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1、1 不等式一、知识点：1.实数的性质：0 b a b a；0 b a b a；0 b a b a 2.不等式的性质：性 质 内 容 对称性 a b b a，a b b a 传递性 a b 且b c a c 加法性质 a b a c b c；a b 且c d a c b d 乘法性质,0 a b c ac bc；0 a b，且0 0 c d ac bd 乘方、开方性质 0,n na b n N a b；0,n n a b n N a b 倒数性质 1 1,0 a b aba b 3.常用基本不等式：条 件 结 论 等号成立的条件 a R 20 a 0 a,a R b R 2 22 a b ab，
2、2()2a bab，2 22()2 2a b a b a b 0,0 b a基本不等式：2 a b ab 常见变式：2 baab；21 aaa b 0,0 b a2 21 122 2b a b aabb a a b 4.利用重要不等式求最值的两个命题：命题 1：已知 a，b都是正数，若 ab是实值 P，则当 a=b=时，和 a b有最小值 2.命题 2：已知 a，b都是正数，若 a b是实值 S，则当 a=b=2s时，积 ab有最大值42s.注意：运用重要不等式求值时，要注意三个条件：一“正”二“定”三“等”，即各项均为正数，和或积为定值，取最值时等号能成立，以上三个条件缺一不可.5.一元二次
3、不等式的解法：设 a0,x1x2是方程 ax2+bx+c=0的两个实根，且 x1 x2，则有 不等式知识点归纳与题型 2 结论：ax2+bx+c02004 0aab ac 或 检验；ax2+bx+c0=0 0解集 x xx2 x x x1 R ax2+bx+c0解集 x x1xx2 3(3)方程22 1 0 x x 有两个相同的解1 21 x x 根据22 1 y x x 的图象，可得原不等式22 1 0 x x 的解集为(4)因为0，所以方程22 2 0 x x 无实数解，根据22 2 y x x 的图象，可得原不等式22 2 0 x x 的解集为 练习 1.（1）解不等式073xx；（若改
4、为307xx呢？）（2）解不等式2 317xx；解:(1)原不等式 0 3,0 70 3,0 7xxxx或|7 3 x x(该题后的答案:|7 3 x x).(2)1007xx即|7 10 x x.8、最值定理 设 x、y都为正数，则有 若 x y s（和为定值），则当 x y 时，积 xy取得最大值24s 若 xy p（积为定值），则当 x y 时，和 x y 取得最小值 2 p 即：“积定，和有最小值；和定，积有最大值”注意：一正、二定、三相等 几种常见解不等式的解法 重难点归纳 解不等式对学生的运算化简等价转化能力有较高的要求，随着高考命题原则向能力立意的进一步转化，对解不等式的考查将会
5、更是热点，解不等式需要注意下面几个问题(1)熟练掌握一元一次不等式(组)、一元二次不等式(组)的解法(2)掌握用零点分段法解高次不等式和分式不等式，特别要注意因式的处理方法(3)掌握无理不等式的三种类型的等价形式，指数和对数不等式的几种基本类型的解法(4)掌握含绝对值不等式的几种基本类型的解法(5)在解不等式的过程中，要充分运用自己的分析能力，把原不等式等价地转化为易解的不等式(6)对于含字母的不等式，要能按照正确的分类标准，进行分类讨论 典型题例示范讲解 例 1：如果多项式)(x f可分解为n个一次式的积，则一元高次不等式0)(x f（或0)(x f）可用“穿根法”求解，但要注意处理好有重根
6、的情况 当分式不等式化为)0(0)()(或x gx f时，要注意它的等价变形 4 0)()(0)()(x g x fx gx f 0)()(0)(0)()(0)(0)()(0)()(x g x f x fx gx fx gx g x fx gx f或 或 用“穿根法”解不等式时应注意：各一次项中x的系数必为正；对于偶次或奇次重根可转化为不含 重根的不等式，也可直接用“穿根法”，但注意“奇穿偶不穿”，其法如下图 不等式左右两边都是含有 x的代数式，必须先把它们移到一边，使另一边为 0再解 例：解不等式：（1）0 15 22 3 x x x；（2）0)2()5)(4(3 2 x x x 解：（1）
