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1、精选2 0 1 8 年 浙 江 专 升 本 高 数 考 试 真 题 及 答 案一、选 择 题：本 大 题 共 5 小 题，每 小 题 4 分，共 2 0 分。1、设00,s i n)(xxxxxx f，则)(x f 在)1,1(内（C）A、有 可 去 间 断 点 B、连 续 点 C、有 跳 跃 间 断 点 D、有 第 二 间 断 点解 析：1s i nl i m)(l i m,0 l i m)(l i m0 0 0 0 xxx f x x fx x x x)(l i m)(l i m0 0 x f x fx x，但 是 又 存 在，0 x 是 跳 跃 间 断 点2、当 0 x 时，x x x
2、c os s i n 是2x 的（D）无 穷 小A、低 阶 B、等 阶 C、同 阶 D、高 阶解 析：02s i nl i m2s i n c os c osl i mc os s i nl i m0 020 xxx x x xxx x xx x x 高 阶 无 穷 小3、设)(x f 二 阶 可 导，在0 x x 处 0)(0 x f，0)(l i m00 x xx fx x，则)(x f 在0 x x 处（B）A、取 得 极 小 值 B、取 得 极 大 值 C、不 是 极 值 D、)(0,0 x f x 是 拐 点解 析：0000)()(l i m)(,0)(l i m0 0 x xx f
3、 x fx fx xx fx x x x，则 其 0)(,0)(0 0 x f x f，0 x 为 驻 点，又0 00)(x x x f 是 极 大 值 点。4、已 知)(x f 在 b a,上 连 续，则 下 列 说 法 不 正 确 的 是（B）A、已 知badx x f 0)(2，则 在 b a,上，0)(x fB、xxx f x f dt t fdxd2)()2()(，其 中 b a x x,2,C、0)()(b f a f，则 b a,内 有 使 得 0)(fD、)(x f y 在 b a,上 有 最 大 值 M 和 最 小 值 m，则 baa b M dx x f a b m)()(
4、)(解 析：A.由 定 积 分 几 何 意 义 可 知，0)(2 x f，dx x fba)(2为)(2x f 在 b a,上 与 x 轴 围 成的 面 积，该 面 积 为 0 0)(2 x f，事 实 上 若)(x f 满 足精选)(0)(0)(b x a x fdx x fba 非负连续B.)()2(2)(2x f x f dx x fdxdxx C.有 零 点 定 理 知 结 论 正 确D.由 积 分 估 值 定 理 可 知，b a x,，M x f m)(，则)()()()(a b M dx x f a b m M dx dx x f m dxbabababa 5、下 列 级 数 绝
5、对 收 敛 的 是（C）A、111)1(nnnB、11)1 l n()1(nnnC、139c osn nnD、11nn解 析：A.1111l i m nnn，由 11nn发 散11n发 散B.011l i m)1 l n(l i m)1 l n(11l i m n nnnnn n n，由 11nn发 散1)1 l n(1nn发 散C.919c os2 2 n nn，而232191l i mnnn=1，由 1231nn收 敛 912 n收 敛 9c os2 nn收 敛D.11nn发 散二、填 空 题6、axxe x a 10)s i n 1(l i m解 析：ax ax axx ax axxxx
6、e e e e x ax x 1c oss i n 11l i m)s i n 1 l n(l i m)s i n 1 l n(10100 0l i m)s i n 1(l i m7、3s i n)2 3()3(l i m0 xx f fx，则23)3(f解 析：3)3(22)3()2 3(l i m 2s i n)2 3()3(l i m0 0 fxf x fxx f fx x精选8、若 常 数 b a,使 得 5)(c oss i nl i m20 b xa exxx，则 9 b解 析：5)(c osl i m)(c oss i nl i m2020 a eb x xb xa exxxxx
7、所 以 根 据 洛 必 达 法 则 可 知：1,0 1 a a212c osl i m2)(c osl i m0 0b b xxb x xx x 9,521 bb9、设 t t yt xa r c t a n)1 l n(，则 11 tdxdy解 析：2221)1(11111tt tttdtdxdtdydxdy，11 tdxdy1 0、)(x f y 是 0 12 2 y x 所 确 定 的 隐 函 数，则32 222yx ydxy d 解 析：方 程 两 边 同 时 求 导，得：0 2 2 y y x，yxy，方 程 0 2 2 y y x 同 时 求 导，得：0)(12 y y y，将yx
