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1、3.3 幂函数,第三章 函数概念与性质,问题1：如果张红购买了每千克1元的蔬菜w千克，那么她需要付的钱数 p = 。问题2：如果正方形的边长为a，那么正方形的面积是S = ， 问题3：如果正方体的边长为b，那么正方体的体积是V = ， 问题4:如果正方形场地的面积为S，那么正方形的边长c= ， 问题5：如果某人t s内骑车行进了1km，那么他骑车的平均速度v =,w,这里p是w的函数,a,这里S是a的函数,b,这里V是b的函数,这里c是S的函数,这里v是t的函数,t-1 km/s,若将它们的自变量全部用x来表示,函数值用y来表示, 则它们的函数关系式将是:,y = x,y= x,y=x,以上问
2、题中的函数有什么共同特征？,（1）都是函数；（2）均是以自变量为底的幂；（3）指数为常数；（4）自变量前的系数为1。,上述问题中涉及的函数，都是形如y=x的函数。,一.幂函数定义 一般地，函数y=x叫做幂函数，其中x是自变量，是常数.,(1) 为常量, .,定义说明,(2) 中前面的系数为1.,(3)定义域没有固定,与 的值有关.,判断下列函数是否为幂函数。,(1) y=x4,(3) y= -x2,(2) y=2x2,(6) y=x3+2,x|x0,0，),0，),y|y0,奇,偶,奇,非奇非偶,奇,增,减,增,增,减,减,R,R,R,0，),R,R,1,1,x,y,0,(1) 图像都过点（1
3、，1)；,(2) y=x、y=x3、y=x-1是奇函数， y=x2是偶函数；,(3) 在第一象限内，当0时是增函数， 当 0时是减函数；,(4) 在第一象限内，y=x-1的图像向上与y轴无限接近，向右与x 轴无限接近。,解:设f(x)=x,将 代入,得,总结: 理解并掌握形如y=x的形式就是幂函数。,例1:已知幂函数的图象过点 ,试求出此函数的解析式.,证明:,解析由幂函数的定义知k1.,(2)已知f(x)ax2a1b1是幂函数，则ab等于A.2 B.1 C. D.0,解析因为f(x)ax2a1b1是幂函数，所以a1，b10，即a1，b1，则ab2.,比较大小是实数必须在同一函数的同一单调区间
4、内,例3 如图是幂函数y=xm与y=xn在第一象限内的图像,则()A.n1B.nn1D.nm1,答案:B解析:由幂函数的图像及性质可知,在第一象限内,若幂指数大于零,则函数为增函数;若幂指数小于零,则函数为减函数,故m0,n0.又由y=xm的图像与直线y=x比较,得0m1.,1,3,4,5,2,3.函数yx3在区间4，2上的最小值是_.,例1,函数f(x)=(m2-m-5)xm-1是幂函数,且当x(0,+)时,f(x)是增函数,试确定m的值.,分析:由f(x)=(m2-m-5)xm-1是幂函数,且当x0时是增函数,可先利用幂函数的定义求出m的值,再利用单调性确定m的值.,解:根据幂函数的定义,
5、得m2-m-5=1,解得m=3或m=-2.当m=3时,f(x)=x2在(0,+)上是增函数;当m=-2时,f(x)=x-3在(0,+)上是减函数,不符合要求.故m=3.,小结： 知识：幂函数的概念、图像和性质。 方法： （1） 用待定系数法求幂函数的解析式； （2） 用函数的单调性比较两个幂的大小： 同指数不同底数的， 用幂函数的单调性。,1,1,x,y,0,(1) 图像都过点（1，1)；,(2) y=x、y=x3、y=x-1是奇函数， y=x2是偶函数；,(3) 在第一象限内，当0时是增函数， 当 0时是减函数；,(4) 在第一象限内，y=x-1的图像向上与y轴无限接近，向右与x 轴无限接近。,