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1、 1 不等式的解法 1、一元一次不等式axb 方法：通过去分母、去括号、移项、合并同类项等步骤化为axb的形式，假设0a,则bxa；假设0a,则bxa；假设0a,则当0b 时，xR；当0b 时，x。【例 1-1】12133ax 解：此时，因为a的符号不知道，所以要分：a=0，a0,a1,当a=0 时，01.所以，此时不等式无解.当a0 时，xa1,当a0 时，x0；(2)3x2-4x-10；(3)x2-2x+10；(4)x2-2x+10；(5)x2-2x+30；(6)x2-2x+30.解析：1 2代表判别式大于 0 的一元二次不等式的题目.只不过1对应的一元二次方程容易因式分解求两根，2就不容
2、易用十字相乘法因式分解，此时需要用一元二次方程的求根公式或者配成完全平方的形式来求两根.3 4代表判别式等于 0 的一元二次不等式的题目.5 6代表判别式小于 0的一元二次不等式的题目.1因为对此不等式对应的一元二次方程x22-3x-5=0因式分解得(2x-5)(x+1)=0.所以该方程的两根为：x1=25,或x2=-1.又因为此不等式对应的一元二次函数y=2x2-3x-5 的抛物线开口向上，所以，根据“大于在两边，小于在中间”的原理，可以直接写出不等式 2x2-3x-50的范围：x25，或x0,一元二次方程 3x2-4x-1=0有两个不同的实数根为 x1=372,或x2=372.此不等式中x
3、的取值范围是 372 x372；3x2-2x+1=0的判别式=0.x2-2x+1=0有两个相等的实数根，x1=x2=1.所以，根据“大于在两边，小于在中间”的原理，不等式x2-2x+10 中x的取值范围是 1x1,即x=1；4与3类似分析，可知 不等式x2-2x+10中x的取值范围是x1，或x0，不等式x2-2x+30中x的取值范围是 xR；6与5类似分析，可知 不等式x2-2x+30 中x的取值范围是空集.【例 2-2】解以下关于x的不等式：22232(1)(1)0(2)()0(3)10.xaxaxaaxaaxax ；解析：这是与一元(一)二次不等式有关的含有参数的不等式题型，常考的有两种形
4、式：易因式分解求根的形式和不易能因式分解求根的形式.解这类题的关键是：把参数a以正确的情况来分类讨论，然后再用解一元一二次不等式的基本方法来做.；，或时，当，或时，当时，当）（易知原不等式因式分解，所以，方法一：因为本题容易axxaxaxaxaxax11.11.11.0)1()1(3 一；以下讨论的情况同方法三种情况讨论了所以，我们就可以分这；把数轴分为三部分：此时，只能取一个值这样）（即，令判别式系数为常数，我们只要方法二：因为二次项的.11111.1.04102aaaaaaa；原不等式的解为：时，时，即当原不等式的解为：时，或时，即当，或时，原不等式的解为：，或时，即当原不等式系来讨论即可
5、只要根据两根的大小关，所以，解求出对应方程的两根类似，两者都易因式分与axaaaaaxaaaaaxxaaaaaxax22222210.01.1010.0)(.)1()2(3式对应的方程不易因式分解求出根，判别式的符号不能确定，并且x2的系数含有参数.这说明对应方程根的情况不能确定，该不等式也不一定为一元二次不等式.综合上述分析，我们应以x2的系数为 0 以及判别式为 0 时，得出的参数a值作为讨论的依据.求出的参数a把数轴分为几部分，相应的就分几种情况来讨论.444000.40040.0022aaaaaaaaaaax；值把数轴分为五部分：值一共有两个，这两个所以，求出的，或，即再令判别式，即的
6、系数为令 由上面的分析，我们就容易知道讨论的依据了.24240.24,24.00.210)12(01444.0102212222122aaaaxaaaaxaxxaaaaxaaaaxaxxxxaa，或时，原不等式的解为：所以，当且此时或两根为：对应的一元二次方程的别式数的图像开口向下，判时，对应的一元二次函当时，原不等式当集为空集所以，此时不等式的解时，原不等式当.24244.04.,0402212aaaaxaaaaaxxaa时，原不等式的解为：所以，当只不过的两根方程的根仍为上面所求此时，对应的一元二次别式数的图像开口向上，判时，对应的一元二次函当为空集所以，原不等式的解集无根即对应的一元二次