7、原不等式可化为 0)3)(5 2(x x x 把方程0)3)(5 2(x x x的三个根3,25,03 2 1 x x x顺次标上数轴 然后从右上开始画线顺次经过三个根，其解集如下图的阴影部分 原不等式解集为 3 025x x x 或（2）原不等式等价于 2 450)2)(4(0 50)2()5)(4(3 2x xxx xxx x x或 原不等式解集为 2 4 5 5 x x x x 或 或 解下列分式不等式：例：（1）22123 x x；（2）12 7 31 422 x xx x（1）解：原不等式等价于 5 0)2)(2(0)2)(2)(1)(6(0)2)(2()1)(6(0)2)(2(6
8、50)2)(2()2()2(302 232 232x xx x x xx xx xx xx xx xx x xxxx xxx 用“穿根法”原不等式解集为,6 2,1)2,(。（2）解法一：原不等式等价于 02 7 31 3 222 x xx x 2 121310 2 7 30 1 3 20 2 7 30 1 3 20)2 7 3)(1 3 2(22222 2 x x xx xx xx xx xx x x x或 或或 原不等式解集为),2()1,21()31,(。解法二：原不等式等价于0)2)(1 3()1)(1 2(x xx x 0)2()1 3)(1)(1 2(x x x x 用“穿根法”原
9、不等式解集为),2()1,21()31,(例 2：绝对值不等式，解此题的关键是去绝对值符号，而去绝对值符号有两种方法：一是根据绝对值的意义)0()0(a aa aa 二是根据绝对值的性质：a x a x a x a a x.,或a x，因此本题有如下两种解法 例：解不等式2 42 x x 解：原不等式等价于 2 4)2(2 x x x 6 即)2(42 422x xx x 3 12 13 2 xx xx故 或 例 3：已知 f(x)是定义在 1，1 上的奇函数，且 f(1)=1，若 m、n 1，1，m+n 0时n mn f m f)()(0(1)用定义证明 f(x)在 1，1上是增函数；(2)
10、解不等式 f(x+21)f(11 x)；(3)若 f(x)t2 2at+1对所有 x 1，1，a 1，1恒成立，求实数 t的取值范围 技巧与方法(1)问单调性的证明，利用奇偶性灵活变通使用已知条件不等式是关键，(3)问利用单调性把f(x)转化成“1”是点睛之笔(1)证明 任取 x1 x2，且 x1，x2 1，1，则 f(x1)f(x2)=f(x1)+f(x2)=2 12 1)()(x xx f x f(x1 x2)1 x1 x2 1，x1+(x2)0，由已知2 12 1)()(x xx f x f 0，又 x1 x2 0，f(x1)f(x2)0，即 f(x)在 1，1上为增函数(2)解 f(x
11、)在 1，1上为增函数，112111111211xxxx 解得 x|23 x 1，x R(3)解 由(1)可知 f(x)在 1，1上为增函数，且 f(1)=1，故对 x 1，1，恒有 f(x)1，所以要 f(x)t2 2at+1对所有 x 1，1，a 1，1恒成立，即要 t2 2at+1 1成立，故 t2 2at 0，记 g(a)=t2 2at，对 a 1，1，g(a)0，只需 g(a)在 1，1上的最小值大于等于 0，g(1)0，g(1)0，解得，t 2或 t=0或 t 2 t的取值范围是 t|t 2或 t=0或 t 2 例 5：解关于 x的不等式2)1(xx a 1(a 1)解 原不等式可
12、化为 2)2()1(xa x a 0，当 a 1时，原不等式与(x12aa)(x 2)0同解 由于2 11 1 21 1aa a 7 原不等式的解为(，12aa)(2，+)当 a 1时，原不等式与(x12aa)(x 2)0同解 由于2 111 1aa a,若 a 0，2 11 21 1aa a,解集为(12aa，2)；若 a=0时，2 11 21 1aa a，解集为；若 0 a 1，2 11 21 1aa a,解集为(2，12aa)综上所述 当 a 1时解集为(，12aa)(2，+)；当 0 a 1时，解集为(2，12aa)；当 a=0 时，解集为；当 a 0时，解集为(12aa，2）例 6
13、设 R m，解关于 x的不等式 0 3 22 2 mx x m 分析：进行分类讨论求解 解：当 0 m 时，因 0 3 一定成立，故原不等式的解集为 R 当 0 m 时，原不等式化为 0)1)(3(mx mx；当 0 m 时，解得mxm1 3；当 0 m 时，解得mxm3 1 当 0 m 时，原不等式的解集为 mxmx1 3；当 0 m 时，原不等式的解集为 mxmx3 1 说明：解不等式时，由于 R m，因此不能完全按一元二次不等式的解法求解因为当 0 m 时，原不等式化为 0 3，此时不等式的解集为 R，所以解题时应分 0 m 与 0 m 两种情况来讨论 的解是 1 x 例 8 解关于 x
