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1、学习必备 欢迎下载 第四章 三角函数教材分析 三角函数是中学数学的重要内容之一.由于角的概念由静态到动态的推广，它的研究由几何中的相似形和圆的静态的关系拓展到代数变形和图象分析的动态变换，因此三角函数的研究已经初步把几何与代数联系起来了，本章所介绍的知识，既是解决生产实际问题的工具，又是学习中学后继内容和高等数学的基础。一、内容与要求 63223567643325311622322(一)本章主要内容是任意角的概念、弧度制、任意角的三角函数、同角三角函数间的关系、诱导公式、两角和与差的三角函数、二倍角的三角函数、三角函数的图象和性质、已知三角函数值求角等。(二)第一大节是“任意角的三角函数”。教
2、科书首先推广了角的概念，介绍了弧度制，接着把三角函数的概念由锐角直接推广到任意角(都用坐标定义)，然后导出同角三角函数的两个基本关系式及正弦、余弦的诱导公式。教科书在本大节的各小节中，都安排了许多实例以及知识的应用。第二大节是“两角和与差的三角函数”。教科书先引入平面内两点间距离公式(只通过画图说明公式的正确性，不予严格证明)，用距离公式推出余弦的和角公式，然后顺次推出(尽量用启发式)其他公式，同时安排了这些公式的简单应用和实际应用，包括解决引言中的实际问题，引出半角公式、和差化积及积化和差公式让学生有所了解。第三大节是“三角函数的图象和性质”。教科书先利用正弦线画出函数xysin，x0,2的
3、图象，并根据“终边相同的角有相同的三角函数值”，把这一图象向左、右平行移动，得到正弦曲线；在此基础上，利用诱导公式，把正弦曲线向左平行移动2个单位长度，得到余弦曲线。接着根据这两种曲线的形状和特点，研究了正弦、余弦函数的性质，然后又研究了正弦函数的简图的画法，简要地介绍了利用正切线画出正切函数的图象以及正切函数的性质。最后讲述了如何由已知三角函数值求角，并引进了arcsinx、arccosx、arctanx 等记号，以供在后续章节中遇到求角问题时用来表示答案。(三)本章的教学要求是：1使学生理解任意角的概念、弧度的意义；能正确地进行弧度与角度的换算。2使学生掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义，
4、了解余切、正割、余割的定义；掌握同角三角函数的基本关系式；掌握正弦、余弦的诱导公式。3使学生掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式；掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式。通过公式的推导，了解它们的内在联系，从而培养逻辑推理能力。4使学生能正确运用三角公式，进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明（包括引出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆）。5 使学生会用单位圆中的三角函数线画出正弦函数、余弦函数、正切函数的图象，并在此基础上由诱导公式画出余弦函数的图象；理解周期函数与最小正周期的意义，并通过它们的图象理解这正弦函数、余弦函数、正切函数的性质；会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数的
5、简图，理解 A、的物理意义。6使学生会由已知三角函数值求角，并会用符号 arcsinx、arccosx、arctanx 表示。二、考点要求 1理解弧度的定义，并能正确地进行弧度和角度的换算。2掌握任意角的三角函数的定义、三角函数的符号、同角三角函数的关系式与诱导公式，了解周期学习必备 欢迎下载 函数和最小正周期的意义，会求)sin(xAy的周期，或者经过简单的恒等变形可以化为上述函数的三角函数的周期。能运用上述三角公式化简三角函数式，求任意角的三角函数值与证明较简单的三角恒等式。3了解正弦、余弦、正切、余切函数的图象的画法，会用“五点法”画正弦、余弦函数和函数)sin(xAy的简图，并能解决正
6、弦、曲线有关的实际问题。4能推导并掌握两角和、两角差、二倍角与半角的正弦、余弦、正切公式。5了解三角函数的积化和差与和差化积公式。6能正确地运用上述公式简化三角函数式、求某些角的三角函数值。证明较简单的三角恒等式以及解决一些简单的实际问题。7掌握余弦定理、正弦定理及其推导过程、并能运用它们解斜三角形。三、考点分析 三角函数是一种重要的初等函数，由于其特殊的性质以及与其他代数、几何知识的密切联系，它既是研究其他各部分知识的重要工具，又是高考考查双基的重要内容之一。本章分两部分，第一部分是三角函数部分的基础，不要求引入难度过高，计算过繁，技巧性过强的题目，重点应放在结知识理解的准确性、熟练性和灵活
7、性上。试题以选择题、填空题形式居多，试题难度不高，常与其他知识结合考查。复习时应把握好以下几点：1理解弧度制表示角的优点在于把角的集合与实数集一一对应起来，二是就可把三角函数看成以实数为自变量的函数。2要区别正角、负角、零角、锐角、钝角、区间角、象限角、终边相同角的概念。3在已知一个角的三角函数值，求这个角的其他三角函数值时，要注意题设中角的范围，并对不同的象限分别求出相应的值。在应用诱导公式进行三角式的化简、求值时，应注意公式中符号的选取。4单位圆中的三角函数线，是三角函数的一种几何表示，用三角函数线的数值来代替三角函数值，比由三角函数定义所规定的比值所得出三角函数值优越得多，因此，三角函数
