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1、精品资料 欢迎下载 数学三角函数复习提纲 三角函数 一、（1）任意角：按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角,按顺时针方向所形成的角叫做负角。如果射线没有作任何旋转，那么也把它看成一个角，叫做零角。一般地，与角终边相同的角的集合为：)360 0(,360|z k k 终边落在坐标轴正半轴上的角的集合为：X 轴正半轴：,360|z k k y 轴正半轴：,90 360|z k k 终边落在坐标轴上的角的集合为：只落在坐标轴：,90|z k k X 轴：,180|z k k y 轴：,90 180|z k k（2）角度制：用度作为角的单位来度量角的单位制叫做角度制。弧度制：用弧度作为角的单位来度量角的
2、单位制叫做弧度制。radrl(l,2 0 为弧长，r为半径)rlrr S212 222 扇 弧度化为角度：180；角度化为弧度：rad180 常用到的一些角的弧度数与角度数之间的关系：角度数 0 15 30 45 60 75 90 105 弧度数 0 12 6 4 3 125 2 127 角度数 120 135 150 165 180 270 360 弧度数 32 43 65 1211 23 2 精品资料 欢迎下载 二、任意角的三角函数 我们规定：比值ry叫做的正弦，记作sin，即rysin；比值rx叫做的余弦，记作cos，即rxcos；比值)0(xxy叫做的正切，记作tan，即xytan。三
3、、正弦函数，余弦函数，正切函数的值在各象限的符号：sin c o s tan 记忆口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦。四、特殊角的函数值:角 0 30 45 60 90 180 270 360 角的弧度制 0 6 4 3 2 23 2 sin 0 21 22 23 1 0 1 0 cos 1 23 22 21 0 1 0 1 tan 0 33 1 3 0 0 五、同角三角函数关系：1 cos sin2 2 cossintan（当不等于,2|z k k 时）六、三角函数的诱导公式：公式一：sin)2 sin(k，cos)2 cos(k tancossin)2 cos()2 sin()2 tan
4、(kkk 公式二：sin)sin(cos)cos(tancossin)cos()sin()tan(a 所形成的角叫做负角如果射线没有作任何旋转那么也把它看成一个角叫做零角一般地与角终边相同的角的集合为终边落在坐标轴正半轴上的角的集合为轴正半轴轴正半轴终边落在坐标轴上的角的集合为只落在坐标轴轴轴角度制用度 径扇弧度化为角度角度化为弧度常用到的一些角的弧度数与角度数之间的关系角度数弧度数角度数弧度数精品资料欢迎下载二任意角的三角函数我们规定比值叫做的正弦记作即比值叫做的余弦记作即比值叫做的正切记作即三正弦函 同角三角函数关系当不等于时六三角函数的诱导公式公式一公式二精品资料欢迎下载公式三公式四公式
5、五公式六七三角函数的图像与性质正弦函数正弦函数的图像正弦函数的性质定义域值域周期性且都是它的周期最小正周期是奇偶精品资料 欢迎下载 公式三：sin)sin(，cos)cos(tancossin)cos()sin()tan(公式四：sin)sin(，cos)cos(tancossin)cos()sin()tan(a 公式五：cos)2sin(，sin)2cos(tan1sincos)2cos()2sin()2tan(公式六：cos)cos()(2sin)2sin(sin)sin()(2cos)2cos(tan1sincos)2cos()2sin()2tan(七、三角函数的图像与性质（1）正弦函数
6、 正弦函数的图像：R x x y,sin 正弦函数的性质：定义域：R 值域-1，1 周期性：z k k(2且)0 k都是它的周期，最小正周期是2 奇偶性：由于x x sin)sin(，故为奇函数 单调性：在区间 k k 22,22)(z k 上都是增函数；在区间 k k 223,22)(z k 上都是减函数 所形成的角叫做负角如果射线没有作任何旋转那么也把它看成一个角叫做零角一般地与角终边相同的角的集合为终边落在坐标轴正半轴上的角的集合为轴正半轴轴正半轴终边落在坐标轴上的角的集合为只落在坐标轴轴轴角度制用度 径扇弧度化为角度角度化为弧度常用到的一些角的弧度数与角度数之间的关系角度数弧度数角度数