7、方程别式数的图像开口向上，判时，对应的一元二次函当 总结：对于这种类型中易因式分解求出两根的题型，我们先因式分解求出两根，然后再以两根的大小来进行分类讨论；当不易因式分解求出两根时，我们应以x2的系数为 0 以及判别式为 0 时，得出的参数a a把数轴分为几部分，相应的就分几种情况来讨论，在每一种情况里就变成了解基本的不等式的题型.注意：每一种情况的内部既不能取交集，所有情况的结果也不能取并集，最终结果只能分类答复！要与前面所讲述的题型中“一种情况内部取交集，把所有情况的结果取并集，最后得到的才是不等式的解集”的原则进行区别和联系.3、简单的一元高次不等式的解法：数轴穿根法：基本步骤：将不等式
8、右边化为，左边分解成假设干个一次因式或二次不可分因式的积.把每个因式的最高次项系数化为正数.将每个一次因式的根从小到大依次标在数轴上.4 从右上方依次通过每个点画出曲线，遇到奇次因式的根对应的点，曲线穿过数轴；遇到偶次因式的根对应的点，曲线不穿过数轴，仍在数轴同侧迂回.即规律“奇穿偶不穿”.根据曲线就可以知道函数值符号变化规律.【例 3-1】解以下关于x的不等式：22211)(2)(3)0(2)(21)(31)(41)0(3)(3(1)(2304(1)(1)(2)0.xxxxxxxxxxxxx （）（；）；（）解析：这种类型的不等式如果用上述的方法 1，分类讨论可以做出来，但是比较复杂，而且易
9、出现错误.所以，常用数轴表根法(又称零点分段法)来做这类题.所谓数轴标根法，就是用一条曲线代替列表讨论，这条曲线虽不能准确表达出函数的图象，但能表达出函数值的符号变化规律即：曲线与x轴的交点将x轴分成假设干区域，曲线在x轴上方所对应区间内的x值，使函数值大于 0；曲线在x轴下方所对应区间内的x值，使函数值小于 0；曲线与x轴的交点所对应的x值，使 函数值等于 0.按照上述的方法，易解出以上各题.参考答案：；或）（；或）（4131,21232,11xxxx.1,12)4(3,1)3(xxxx且；且 4.分式不等式的解法：一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。基本步骤：1标准化：移项、通
10、分使右边为 0，即)()(xgxf0(或)()(xgxf0)；)()(xgxf 0(或)()(xgxf0)的形式，2转化为整式不等式组0)(0)()(0)()(;0)()(0)()(xgxgxfxgxfxgxfxgxf 3分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解。【例 4-1】解以下关于x的不等式：11122)3(05362)2(041xxxxxx；.解析：这种题型的基本做法是化为一元一次不等式组或一元二次不等式来解.1方法 1：原不等式等价于 04010401xxxx或，.从而再利用一元一次不等式组的解法得到原不等式中的x的范围为 1x0.从而再利用一元二次不等式的解法
11、得到原不等式中的x的范围为 1x4；比较这两种方法，可以看出方法 2 运算的较快一点，而且不容易出错.2与1类似两种方法都可以用.只不过，要注意分母不能为 0.现在只用方法 2 来解:原式等价于0530)53)(62xxx（，因此，原不等式中的x的范围为；335x 3首先要移项、通分，变为2式的形式，然后再用做2的方法来做.注意：因为分母的正负不知道，所以不能两边同时乘以分母！原式等价于.21.012012.012112122.01122xxxxxxxxx 总结：这种题型要注意两点：1要注意分母不能为 0.2当不等号后面是不为 0 的式子常数或关于未知数x的式子，并且分母的正负不知道时，不能不
12、等式两边同时乘以分母，而只能移项、通分，变为基本的形式来做.5【例 4-2】关于x的不等式0 bax的解集为),1(，则关于x的不等式02xbax的解集为_.5.含绝对值不等式的解法 题型一：形如cbax与|axbc 型的不等式的解法.【公式法】【例 5-1】解以下关于x的不等式：1|2x-1|11；3|2x-1|0；4|2x-1|0；5|2x-1|c(或c以及|ax+b|c(或c类型的绝对值不等式中其中a,b,c 为常数，且a0，1 2代表常数 c 大于 0 的题型，3 4代表常数 c 等于 0 的题型；5 6代表常数 c 小于 0的题型.6506)5(;21.)4(;21.0120;21.