14、的不等式 0)(3 2 2 a x a a x 分析：不等式中含有字母 a，故需分类讨论但解题思路与一般的一元二次不等式的解法完全一样：求出方程 0)(3 2 2 a x a a x 的根，然后写出不等式的解，但由于方程的根含有字母 a，故需比较两根的大小，从而引出讨论 解：原不等式可化为 0)(2 a x a x(1)当2a a（即 1 a 或 0 a）时，不等式的解集为：8 2a x a x x 或；(2)当2a a（即 1 0 a）时，不等式的解集为：a x a x x 或2；(3)当2a a（即 0 a 或 1）时，不等式的解集为：a x R x x 且 说明：对参数进行的讨论，是根据
15、解题的需要而自然引出的，并非一开始就对参数加以分类、讨论比如本题，为求不等式的解，需先求出方程的根 a x 1，22a x，因此不等式的解就是 x小于小根或 x大于大根 但a与2a 两根的大小不能确定，因此需要讨论2a a，2a a，2a a 三种情况 例 9 不等式 0 22 bx ax 的解集为 2 1 x x，求 a与 b的值 分析：此题为一元二次不等式逆向思维题，要使解集为 2 1 x x，不等式 0 22 bx ax 需满足条件 0 a，0，0 22 bx ax 的两根为 11 x，22 x 解法一：设 0 22 bx ax 的两根为1x，2x，由韦达定理得：ax xabx x22
16、12 1 由题意：2 122 1aab 1 a，1 b，此时满足 0 a，0)2(42 a b 解法二：构造解集为 2 1 x x 的一元二次不等式：0)2)(1(x x，即 0 22 x x，此不等式与原不等式 0 22 bx ax 应为同解不等式，故需满足：221 1 b a 1 a，1 b 例 10 解关于 x的不等式 0 1)1(2 x a ax 分析：本题考查一元一次不等式与一元二次不等式的解法，因为含有字母系数，所以还考查分类思想 解：分以下情况讨论(1)当 0 a 时，原不等式变为：0 1 x，1 x(2)当 0 a 时，原不等式变为：0)1)(1(x ax 当 0 a 时，式变
17、为 0)1)(1(xax，不等式的解为 1 x 或ax1 9 当 0 a 时，式变为 0)1)(1(xax aaa 111，当 1 0 a 时，11a，此时的解为ax11 当 1 a 时，11a，此时的解为11 xa 说明：解本题要注意分类讨论思想的运用，关键是要找到分类的标准，就本题来说有三级分类：111 00000aaaaaaaR a 分类应做到使所给参数 a的集合的并集为全集，交集为空集，要做到不重不漏另外，解本题还要注意在讨论 0 a 时，解一元二次不等式 0 1)1(2 x a ax 应首选做到将二次项系数变为正数再求解 例 11解不等式 x x x 8 10 32 分析：无理不等式
18、转化为有理不等式，要注意平方的条件和根式有意义的条件，一般情况下，)()(x g x f 可转化为)()(x g x f 或)()(x g x f，而)()(x g x f 等价于：0)(0)(x gx f或2)()(0)(0)(x g x fx gx f 解：原不等式等价于下面两个不等式组：0 10 30 82x xx 2 22)8(10 30 10 30 8x x xx xx 由得 2 58x xx或，8 x 由得.13742 58xx xx或 81374 x，所以原不等式的解集为 8 81374x x x 或，即为1374x x 说明：本题也可以转化为)()(x g x f 型的不等式求
19、解，注意：10 2)()(0)(0)()()(x g x fx gx fx g x f 例 12.已知关于x的不等式20 x mx n 的解集是|5 1 x x，求实数,m n之值 解：不等式20 x mx n 的解集是|5 1 x x 1 25,1 x x 是20 x mx n 的两个实数根，由韦达定理知：5 15 1mn 45mn 练习已知不等式20 ax bx c 的解集为|2 3 x x 求不等式20 cx bx a 的解集 解：由题意 2 32 30bacaa，即560b ac aa 代入不等式20 cx bx a 得：26 5 0(0)ax ax a a 即26 5 1 0 x x
20、，所求不等式的解集为1 1|3 2x x 1).恒成立问题 若不等式 A x f 在区间 D上恒成立,则等价于在区间 D上 minf x A 若不等式 B x f 在区间 D上恒成立,则等价于在区间 D上 maxf x B 如（1）设实数,x y满足2 2(1)1 x y，当 0 x y c 时，c的取值范围是_（答：2 1,）；（2）不等式 a x x 3 4 对一切实数 x恒成立，求实数 a的取值范围 _（答：1 a）；（3）若不等式)1(1 22 x m x 对满足 2 m 的所有 m都成立，则 x的取值范围 _（答：（7 12,3 12）；（4）若不等式nann1)1(2)1(对于任意