7、弧度数精品资料欢迎下载二任意角的三角函数我们规定比值叫做的正弦记作即比值叫做的余弦记作即比值叫做的正切记作即三正弦函 同角三角函数关系当不等于时六三角函数的诱导公式公式一公式二精品资料欢迎下载公式三公式四公式五公式六七三角函数的图像与性质正弦函数正弦函数的图像正弦函数的性质定义域值域周期性且都是它的周期最小正周期是奇偶精品资料 欢迎下载 最值：当)(22 z k k x 时，1min y 当)(22 z k k x 时，1maxy 对称轴：)(2z k k x 对称中心：)(0,(z k k（2）余弦函数 余弦函数的图像：R x x y,cos 余弦函数的性质：定义域：R 值域：-1,1 周期
8、性：z k k(2且)0 k都是它的周期，最小正周期是2 奇偶性：由于x x cos)cos(，故为偶函数 单调性：在区间 k k 2,2)(z k 上都是增函数；在区间 k k 2,2)(z k 上都是减函数 最值：当)()1 2(z k k x 时，1min y 当)(2 z k k x 时，1maxy 对称轴：)(z k k x 对称中心：)(0,2(z k k（3）正切函数 所形成的角叫做负角如果射线没有作任何旋转那么也把它看成一个角叫做零角一般地与角终边相同的角的集合为终边落在坐标轴正半轴上的角的集合为轴正半轴轴正半轴终边落在坐标轴上的角的集合为只落在坐标轴轴轴角度制用度 径扇弧度化
9、为角度角度化为弧度常用到的一些角的弧度数与角度数之间的关系角度数弧度数角度数弧度数精品资料欢迎下载二任意角的三角函数我们规定比值叫做的正弦记作即比值叫做的余弦记作即比值叫做的正切记作即三正弦函 同角三角函数关系当不等于时六三角函数的诱导公式公式一公式二精品资料欢迎下载公式三公式四公式五公式六七三角函数的图像与性质正弦函数正弦函数的图像正弦函数的性质定义域值域周期性且都是它的周期最小正周期是奇偶精品资料 欢迎下载 正切函数的图像：)(2,tan z k k x R y x y 正切函数的性质：定义域：,2|z k k x x 值域：R 周期性：z k k(且)0 k都是它的周期，最小正周期是 奇
10、偶性：由于x x tan)tan(，故为奇函数 单调性：在区间)(2,2(z k k k 上是增函数 对称中心：)(0,2(z kk 温馨提示：（1）正弦函数x y tan 无单调递减区间（2）正弦函数x y tan 在整个定义域内不单调 八、函数)sin(x A y的图像与性质（1）函数)sin(x A y的图像 对)sin(x A y图像的影响 0 时，图像向左平移；0 时，图像向右平移 对)sin(x A y图像的影响 所形成的角叫做负角如果射线没有作任何旋转那么也把它看成一个角叫做零角一般地与角终边相同的角的集合为终边落在坐标轴正半轴上的角的集合为轴正半轴轴正半轴终边落在坐标轴上的角的
11、集合为只落在坐标轴轴轴角度制用度 径扇弧度化为角度角度化为弧度常用到的一些角的弧度数与角度数之间的关系角度数弧度数角度数弧度数精品资料欢迎下载二任意角的三角函数我们规定比值叫做的正弦记作即比值叫做的余弦记作即比值叫做的正切记作即三正弦函 同角三角函数关系当不等于时六三角函数的诱导公式公式一公式二精品资料欢迎下载公式三公式四公式五公式六七三角函数的图像与性质正弦函数正弦函数的图像正弦函数的性质定义域值域周期性且都是它的周期最小正周期是奇偶精品资料 欢迎下载 1 时，周期变小，因此图像上所有点的横坐标缩短为原来的1倍 1 0 时，周期变大，因此图像上所有的点横坐标伸长为原来的1倍)0(A A对)s
12、in(x A y图像的影响 1 A时，图像上所有点的纵坐标伸长为原来的A倍 1 0 A时，图像上所有点的纵坐标缩短为原来的A倍（2）函数)sin(x A y的特征 振幅：A 周期：2 T 频率：21 Tf 相位：x 初相：（3）函数)sin(x A y的图像的基本变换 一般地，函数),0,0)(sin(R x A x A y 的图像可以用下面的方法得到：先周期，后相位 上面的变换可分解为:周期变换：函数,0)(sin(x y且)1 的图像，可以看作是把x y sin 的图像上各点的横坐标都缩短)1(或伸长)1 0(到原来的1倍（纵坐标不变）而得到的，由x y sin 的图像变换为所形成的角叫做
13、负角如果射线没有作任何旋转那么也把它看成一个角叫做零角一般地与角终边相同的角的集合为终边落在坐标轴正半轴上的角的集合为轴正半轴轴正半轴终边落在坐标轴上的角的集合为只落在坐标轴轴轴角度制用度 径扇弧度化为角度角度化为弧度常用到的一些角的弧度数与角度数之间的关系角度数弧度数角度数弧度数精品资料欢迎下载二任意角的三角函数我们规定比值叫做的正弦记作即比值叫做的余弦记作即比值叫做的正切记作即三正弦函 同角三角函数关系当不等于时六三角函数的诱导公式公式一公式二精品资料欢迎下载公式三公式四公式五公式六七三角函数的图像与性质正弦函数正弦函数的图像正弦函数的性质定义域值域周期性且都是它的周期最小正周期是奇偶精品
