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1、文档来源为: 从网络收集整理.word版本可编辑. 欢迎下载支持.不等式不等式一、知识点：一、知识点：1.1. 实数的性质：实数的性质：abab0；abab0；abab02.2. 不等式的性质：不等式的性质：性性质质对称性传递性加法性质乘法性质乘方、开方性质倒数性质内内容容abba，abbaab且bcacabacbc；ab且cdacbdab,c0acbc；ab0，且cd0acbd0ab0,nNanbn；ab0,nNnanbab,ab011ab结结论论等号成等号成 立的立的 条件条件3.3. 常用基本不等式：常用基本不等式：条条件件22ab2ab2a2b2()ab2ab，ab()，222基本不等
2、式：ab2 ab常见变式：ba12；a2aba4.4. 利用重要不等式求最值的两个命题：利用重要不等式求最值的两个命题：命题 1：已知 a，b 都是正数，若 ab是实值 P，则当 a=b=时，和 ab 有最小值 2.s2s命题 2：已知 a，b 都是正数，若 ab 是实值 S，则当 a=b=时，积 ab有最大值.42注意注意：运用重要不等式求值时，要注意三个条件：一“正”二“定”三“等”，即各项均为正数，和或积为定值，取最值时等号能成立，以上三个条件缺一不可.5. 一元二次不等式的解法：一元二次不等式的解法：设 a0,x1x2是方程 ax2+bx+c=0的两个实根，且 x1x2，则有图象0=0
3、0 解集xxx2xxx1 Rax2+bx+c0 解集xx1x06. 6.绝对值不等式绝对值不等式2b 4ac 0a 02或a 0检验；ax +bx+c0a 0或a 0检验2b 4ac 0（1）xa（a0）的解集为：xaxa；xa（a0）的解集为：xxa 或 xa。（2）|a|b|ab|a|b|7. 7. 不等式证明方法：不等式证明方法：基本方法：基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法辅助方法：辅助方法：换元法（三角换元、均值换元等） 、放缩法、构造法、判别式法特别提醒：特别提醒：不等式的证明，方法灵活多样，它可以和很多内容结合.高考解答题中，常渗透不等式证明的内容，最常用的思路是用分析法探求
4、证明途径，再用综合法加以叙述。我们在利用不等式的性质或基本不等式时要注意等号、不等号成立的条件。例：解下列不等式：例：解下列不等式：(1)(3)x27x12 0；(2)x22x3 0；x22x1 0；2(4)x22x2 0解： (1)方程x的解集是x|7x12 0的解为x1 3,x2 4 根据y x27x12的图象， 可得原不等式x27x12 0 x 3或x 42(2)不等式两边同乘以1，原不等式可化为x方程x根据22x3 02x3 0的解为x1 3,x21y x22x3的图象，可得原不等式x22x3 0的解集是x|3 x 1(3)方程x根据22x1 0有两个相同的解x1 x21y x22x1
5、的图象，可得原不等式x22x1 0的解集为2(4)因为 0，所以方程x为2x2 0无实数解，根据y x22x 2的图象，可得原不等式x22x2 0的解集文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.练习 1. （1）解不等式（2）解不等式x3x 3 0； （若改为 0呢？）x 7x72x31；x7x 7 0,x 7 0,或x|7 x 3x 3 0 x 3 0解:(1)原不等式 (该题后的答案:x|7 (2)x 3).x10 0即x|7 x 10.x78 8、最值定理、最值定理设x、y都为正数，则有s2 若x y s（和为定值） ，则当x y时，积xy取得最大值4 若xy p（积
6、为定值） ，则当x y时，和x y取得最小值2 p即：“积定，和有最小值；和定，积有最大值”注意：一正、二定、三相等几种常见解不等式的解法几种常见解不等式的解法重难点归纳重难点归纳解不等式对学生的运算化简等价转化能力有较高的要求，随着高考命题原则向能力立意的进一步转化，对解不等式的考查将会更是热点，解不等式需要注意下面几个问题(1)熟练掌握一元一次不等式(组)、一元二次不等式(组)的解法(2)掌握用零点分段法解高次不等式和分式不等式，特别要注意因式的处理方法(3)掌握无理不等式的三种类型的等价形式，指数和对数不等式的几种基本类型的解法(4)掌握含绝对值不等式的几种基本类型的解法(5)在解不等式
7、的过程中，要充分运用自己的分析能力，把原不等式等价地转化为易解的不等式(6)对于含字母的不等式，要能按照正确的分类标准，进行分类讨论典型题例示范讲解典型题例示范讲解例例 1 1：如果多项式f (x)可分解为n个一次式的积，则一元高次不等式f (x) 0（或f (x) 0）可用“穿根法”求解，但要注意处理好有重根的情况当分式不等式化为f (x) 0(或 0)时，要注意它的等价变形g(x)f (x) 0 f (x) g(x) 0g(x)f (x)g(x) 0f (x)f (x) 0 或 0 f (x) 0或f (x)g(x) 0g(x)g(x)g(x) 0用“穿根法”解不等式时应注意：各一次项中x