21、正整数 n恒成立，则实数 a的取值范围是 _（答：3 2,)2）；（5）若不等式22 2 1 0 x mx m 对 0 1 x 的所有实数 x都成立，求 m的取值范围.11（答：12m）2).能成立问题若在区间 D上存在实数x使不等式A x f 成立,则等价于在区间 D上maxf x A；若在区间 D上存在实数x使不等式B x f 成立,则等价于在区间 D上的minf x B.如已知不等式 a x x 3 4 在实数集R上的解集不是空集，求实数 a的取值范围 _（答：1 a）3).恰成立问题若不等式A x f 在区间 D上恰成立,则等价于不等式A x f 的解集为D；若不等式B x f 在区间
22、 D上恰成立,则等价于不等式B x f 的解集为D.不等式的基本知识 一、解不等式 1、一元二次不等式的解法 一元二次不等式 0 0 02 2 a c bx ax c bx ax 或的解集：设相应的一元二次方程 0 02 a c bx ax的两根为2 1 2 1x x x x 且、，ac b 42，则不等式的解的各种情况如下表：0 0 0 二次函数 c bx ax y 2（0 a）的图象 c bx ax y 2 c bx ax y 2 c bx ax y 2 一元二次方程 的根 002 ac bx ax 有两相异实根)(,2 1 2 1x x x x 有两相等实根 abx x22 1 无实根
23、的解集)0(02 ac bx ax 2 1x x x x x 或 abx x2 R 的解集)0(02 ac bx ax 2 1x x x x 2、简单的一元高次不等式的解法：标根法：其步骤是：1）分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正；2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意 奇穿过偶弹回；3）根据曲线显现()f x的符号变化规律，写出不等式的解集。如：x x x 1 1 2 02 3 3、分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为 0，再通分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解
24、。解分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。()()0()()0()()0;0()0()()f x g xf x f xf x g xg x g x g x 4、不等式的恒成立问题：常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题 若不等式 A x f 在区间D上恒成立,则等价于在区间D上 minf x A 若不等式 B x f 在区间D上恒成立,则等价于在区间D上 maxf x B 二、线性规划 1、用二元一次不等式（组）表示平面区域 二元一次不等式 Ax+By+C 0在平面直角坐标系中表示直线 Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线
25、）2、二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法 由于对在直线 Ax+By+C=0同一侧的所有点(y x,)，把它的坐标（y x,)代入 Ax+By+C，所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点（x0,y0)，从 Ax0+By0+C的正负即可判断 Ax+By+C 0表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当 C0 时，常把 原点 作为此特殊点）3、线性规划的有关概念：线性约束条件：在上述问题中，不等式组是一组变量 x、y的约束条件，这组约束条件都是关于 x、y的一次不等式，故又称线性约束条件 线性目标函数：关于 x、y的一次式 z=ax+by是欲达到最大值或最小值所涉及的变量 x、
