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1、考点14古典概型与几何概型【过高考】2023年高考数学大一轮单元复习课件与检测（全国通用）一、单选题1. （2022.辽宁实验中学模拟预测）某国计划采购疫苗，现在成熟的疫苗中，三种来自中国，一种来自 美国，一种来自英国，一种由美国和德国共同研发，从这6种疫苗中随机采购三种，若采购每种疫苗都 是等可能的，则买到中国疫苗的概率为（）A. 1B, 1C.2D.里621020【答案】D【解析】【分析】由对立事件的概率公式计算.【详解】没有买到中国疫苗的概率为6=*=/，19所以买到中国疫苗的概率为P = l-6=与.故选：D.2. （2022河南洛阳模拟预测（理）我国中医药选出的“三药三方”对治疗新冠
2、肺炎均有显著效果， “三药”分别为金花清感颗粒、连花清瘟胶囊、血必净注射液；“三方”分别为清肺排毒汤、化湿败毒方、 宜肺败毒方.若某医生从“三药三方”中随机选出三种药方，事件A表示选出的三种药方中至少有一药， 事件5表示选出的三种药方中至少有一方，则P（AB）=（）A 19c 9- 9-18A. B. C. D.20101919【答案】D【解析】【分析】利用古典概型公式求出P（3）和尸（A5）,再利用条件概率公式计算即可得到本题答案.【详解】由题可得,0(3) = 1 = 20P(AB)=C；C；+C；G _ 9c； =io21-7 2故所求概率尸= F- =7.213故选：D.6 18 5
3、3 07 5 3 26 4 2 14 25.6.7.8.9.10.2. （2022全国高考真题（文）分别统计了甲、乙两位同学16周的各周课外体育运动时长（单位: h）,得如下茎叶图：34 61 2 2 5 6 6 6 60 2 3 81则下列结论中错误的是（）A.甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为7.4B.乙同学周课外体育运动时长的样本平均数大于8C.甲同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.4D.乙同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.6【答案】C【解析】【分析】结合茎叶图、中位数、平均数、古典概型等知识确定正确答案.【详解】7 3 + 7 5对于A选项，甲同学周课
4、外体育运动时长的样本中位数为上f = 7.4, A选项结论正确.对于B选项，乙同学课外体育运动时长的样本平均数为：6.3 + 7.4 + 7.6 + 8.14-8.2 + 8.2 + 8.54-8.6 + 8.64-8.64-8.6 + 9.0 + 9.2 + 9.3 + 9.8 +10.1 o =8.50625 8 ,16B选项结论正确.对于C选项,甲同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值二=0.375 0.4 ,16C选项结论错误.13对于D选项，乙同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值；7nOXlZS。6,16D选项结论正确.故选：CD-13. （2022全国高考真题（文）从分别
5、写有1, 2, 3, 4, 5, 6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则 抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为（）A 1A. 5【答案】C【解析】 【分析】先列举出所有情况，再从中挑出数字之积是4的倍数的情况，由古典概型求概率即可. 【详解】从6张卡片中无放回抽取2张，共有（1,（2） 1,3）,5）,（1,6）,（2,31（2,4）,（2,51（2,6）,（3,4）,（3,5）,（3,6）,（4,5）,（4,6）,（5,6）15 种情况,其中数字之积为4的倍数的有（1,4）,（2,4）,（2,6）,（3,4）,（4,5）,（4,6）6种情况，故概率为白= 故选：C.74. （2021
6、.全国.高考真题（理）在区间（0,1）与（1,2）中各随机取1个数，则两数之和大于二的概率为3 22 3B.232 * CD.【分析】设从区间（0,1）,（1,2）中随机取出的数分别为乂y,则实验的所有结果构成区域为Q = （x,y）|0xl,ly2,设事件A表示两数之和大于（，则构成的区域为A = （羽刈01/乂2/+日口，分别求出Q A对应的区域面积，根据几何概型的的概率公式即可解出.【详解】设从区间(0,1),(1,2)中随机取出的数分别为X,y,则实验的所有结果构成区域为Q = (x,y)|()xl,l y2),其面积为 = 1x1 = 1.设事件A表示两数之和大于(，则构成的区域为4
