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1、学习必备 欢迎下载 高三数学专题四（数列与不等式）第一讲 递推公式与通项公式 数列是高中数学很重要的内容之一，是高考的热点和重点。数列中蕴含着丰富的数学思想，而递推公式的通项问题具有很强的逻辑性，是考查逻辑推理和转化化归能力的好素材，因此也成为近几年高考的热点。类型 1（已归纳常见题型）（1）1()nnaaf n；（2）1()nnaaf n；（3）1nnapaq；（4）1nnnapar q；（5）1nnnapar p;（6）1()()rnnaqpaq；（7）21(1)nnnaauau 类型 2：1()()()nnnf n aag n an n 这种类型一般是等式两取倒数后转化为类型（3）例 1
2、已知数列na满足132a，且113(2)21nnnnaanan，求数列na的通项公式.【解析】由已知，得112133nnnanna，即1112(2)33nnnnnaa.设111()(2)3nnnnnaa，则1112(2)33nnnnnaa，1，1nna是首项为13，公比为13的等比数列，1111()33nnna .解得11()3nnna.类型 3：周期型 这种类型与函数的周期性相类似，应推导对任意*nN有*()n knaakN，则k为数列的周期.例 2已知数列na满足10a，*13()31nnnaanNa，则20a（）A0 B3 C3 D32【解析】选B.10a，121333131aaa，23
3、232 333131aaa，3433031aaa，至此可知：数列na的各项的值依次为0，3，3，0，3，3，0，周而复始.2036 余 2 2023aa 类型 4：1nnnpaqaras 这种类型一般通过构造方程，利用“不动点”知识处理.例 3已知数列na满足17a ，1261nnnaaa，求数列na的通项公式.【解析】设方程261xxx，则2603xxx 或2x 1133nnnaaa ，14821nnnaaa 两式相除，得：11331()242nnnnaaaa 学习必备 欢迎下载 令32nnnaba，则114nnbb，111322aba 11112()4nnnbbqx 1111114()33
4、143(4)42()124(4)212()4nnnnnnnnaaa 类型 5：1nnaapnq或1nnna ap q 这种类型一般可转化为 21na与2na是等差或等比数列求解.例 4（1）在数列na中，11a，16nnana，求na;（2）在数列na中，11a，13nnna a，求na.【解析】（1）16nnaan，126(1)nnaan，两式相减，得26nnaa.21na与2na均为公差为 6 的等差数列，易求得 3231 nnnann（为奇数）（为偶数）（2）类似（1）的方法易求 12233 nnnnan（为奇数）（为偶数）.类型 6：归纳猜想法 例 5设数列na的前 n 项和为nS，且
5、方程20nnxa xa有一根为1nS，1,2,3,n.（1）求1a，2a；（2）求na的通项公式.【解析】（1）当1n 时，2110 xa xa 有一根为1111Sa ，于是21111(1)(1)0aa aa .解得112a.当2n 时，2220 xa xa有一根为22112Sa，于是2222211()()022aaaa，解得216a.（2）由题设2(1)(1)0nnnnSaSa，即2210nnnnSSa S.当2n时，1nnnaSS，代入上式得：1210nnnSSS （*）由（1）知1112Sa.212112263Saa .由（*）可得334S.由此猜想1nnSn，1,2,3,n.下面用数学
6、归纳法证明这个结论.1n 时已知结论成立.假设nk时结论成立，即1kkSk.当1nk 时，则（*）得112kkSS.即112kkSk.故1nk 时结论也成立.综上，由、可知1nnSn对所有正整数 n 都成立.于是当2n时，1111(1)nnnnnaSSnnn n.又当1n 时，11121 2a ，所以na的通项*1()(1)nanNn n.练习：1已知数列na中，114a，1332nnaa，则使20nna a成立的 n 是（D）A21 或 22 B22 或 23 C22 D21 高考的热点和重点数列中蕴含着丰富的数学思想而递推公式的通项问题具有很强的逻辑性是考查逻辑推理和转化化归能力的好素材因
7、此也成为近几年高考的热点类型已归纳常见题型类型这种类型一般是等式两取倒数后转化为类型满数的周期性相类似应推导对任意有则为数列的周期例已知数列满足则解析选至此可知数列的各项的值依次为周而复始余类型这种类型一般通过构造方程利用不动点知识处理满足的通项公式例已知数列求数列解析设方程则或两式相除差为的等差数列易求得两式相减得为奇数为偶数解析与类似的方法易求为奇数为偶数类型归纳猜想法例设数列的前项和为的通项公式且方程有一根为求求解析当时有一根为于是解得当时有一根为于是解得由题设即当时代入上式得由学习必备 欢迎下载 2若数列na中，13a，且对任意的正整数 m、n 者有m nmnaa a，则na等于（C）