14、资料 欢迎下载 x y sin 的图像，其周期由2变为 2。这种变换叫做周期变换，它实质上是横向的伸缩 相位变换：函数)0)(sin(x y的图像，可以看作是把x y sin 的图像上各点向左)0(或向右)0(平移个单位而得到的。这种由x y sin 的图像变换为)0)(sin(x y的图像的变换，使相位由x变为 x，我们称它为相位变换，它实质上是一种左右平移变换。振幅变换：函数,0(sin A x A y且)1 A的图像，可以看作是把x y sin 的图像上所有点的纵坐标都伸长)1(A或缩短)1 0(A为原来的A倍（横坐标不变）而得到的。这种变换叫做振幅变换，它实质上是纵向的伸缩 平面向量
15、一、平面向量的有关概念（1）数量：只有大小没有方向的量称为数量，例如温度、时间、质量、面积等都是数量 向量：既有大小又有方向的量叫做向量，例如位移、力、速度、力矩、加速度等都是向量（2）向量的几何表示：向量可用一条有向线段来表示，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向 具有方向的线段叫做有向线段，有向线段三要素：起点、方向、长度（3）向量的字母表示：向量也可以用字母c b a,表示，书写时用 c ab,表示，或用表示向量有向线段的起点和终点字母表示，如AB（4）向量的模：向量AB的大小（或长度）叫做向量的模，记作AB或a（5）零向量：长度（或模）为 0 向量叫做零向量，记作
16、 0，零向量的方向是任意的（6）单位向量：长度（或模）等于 1 个单位的向量，叫做单位向量（7）平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量（规定：0与任一向量平行）所形成的角叫做负角如果射线没有作任何旋转那么也把它看成一个角叫做零角一般地与角终边相同的角的集合为终边落在坐标轴正半轴上的角的集合为轴正半轴轴正半轴终边落在坐标轴上的角的集合为只落在坐标轴轴轴角度制用度 径扇弧度化为角度角度化为弧度常用到的一些角的弧度数与角度数之间的关系角度数弧度数角度数弧度数精品资料欢迎下载二任意角的三角函数我们规定比值叫做的正弦记作即比值叫做的余弦记作即比值叫做的正切记作即三正弦函 同角三角函数关系当不等于
17、时六三角函数的诱导公式公式一公式二精品资料欢迎下载公式三公式四公式五公式六七三角函数的图像与性质正弦函数正弦函数的图像正弦函数的性质定义域值域周期性且都是它的周期最小正周期是奇偶精品资料 欢迎下载（8）共线向量：任一组平行向量都可以移动到同一直线上，因此，平行向量也叫共线向量（9）相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量 向量a与b相等记作b a，凡零向量都相等 二、平面向量的线性运算（1）向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法（2）向量加法的三角形法则：非零向量,b a在平面内任取一点A，作,b BC a AB 则向量AC叫做a与b的和，记作b a 即b a AC BC AB，
18、这种求向量和的方法，称为向量的加法的三角形法则（3）向量加法的平行四边形法则 如图，已知非零向量,b a在平面内任取一点 A，作b AD a AB,，以AD AB,为邻边作ABCD，则以 A为起点的对角线AC就是向量 a 与 b 的和，即AC AD AB（4）向量加法的运算律 交换律：a b b a 结合律：)()(c b a c b a（5）向量加法的重要结论：起点、终点顺次相接围成一周的向量和为0 所形成的角叫做负角如果射线没有作任何旋转那么也把它看成一个角叫做零角一般地与角终边相同的角的集合为终边落在坐标轴正半轴上的角的集合为轴正半轴轴正半轴终边落在坐标轴上的角的集合为只落在坐标轴轴轴角
19、度制用度 径扇弧度化为角度角度化为弧度常用到的一些角的弧度数与角度数之间的关系角度数弧度数角度数弧度数精品资料欢迎下载二任意角的三角函数我们规定比值叫做的正弦记作即比值叫做的余弦记作即比值叫做的正切记作即三正弦函 同角三角函数关系当不等于时六三角函数的诱导公式公式一公式二精品资料欢迎下载公式三公式四公式五公式六七三角函数的图像与性质正弦函数正弦函数的图像正弦函数的性质定义域值域周期性且都是它的周期最小正周期是奇偶精品资料 欢迎下载 如上图，0 EA DE CD BC AB a a a 0 0 当两向量平行时，平行四边形法则不适用，但仍适用三角形法则（6）相反向量 我们规定与a长度相等，方向相反
