不等式知识点与题型总结.doc

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1、.1/11不等式不等式一、知识点：一、知识点：1.1.实数的性质：实数的性质：0baba；0baba；0baba2.2.不等式的性质：不等式的性质：性性质质容容对称性abba，abba传递性ab且bcac加法性质abacbc；ab且cdacbd乘法性质,0ab cacbc；0ab，且00cdacbd乘方、开方性质0,nnabnNab；0,nnabnNab倒数性质11,0ab abab3.3.常用基本不等式：常用基本不等式：条条件件结结论论等号成立的条件等号成立的条件aR20a 0a,aR bR222abab，2()2abab，222()22ababab0,0ba基本不等式：2abab常见变式：

2、2baab；21aaab0,0ba2211222babaabbaab4.4.利用重要不等式求最值利用重要不等式求最值的两个命题：的两个命题：命题 1：已知 a，b 都是正数，若 ab 是实值 P，则当 a=b=时，和 ab 有最小值 2.命题 2：已知 a，b 都是正数，若 ab 是实值 S，则当 a=b=2s时，积 ab 有最大值42s.注意注意：运用重要不等式求值时，要注意三个条件：一“正”二“定”三“等”，即各项均为正数，和或积为定值，取最值时等号能成立，以上三个条件缺一不可.5.一元二次不等式的解法：一元二次不等式的解法：设 a0,x1x2是方程 ax2+bx+c=0 的两个实根，且

3、x1x2，则有.2/11结论：结论：ax2+bx+c020040aabac或检验；ax2+bx+c0=00 解集xxx2xxx1Rax2+bx+c0 解集xx1xx2.3/11(3)方程2210 xx 有两个一样的解121xx根据221yxx的图象，可得原不等式2210 xx 的解集为(4)因为0，所以方程2220 xx无实数解，根据222yxx的图象，可得原不等式2220 xx的解集为练习 1.（1）解不等式073xx；（若改为307xx呢？）（2）解不等式2317xx；解:(1)原不等式03,0703,07xxxx或|73xx(该题后的答案:|73xx).(2)1007xx即|710 xx

4、.8 8、最值定理、最值定理设x、y都为正数，则有 若xys（和为定值），则当xy时，积xy取得最大值24s 若xyp（积为定值），则当xy时，和xy取得最小值2p即：“积定，和有最小值；和定，积有最大值”注意：一正、二定、三相等几种常见解不等式的解法几种常见解不等式的解法重难点归纳重难点归纳解不等式对学生的运算化简等价转化能力有较高的要求，随着高考命题原则向能力立意的进一步转化，对解不等式的考查将会更是热点，解不等式需要注意下面几个问题(1)熟练掌握一元一次不等式(组)、一元二次不等式(组)的解法(2)掌握用零点分段法解高次不等式和分式不等式，特别要注意因式的处理方法(3)掌握无理不等式的三

5、种类型的等价形式，指数和对数不等式的几种基本类型的解法(4)掌握含绝对值不等式的几种基本类型的解法(5)在解不等式的过程中，要充分运用自己的分析能力，把原不等式等价地转化为易解的不等式(6)对于含字母的不等式，要能按照正确的分类标准，进行分类讨论典型题例示讲解典型题例示讲解例例 1 1：如果多项式)(xf可分解为n个一次式的积，则一元高次不等式0)(xf（或0)(xf）可用“穿根法”求解，但要注意处理好有重根的情况.4/11当分式不等式化为)0(0)()(或xgxf时，要注意它的等价变形0)()(0)()(xgxfxgxf0)()(0)(0)()(0)(0)()(0)()(xgxfxfxgxf

6、xgxgxfxgxf或或用“穿根法”解不等式时应注意：各一次项中x的系数必为正；对于偶次或奇次重根可转化为不含重根的不等式，也可直接用“穿根法”，但注意“奇穿偶不穿”，其法如下图不等式左右两边都是含有x的代数式，必须先把它们移到一边，使另一边为 0 再解例：例：解不等式：（1）015223xxx；（2）0)2()5)(4(32xxx解解：（1）原不等式可化为0)3)(52(xxx把方程0)3)(52(xxx的三个根3,25,0321xxx顺次标上数轴 然后从右上开始画线顺次经过三个根，其解集如下图的阴影部分原不等式解集为3025xxx或（2）原不等式等价于2450)2)(4(050)2()5)