13、21,21.012,012)3(;5,6.11121112)2(;32,624.5125)1(Rxxxxxxxxxxxxxxxx）；（）不等式的解集为空集易得答案：（言，方法二较好都可以用，但是比较而时，上述的两种方法也当绝对值后的常数小于）（易得答案：都可以用与上题类似，两种方法即原不等式，于或等于任何式子的绝对值恒大方法二：即或或原不等式方法一：或，或原不等式原不等式 总结：解这类绝对值不等式常用教材上给出的公式：.)()0()(|2.)()()0()(|1axaaaxaxaxaax）（注意：教材中限制时，）当（或注意：教材中限制时，）当（但是，我们要知道，当a0,或a=0 时，这两个公式
14、也可以用.一般地，当绝对值后的常数大于 0 时，用公式；当绝对值后的常数小于或等于 0 时，直接用“任何式子的绝对值不小于 0”来解更好.题型二：形如|()|()f xg x或|()|()f xg x 【公式法】【例 5-2】解以下关于x的不等式：.1|22|)4(;38|94|)3(;73|42|)2(;3|25|12xxxxxxxx）（解析：因为这种形式还是含有绝对值的不等式，所以仍然可以用思路“讨论去绝对值”来解.对于题 4，我们还可以用公式法去绝对值，变成一元二次不等式组来解.;4165.5265,653)25(52.4152,411432552)1(xxxxxxxxxxxx不等式的解
15、为：以上两种情况取并集得取交集得时，原不等式当取交集得时，原不等式当;53.53.5373)42(2.1173422.73|42|)2(xxxxxxxxxxxx不等式的解为：以上两种情况取并集得取交集得：时，当解集为空集取交集得：原不等式的时，当下面与上题类似讨论原不等式 6 去绝对值”参考答案：的基本思路还是“讨论与以上两题类似，本题)3(.49.33894,49xxxxx时当;21.492121389449xxxxxx此不等式的解为：以上两种情况取并集知）（时，原不等式当.3212112121310120321221.4222xxxxxxxxxxx，或，或原不等式可以自己试着做一做过程，另
16、一种解法读者现在给出公式法的解答来做变成一元二次不等式组以用公式法去绝对值，绝对值的方法外，还可本题除了用上述讨论去）（总结：x的一次或者二次的式子时，如果不等号后面的式子是常数，还可以用公式法去绝对值来解.题型三：形如 c|bax|d 或 c|bax|d 类型的绝对值不等式题型其中a，b，c，d 为常数，且a0【“零点分区间法”分类讨论、公式法】【例 5-3】解以下关于x的不等式：.0|72|1)4(;9|6|0)3(;5|32|3)2(;4|2|1)1(xxxx 解析：这种类型的不等式基本的解法是化为上述最基本的绝对值不等式组来解，但是，如果用初中的知识点,0,0,|xxxxx讨论去绝对值
17、来解，则会有意想不到的收获.;6,153,1536.9|6|0|6|)3(;41.5|32|)2(;21,36|.36|.36.1242,02.21|.21.421202;21,36,263,1.4|2|1|2|)1(xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx且原不等式原不等式或：并集得不等式的解集为所以，上述两种结果取两者取交集得：时，原不等式即当两者取交集得：时，原不等式，即方法二：当或或方法一：原不等式.27,27.0|72|1|72|)4(xxRxxx原不等式 总结：解与绝对值有关的题目的一个非常重要的思路是“讨论去绝对值”，在去掉绝对值后，这样就可以变为最基本的题型
18、来做了.要注意：一种情况内部取交集，所有情况的结果取并集，最后得到的才是 不等式的解集.这类题中常考的是题1的形式，对于这种形式的题目，还可以进一步简化解题步骤.如题1还可以直接得出：这样的解法更快更好，或，或.3621124421xxxx！题型四：形如|bax|cx+d|(或=)e 形式的绝对值不等式题型的解法总结其中a，b，c，d，e 为常数，且a0,c0【根据绝对值的几何意义，或数形结合思想方法】【例 5-4】解以下关于x的不等式：7 5(1)|1|1|22|1|1|23|21|3|4|2|2.2xxxxxxxx ；（）；（）；（）解析：这是含有两个绝对值符号的不等式，并且不等号后面为常