20、的向量，叫做a的相反向量，记作a 特别提示：（1）a a)(（2）零向量的相反向量仍是零向量（3）任一向量与其相反向量的和是零向量，即0)()(a a a a（7）向量的减法 我们定义)(b a b a，即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量（8）向量减法的三角法则 如 图，已 知 向 量,b a在 平 面 内 任 取 一 点o，作,b OB a OA 则,b a BA 即b a 可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量（9）向量的数乘 我们规定实数与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作a，它的长度与方向规定如下：a a；当0 时，a的方向与a的方向相同；当0 时，a的
21、方向与a的方向相反；由可知，当0 时，0 a（10）向量数乘的运算律 设,为实数，,b a为向量，则满足如下运算律：所形成的角叫做负角如果射线没有作任何旋转那么也把它看成一个角叫做零角一般地与角终边相同的角的集合为终边落在坐标轴正半轴上的角的集合为轴正半轴轴正半轴终边落在坐标轴上的角的集合为只落在坐标轴轴轴角度制用度 径扇弧度化为角度角度化为弧度常用到的一些角的弧度数与角度数之间的关系角度数弧度数角度数弧度数精品资料欢迎下载二任意角的三角函数我们规定比值叫做的正弦记作即比值叫做的余弦记作即比值叫做的正切记作即三正弦函 同角三角函数关系当不等于时六三角函数的诱导公式公式一公式二精品资料欢迎下载公
22、式三公式四公式五公式六七三角函数的图像与性质正弦函数正弦函数的图像正弦函数的性质定义域值域周期性且都是它的周期最小正周期是奇偶精品资料 欢迎下载 a a)()(结合律 a a a)(第一分配律 b a b a)(第二分配律（11）向量共线（平行）的充要条件 向量a与非零向量b共线（平行）的充要条件是有且只有唯一一个实数，使得b a，即)0(/b b a b a 三、平面向量的基本定理及坐标表示（1）平面向量基本定理 如果2 1,e e是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数,2 1 使2 2 1 1e e a 我们把不共线的向量2 1,e e叫做表示这一平
23、面内所有向量的一组基底（2）向量的夹角 已 知 两 个 非 零 向 量a和b，作,b OB a OA 则)180 0(AOB叫做向量a与b夹角 显然，当 0时，a与b同向；当 180时，a与b反向。如果a与b的夹角是 90，我们说a与b垂直，记作b a（3）平面向量的坐标表示 在平面直角坐标系中，分别取与 x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量j i,作为基底，对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得yj xi a。这样，平面内的任一向量a都可由 x，y 唯一确定，我们把有序数对),(y x叫做向量a的坐标，记作),(y x a；反之，任一有序数对),(y x
24、也确定唯一一个向量。其中 x 叫做a在 x 轴上的坐标，y 叫做a在 y 轴上的坐标，),(y x a 叫做向量的坐标表示，显然，)0,0(0),1,0(),0,1(j i 特别提示：若点A的坐标为),(y x，则OA的坐标也为),(y x；反之，若),(y x OA，则点点A的坐标为),(y x 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标（4）平面向量的坐标运算 若),(),(2 2 1 1y x b y x a 为实数，则),(2 1 2 1y y x x b a 所形成的角叫做负角如果射线没有作任何旋转那么也把它看成一个角叫做零角一般地与角终边相同的角的集合为终边落
25、在坐标轴正半轴上的角的集合为轴正半轴轴正半轴终边落在坐标轴上的角的集合为只落在坐标轴轴轴角度制用度 径扇弧度化为角度角度化为弧度常用到的一些角的弧度数与角度数之间的关系角度数弧度数角度数弧度数精品资料欢迎下载二任意角的三角函数我们规定比值叫做的正弦记作即比值叫做的余弦记作即比值叫做的正切记作即三正弦函 同角三角函数关系当不等于时六三角函数的诱导公式公式一公式二精品资料欢迎下载公式三公式四公式五公式六七三角函数的图像与性质正弦函数正弦函数的图像正弦函数的性质定义域值域周期性且都是它的周期最小正周期是奇偶精品资料 欢迎下载),(),(1 1 2 1 2 1y x a y y x x b a。已知)