7、(4(32xxxxxxxxx或原不等式解集为2455xxxx或或解下列分式不等式：例例：（1）22123xx；（2）12731422xxxx（1 1）解：）解：原不等式等价于.5/110)2)(2(0)2)(2)(1)(6(0)2)(2()1)(6(0)2)(2(650)2)(2()2()2(302232232xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx用“穿根法”原不等式解集为,62,1)2,(。（2 2）解法一）解法一：原不等式等价于027313222xxxx21213102730132027301320)273)(132(222222xxxxxxxxxxxxxxx或或或原不等式解集

8、为),2()1,21()31,(。解法二：原不等式等价于0)2)(13()1)(12(xxxx0)2()13)(1)(12(xxxx用“穿根法”原不等式解集为),2()1,21()31,(例例 2 2：绝对值不等式，解此题的关键是去绝对值符号，而去绝对值符号有两种方法：一是根据绝对值的意义)0()0(aaaaa二是根据绝对值的性质：axaxaxaax.,或ax，因此本题有如下两种解法例：例：解不等式242xx解：解：原不等式等价于24)2(2xxx.6/11即)2(42422xxxx312132xxxx故或例例 3 3：已知f(x)是定义在1，1上的奇函数，且f(1)=1，若m、n1，1，m+

9、n0 时nmnfmf)()(0(1)用定义证明f(x)在1，1上是增函数；(2)解不等式f(x+21)f(11x)；(3)若f(x)t22at+1 对所有x1，1，a1，1恒成立，数t的取值围技巧与方法(1)问单调性的证明，利用奇偶性灵活变通使用已知条件不等式是关键，(3)问利用单调性把f(x)转化成“1”是点睛之笔(1)证明任取x1x2，且x1，x21，1，则f(x1)f(x2)=f(x1)+f(x2)=2121)()(xxxfxf(x1x2)1x1x21，x1+(x2)0，由已知2121)()(xxxfxf0，又x1x20，f(x1)f(x2)0，即f(x)在1，1上为增函数(2)解f(x

10、)在1，1上为增函数，112111111211xxxx解得x|23x1，xR R(3)解由(1)可知f(x)在1，1上为增函数，且f(1)=1，故对x1，1，恒有f(x)1，所以要f(x)t22at+1 对所有x1，1，a1，1恒成立，即要t22at+11 成立，故t22at0，记g(a)=t22at，对a1，1，g(a)0，只需g(a)在1，1上的最小值大于等于 0，g(1)0，g(1)0，解得，t2 或t=0 或t2t的取值围是t|t2 或t=0 或t2例例 5 5：解关于x的不等式2)1(xxa1(a1)解原不等式可化为2)2()1(xaxa0，当a1 时，原不等式与(x12aa)(x2

11、)0 同解由于2111211aaa .7/11原不等式的解为(，12aa)(2，+)当a1 时，原不等式与(x12aa)(x2)0 同解由于21111aaa,若a0，211211aaa,解集为(12aa，2)；若a=0 时，211211aaa，解集为；若 0a1，211211aaa,解集为(2，12aa)综上所述当a1 时解集为(，12aa)(2，+)；当 0a1 时，解集为(2，12aa)；当a=0 时，解集为；当a0 时，解集为(12aa，2）例例 6 6 设Rm，解关于x的不等式03222 mxxm分析：分析：进行分类讨论求解解：解：当0m时，因03一定成立，故原不等式的解集为R当0m时

12、，原不等式化为0)1)(3(mxmx；当0m时，解得mxm13；当0m时，解得mxm31当0m时，原不等式的解集为mxmx13；当0m时，原不等式的解集为mxmx31说明说明：解不等式时，由于Rm，因此不能完全按一元二次不等式的解法求解因为当0m时，原不等式化为03，此时不等式的解集为R，所以解题时应分0m与0m两种情况来讨论的解是1x例例 8 8 解关于x的不等式0)(322axaax分析：分析：不等式中含有字母a，故需分类讨论但解题思路与一般的一元二次不等式的解法完全一样：求出方程0)(322axaax的根，然后写出不等式的解，但由于方程的根含有字母a，故需比较两根的大小，从而引出讨论解：