19、数的题型.这种题型的基本解法有两种：讨论去绝对值和利用绝对值的几何意义来解.;11|.1|,1.2)1(11.11|.,22.2)1(111.,1.2)1(111xxxxxxxxxxRxxxxxxxx：以上三种情况取并集得两者取交集得：）（时，原式当两者取交集得：）（时，原式当集为空集两者取交集得原式的解）（时，原式当对值：方法一，分类讨论去绝）（方法二，利用绝对值的几何意义：的距离离表示数轴上一点mxmx|.如：的距离离表示数轴上一点的距离；离表示数轴上一点2|2|1|1|xxxx.11.11.1,11,1.1,101,010 xxxxxxxxx所以，原方程的解为：时，才能满足原式，我们知道
20、只有当根据绝对值的几何意义部分：这两个值把数轴分为三得两个值，即为令绝对值符号内的式子 对于2 3 4这三题，以上两种方法都可以用，读者可以自己试着做一做.参考答案：2)4(;21,3)3(;12xxxx或）（.总结：在解这种题型时，分类讨论去绝对值的原则是：令绝对值内的式子为 0 时，所得到的x值把数轴分为几部分，与此相对应我们就分几种情况来讨论.要注意：一种情况内部取交集，把所有情况的结果取并集，最后得到的才是不等式的解集.利用绝对值的几何意义来解这类题时，一定要牢记：的距离离表示数轴上一点mxmx|.比较这两种方法，我们可知：利用绝对值的几何意义来解这类题,相对要好一点.题型五：形如|b
21、ax|cx+d|(或=)fex 类型的绝对值不等式题型解法总结其中a，b，c，d，e，f为常数，且a，c，e0.【例 5-5】解以下关于x的不等式：.4|2|35|349|72|)2(65|23|14|)1(xxxxxxxxx）（；解析：这类题与上一类题的共同点在于：都含有两个绝对值符号.不同之处在于：这类题的不等号后是关于x的式子，而不是常数了.所以，解这种类型的题目，仍然可以用分类讨论去绝对值的方法.但是，此时不易用绝对值的几何意义来解这类题了.集为空集；取并集得此不等式的解由上述三种情况的结果取交集得空集（时，原不等式当取交集得空集）（时，原不等式当取交集得空集）（时，原不等式）当（.,
22、27.65)23()1441.,23.65)23(144132.,125.65)23(14321xxxxxxxxxxxxxxx 对于2 3两题，利用同样的方法易做出.参考答案：2147)3(811)2(xxx，或；.8 总结：这种类型的绝对值不等式的主要解法是分类讨论去绝对值的方法.这种方法也是解所有与绝对值有关的题目的基本方法.同样，要注意：一种情况内部取交集，把所有情况的结果取并集，最后得到的才是不等式的解集.题型六、形如|()|()|f xg x 方法：两边平方【例 5-6】假设不等式|32|2|xxa 对xR恒成立，则实数a的取值范围为_。6、含指数不等式：方法 利用函数的单调性01l
23、og,0log 1aaaa 利用函数的图像【例 6】解以下关于x的不等式：12x4；(2)xx283312；(3)512 x=1；(4)1642 xx；(5)512 x7.解析：这是与指数函数有关的不等式的题型.解决这类题的基本思路是：把常数化成同底的指数形式.；原不等式222)1(2xx 2 解析 这是一个指数不等式，基本解法是化为同底的指数形式，然后利用指数函数的单调性转化为整式不等式.原不等式即xx2)8(332，也就是 x2-2x-80，解得-2x4.故原不等式的解集为x|-2x4.(3)原不等式；2101255012xxx 由 的次方形式）常数化成用这个公式可以把任意aNaNbNaN