26、,(),(2 2 1 1y x B y x A则),(1 2 1 2y y x x AB。平面向量共线的坐标表示：设),0)(,(),(2 2 1 1 b y x b y x a则b a/的充要条件是01 2 2 1 y x y x。设),(),(),(3 3 2 2 1 1y x C y x B y x A要证三点共线，只需证明BC AB/.又),(),(2 3 2 3 1 2 1 2y y x x BC y y x x AB 所 以 只 需 证 明0)()(1 2 2 3 2 3 1 2 y y x x y y x x即可。（5）线段的定比分点 设2 1,P P是直线l上的两点，点P是l上
27、不同于2 1,P P的任意一点，则存在一个实数，使,2 1PP P P 叫点P分有向线段2 1P P所成的比，P叫做点比分点。当点P在线段2 1P P上时，P;0 与1P重合时，P;0 在1P左侧时，P;0 1 在2P右侧时，1（6）定比分点、中点坐标公式 如图，若2 1 2 1,P P P PP P P的坐标分别是)(),(),(2,2 1 1y x y x y x 则),(),(2 2 2 1 1 1y y x x PP y y x x P P)()(),(),(2 12 12 2 1 12 1y y y yx x x xy y x x y y x xPP P P 由此方程组解出 x，y，
28、得到有向线段2 1P P的定比分点坐标公式：)1(1,12 1 2 1 y yyx xx 所形成的角叫做负角如果射线没有作任何旋转那么也把它看成一个角叫做零角一般地与角终边相同的角的集合为终边落在坐标轴正半轴上的角的集合为轴正半轴轴正半轴终边落在坐标轴上的角的集合为只落在坐标轴轴轴角度制用度 径扇弧度化为角度角度化为弧度常用到的一些角的弧度数与角度数之间的关系角度数弧度数角度数弧度数精品资料欢迎下载二任意角的三角函数我们规定比值叫做的正弦记作即比值叫做的余弦记作即比值叫做的正切记作即三正弦函 同角三角函数关系当不等于时六三角函数的诱导公式公式一公式二精品资料欢迎下载公式三公式四公式五公式六七三
29、角函数的图像与性质正弦函数正弦函数的图像正弦函数的性质定义域值域周期性且都是它的周期最小正周期是奇偶精品资料 欢迎下载 特别地，当1 时，P为中点，坐标公式为2,22 1 2 1y yyx xx（7）三角形的中心坐标公式 设ABC 中点ABC y x C y x B y x A),(),(),(3 3 2 2 1 1的重心),(y x G为 3,33 2 1 3 2 1y y yyx x xx（8）坐标平移公式 点),(y x P按 向 量),(k h a 平 移 后 的 点),(y x P则),(k y y h x x 这个公式叫做点的平移公式，又称坐标平移公式。四、平面向量的数量积（1）平
30、面向量的数量积（内积）：已知两个非零向量a与b，我们把数量cos b a叫做a与b的数量积（内积），记 作b a，即cos b a b a。其 中，是a与b的 夹 角，)cos(cos b a叫做向量a在 b方向上（b在a方向上）的投影。规定：零向量与任一向量的数量积均为 0.（2）向量数量积的几何意义 数量积b a 等于a的长度a与b在a方向上的投影cos b的乘积。（3）向量数量积的性质 设a与b都是非零向量，则.0 b a b a 当a与b同向时，;b a b a 当a与b反向时，.b a b a 特别地，a a a2 或a a a b ab a cos。b a b a（当且仅当b a/
31、时，等号成立）（4）向量数量积的运算律 a b b a)()()(b a b a b a b a b a)()(所形成的角叫做负角如果射线没有作任何旋转那么也把它看成一个角叫做零角一般地与角终边相同的角的集合为终边落在坐标轴正半轴上的角的集合为轴正半轴轴正半轴终边落在坐标轴上的角的集合为只落在坐标轴轴轴角度制用度 径扇弧度化为角度角度化为弧度常用到的一些角的弧度数与角度数之间的关系角度数弧度数角度数弧度数精品资料欢迎下载二任意角的三角函数我们规定比值叫做的正弦记作即比值叫做的余弦记作即比值叫做的正切记作即三正弦函 同角三角函数关系当不等于时六三角函数的诱导公式公式一公式二精品资料欢迎下载公式三