26、y的解析式，叫线性目标函数 线性规划问题：一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题 可行解、可行域和最优解：满足线性约束条件的解（x,y）叫可行解 由所有可行解组成的集合叫做可行域 使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解 4、求线性目标函数在线性约束条件下的最优解的步骤：1）寻找线性约束条件，列出线性目标函数；2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；3）依据线性目标函数作参照直线 ax+by 0，在可行域内平移参照直线求目标函数的最优解.三、基本不等式2a bab 1、若 a,b R,则 a2+b22 ab,当且仅当 a=b时取等
27、号.2、如果 a,b是正数，那么).).).(2号 时取 当且仅当 b a abb a 变形：有:a+bab 2；ab22 b a,当且仅当 a=b时取等号.3、如果 a,b R+,a b=P(定值),当且仅当 a=b时,a+b有最小值P 2;如果 a,b R+,且 a+b=S(定值),当且仅当 a=b时,ab有最大值42S.注：1）当两个正数的积为定值时，可以求它们和的最小值，当两个正数的和为定值时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”2）求最值的重要条件“一正，二定，三取等”4、常用不等式有：1）2 222 2 1 1a b a baba b(根据目标不等式左右的运算结
28、构选用)；2）a、b、c R，2 2 2a b c ab bc ca（当且仅当a b c 时，取等号）；3）若 0,0 a b m，则b b ma a m（糖水的浓度问题）。不等式主要题型讲解 一、不等式与不等关系 题型一：不等式的性质 1、对于实数c b a,中，给出下列命题：2 2,bc ac b a 则 若；b a bc ac 则 若,2 2；2 2,0 b ab a b a 则 若；b ab a1 1,0 则 若；baabb a 则 若,0；b a b a 则 若,0；b cba cab a c 则 若,0；1 1,a ba b 若，则0,0 a b。其中正确的命题是 _ 题型二：比较
29、大小（作差法、函数单调性、中间量比较，基本不等式）2、设 2 a，12p aa，2 422 a aq，试比较 q p,的大小 3、比较 1+3 logx与)1 0(2 log 2 x xx且 的大小 4、若)2lg(),lg(lg21,lg lg,1b aR b a Q b a P b a，则R Q P,的 大 小 关 系是.二、解不等式 题型三：解不等式 5、解不等式：0 4 7 22 x x 0 1 4 42 x x 6、解不等式2(1)(2)0 x x。7、解不等式 2512 3xx x 8、不等式212 0 ax bx 的解集为 x|-1 x 2，则a=_,b=_ 9、关于 x的不等式
30、 0 b ax 的解集为),1(，则关于 x的不等式 02xb ax的解集为 10、解关于 x的不等式2(1)1 0 ax a x 题型四：恒成立问题 11、关于 x的不等式 a x2+a x+1 0 恒成立，则 a的取值范围是 _ 12、若不等式22 2 1 0 x mx m 对 0 1 x 的所有实数 x都成立，求 m的取值范围.13、已知0,0 x y 且1 91x y，求使不等式x y m 恒成立的实数m的取值范围。三、基本不等式2a bab 题型五：求最值 14、（直接用）求下列函数的值域 1）y 3x 212x 2 2）y x1x 15、（配凑项与系数）1）已知54x，求函数14
31、24 5y xx 的最大值。2）当 时，求(8 2)y x x 的最大值。16、（耐克函数型）求27 10(1)1x xy xx 的值域。注意：在应用基本不等式求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数()af x xx 的单调性。17、（用耐克函数单调性）求函数2254xyx的值域。18、（条件不等式）1）若实数满足2 b a，则b a3 3 的最小值是.2）已知0,0 x y，且1 91x y，求x y 的最小值。3）已知 x，y为正实数，且 x 2y 22 1，求 x 1 y 2 的最大值.4）已知 a，b为正实数，2b ab a 30，求函数 y1ab 的最小值.题型六：利用基本不等式
32、证明不等式 19、已知c b a,为两两不相等的实数，求证：ca bc ab c b a 2 2 2 20、正数 a，b，c满足 a b c 1，求证：(1 a)(1 b)(1 c)8 abc 21、已知 a、b、cR，且1 a b c。求证：1 1 11 1 1 8a b c 题型七：均值定理实际应用问题：22、某工厂拟建一座平面图形为矩形且面积为 200m2的三级污水处理池（平面图如图），如果池外圈周壁建造单价为每米 400元，中间两条隔墙建筑单价为每米 248元，池底建造单价为每平方米 80元，池壁的厚度忽略不计，试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低造价。四、线性规划 题型八：