13、解：原不等式可化为0)(2axax(1)当2aa（即1a或0a）时，不等式的解集为：.8/112axaxx或；(2)当2aa（即10 a）时，不等式的解集为：axaxx或2；(3)当2aa（即0a或 1）时，不等式的解集为：axRxx且说明：说明：对参数进行的讨论，是根据解题的需要而自然引出的，并非一开始就对参数加以分类、讨论比如本题，为求不等式的解，需先求出方程的根ax 1，22ax，因此不等式的解就是x小于小根或x大于大根 但a与2a两根的大小不能确定，因此需要讨论2aa，2aa，2aa 三种情况例例 9 9 不等式022bxax的解集为21xx，求a与b的值分析：分析：此题为一元二次不等

14、式逆向思维题，要使解集为21xx，不等式022bxax需满足条件0a，0，022 bxax的两根为11x，22x解法一：解法一：设022 bxax的两根为1x，2x，由韦达定理得：axxabxx22121由题意：21221aab1a，1b，此时满足0a，0)2(42ab解法二：解法二：构造解集为21xx的一元二次不等式：0)2)(1(xx，即022 xx，此不等式与原不等式022bxax应为同解不等式，故需满足：2211ba1a，1b例例 1010 解关于x的不等式01)1(2xaax分析：分析：本题考查一元一次不等式与一元二次不等式的解法，因为含有字母系数，所以还考查分类思想解：解：分以下情

15、况讨论(1)当0a时，原不等式变为：01 x，1x(2)当0a时，原不等式变为：0)1)(1(xax当0a时，式变为0)1)(1(xax，不等式的解为1x或ax1.9/11当0a时，式变为0)1)(1(xaxaaa111，当10 a时，11a，此时的解为ax11当1a时，11a，此时的解为11 xa说明：说明：解本题要注意分类讨论思想的运用，关键是要找到分类的标准，就本题来说有三级分类：11100000aaaaaaaRa分类应做到使所给参数a的集合的并集为全集，交集为空集，要做到不重不漏另外，解本题还要注意在讨论0a时，解一元二次不等式01)1(2xaax应首选做到将二次项系数变为正数再求解例

16、例 1111 解不等式xxx81032分析分析：无理不等式转化为有理不等式，要注意平方的条件和根式有意义的条件，一般情况下，)()(xgxf可转化为)()(xgxf或)()(xgxf，而)()(xgxf等价于：0)(0)(xgxf或2)()(0)(0)(xgxfxgxf解：解：原不等式等价于下面两个不等式组：0103082xxx222)8(103010308xxxxxx由得258xxx或，8x由得.1374258xxxx或81374 x，所以原不等式的解集为881374xxx或，即为1374xx说明：说明：本题也可以转化为)()(xgxf型的不等式求解，注意：.10/112)()(0)(0)(

17、)()(xgxfxgxfxgxf例例 12.12.已知关于x的不等式20 xmxn的解集是|51xx，数,m n之值解：不等式20 xmxn的解集是|51xx 125,1xx 是20 xmxn的两个实数根，由韦达定理知：5 15 1mn 45mn 练习已知不等式20axbxc的解集为|23xx求不等式20cxbxa的解集解：由题意232 30bacaa ，即560bacaa 代入不等式20cxbxa得：2650(0)axaxaa即26510 xx，所求不等式的解集为11|32xx 1).1).恒成立问题恒成立问题若不等式 Axf在区间D上恒成立,则等价于在区间D上 minf xA若不等式 Bx

18、f在区间D上恒成立,则等价于在区间D上 maxf xB如如（1 1）设实数,x y满足22(1)1xy，当0 xyc时，c的取值围是_（答：21,）；（2 2）不等式axx34对一切实数x恒成立，数a的取值围_（答：1a）；（3 3）若不等式)1(122xmx对满足2m的所有m都成立，则x的取值围_（答：（712,312）；（4 4）若不等式nann1)1(2)1(对于任意正整数n恒成立，则实数a的取值围是_（答：3 2,)2）；（5 5）若不等式22210 xmxm 对01x的所有实数x都成立，求m的取值围.（答：12m ）.11/112).2).能成立问题能成立问题若在区间D上存在实数x使不等式 Axf成立,则等价于在区间D上 maxf xA；若在区间D上存在实数x使不等式 Bxf成立,则等价于在区间D上的 minf xB.如如已知不等式axx34在实数集R上的解集不是空集，数a的取值围_（答：1a）3).3).恰成立问题恰成立问题若不等式 Axf在区间D上恰成立,则等价于不等式 Axf的解集为D；若不等式 Bxf在区间D上恰成立,则等价于不等式 Bxf的解集为D.