8、A13n B12 3n C3n D3 3给定正整数 n（2n）按下图方式构成三角 形数表：第一行依次写上数1，2，3，n，在下面一行的每相邻两个数的正中间上方写上这两 个数之和，得到上面一行的数（比下一行少 1 个数），依次类推，最后一行（第 n 行）只有一个数，例如 n6 时数表如图所示，则当 n2009 时最后一行的 数是（C）A25122009 B25122008 C201022007 D200922007 4数列na满足112(0)2121(1)2nnnnnaaaaa 若167a，则20a的值是 .57 5设数列na的前 n 项和14122,1,2,3,333nnnSan.求数列na的
9、通项公式.（42nnna）6已知()f x是定义在(0,)上的增函数，对任意的,x y有()()()f xyf xf y且 f1(6)2；定义数列 na满足：125aa，11()()1(2,)nnnf aaf annN，若1nnaa为等比数列.（1）求的所有值及na的通项公式；（2）当k为奇数时，求证：111143kkkaa；（3）求证：1211112naaa.（23,或 3(2)nnna）第二讲 数列的通项与前 n 项和（教师用）例 1设正项等比数列na的首项112a，前 n 项和为nS，且10103020102(21)0SSS.（1）求na的通项；（2）求nnS的前 n 项和 Ten.【解
10、析】（1）由10103020102(21)0SSS，得10302020102()SSSS，即102122301112202()aaaaaa ，得10101112201112202()qaaaaaa ，因为0na，所以101021q，解得12q，因而111(1,2,)2nnnaa qn.（2）因为na是首项112a，公比12q 的等比数列，故11(1)12211212nnnS，2nnnnSn.则数列nnS的前 n 项和212(12)()222nnnTn 2311121(12)()222222nnnTnnn 112 48 64 20 28 36 8 12 16 20 3 5 7 9 11 1 2
11、3 4 5 6 高考的热点和重点数列中蕴含着丰富的数学思想而递推公式的通项问题具有很强的逻辑性是考查逻辑推理和转化化归能力的好素材因此也成为近几年高考的热点类型已归纳常见题型类型这种类型一般是等式两取倒数后转化为类型满数的周期性相类似应推导对任意有则为数列的周期例已知数列满足则解析选至此可知数列的各项的值依次为周而复始余类型这种类型一般通过构造方程利用不动点知识处理满足的通项公式例已知数列求数列解析设方程则或两式相除差为的等差数列易求得两式相减得为奇数为偶数解析与类似的方法易求为奇数为偶数类型归纳猜想法例设数列的前项和为的通项公式且方程有一根为求求解析当时有一根为于是解得当时有一根为于是解得由
12、题设即当时代入上式得由学习必备 欢迎下载 得：1111(1)1111(1)22(12)()12222224212nnnnnnTnn nnn ，.即1(1)12222nnnn nnT 例 2已知数列 na满足：11a，22a，223(1)2(1)1nnnnaa，*nN.（1）求3a，4a，5a，6a的值及数列na的通项公式；（2）设212nnnbaa，求数列nb的前 n 项和nS.【思路点拔】（1）先令1,2,3,4n，再讨论 n 的奇偶.（2）用错位相减法.【解析】（1）33a，44a，55a，68a，当 n 为奇数时，2224nnaa，22nnaa，1a，3a，5a，7a，是公差为 2 的等
13、差数列，nan.当 n 为偶数时，224nnaa，22naa，2a，4a，6a，8a，是公比为 2 的等比数列，122222nnnaa.数列na的通项公式为2,2,nnn nan为奇数为偶数.（2）212(21)2nnnnbaan，231 23 252(21)2nnSn ，234121 23 252(21)2nnSn ，两式相减，得：2312222222(21)2nnnSn 3112(12)2(21)212nnn=1(32)26nn，1(23)26nnSn.例 3数列na满足11a 且11816250(1)nnnnaaaan，记1(1)12nnbna.（1）求1b、2b、3b、4b的值；（2）
14、求数列nb的通项公式及数列 nna b的前 n 项和 Sn【解析】方法一：（1）由112nnba，得：112nnab，代入递推关系式11816250nnnnaaaa，整理得114630nnnnbbbb，即1423nnbb，由11a，得12b，所以283b，34b，4203b.（2）由1423nnbb，1442()33nnbb，142033b ，所以43nb 是首项为23，公比2q 的等比数列，故41233nnb ，即142(1)33nnbn .由112nnba，得112nnna bb，故1 122121(12)1513()(251)21233nnnnnnSa ba ba bbbbnnn .高考
15、的热点和重点数列中蕴含着丰富的数学思想而递推公式的通项问题具有很强的逻辑性是考查逻辑推理和转化化归能力的好素材因此也成为近几年高考的热点类型已归纳常见题型类型这种类型一般是等式两取倒数后转化为类型满数的周期性相类似应推导对任意有则为数列的周期例已知数列满足则解析选至此可知数列的各项的值依次为周而复始余类型这种类型一般通过构造方程利用不动点知识处理满足的通项公式例已知数列求数列解析设方程则或两式相除差为的等差数列易求得两式相减得为奇数为偶数解析与类似的方法易求为奇数为偶数类型归纳猜想法例设数列的前项和为的通项公式且方程有一根为求求解析当时有一根为于是解得当时有一根为于是解得由题设即当时代入上式得