8、的系数必为正；对于偶次或奇次重根可转化为不含重根的不等式，也可直接用“穿根法” ，但注意“奇穿偶不穿” ，其法如下图文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.不等式左右两边都是含有x的代数式，必须先把它们移到一边，使另一边为0 再解32例：例：解不等式： （1）2x x 15x 0； （2）(x 4)(x 5) (2 x) 023解：解： （1）原不等式可化为把方程x(2x 5)(x 3) 0的三个根x1 0,x2 ,x3 3顺次标上数轴 然后从右上开始画线顺次经过三个根，其解集如下图的阴影部分原不等式解集为x （2）原不等式等价于原不等式解集为xx 5或5 x 4或x 2
9、解下列分式不等式：525 x 0或x 32x2 4x 1321例：例： （1）；（2）213x 7x 2x 2x 2（1 1）解：）解：原不等式等价于用“穿根法”原不等式解集为(,2)1,26,。2x23x 1 0（2 2）解法一）解法一：原不等式等价于3x27x 2原不等式解集为(, )( ,1)(2,)。解法二：原不等式等价于用“穿根法”原不等式解集为(, )( ,1)(2,)例例 2 2：绝对值不等式，解此题的关键是去绝对值符号，而去绝对值符号有两种方法：一是根据绝对值的意义a 1312(2x 1)(x 1) 0(3x 1)(x 2)1312a(a 0)a(a 0)二是根据绝对值的性质：
10、x a a x a, x.a x a或x a，因此本题有如下两种解法例：例：解不等式x 4 x 2解：解：原不等式等价于(x 2) x 4 x 222文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.22 x 3x 4 x 2即故1 x 32x 1或x 2x 4 (x 2)例例 3 3：已知 f(x)是定义在1，1上的奇函数，且 f(1)=1，若 m、n1，1 ，m+n0 时0(1)用定义证明 f(x)在1，1上是增函数；11(2)解不等式f(x+)f()；2x1f (m) f (n)mn(3)若 f(x)t22at+1 对所有 x1，1 ，a1，1恒成立，求实数 t 的取值范围技
11、巧与方法(1)问单调性的证明， 利用奇偶性灵活变通使用已知条件不等式是关键， (3)问利用单调性把f(x)转化成“1”是点睛之笔(1)证明任取 x1x2，且 x1，x21，1 ，则 f(x1)f(x2)=f(x1)+f(x2)=f (x1) f (x2)(x1x2)x1 x21x1x21，x1+(x2)0，由已知f (x1) f (x2)0，又 x1x20，x1 x2f(x1)f(x2)0，即 f(x)在1，1上为增函数(2)解f(x)在1，1上为增函数，11 x 123111解得x|x1，xR Rx 1211x 2x 1(3)解由(1)可知 f(x)在1，1上为增函数，且 f(1)=1，故对
12、 x1，1 ，恒有 f(x)1，所以要 f(x)t22at+1 对所有 x1，1 ，a1，1恒成立，即要 t22at+11 成立，故 t22at0，记 g(a)=t22at，对 a1，1 ，g(a)0，只需 g(a)在1，1上的最小值大于等于0，g(1)0，g(1)0，解得，t2 或 t=0 或 t2t 的取值范围是t|t2 或 t=0 或 t2a(x 1)1(a1)x 2(a 1)x (2 a)解原不等式可化为0，x 2a 2当 a1 时，原不等式与(x)(x2)0 同解a 1例例 5 5：解关于 x 的不等式由于a2111 2a1a1a 2)(2，+)a 1原不等式的解为(，文档来源为:从
13、网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.当 a1 时，原不等式与(x由于a 2)(x2) 0 同解a 1a21,1a1a1a21a 2若 a0，2)；1 2,解集为(a 1a1a1a21若 a=0 时，1 2，解集为；a1a1a21a 2若 0a1，)1 2,解集为(2，a 1a1a1综上所述当a1 时解集为(，a 2a 2)(2，+)；当 0a1 时，解集为(2，)；当a=0 时，a 1a 1解集为；当a0 时，解集为(a 2，2）a 1例例 6 6 设mR，解关于x的不等式m2x2 2mx 3 0分析：分析：进行分类讨论求解解：解：当m 0时，因30一定成立，故原不等式的解集为R当
14、m 0时，原不等式化为(mx3)(mx1) 0；31 x ；mm13当m0时，解得 x mm当m 0时，解得31 当m 0时，原不等式的解集为x x ；mm13 x 当m 0时，原不等式的解集为xmm说明：说明：解不等式时，由于mR，因此不能完全按一元二次不等式的解法求解因为当m 0时，原不等式化为30，此时不等式的解集为R，所以解题时应分m 0与m 0两种情况来讨论的解是x 1例例 8 8 解关于x的不等式x2(a a2)x a3 0分析：分析：不等式中含有字母a，故需分类讨论但解题思路与一般的一元二次不等式的解法完全一样：求出方程x2 (a a2)x a3 0的根， 然后写出不等式的解，