24、aba(loglog 222(4)44.2,12.xxxxx 原不等式 5log 72155log 71(5)55.21log 7,2xxx 原不等式；由 的次方形式）常数化成用这个公式可以把任意aNaNbNaNaba(loglog 总结：解与指数函数有关的(不)等式的基本原则是：1.把不等式两边化成同底的指数形式.常用对数的定义：的次方形式）常数化成用这个公式可以把任意aNaNbNaNaba(loglog.2.然后根据底的范围，利用单调性为等式时，省略这一步化原不等式为基本的一元一次不等式或一元二次不等式来解.7、含对数不等式：1log,0log 1aaa 9 方法：1、化为同底1log,0
25、log 1aaa，再利用函数的单调性；2、利用函数图象【例 7】解以下关于x的不等式：1)(log44)1(log)3(3log)2(1log12212122xxxxx）（；）（.5.1)1(log)2(log21221xxx 解析：与对数有关的不等式的解法和上一题型类似.都是要把常数化为同底的形式，然后再利用单调性列出基本的不等式来解.只不过，解与对数有关的不等式时，需要注意真数一定要考虑到大于 0.2101,20.)21(log)(log)4(16111,16110.)21(log)1(log)3(80.2loglog)2(2.2loglog)1(21212214212132222xxxx
26、xxxxxxxxx，或原不等式；原不等式；原不等式；原式 5解析 这是一个对数不等式，基本解法是化为同底的对数形式，然后利用对数函数的单调性转化为整式不等式.原不等式变形为)22(log)2(log21221xxx.所以，原不等式 3230,203,01,0)1)(2(22201,02222xxxxxxxxxxxxxx.故原不等式的解集为 32|xx.总结：解这种类型的不等式，首先要利用公式：N=logNaa把常数化成同底的对数形式，然后根据单调性变原不等式为基本的不等式来解.最后，别忘记对数的真数一定要大于 0.8、三角不等式：利用函数的图像或是三角函数线【例 8】解以下关于x的不等式：1)
27、4tan()4(12sin32cos321)62cos()2(23)3sin(1xxxxx；）（；）（.解析：此题型是与各种三角函数有关的不等式的题型，解这种题型时一定要记住各种三角函数对应的图象和特殊角的三角函数值.如果不是一个三角函数式的形式，要先化成一个三角函数式的形式然后再做.；时，易知：推广到自变量取值范围为的足象，在这个周期上，满的这个周期作为研究对图像上范围为选择）（)(2322).(322332.32,3232,0sin1ZkkxkZkkxkRxxyxxy；易知：时，推广到取值范围是：自变量的足象，在这个周期上，满的这个周期作为研究对图像上范围为选择)(124).(236223
28、).3,3(21,cos)2(ZkkxkZkkxkRxxxyxxy 10(3)原式等价于.312.12sin232cos21222注：）（xx 132 coscos 2sinsin21,cos,sin.3323232cos(2)1,22,().,()3333xxxxkkZxkxkkZ （）注：或；).(43).(43).(4)4(2.4,2(1)2,2(tan)4(ZkkxkZkkxkZkkxkxxyxxy或写成：义域内，易知：推广到该函数的整个定取值范围是：的自变量满足象，在这个周期上，的这个周期作为研究对图像上范围为选择 总结：1解这种题型时一定要牢记各种三角函数的图象,特殊角的三角函数值
29、,kZ.2如果不是一个三角函数式的形式，要先化成一个三角函数式的形式然后再做.化成一个三角函数式常用辅助角公式：为非零常数）、或baxbaxbaxbxa()cos()sin(cossin2222.3 选择哪一个周期不影响答案的正确性，但实际做题时主要选择原点附近的一个周期，并且使满足条件的答案形式尽量简单例如:能用一个不等式组表示解集时，就不要用更多的不等式组来表示.9、含参不等式的解法：求解的通法是“定义域为前提，函数增减性为基础，分类讨论是关键”注意解完之后要写上：“综上，原不等式的解集是”。注意：按参数讨论，最后应按参数取值分别说明其解集；但假设按未知数讨论，最后应求并集.【例 9-1】