33、目标函数求最值 23、满足不等式组 0,0 8 70 3 2y xy xy x，求目标函数y x k 3的最大值 24、已 知 实 系 数 一 元 二 次 方 程2(1)1 0 x a x a b 的 两 个 实 根 为1x、2x,并 且10 2 x,22 x 则1ba的取值范围是 25、已知,x y满足约束条件：03 4 40 xx yy,则2 22 x y x 的最小值是 26、已知变量2 3 0,3 3 0.1 0 x yx y x yy 满足约束条件 若目标函数 z ax y（其中 a0）仅在点（3，0）处取得最大值，则 a的取值范围为。27、已知实数x y，满足12 1yy xx y
34、 m，如果目标函数z x y 的最小值为1，则实数m等于 题型九：实际问题 28、某饼店制作的豆沙月饼每个成本 35元，售价 50元；凤梨月饼每个成本 20元，售价 30元。现在要将这两种月饼装成一盒，个数不超过 10个，售价不超过 350元，问豆沙月饼与凤梨月饼各放几个，可使利润最大？又利润最大为多少？不等式的基本知识参考答案 高中数学必修内容练习-不等式 1、；2、p q；3、当 0 1 x 或 43x 时，1+3 logx2log 2x；当413x 时，1+3 logx2log 2x；当43x时，1+3 logx2log 2x 4、1 b a 0 lg,0 lg b a21 Q（p b
35、a b a lg lg)lg lg Q ab abb aR lg21lg)2lg(RQP。5、6、|1 x x或2 x；7、(1,1)(2,3)）；8、不等式212 0 ax bx 的解集为 x|-1 x 2，则a=_-6_,b=_6_ 9、),2()1,(）.10、解：当 a 0时，不等式的解集为 1 x x；2分 当 a0 时，a(xa1)(x 1)0；当 a 0时，原不等式等价于(xa1)(x 1)0 不等式的解集为11 x x xa 或；.6分 当 0 a 1时，1a1，不等式的解集为11 x xa；.8分 当 a 1时，a1 1，不等式的解集为11 x xa；.10分 当 a 1时，
36、不等式的解为.12分 11、0 x 4 12、12m）13、,16 m 14、解：1）y 3x 212x 2 2 3x 212x 2 6 值域为 6，+）2）当 x 0时，y x1x 2 x1x 2；当 x 0时，y x1x=（x1x）2 x1x=2 值域为（，2 2，+）15、1）解5,5 4 04x x，1 14 2 5 4 34 5 5 4y x xx x 2 3 1 当且仅当15 45 4xx，即1 x时，上式等号成立，故当1 x时，max1 y。2）当，即 x 2时取等号 当 x 2时，(8 2)y x x 的最大值为 8。16、解析一：当,即 时,42 1)5 91y xx（当且仅
37、当 x 1时取“”号）。解析二：本题看似无法运用基本不等式，可先换元，令 t=x 1，化简原式在分离求最值。2 2(1)7(1+10 5 4 4=5t t t ty tt t t）当,即 t=时,42 5 9 y tt（当 t=2即 x 1时取“”号）。17、解：令24(2)x t t，则2254xyx221 14(2)4x t ttx 因10,1 t tt，但1tt解得1 t 不在区间 2,，故等号不成立，考虑单调性。因为1y tt 在区间 1,单调递增，所以在其子区间 2,为单调递增函数，故52y。所以，所求函数的值域为5,2。18、（条件不等式）1）解：b a3 3和都是正数，b a3
38、3 6 3 2 3 3 2 b a b a 当b a3 3 时等号成立，由2 b a及b a3 3 得1 b a即当1 b a时，b a3 3 的最小值是 6 2）解：1 90,0,1 x yx y，1 9 910 6 10 16y xx y x yx y x y 当且仅当9 y xx y时，上式等号成立，又1 91x y，可得4,12 x y 时，min16 x y 3）解：x 1 y 2 x 21 y 22 2 x12 y 22 下面将 x，12 y 22 分别看成两个因式：x12 y 22 x 2(12 y 22)22 x 2y 22 12 2 34 即 x 1 y 2 2 x 12 y