15、但由于方程的根含有字母a， 故需比较两根的大小，从而引出讨论解：解：原不等式可化为(x a)(x a2) 0(1)当a a2（即a 1或a 0）时，不等式的解集为：x x a或 x a2；文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.(2)当a a2（即0 a 1）时，不等式的解集为：xxx a2或 x a；(3)当a a2（即a 0或 1）时，不等式的解集为：xR 且 x a说明：说明：对参数进行的讨论，是根据解题的需要而自然引出的，并非一开始就对参数加以分类、讨论比如本题， 为求不等式的解， 需先求出方程的根x1 a，x2 a2， 因此不等式的解就是x小于小根或x大于大根
16、但a与a2两根的大小不能确定，因此需要讨论a a2，a a2，a a2三种情况例例 9 9 不等式ax2bx2 0的解集为x 1 x 2，求a与b的值分析：分析：此题为一元二次不等式逆向思维题，要使解集为x 1 x 2，不等式ax2bx2 0需满足条件a 0， 0，ax2 bx 2 0的两根为x1 1，x2 2解法一：解法一：设ax2 bx 2 0的两根为x1，x2，由韦达定理得：bbx x 1 221aa由题意：22x x 1212aaa 1，b 1，此时满足a 0， b2 4a(2) 0解法二：解法二：构造解集为x 1 x 2的一元二次不等式：(x 1)(x 2) 0，即x2 x 2 0，
17、此不等式与原不等式ax2bx 2 0应为同解不等式，故需满足：ab2a 1，b 1112例例 1010 解关于x的不等式ax2(a 1)x 1 0分析：分析：本题考查一元一次不等式与一元二次不等式的解法，因为含有字母系数，所以还考查分类思想解：解：分以下情况讨论(1)当a 0时，原不等式变为： x10，x 1(2)当a 0时，原不等式变为：(ax1)(x1) 01a1当a 0时，式变为(x)(x1) 0a当a0时，式变为(x)(x1) 0，不等式的解为x 1或x 1a文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.11a111，当0 a 1时，1，此时的解为1 x 当a 1时，1
18、，此时的解为1aaaaa1 x 1a说明：说明：解本题要注意分类讨论思想的运用，关键是要找到分类的标准，就本题来说有三级分类：分类应做到使所给参数a的集合的并集为全集，交集为空集，要做到不重不漏另外，解本题还要注意在讨论a 0时，解一元二次不等式ax2(a 1)x 1 0应首选做到将二次项系数变为正数再求解例例 1111 解不等式x23x 10 8 x分析：分析： 无理不等式转化为有理不等式， 要注意平方的条件和根式有意义的条件， 一般情况下，f (x) g(x)可转化为f (x) g(x)或f (x) g(x)，而f (x) g(x)等价于：f (x) 0f (x) 0或g(x) 0g(x)
19、 0f (x) g(x)2解：解：原不等式等价于下面两个不等式组：8 x 08 x 02x23x 10 02x 3x10 02x 3x 10 (8 x)由得x 8，x 8x 5或 x 2x 874由得x 5或 x 2 x 8，1374x 13.74 74 x 8或x 8，即为x x 所以原不等式的解集为x1313说明：说明：本题也可以转化为f (x) g(x)型的不等式求解，注意：2例例 12.12.已知关于x的不等式x mxn 0的解集是x|5 x 1，求实数m,n之值解：Q不等式x mxn 0的解集是x|5 x 12x1 5,x21是x2mxn 0的两个实数根，51 mm 4由韦达定理知：
20、51 nn 522练习已知不等式ax bxc 0的解集为x|2 x 3求不等式cx bxa 0的解集文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.b23 ab 5ac解：由题意23，即c 6aaa 0a 022代入不等式cx bxa 0得：6ax 5axa 0(a 0)112即6x 5x1 0，所求不等式的解集为x| x 321).1).恒成立问题恒成立问题若不等式fx A在区间D上恒成立,则等价于在区间D上fxmin A若不等式fx B在区间D上恒成立,则等价于在区间D上fxmax B如（如（1 1）设实数x, y满足x2(y 1)21，当x y c 0时，c的取值范围是_（
21、答：；2 1,）（2 2） 不等式x 4 x 3 a对一切实数x恒成立， 求实数a的取值范围_（答：a 1） ；（3 3）若不等式2x1 m(x21)对满足m 2的所有m都成立，则x的取值范围_（答： （n7 13 1,） ） ；22(1)n1（4 4）若不等式(1) a 2对于任意正整数n恒成立，则实数a的取n值范围是_3（答：2, )） ；2（5 5）若不等式x22mx2m1 0对0 x 1的所有实数x都成立，求m的取值范围.1（答：m ）22).2). 能成立问题能成立问题若在区间D上存在实数x使不等式fx A成立,则等价于在区间D上fxmax A；若在区间D上存在实数x使不等式fx B成立,则等价于在区间D上的fxmin B.如如已知不等式x 4 x 3 a在实数集R上的解集不是空集，求实数a的取值范围_（答：a 1）3).3). 恰成立问题恰成立问题若不等式fx A在区间D上恰成立, 则等价于不等式fx A的解集为D；文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.若不等式fx B在区间D上恰成立, 则等价于不等式fx B的解集为D.