7、 = 亿酬0彳1,14 = = ,所以。(4=”=不.2 4 4 32% 32故选：B.【点睛】本题主要考查利用线性规划解决几何概型中的面积问题，解题关键是准确求出事件A对应的区域面 积,即可顺利解出.5. (2021 .全国.高考真题(文)将3个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为()A. 0.3B. 0.5C. 0.6D. 0.8【答案】C【解析】【分析】利用古典概型的概率公式可求概率.【详解】解：将3个1和2个0随机排成一行，可以是：00111,01011,01101,01110,10011,10101,10110,11001,11010,11100,共10种排法，其中2个0不
8、相邻的排列方法为：01011,01101,01110,10101,10110,11010,共6种方法，故2个0不相邻的概率为2=0.6 ,故选：c.6. （2021 全国高考真题（理）将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（）A. -B. -C. -D.-3535【答案】C【解析】【分析】采用插空法，4个1产生5个空，分2个0相邻和2个。不相邻进行求解.【详解】将4个1和2个。随机排成一行，可利用插空法，4个1产生5个空，若2个0相邻，则有G =5种排法，若2个。不相邻，则有C；=1。种排法，102所以2个0不相邻的概率为-=-. I X vx故选：C.二、填空题7. （2022
9、.全国.高考真题（文）从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入 选的概率为.3【答案】#0.310【解析】【分析】根据古典概型计算即可【详解】解法一：设这5名同学分别为甲，乙，1,2,3,从5名同学中随机选3名，有：（甲，乙，1）,（甲，乙，2）,（甲，乙，3）,（甲，1, 2）,（甲，1, 3）,（甲，2, 3）,（乙，1, 2）,（乙，1, 3）,（乙，2, 3）, （1, 2, 3）,共10种选法；3其中，甲、乙都入选的选法有3种，故所求概率尸=历.3故答案为：.解法二：从5名同学中随机选3名的方法数为C；=10甲、乙都入选的方法数为C；=3,所以甲、乙都入选的概率尸
10、3 故答案为：8. （2022.全国.高考真题（理）从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为【答案】*【解析】【分析】根据古典概型的概率公式即可求出.【详解】从正方体的8个顶点中任取4个，有=仁=70个结果，这4个点在同一个平面的有根= 6 + 6 = 12个，m 26故所求概率尸=2 =2. n70 35故答案为：.J J三、解答题9. （2022全国高考真题（文）甲、乙两城之间的长途客车均由A和8两家公司运营，为了解这两家 公司长途客车的运行情况，随机调查了甲、乙两城之间的500个班次，得到下面列联表：准点班次数未准点班次数A24020B21030根据上表，分别估计这两
11、家公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率；能否有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关?附：犬=, (a + b)(c + d)(+ c)(b + d)尸0.1000.0500.010k2.7063.8416.635127【答案】（1）4 8两家公司长途客车准点的概率分别为古，（2）有13o【解析】【分析】（1）根据表格中数据以及古典概型的概率公式可求得结果；（2）根据表格中数据及公式计算R2,再利用临界值表比较即可得结论.根据表中数据，A共有班次260次，准点班次有240次, 设A家公司长途客车准点事件为则 P(M) =24026012138共有班次240次，准点
12、班次有210次, 设8家公司长途客车准点事件为N,则 P(N)=210240A家公司长途客车准点的概率为百;73家公司长途客车准点的概率为丁.O(2)列联表准点班次数未准点班次数合计A24020260B21030240合计45050500K2 =n(ad-bc)( + b)(c + d)(a + c)( + d) 3.205 2.706,500x(240x30-210x20)2260x240x450x50根据临界值表可知，有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关.所以尸（川3）=喘1819故选：D3. （2022黑龙江大庆实验中学模拟预测（理）2021年5月30日清