39、 22 34 2 4）解：法一：a30 2bb 1，ab30 2bb 1 b 2 b 2 30bb 1 由 a 0得，0 b 15 令 t b+1，1 t 16，ab 2t 2 34t 31t 2（t16t）34 t16t 2 t16t 8 ab18 y 118 当且仅当 t 4，即 b 3，a 6时，等号成立。法二：由已知得：30 ab a 2b a 2b2 2 ab 30 ab2 2 ab 令 u ab 则 u2 2 2 u 300，5 2 u3 2 ab 3 2，ab18，y118 19、已知c b a,为两两不相等的实数，求证：ca bc ab c b a 2 2 2 20、正数 a，
40、b，c 满足 a b c 1，求证：(1 a)(1 b)(1 c)8 abc 21、已知 a、b、cR，且1 a b c。求证：1 1 11 1 1 8a b c 证 明：a、b、cR，1 a b c。1 1 21a b c bca a a a。同 理1 21acb b，1 21abc c。上述三个不等式两边均为正，分别相乘，得 1 1 1 2 2 21 1 1 8bc ac aba b c a b c。当且仅当13a b c 时取等号。22、解：若设污水池长为 x 米，则宽为（米）水池外圈周壁长：（米）中间隔墙长：（米）池底面积：200（米2）目标函数：23、4 24、)21,3(25、1
41、26、),21(27、5 28、解：设一盒內放入 x 个豆沙月饼，y 个凤梨月饼，利润为 z 元 则 x，y 必须满足，目标函数为 z 15x 10y 在可行区內的顶点附近 z f(x，y)的最大值，所以，一盒内装 2 个豆沙月饼 8 个凤梨月饼或 4 个豆沙月饼 5 个凤梨月饼，可得最大利润 110 元。不等式的基本知识 一、解不等式 1、一元二次不等式的解法 一元二次不等式 0 0 02 2 a c bx ax c bx ax 或的解集：设相应的一元二次方程 0 02 a c bx ax的两根为2 1 2 1x x x x 且、，ac b 42，则不等式的解的各种情况如下表：0 0 0 二
42、次函数 c bx ax y 2（0 a）的图象c bx ax y 2c bx ax y 2c bx ax y 2一元二次方程 的根 002 ac bx ax有两相异实根)(,2 1 2 1x x x x 有两相等实根 abx x22 1 无实根 的解集)0(02 ac bx ax 2 1x x x x x 或 abx x2R 的解集)0(02 ac bx ax 2 1x x x x 2、简单的一元高次不等式的解法：标根法：其步骤是：1）分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正；2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意 奇穿过偶弹回；3
43、）根据曲线显现()f x的符号变化规律，写出不等式的解集。如：x x x 1 1 2 02 3 3、分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为 0，再通分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解。解分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。()()0()()0()()0;0()0()()f x g xf x f xf x g xg x g x g x 4、不等式的恒成立问题：常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题 若不等式A x f 在区间D上恒成立,则等价于在区间D上minf x A 若不等式B x f 在区间D
44、上恒成立,则等价于在区间D上maxf x B 二、线性规划 1、用二元一次不等式（组）表示平面区域 二元一次不等式 Ax+By+C 0在平面直角坐标系中表示直线 Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线）2、二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法 由于对在直线 Ax+By+C=0同一侧的所有点(y x,)，把它的坐标（y x,)代入 Ax+By+C，所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点（x0,y0)，从 Ax0+By0+C的正负即可判断 Ax+By+C 0表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当 C0 时，常把 原点 作为此特殊点）3、线
