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1、3.3 3.3 幂函数幂函数课时课时9 9 幂函数幂函数教学目标教学目标学习目标学习目标课程目标课程目标学科核心素养学科核心素养通过对几个特殊的幂函数的探究,抽象出幂函数的概念,形成对幂函数的正确认识在由五个具体的幂函数抽象出幂函数概念的过程中,培养数学抽象、直观想象素养通过描绘几个特殊的幂函数的图象,了解幂函数的图象特征,概括幂函数的基本性质在描绘幂函数图象、概括幂函数基本性质的过程中,培养数学抽象、逻辑推理素养掌握幂函数的概念、图象和性质在解题中的应用,体会研究函数的一般套路和基本方法在应用幂函数的概念、图象和基本性质解决问题的过程中,培养逻辑推理、数学运算素养 情境导学情境导学 国家国家
2、游泳中心游泳中心,别名别名“水立方水立方”“”“冰立方冰立方”,”,位于北京市朝阳区北位于北京市朝阳区北京奥林匹克公园内京奥林匹克公园内,始建于始建于20032003年年1212月月2424日日,于于20082008年年1 1月正式竣工月正式竣工,2020,2020年年1111月月2727日日,国家游泳中心冬奥会冰壶场馆改造工程通过完工国家游泳中心冬奥会冰壶场馆改造工程通过完工验收验收,“,“水立方水立方”变身为变身为“冰立方冰立方”.”.国家游泳中心是国家游泳中心是20082008年北京奥年北京奥运会的精品场馆和运会的精品场馆和20222022年北京冬奥会的经典改造场馆年北京冬奥会的经典改造
3、场馆.下面下面,我们来我们来看一个与国家游泳中心有关的数学问题看一个与国家游泳中心有关的数学问题:如果如果把把“水立方水立方”看成一个立方体看成一个立方体,设其棱长为设其棱长为x,x,体积为体积为y,y,你能你能给出体积给出体积y y关于棱长关于棱长x x的函数解析式吗的函数解析式吗?这个解析式具有怎样的特点这个解析式具有怎样的特点?【活动活动1】观察、概括幂函数概念观察、概括幂函数概念初探新知初探新知【问题问题2 2】你能概括出幂函数的一般表述形式吗？】你能概括出幂函数的一般表述形式吗？【问题问题1 1】情境导学中的函数具有什么共同特征？情境导学中的函数具有什么共同特征？【问题问题3 3】你
4、能给出幂函数的定义吗？】你能给出幂函数的定义吗？【问题问题4 4】你能举几个学过的幂函数的例子吗？你能举几个学过的幂函数的例子吗？【活动活动2】辨析幂函数辨析幂函数【问题问题5 5】下列函数：下列函数：y y2x2x3 3；y yx x2 21 1；y y(x(x1)1)3 3是幂函数吗？是幂函数吗？【问题问题6 6】如何判断一个函数是不是幂函数？如何判断一个函数是不是幂函数？【问题问题7 7】对于幂函数，我们只讨论对于幂函数，我们只讨论1 1，2 2，3 3，1 1，时的情时的情况，即：况，即：y yx x，y yx x2 2，y yx x3 3，y yx x1 1，.结合之前学习函数结合之
5、前学习函数的经验，我们应如何研究幂函数呢？的经验，我们应如何研究幂函数呢？【活动活动3】探究幂函数的性质探究幂函数的性质【问题问题8 8】请你作出这五个幂函数的图象请你作出这五个幂函数的图象【问题问题9 9】观察图象，请你试着研究这五个函数的性质观察图象，请你试着研究这五个函数的性质典例精析典例精析【例1】(1)(1)下面几个函数中，哪几个函数是幂函数？下面几个函数中，哪几个函数是幂函数？y yx x4 4；y y2x2x2 2；y y-x x2 2；y y2 2x x；y yx x-2 2；y yx x3 32.2.(2)(2)教材改编题教材改编题 已知幂函数已知幂函数y yf(x)f(x)