30、0)2)(2(axx 解：当0a时，原不等式化为02 x，得2x；当0a时，原不等式化为0)2)(2(axx，得22xa；当10 a时，原不等式化为0)2)(2(axx，得axx22 或；当1a时，原不等式化为0)2(2x，得2x；当1a时，原不等式化为0)2)(2(axx，得22xax或 综合上面各式，得原不等式的解集为：【例 9-2】关于x的不等式0 bax的解集为,1，求02xbax的解集。解：由题意得：0a，且ba 则不等式02xbax与不等式组020)2)(xxbax同解 得所求解集为21|xxx或【例 9-3】记关于x的不等式01xax的解集为P，不等式11x 的解集为Q I假设3
31、a，求P；II假设QP，求正数a的取值范围 11()当a=3 时，由301xx 易求出 P=31|xx.()由解绝对值题目的基本方法得：Q=20|xx.2,1|0aPQaxxPaa时，由数轴易得：当满足条件：时，集合的取值范围，所以当因为是求正数【例 9-3】已知0a且1a，关于x的不等式1xa 的解集是0 x x，解关于x的不等式1log()0axx的解集。解：关于x的不等式1xa 的解集是0 x x，1a，1011115log()012xxaxxxxx 或1512x 原不等式的解集是1515(1,)(1,)22。提醒：1解不等式是求不等式的解集，最后务必有集合的形式表示；2不等式解集的端点
32、值往往是不等式对应方程的根或不等式有意义范围的端点值。10、已知不等式的解集求参数的取值范围【例 10-1】假设不等式6|2|ax的解集为1，2，则实数 a 等于 A8 B2 C4 D8 解析 原不等式两边平方后可化为 a2x2+4ax-320 且211 a，解得 a=21.【例 10-3】不等式1122xxbxxxax的解为),1()31,(，求a、b 解：Rx 12xx，12xx恒为正)1)()1)(22xxbxxxax 得0)()()2(2baxbaxba依题意0)()()2(2baxbaxba的根为31，1 3112311202bababababa2325ba【例 10-4】函数)2l
33、g()(bxfxb为常数，假设,1x时，0)(xf恒成立，则 A1b B1b C1b D1b 11、解抽象函数型不等式 所谓抽象函数型不等式，即不等式与一个抽象函数有关，同时已知抽象函数的定义域、奇偶性或单调性等.这一类不等式的解法是先根据单调性去掉函数符号，转化为一般不等式来解，但一定要注意定义域.12【例 11-1】设 f(x)是定义域为(-，0)(0，+)的奇函数，且在(0，+)上为增函数.假设 f(1)=0，解关于 x 的不等式 floga(1-x2)+10，其中 a1.解析 由于 f(x)是奇函数，且在(0，+)上为增函数，所以它在(-，0)上也为增函数.又由于f(1)=f(-1)=
34、0.于是原不等式等价于 111log011log22xxaa或 111log011log22xxaa 由得 x20，所以解集为；由解得21111axa.故原不等式的解集为x|21111axa或axa11112.【例 11-2】已知偶函数 f(x)在,0上是增函数，求解不等式 f(2x+5)f(x2+2).解析 由题意知 f(x)在,0上单调递增，在0,上单调递减.由偶函数定义知不等式f(2x+5)f(x2+2)即f(|2x+5|)f(|x2+2|)，也 就 是|2x+5|3；解(2)得25x.故原不等式的解集为3x1 或xx.【例 11-3】已知函数 f(x)是定义在 1,1上的函数，且 f(1)=1，f(-x)=-f(x)，假设 a、b 1,1，a+b0，有0)()(babfaf.试解不等式)11()21(xfxf.解析 先要由已知条件判断函数 f(x)的单调性，因为当 x 1,1时，f(1)=1，f(-x)=-f(x)，所以 f(x)在 1,1上是奇函数，且令0)()(babfaf中 b 为-b，得0)()(babfaf，从而知函数 f(x)在 1,1上为增函数，于是)11()21(xfxf112111111211xxxx2311022123xxxxx或或123x，故原不等式的解集为1,23.