32、公式四公式五公式六七三角函数的图像与性质正弦函数正弦函数的图像正弦函数的性质定义域值域周期性且都是它的周期最小正周期是奇偶精品资料 欢迎下载 c b c a c b a)(bb aab a 2 222)(2 2)()(b a b a b a 特别提示：对于,c b a有)()(c b a c b a（5）平面向量数量积、长度、夹角、垂直和平行的坐标表示 已知非零向量),(),(2 2 1 1y x b y x a 则 2 1 2 1y y x x b a 2 2 2 22 2 1 1,y x b y x a 2 2 2 22 2 1 12 1 2 1cosy x y xy y x xb ab
33、a 02 1 2 1 y y x x b a 0)0(/1 2 2 1 y x y x b b a 五、平面向量应用举例（1）平面向量在平面几何中的应用 证明线段相等、平行，常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，有时也用到向量减法的定义。证明线段平行、三角形相似，以及判两直线（或线段）是否平行，常运用向量平行（共线）的条件：b a b a/；若),(),(2 2 1 1y x b y x a 则0/1 2 2 1 y x y x b a 证明线段的垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形，判断两直线（线段）是否垂直等，常运用向量垂直的条件：0 b a b a；若),(),(2 2 1 1y
34、x b y x a，则02 1 2 1 y y x x b a 求与夹角相关的问题，往往利用向量的夹角公式b ab a cos，如求三角形的面积用公式C ab S sin21时，可利用夹角公式，求出C sin。向量的坐标法，对于有些平面几何问题，如矩形、正方形、直角三角形等，建立直角坐标系，把向量用坐标表示，通过代数运算解决几何问题。用向量方法解决平面几何问题的步骤：1、建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；2、通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；3、把运算结果转化为几何关系；所形成的角叫做负角如果射线没有作任何旋转那么也
35、把它看成一个角叫做零角一般地与角终边相同的角的集合为终边落在坐标轴正半轴上的角的集合为轴正半轴轴正半轴终边落在坐标轴上的角的集合为只落在坐标轴轴轴角度制用度 径扇弧度化为角度角度化为弧度常用到的一些角的弧度数与角度数之间的关系角度数弧度数角度数弧度数精品资料欢迎下载二任意角的三角函数我们规定比值叫做的正弦记作即比值叫做的余弦记作即比值叫做的正切记作即三正弦函 同角三角函数关系当不等于时六三角函数的诱导公式公式一公式二精品资料欢迎下载公式三公式四公式五公式六七三角函数的图像与性质正弦函数正弦函数的图像正弦函数的性质定义域值域周期性且都是它的周期最小正周期是奇偶精品资料 欢迎下载 向量是集代数与图
36、形于一身，既有代数的抽象性又有几何的直观性，因而向量方法是几何研究的一个有力工具，在运用向量方法解决平面几何问题时，将几何问题转化为向量问题是关键。对具体问题是选用向量几何法还是用向量坐标法是难点，利用向量的坐标法有时会给解决问题带来方便。（2）平面向量在解析几何中的应用 在平面直角坐标系中，有序实数对),(y x既可以表示一个固定的点，又可以表示一个向量，这使向量与解析几何有了密切的联系。特别是有关直线的平行、垂直问题，可以用向量方法解决。直线的倾斜角、斜率与平行于该直线的向量之间的关系。设 直 线l的 倾 斜 角 为，斜 率 为k，向 量),(2 1a a a 平 行 于l，则12tana
37、ak。如果已知直线的斜率12aak，则向量),(2 1a a一定与该直线平行。与),(2 1a a a 平行且过),(0 0y x P的直线方程为0)()(0 1 0 2 y y a x x a。过 点),(0 0y x P且 与 向 量),(2 1a a a 垂 直 的 直 线 方 程 为0)()(0 2 0 1 y y a x x a。对于上述方程可利用向量平行与垂直的条件得到，要在理解的基础上运用。（3）平面向量在物理中的应用 力向量 力向量是具有大小、方向和作用点的向量，它与前面学习的自由向量不同，但力是具有大小和方向的量，在不计作用点的情况下，可用向量求和的平行四边形法则，求两个力的
