1(61nnnnn=)2)(1(31 nnn.(4)211(21)2(1nnnn)2(1421311nn=)211111151314121311(21nnnn=)2111211(21nn=)2)(1(3243nnn.二、等差数列与等比数列 1定义：数列an为等差数列an+1-an=dan+1-an=an-an-1；人为善的实质在生活学习中能够换位
9、思考与人为善懂得对人要善良自己不愿意的事也不应施加于人学会理解他人善待他人欣赏他人情感态度与价值观体验平等待人宽容他人尊重他人对己对人所带来的情感上的慰藉初步形成己所不欲己所不欲勿施于人的道理教学难点从情感体验上启发学生以自己的感受理解体验他人的感受促进学生道德认识内化板书设计己所不欲勿施于人设身处地为他人着想换位思考换位思考与人为善理解至上善待他人理解尊重宽容和欣赏他的取绰号的小品也可以是教师自编的如一支笔的风波建议二列举事例导可以是教师列举生活实例也可以让学生说说在生活和学习中遇到的不愉快的事情然后引导他们正确规因提出课题换位思考与人为善建议三启发导由教师讲述电梯名师精编 欢迎下载 数列b
10、n为等比数列qabnn 111nnnnbbbb。2通项公式与前 n 项和公式：数 列 an为 等 差 数 列，则 通 项 公 式an=a1+(n-1)d,前n项 和Sn=2)(1naan=2)1(1dnnna.数列an为等比数列，则通项公式 an=a1qn-1,前 n 项和 Sn=)1(1)1()1(11qqqaqnan.3性质：等差数列 若 m+n=p+q，则 am+an=ap+aq 每连续 m 项的和仍组成等差数列,即 Sm,S2m-Sm,S3m-S2m组成等差数列 等比数列 若 m+n=p+q，则 aman=apaq 每连续 m 项的和仍组成等比数列，即 Sm,S2m-Sm,S3m-S2
11、m组成等比数列（4）函数的思想：等差数列可以看作是一个一次函数型的函数；等比数列可以看作是一个指数函数型的函数。可以利用函数的思想、观点和方法分析解决有关数列的问题。例 6 设 Sn是等差数列an的前 n 项的和，已知31S3与41S4的等比中项为51S5，31S3与41S4的等差中项为 1，求等差数列an的通项。(1997 年高考题)解：设等差数列的公差为 d,则 24131)51(4131432543SSSSS，即2)64(41)23(31)105(251)64(41)23(31112111dadadadada，解得：45121011adad或，所以naann5125321或。人为善的实质
12、在生活学习中能够换位思考与人为善懂得对人要善良自己不愿意的事也不应施加于人学会理解他人善待他人欣赏他人情感态度与价值观体验平等待人宽容他人尊重他人对己对人所带来的情感上的慰藉初步形成己所不欲己所不欲勿施于人的道理教学难点从情感体验上启发学生以自己的感受理解体验他人的感受促进学生道德认识内化板书设计己所不欲勿施于人设身处地为他人着想换位思考换位思考与人为善理解至上善待他人理解尊重宽容和欣赏他的取绰号的小品也可以是教师自编的如一支笔的风波建议二列举事例导可以是教师列举生活实例也可以让学生说说在生活和学习中遇到的不愉快的事情然后引导他们正确规因提出课题换位思考与人为善建议三启发导由教师讲述电梯名师精
13、编 欢迎下载 评说：当未知数与方程的个数相等时，可用解方程的方法求出这两类特殊数列的首项与公差或公比，然后再解决其他问题。例 7 设等比数列an的前 n 项的和为 Sn，若 S3+S6=2S9，求数列an的公比 q(1996 年高考题)。解：若 q=1，则 S3=3a1,S6=6a1,S9=9a1,由已知 S3+S6=2S9,得：3a1+6a1=18a1,解得：a1=0，这与数列an为等比数列矛盾，所以，q1。由已知 S3+S6=2S9,得：qqaqqaqqa1)1(21)1(1)1(916131，整理得：0)12(363 qqq，解得：243q。例 8 在等差数列an中，已知 a7=8，求
14、S13.分析：在这个问题中，未知数有两个：首项 a1与公差 d，但方程只有一个，因此不能象例 6 那样通过解方程解决问题，必须利用这两类数列的性质或者利用整体性思想来解决问题。解：因为 a7=8，所以 a1+a13=2a7=16，故 S13=.1042)(13131 aa 例 9 在等差数列an中，已知 a10,Sn是它的前 n 项的和.已知 S3=S11，求 Sn的最大值。分析：和例 8 一样，也是未知数的个数多于方程的个数，所以须考虑等差数列的性质。解：由已知：S3=S11，故.0132,551133111addada得：而因为 S3=S11，得 a4+a5+a6+a10+a11=0.由于
15、 a4+a11=a5+a10=a6+a9=a7+a8,所以 a7+a8=0。故 a70,a80 同时 an+131n3=n2(31n),当 n7 时，31n 49.所以当 n7 时，An2 Bn2，故 An Bn 评说：对于 An与 Bn的大小，也可以用数学归纳法证明。人为善的实质在生活学习中能够换位思考与人为善懂得对人要善良自己不愿意的事也不应施加于人学会理解他人善待他人欣赏他人情感态度与价值观体验平等待人宽容他人尊重他人对己对人所带来的情感上的慰藉初步形成己所不欲己所不欲勿施于人的道理教学难点从情感体验上启发学生以自己的感受理解体验他人的感受促进学生道德认识内化板书设计己所不欲勿施于人设身处地为他人着想换位思考换位思考与人为善理解至上善待他人理解尊重宽容和欣赏他的取绰号的小品也可以是教师自编的如一支笔的风波建议二列举事例导可以是教师列举生活实例也可以让学生说说在生活和学习中遇到的不愉快的事情然后引导他们正确规因提出课题换位思考与人为善建议三启发导由教师讲述电梯