16、由学习必备 欢迎下载 方法二：125816nnnaaa 设方程：25816xxx，则21814502xxx 或54x 16312816nnnaaa，1121554816nnnaaa，两式相除得111112255244nnnnaaaa 令：1254nnnaca，则：112nncc，11112254aca 1211()2nnnccq .1211252()52244nnnnnnaaa 124132nnnba 12b，283b，34b，4203b，1253nnna b 11 12215251(122)333nnnnnnnSa ba ba b 例 4已知各项均为正数的数列na满足：13a，且11122n
17、nnnnnaaa aaa，*nN.(1)求数列na的通项公式；(2)设22212nnSaaa，22212111nnTaaa，求nnST，并确定最小正整数n，使nnST为整数.【解析】(1)条件化为11112()nnnnaaaa，因此1nnaa为一个等比数列，其公比为 2，首项为11183aa.所以21*1822()33nnnnanNa.因0na 由，由解出1221(229)3nnna(2)由(1)有2221212111()()()2nnnnSTaaanaaa 34522222*22226 4()()()()2(41)2()33332 7nnnn nN ，为使64(41)227nnnSTn 为整
18、数，当且仅当4127n为整数.当n 1，2 时，显然nnST不为整数，当3n时，12233341(1 3)1333(3)nnnnnnnnCCCC .只需12233312792nnCCnn 为整数，31n与 3 互质，n 为 9 的整数倍.当 n=9 时,311392nn为整数,故 n 的最小正整数为 9.练习：1数列na是公差不为零的等差数列，并且5a，8a，13a是等比数列nb的相邻三项，若25b，则nb等于(D)A155()3n B135()5n C133()5n D153()3n 2数列na的前 n 项和1nnSq(q0 且 q 是常数)，某同学研究此数列后，得出如下三个结论：na的通项
19、公式是1(1)nnaqq；na是等比数列；当 q1 时，221nnnSSS.其中正确结论的个数是(C )A0 B1 C2 D3 高考的热点和重点数列中蕴含着丰富的数学思想而递推公式的通项问题具有很强的逻辑性是考查逻辑推理和转化化归能力的好素材因此也成为近几年高考的热点类型已归纳常见题型类型这种类型一般是等式两取倒数后转化为类型满数的周期性相类似应推导对任意有则为数列的周期例已知数列满足则解析选至此可知数列的各项的值依次为周而复始余类型这种类型一般通过构造方程利用不动点知识处理满足的通项公式例已知数列求数列解析设方程则或两式相除差为的等差数列易求得两式相减得为奇数为偶数解析与类似的方法易求为奇数
20、为偶数类型归纳猜想法例设数列的前项和为的通项公式且方程有一根为求求解析当时有一根为于是解得当时有一根为于是解得由题设即当时代入上式得由学习必备 欢迎下载 3对于实数x，用 x表示不超过 x 的最大整数，如0.32=0，5.68=5.若 n 为正整数，3nna，nS为数列na的前 n 项和，则32nS=.3(1)2n n 4某资料室在计算机使用中，如下表所示，编码以一定规则排列，且从左至右以及从上 到下都是无限的.此表中，主对角线上数列1，2，5，10，17，的通项公式为 ；编码 100 共出现 次.222nn；6 5对正整数 n，设抛物线22(21)ynx，过(2,0)Pn任作直线 l交抛物线
21、于nA，nB两点，则数列2(1)nnOAOBn的前 n 项和为 (1)n n 6设各项均为正数的数列na的前 n 项和为nS，对于任意的正整数 n 都有121212224nnnSSSSaaa 成立.(1)求证：2*11()42nnnSaanN；(2)求数列nS的通项公式；(3)记数列1nS的前 n 项和为nT，求证1nT.(1)nSn n 7已知数列 na的通项公式为65()4()nnnnan为奇数 为偶数，求数列na的前 n 项的和 Sn.【解析】当 n 为偶数2(*)k kN时，有21321242()()kkkSaaaaaa 1 6(1 61)(6(1)15kkk k 21 6(1 61)
22、6515kkk，将2nk 代入，得23516(41)2215nnnnS，当 n 为奇数*21()kkN时，有222212216(161)1616654651515kkkkkkSSakkkk 将12nk代入得2132416215nnnnS.1 1 1 1 1 1 1 2 3 4 5 6 1 3 5 7 9 11 1 4 7 10 13 16 1 5 9 13 17 21 1 6 11 16 21 26 高考的热点和重点数列中蕴含着丰富的数学思想而递推公式的通项问题具有很强的逻辑性是考查逻辑推理和转化化归能力的好素材因此也成为近几年高考的热点类型已归纳常见题型类型这种类型一般是等式两取倒数后转化为类型满数的周期性相类似应推导对任意有则为数列的周期例已知数列满足则解析选至此可知数列的各项的值依次为周而复始余类型这种类型一般通过构造方程利用不动点知识处理满足的通项公式例已知数列求数列解析设方程则或两式相除差为的等差数列易求得两式相减得为奇数为偶数解析与类似的方法易求为奇数为偶数类型归纳猜想法例设数列的前项和为的通项公式且方程有一根为求求解析当时有一根为于是解得当时有一根为于是解得由题设即当时代入上式得由