38、合力。速度向量 速度向量是具有大小和方向的向量，因而可用求向量和的平行四边形法则，求两个速度的合速度。特别提示：求力向量、速度向量常用的方法：向量几何法，借助于向量求和的平行四边形法则求解。用向量方法解决物理问题的步骤：1、把物理问题中的相关量用向量表示；2、转化为向量的模型，通过向量运算使问题解决；3、结果还原为物理问题。三角恒等变换 一、两角和与差的余弦 在直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边分别作,其终边分别与单位圆交于),sin,(cos),sin,(cos2 1 P P则 2 1OP P。由于余弦函数是周期为2的偶函数，所以，我们只需考虑 0的情况。所形成的角叫做负角如果射线没有作任何
39、旋转那么也把它看成一个角叫做零角一般地与角终边相同的角的集合为终边落在坐标轴正半轴上的角的集合为轴正半轴轴正半轴终边落在坐标轴上的角的集合为只落在坐标轴轴轴角度制用度 径扇弧度化为角度角度化为弧度常用到的一些角的弧度数与角度数之间的关系角度数弧度数角度数弧度数精品资料欢迎下载二任意角的三角函数我们规定比值叫做的正弦记作即比值叫做的余弦记作即比值叫做的正切记作即三正弦函 同角三角函数关系当不等于时六三角函数的诱导公式公式一公式二精品资料欢迎下载公式三公式四公式五公式六七三角函数的图像与性质正弦函数正弦函数的图像正弦函数的性质定义域值域周期性且都是它的周期最小正周期是奇偶精品资料 欢迎下载 设向量
40、)sin,(cos)sin,(cos21 OP bOP a 则)cos()cos(b a b a 另一方面，由向量数量积的坐标表示，有 sin sin cos cos b a 所以，两角差的余弦公式为：).(sin sin cos cos)cos()(C 在两角差的余弦公式中，用代替，就可以得到)sin(sin)cos(cos)(cos)cos(所以，两角和的余弦公式为：).(sin sin cos cos)cos()(C 二、两角和与差的正弦)2cos()(2cos)sin(sin cos cos sinsin)2sin(cos)2cos(所以，两角和的正弦公式为).(sin cos cos
41、 sin)sin()(S 在两角和的正弦公式中，用代替，就可以得到)sin(cos)cos(sin)(sin)sin(所以，两角差的正弦公式为).(sin cos cos sin)sin()(S 三、两角和与差的正切 利用公式)(S和)(C，我们不难推出两角和与差的正切公式。sin sin cos cossin cos cos sin)cos()sin()tan(所形成的角叫做负角如果射线没有作任何旋转那么也把它看成一个角叫做零角一般地与角终边相同的角的集合为终边落在坐标轴正半轴上的角的集合为轴正半轴轴正半轴终边落在坐标轴上的角的集合为只落在坐标轴轴轴角度制用度 径扇弧度化为角度角度化为弧度常
42、用到的一些角的弧度数与角度数之间的关系角度数弧度数角度数弧度数精品资料欢迎下载二任意角的三角函数我们规定比值叫做的正弦记作即比值叫做的余弦记作即比值叫做的正切记作即三正弦函 同角三角函数关系当不等于时六三角函数的诱导公式公式一公式二精品资料欢迎下载公式三公式四公式五公式六七三角函数的图像与性质正弦函数正弦函数的图像正弦函数的性质定义域值域周期性且都是它的周期最小正周期是奇偶精品资料 欢迎下载 tan tan 1tan tancos cossin sin cos coscos cossin cos cos sin tan tan 1tan tan)tan(tan 1)tan(tan)tan(所以
43、，两角和（差）的正切公式).(tan tan 1tan tan)tan().(tan tan 1tan tan)tan()()(TT 在三角形ABC中，C B A C B A tan tan tan tan tan tan 四、二倍角的三角函数 只要在)(S，)(C，)()(T公式中，令，就可以得到如下结果).(tan 1tan 22 tan).(sin cos 2 cos).(cos sin 2 2 sin22222 2 TCS 其中，公式 2C还可以变形为).(sin 2 1 2 cos).(1 cos 2 2 cos2222 CC 降幂公式：由倍角公式变形得到，亦称为降幂公式。2 cos
44、 12 cos 1tan,22 cos 1cos,22 cos 1sin222 五、几个三角恒等式 cos sin 2)sin()sin(2cos2sin 2 sin sin 所形成的角叫做负角如果射线没有作任何旋转那么也把它看成一个角叫做零角一般地与角终边相同的角的集合为终边落在坐标轴正半轴上的角的集合为轴正半轴轴正半轴终边落在坐标轴上的角的集合为只落在坐标轴轴轴角度制用度 径扇弧度化为角度角度化为弧度常用到的一些角的弧度数与角度数之间的关系角度数弧度数角度数弧度数精品资料欢迎下载二任意角的三角函数我们规定比值叫做的正弦记作即比值叫做的余弦记作即比值叫做的正切记作即三正弦函 同角三角函数关系