45、 性规划 的有 关概念：线性约束条件：在上 述 问题中，不等式组是一组变量 x、y的 约束条件，这 组 约束条件 都是 关于 x、y的一次不等式，故又称 线 性约束条件 线性目标函数：关 于 x、y的一次式 z=ax+by是 欲达 到最 大 值或最 小 值所 涉及 的变量 x、y的解 析 式，叫 线 性目 标 函数 线性规划问题：一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题 可行解、可行域和最优解：满足线性约束条件的解（x,y）叫可行解 由所有可行解组成的集合叫做可行域 使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解 4、求线性目标函数在线性约束条
46、件下的最优解的步骤：1）寻找线性约束条件，列出线性目标函数；2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；3）依据线性目标函数作参照直线 ax+by 0，在可行域内平移参照直线求目标函数的最优解.三、基本不等式2a bab 1、若 a,b R,则 a2+b22 ab,当且仅当 a=b时取等号.2、如果 a,b是正数，那么).).).(2号 时取 当且仅当 b a abb a 变形：有:a+bab 2；ab22 b a,当且仅当 a=b时取等号.3、如果 a,b R+,a b=P(定值),当且仅当 a=b时,a+b有最小值P 2;如果 a,b R+,且 a+b=S(定值),当且仅当 a=b时,a
47、b有最大值42S.注：1）当两个正数的积为定值时，可以求它们和的最小值，当两个正数的和为定值时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”2）求最值的重要条件“一正，二定，三取等”4、常用不等式有：1）2 222 2 1 1a b a baba b(根据目标不等式左右的运算结构选用)；2）a、b、c R，2 2 2a b c ab bc ca（当且仅当a b c 时，取等号）；3）若 0,0 a b m，则b b ma a m（糖水的浓度问题）。不等式主要题型讲解 一、不等式与不等关系 题型一：不等式的性质 1、对于实数c b a,中，给出下列命题：2 2,bc ac b a 则
48、 若；b a bc ac 则 若,2 2；2 2,0 b ab a b a 则 若；b ab a1 1,0 则 若；baabb a 则 若,0；b a b a 则 若,0；b cba cab a c 则 若,0；1 1,a ba b 若，则0,0 a b。其中正确的命题是 _ 题型二：比较大小（作差法、函数单调性、中间量比较，基本不等式）2、设 2 a，12p aa，2 422 a aq，试比较 q p,的大小 3、比较 1+3 logx与)1 0(2 log 2 x xx且 的大小 4、若)2lg(),lg(lg21,lg lg,1b aR b a Q b a P b a，则R Q P,的
49、大 小 关 系是.二、解不等式 题型三：解不等式 5、解不等式：0 4 7 22 x x 0 1 4 42 x x 6、解不等式2(1)(2)0 x x。7、解不等式 2512 3xx x 8、不等式212 0 ax bx 的解集为 x|-1 x 2，则a=_,b=_ 9、关于 x的不等式 0 b ax 的解集为),1(，则关于 x的不等式 02xb ax的解集为 10、解关于 x的不等式2(1)1 0 ax a x 题型四：恒成立问题 11、关于 x的不等式 a x2+a x+1 0 恒成立，则 a的取值范围是 _ 12、若不等式22 2 1 0 x mx m 对 0 1 x 的所有实数 x
50、都成立，求 m的取值范围.13、已知0,0 x y 且1 91x y，求使不等式x y m 恒成立的实数m的取值范围。三、基本不等式2a bab 题型五：求最值 14、（直接用）求下列函数的值域 1）y 3x 212x 2 2）y x1x 15、（配凑项与系数）1）已知54x，求函数14 24 5y xx 的最大值。2）当 时，求(8 2)y x x 的最大值。16、（耐克函数型）求27 10(1)1x xy xx 的值域。注意：在应用基本不等式求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数()af x xx 的单调性。17、（用耐克函数单调性）求函数2254xyx的值域。18、（条件不等式）1）