13、晨5时01分，天舟二号货运飞船在 成功发射约8小时后，与中国空间站天和核心舱完成自主快速交接.如果下次执行空间站的任务由3名 航天员承担，需要在3名女性航天员和3名男性航天员中选择，则选出的3名航天员中既有男性航天员又 有女性航天员的概率为（）6 924A. -B. C. -D.7 10515【答案】B【解析】【分析】利用对立事件和古典概型的概率公式求解即可.则尸（止1 一管喘【详解】 设“选出的3名航天员中既有男性航天员又有女性航天员”为事件 故选：B.4. （2022安徽合肥市第八中学模拟预测（文）我国18岁的滑雪运动员谷爱凌在第24届北京冬奥会 上勇夺“两金一银”，取得了优异的成绩，在某
14、项决赛中选手可以滑跳三次，然后取三次中最高的分数 作为该选手的得分，谷爱凌为了取得佳绩，准备采用目前女运动员中最难的动作进行滑跳，设每轮滑 跳的成功率为0.4,利用计算机产生09之间取整数值的随机数，我们用0, 1, 2, 3表示滑跳成功，4, 5, 6, 7, 8, 9表示滑跳不成功，现以每3个随机数为一组，作为3轮滑跳的结果，经随机模拟产生如下 10组随机数:931, 502, 659, 491, 275, 937, 740, 632, 845, 302.由此估计谷爱凌“3轮滑跳中至少 有2轮成功”的概率为（）A. 0.3【答案】B【解析】【分析】B. 0.4C. 0.5D. 0.6根据古
15、典概型的计算公式即可求解.【详解】由题意，10组随机数中，表示“3轮滑跳中至少有2轮成功”的有931, 502, 632, 302,共4个，所以估计4谷爱凌“3轮滑跳中至少有2轮成功邛勺概率为=二0.4 ,故选：B.5. （2022.安徽师范大学附属中学模拟预测（文）由于发现新冠阳性感染者，2022年4月17日-23日芜 湖市主城区实施静态管理，最终控制了疫情.初三、高三学生于27日返校复课，返校前需提供48小时核 酸检测阴性证明.为配合核酸检测，我市从3名护士和2名医生中随机选取两位派往某社区检测点工作，则恰好选取一名医生和一名护士的概率为（）【答案】D【解析】【分析】枚举所有情况求解即可【
16、详解】记3名护士为cde, 2名医生为AB,两个检测点分别为：AB, Ac, Ad, Ae, Be, Bd, Be, cd, ce, de共 10个基本事件，其中恰好选取一名医生和一名护士有Ac, Ad, Ae, Be, Bd, Be共6种，所以概率为6 3 105故选：D6. （2022.江西赣州市第三中学模拟预测（理）九章算术是我国古典数学教学名著之一，书中 有如下问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方儿何？ ”其意思为“已知直角三角形两直角边长分别 为5步和12步，问一边在勾上的内接正方形的边长为多少步？ ”在此题的条件下，向此三角形内随机投 2890粒豆子，则落在这个内接正方形内的豆
17、子数大约是（）A. 900粒B. 1200粒C. 1800粒D. 2400粒【答案】B【解析】【分析】计算正方形边长，根据几何概型面积型概率公式估计概率，进而可估计豆子数.如图所示，直角三角形两直角边长分别为5步和12步，则面积为30平方步,设内接正方形的边长为x,（60 V所以正方形的面积为翳平方步，3600向此三角形内投豆子，落在其内接正方形内的概率为289 _120,30289120所以向此三角形内随机投2890粒豆子，则落在这个内接正方形内的豆子数大约是2890x荻 = 1200粒, 故选：B.7. （2022.四川省泸县第二中学模拟预测（文）一种电子小型娱乐游戏的主界面是半径为一的一
18、个圆，点击圆周上点A后该点在圆周上随机转动，最终落点为乐 当线段的长不小于血厂时自动播放音 乐，则一次转动能播放出音乐的概率为（）D- i【答案】C【解析】【分析】 结合图形分析得满足条件点B位于下半圆（包括端点”,N）,利用几何概型的概率公式求解.【详解】 如图，连接49,过。作直径MN,使得AOLMN,连接AM,则可得jrr I满足条件点5位于下半圆（包括端点M,N）,其概率为?=亚=5,故选：C.8. （2022全国模拟预测（文）已知4A3C和A3。都内接于同一个圆，是正三角形,ABO是直角三角形，则在ABO内任取一点，该点取自一ABC内的概率为（）1 A.4【答案】C【解析】【分析】s