8、是讨论三角函数性质的一个强有力的工具。5要善于将三角函数式尽可能化为只含一个三角函数的“标准式”，进而可求得某些复合三角函数的最值、最小正周期、单调性等。对函数式作恒等变形时需特别注意保持定义域的不变性。6函数的单调性是在给定的区间上考虑的，只有属于同一单调敬意的同一函数的两个函数值才能由它的单调性来比较大小。7对于具有周期性的函数，在作图时只要先作它在一个周期中的图象，然后利用周期性就可作出整个函数的图象。8对于33cossin，44cossin，66cossin等表达式，要会进行熟练的变形，并利用1cossin22等三角公式进行化简。本章第二部分是两角和与差的三角函数，考查的知识共 7 个
9、，高考中在选择题、填空题和解答题三种题型中都考查过本章知识，题目多为求值题，有直接求某个三角函数值的，也有通过三角变换求函数的变量范围，周期，最小、大值和讨论其他性质；以及少量的化简，证明题。考查的题量一般为 34 个，分值在 1222 分，都是容易题和中等题，重点考查内容是两角和与差的正弦、余弦及正切公式，和差化积、各积化和差公式。考生丢分的原因主要有以下两点：一是公式不熟，二是运算不过关，因此复习时要注意以下几点：广它的研究由几何中的相似形和圆的静态的关系拓展到代数变形和图象分析的动态变换因此三角函数的研究已经初步把几何与代数联系起来了本章所介绍的知识既是解决生产实际问题的工具又是学习中学
10、后继内容和高等数学的基础差的三角函数二倍角的三角函数三角函数的图象和性质已知三角函数值求角等二第一大节是任意角的三角函数教科书首先推广了角的概念介绍了弧度制接着把三角函数的概念由锐角接推广到任意角都用坐标定义然后导出同角三角函节是两角和与差的三角函数教科书先引入平面内两点间距离公式只通过画图说明公式的正确性不予严格证明用距离公式推出余弦的和角公式然后顺次推出尽量用启发式其他公式同时安排了这些公式的简单应用和实际应用包括解决引学习必备 欢迎下载 1熟练掌握和、差、倍、半角的三角函数公式。复习中注意掌握以下几个三角恒等变形的常用方法和简单技巧。常值代换，特别是“1”的代换，如：1tancot，22
11、cossin1，221csccot，221sectan等等。项的分拆与角的配凑。降次与升次。万能代换 另外，注意理解两角和、差、倍、半角公式中角的实质，可以把公式中的角看成一种整体形式，可以锦成其他变量或函数，这样可加大公式的应用范围和力度。2要会运用和差化积与积化和差公式。对三角函数和差式，要善于转化为积的形式，反之亦然，对于形如cossinba的式子，要引入辅助角并化成)sin(22 ba的形式，这里辅助角所在的象限由ba,的符号决定，角的值由abtg确定。对这种思想，务必强化训练，加深认识。3归纳总结并熟练掌握好三角函数的化简与求值的常用方法和技巧。三角函数化简时，在题设的要求下，首先应
12、合理利用有关公式，还要尽量减少角的种数，尽量减少三角函数种数，尽量化同角、化同名等。其他思想还有：异次化同次、高次化低次、化弦或化切、化和差为乘积、化乘积为和差、特殊角三角函数与特殊值互化等。三角函数的求值问题，主要有两种类型。一关是给角求值问题；另一类是给值求角问题。它们都是通过恰当的变换，设法再与求值的三角函数式、特殊角的三角函数式、已知某值的三角函数式之间建立起联系。选用公式时应注意方向性、灵活性，以造成消项或约项的机会，简化问题。4关于三角函数式的简单证明。三角恒等证明分不附加条件和附加条件两种，证明方法灵活多样。一般规律是从化简入手，适当变换，化繁为简，不过这里的变换目标要由所证恒等
13、式的特点来决定。不附加条件的三角恒等式证明：多用综合法、分析法、在特定的条件下，也可使用数学归纳法。附加条件的三角恒等式证明：关键在于恰当而适时地使用所附加的条件，也就是要仔细地寻找所附加条件和要证明的等式之间的内在联系。常用的方法是代入法和消元法。三角恒等证明中要重点会用和差与积的互化公式，掌握等价转化的思想和变量代换的方法。证明的关键是：发现差异观察等式两边角、函数、运算间的差异；寻找联系选择恰当公式，找出差异间的联系；合理转化促进联系，创造性地应用基本公式。而关于角的恒等式或条件恒等式的证明，一般来说，要证，先证明,的同名三角函数值相等，即)()(ff，再证明,在三角函数)(xfy 的同
14、一单调区间内，而后由函数的单调性得出。5在解有关三角形的问题中，锐角三角函数的定义、勾股定理、正弦定理、余弦定理是常用的工具。注意三角形面积公式ahS21，CabSsin21的妙用和三角形内角和CBA的制约关系的作用。6求三角函数最值的常用方法是：配方法、判别式法、重要不等式法、变量代换法、三角函数的单调性和有界性等。其基本思想是将三角函数的最值转化为代数函数的最值。广它的研究由几何中的相似形和圆的静态的关系拓展到代数变形和图象分析的动态变换因此三角函数的研究已经初步把几何与代数联系起来了本章所介绍的知识既是解决生产实际问题的工具又是学习中学后继内容和高等数学的基础差的三角函数二倍角的三角函数三角函数的图象和性质已知三角函数值求角等二第一大节是任意角的三角函数教科书首先推广了角的概念介绍了弧度制接着把三角函数的概念由锐角接推广到任意角都用坐标定义然后导出同角三角函节是两角和与差的三角函数教科书先引入平面内两点间距离公式只通过画图说明公式的正确性不予严格证明用距离公式推出余弦的和角公式然后顺次推出尽量用启发式其他公式同时安排了这些公式的简单应用和实际应用包括解决引