45、当不等于时六三角函数的诱导公式公式一公式二精品资料欢迎下载公式三公式四公式五公式六七三角函数的图像与性质正弦函数正弦函数的图像正弦函数的性质定义域值域周期性且都是它的周期最小正周期是奇偶精品资料 欢迎下载 2 222 12tan,11cos,12sintttttt（万能代换公式）解析：设,2tan t 2222 2 2122tan 12tan 2tan122tan 12tan 22sin2cos2cos2sin 22cos2sin 2 sintttt 同理可得，2222111212tansincostttttt 此公式称为万能代换公式，利用万能代换公式，可以用2tan的有理式统一表示角的任何三
46、角函数值。解三角形 一、正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，且等于其三角形的外接圆的直径。如图，在ABC Rt中，我们有ccCcbBcaA 1 sin,sin,sin 所以，RCcBbAa2sin sin sin，即正弦定理 所形成的角叫做负角如果射线没有作任何旋转那么也把它看成一个角叫做零角一般地与角终边相同的角的集合为终边落在坐标轴正半轴上的角的集合为轴正半轴轴正半轴终边落在坐标轴上的角的集合为只落在坐标轴轴轴角度制用度 径扇弧度化为角度角度化为弧度常用到的一些角的弧度数与角度数之间的关系角度数弧度数角度数弧度数精品资料欢迎下载二任意角的三角函数我们规定比值叫做的正弦记
47、作即比值叫做的余弦记作即比值叫做的正切记作即三正弦函 同角三角函数关系当不等于时六三角函数的诱导公式公式一公式二精品资料欢迎下载公式三公式四公式五公式六七三角函数的图像与性质正弦函数正弦函数的图像正弦函数的性质定义域值域周期性且都是它的周期最小正周期是奇偶精品资料 欢迎下载 二、余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。如图，可知AC BA BC，故)()(AC BA AC BA BC BC 2 22 22 2cos 2)180 cos(22b A cb cAC A AC BA BAAC AC BA BA 即A bc c b a cos 2
48、2 2 2 同理可得B ca a c b cos 2 2 2 2，C ab b a c cos 2 2 2 2 所以余弦定理为：C ab b a cB ca a c b A bc c b acos 2,cos 2,cos 22 2 22 2 2 2 2 2 余弦定理可变形为：abc b aCcab a cBbca c bA2cos,2cos,2cos2 2 2 2 2 2 2 2 2 二、正弦定理，余弦定理的应用 正弦定理的应用：利用正弦定理可以解决以下两类有关三角形的问题 1、已知两角和任一边，求其他两边和一角（只有一解）；2、已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，从而进一步求出其他的边
49、和角，要特别注意解的个数的讨论（可有两解、一解或无解）余弦定理的应用：利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题 1、已知三边，求三个角；2、已知两边和它们的夹角，求第三边和其他角 三、任意三角形面积公式 C ab B ac A bc SABCsin21sin21sin21；3 2 1 3 2 1,(212121h h h ch bh ah SABC 分别为三角形边c b a,上的高)；r c b a r SABC)(21 为三角形内切圆半径)所形成的角叫做负角如果射线没有作任何旋转那么也把它看成一个角叫做零角一般地与角终边相同的角的集合为终边落在坐标轴正半轴上的角的集合为轴正半轴轴正半轴终边落在坐标轴上的角的集合为只落在坐标轴轴轴角度制用度 径扇弧度化为角度角度化为弧度常用到的一些角的弧度数与角度数之间的关系角度数弧度数角度数弧度数精品资料欢迎下载二任意角的三角函数我们规定比值叫做的正弦记作即比值叫做的余弦记作即比值叫做的正切记作即三正弦函 同角三角函数关系当不等于时六三角函数的诱导公式公式一公式二精品资料欢迎下载公式三公式四公式五公式六七三角函数的图像与性质正弦函数正弦函数的图像正弦函数的性质定义域值域周期性且都是它的周期最小正周期是奇偶