6、的图象经过点的图象经过点(3(3，)，求这个函，求这个函数的解析式数的解析式思路思路点点拨拨：(1)(1)根据根据幂幂函数的概念判断函数的概念判断(2)(2)根据根据幂幂函数的概念函数的概念设设出解析式再出解析式再求解求解【方法方法规规律律】幂函数的形式为yx(为常数)，即系数为1；指数为常数；后面不加任何项反之，若一个函数为幂函数，则该函数必具有这种形式 【变变式训练式训练1 1】已知幂函数已知幂函数y yf(x)f(x)的图象经过点的图象经过点 ，则，则f(2)f(2)的值为的值为()A.B.4 C.A.B.4 C.D.D.C C【解解】思路思路点点拨拨：利用幂函数在第一象限内的图象特征和
7、性质,结合所给图象分析并判断.【变式训练变式训练2 2】图中曲线是幂函数图中曲线是幂函数y yx xn n在第一象限的图象已知在第一象限的图象已知n n取取22，四个值，则相应于曲线四个值，则相应于曲线C C1 1，C C2 2，C C3 3，C C4 4的的n n值依次为值依次为()A.A.2 2，2 2B.2B.2，2 2C.C.，2 2，2 2，D.2D.2，2 2，【解解】由幂函数图象及其单调性之间的关系，可知曲线C1，C2，C3，C4所对应的n依次为2，2.故选B.B B思路思路点点拨拨【例例3 3】比较下列各题中两个数的大小：【解解】【方法方法规规律律】比较幂值大小的方法：比较幂值
8、大小的方法：分类分类比较对象比较对象方法方法指数相同指数相同，底数底数不同不同x x1 1与与x x2 2利用幂函数利用幂函数y yx x的单调性的单调性底数相同底数相同，指数不同指数不同a ax x1 1与与a ax x2 2利用不等式性质利用不等式性质底数、指数都不同底数、指数都不同a ax x1 1与与b bx x2 2寻找寻找“中间量中间量”a ax x2 2或或b bx x1 1或或1 1或或0 0等等思路点拨思路点拨(1)利用幂函数的定义,可以得到关于m,n的方程组,解方程组求出m,n,即可得到m-2n的值.(2)利用幂函数y=x-2性质,建立实数a所满足的不等式组,通过解不等式组
9、求出a的取值范围.【方法方法规规律律】1.1.求幂函数的解析式时求幂函数的解析式时,一定要注意幂函数需要符合三个条件一定要注意幂函数需要符合三个条件:(1)x:(1)x的系的系数为数为1;(2)x1;(2)x的底数是自变量的底数是自变量;(3)x;(3)x的指数是常数的指数是常数.同时函数单调性由幂同时函数单调性由幂指数的正负决定指数的正负决定.当当00时时,幂函数的图象在区间幂函数的图象在区间(0,+)(0,+)上单调递增上单调递增;当当00时时,幂函数的图象在区间幂函数的图象在区间(0,+)(0,+)上单调递减上单调递减.2.2.利用幂函数解不等式利用幂函数解不等式,实质是已知两个函数值的
10、大小实质是已知两个函数值的大小,判断自变量或幂指判断自变量或幂指数的大小数的大小,常与幂函数的单调性、奇偶性等综合命题常与幂函数的单调性、奇偶性等综合命题.求解步骤如下求解步骤如下:(1):(1)确确定可以利用的幂函数定可以利用的幂函数;(2);(2)借助相应的幂函数的单调性借助相应的幂函数的单调性,将不等式的大小关将不等式的大小关系转化为自变量或幂指数的大小关系系转化为自变量或幂指数的大小关系;(3);(3)解不等式解不等式(组组)求参数范围求参数范围,注意注意分类讨论思想的应用分类讨论思想的应用.课堂反思课堂反思1.1.通过通过本节课的学习，你学到了什么本节课的学习，你学到了什么？2 2.
11、你认为本节课的重点和难点是什么你认为本节课的重点和难点是什么？随堂演练随堂演练1.2021甘肃省武威市民勤县第一中学高一月考幂函数yx(R)的图象恒过定点()A.(0，0)B.(1，0)C.(1，1)D.(0，1)CC3.(多选)2020重庆育才中学高一期中已知幂函数yx(R)的图象过点(2，8)，下列说法中正确的是()A.函数yx的图象过原点B.函数yx是偶函数C.函数yx是减函数D.函数yx的值域为RAD5.比较下列各题中两个幂的值的大小：(1)，；(2)，；(3)，.4.2021四川省攀枝花市模拟已知幂函数y=mxn(m,nR)的图象经过点(4,2),则m-n=.【解解】同学们再见！同学们再见！Goodbye StudentsGoodbye Students！