19、不妨设AB = C，分别求S四结合几何概型尸代入计算. A3。【详解】由题可知是直角三角形，如图所示，AO是外接圆的直径，不妨设AB = 6则 3O = l,AE = a,3E = ,可得 SA =-AEBE = -,S.abd=-ABBD = 222822S3则可得所求的概率P =曾叫=T-故选：C.二、填空题9. （2022.上海模拟预测）为了检测学生的身体素质指标，从游泳类1项，球类3项，田径类4项共8项 项目中随机抽取4项进行检则，则每一类都被抽到的概率为;3【答案】y【解析】【分析】由题意，利用古典概型的计算公式，计算求得结果.【详解】解：从游泳类1项，球类3项，田径类4项共8项项目
20、中随机抽取4项进行检测，则每一类都被抽到的方法共有C；C；C； +C；C；C；种，而所有的抽取方法共有C；种，故每一类都被抽到的概率为c；-c； C，c； cc；=|q = 33故答案为：10. （2022.吉林长春模拟预测（文）向平面区域（苍丁）卜2 + /41内随机投入一点，则该点落在区2x+y0内的概率等于”0【答案】一4不【解析】【分析】画出平面区域及线性区域，应用几何概型的面积比求概率即可.【详解】由题设，线性区域为如下图，由2%+y = l知：直线与坐标轴交点为（0,1）、（J,0）,所以线性区域面积为：xlx!= 7.879, 50x40x50x40有99.5%的把握认为选择全理
21、与性别有关.设“至少抽到一名女生”为事件A,设4名男生分别为1, 2, 3, 4,两名女生分别为5, 6.从6名学生中抽取2名所有的可能为:(1, 2) , (1, 3),(1, 4) , (1, 5) , (1, 6) , (2, 3) , (2, 4) , (2, 5) , (2,6) ， (3, 4) ， (3, 5) ， (3, 6)，(4, 5),(4, 6) (5, 6),共 15种.不包含女生的基本事件有(1, 2) , (1, 3) , (1, 4) , (2, 3) , (2, 4) , (3, 4)共6种.693故所求概率p(A)= l- = = -.12. (2021山西
22、临汾模拟预测(文)在区间。上产生两组均匀随机数为，X?,公和川， 为，.，W，由此得到N个点(4y)(i = 12 ,N),统计4看的点(%,y)数目为X.(1)当N = 1时，求X=1的概率；0%1(2)设平面区域。：yx(i)求。的面积S；(ii)某计算机兴趣小组用以上方法估计Q的面积，当N = 100时，求其估计值与实际值之差在区间 (-0.1,0.1)内的概率.附表：P*) = p(X=t).，=()k394041596061P0.017600.028440.044310.971550.982390.98951【答案】(1)(2) (i) S=g；(ii) 0.94311.【解析】【分
23、析】(1)当n = i时，X = 1,即在0xi, 0yKi内随机产生了一个点，并且这个点位于直线y = x下 方.根据几何概型求得概率；IV(2) (i)由图易知S = ； (ii)设面积的估计值为SL则:=念，因为面积误差在区间(-0.1,0.1), gp|5-5|0.1,得0.4S0.6,所以40Vx60,59P(40 X 60) = Z 尸(X =。=尸(59) - 0(40)即可求得.1=41【详解】解：(1)当N = 1时，x = i,即在0xi, ovy=x下方.由几何概型可知p=;.1 2） （i）由图可知5 =.2q v（ii）设面积的估计值为S,则?=念，因为面积误差在区间
24、（-0.10.1）,即|s-s 0.1,得0.4S0.6,所以 40Vx60,59P（40 X 60） = Z P（X =。= P（59） P（40） /=41= 0.97155- 0.02844 = 0.94311.【点睛】关键点点睛：作出可行域，根据儿何概型求得概率及面积；将面积误差在区间（-0.1,0.1）转化为变量 40X60,从而求得概率.真题纸T一、单选题1. （2022全国高考真题）从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（）A. -B. -C. ；D.-6323【答案】D【解析】【分析】由古典概型概率公式结合组合、列举法即可得解.【详解】从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，共有21种不同的取法，若两数不互质,不同的取法有：（2,4）,（2,6）,（2,8）,（3,6）,（4,6）,（4,8）,（6,8）,共7种，