8、y 带 入，则 得，0)(12 y yyx，32 232221yx yyxyydxy d 1 1、求21 xxy 的 单 增 区 间 是)1,1(解 析：2 222 22 2)1(1)1(2 1xxxx xy 令 0 y，则 12 x，1 1 x1 2、求 已 知 C e dx x fx2)(，则)(1l i m10nkfnnkn1 e解 析：1)()()()(1l i m101010102 e C e dx x f dx x fnkfnxnkn1 3、dxx xe2)(l n11精选解 析：1l n1l n)(l n1)(l n12 2 ee exx dxdxx x1 4、由2x y：2,1
9、 x y 围 成 的 图 形 面 积 为34解 析：34)31()1(21213 2 x x dx x A1 5、常 系 数 齐 次 线 性 微 分 方 程 0 2 y y y 的 通 解 为xe x C C y)(2 1（2 1C C 为 任 意 常数）解 析：特 征 方 程：0 1 22 r r，特 征 根：12 1 r r通 解 为xe x C C y)(2 1（2 1C C 为 任 意 常 数）三、计 算 题（本 大 题 共 8 小 题，其 中 1 6-1 9 小 题 每 小 题 7 分，2 0-2 3 小 题 每 小 题 8 分，共6 0 分）1 6、求)s i n 1 l n(l
10、i m0 xe ex xx解 析：22l i ms i n2l i m)s i n 1 l n(1l i m)s i n 1 l n(l i m0 020 0 xxxxxeexe ex xxxxx xx1 7、设xx x y)s i n 1()(，求)(x y 在 x 处 的 微 分解 析：xx x y)s i n 1()()s i n 1 l n(l n x x y xxx x ys i n 1c os)s i n 1 l n(y1 dx xxxx xx)s i n 1(s i n 1c os)s i n 1 l n(dy 将 x 代 入 上 式，得 微 分 dx dy 1 8、求 502c
11、 os 1 dx x解 析：502c os 1 dx x 50|s i n|dx x 43542 32 0s i n)s i n s i n)s i n s i n x dx dx x x dx dx x x dx（10|c os|c os|c os|c os|c os54433220 x x x x x精选1 9、求 dx xa r c t a n解 析：2t x t x，则 令，t dt dx 2 2t a n a r c t dt t d t t t t a n a r c t a n a r c2 2 dttt t t22 211t a n a r c dtttt t22211 1t
12、a n a r c dttt t）（22111 t a n a r cc t t t t t a n a r c t a n a r c2c x x x x t a n a r c t a n a r c 则原式2 0、dxxx xxx11-41c os4 5）（解 析：41c osxx x为 奇 函 数，该式不代入计算 454 52tx x t，则 令t dt dx21 dt ttt)21(145132该式 312)581dt t（61|)31581313 t t（2 1、已 知 0),1 l n(0,2)(x axx b xx f 在 0 x 处 可 导，求 b a,解 析：精选0)(l
13、i m,0)(l i m)0()(l i m)(l i m0)(0)(0 00 0 bb x f x ff x f x fx x fx x fx xx x处连续 在处可导 在)(l i m)(l i m0 0 x f x fx x axaxx fx x 00)1 l n(l i m)(l i m0 0200 2l i m)(l i m0 0 xxx fx x2 a2 2、求 过 点)1,2,1(A 且 平 行 于 0 7 3 2 z y x 又 与 直 线 t zt yt x231相 交 的 直 线 方 程。直 线 过 点)1,2,1(A，因 为 直 线 平 行 于 平 面，所 以 n S，)
14、1,3,2(n，设 两 条 直 线 的 交 点)2,3,1(t t t P，所 以)1 2,1,(t t t P A S，所 以 0 1 2 3 3 2 t t t，4 t，)8,7,3(P，所 以)7,5,4(P A，所 以 直 线 方 程 为715241 z y x。2 3、讨 论 1 3 231)(2 3 x x x x f 极 值 和 拐 点解 析：1 3 231)(2 3 x x x x f（1）)(x f 的 极 值3 4)(2 x x x f令 0)(x f，则 3,12 1 x x列 表 如 下：x），（1 1），（3 1 3），（3)(x f+0-0+)(x f极 大 值极
15、小 值精选所 以 极 大 值 为371 3 231)1(f，极 小 值 1)3(f（2）)(x f 的 拐 点4 2)(x x f 令 0)(x f 则 2 x列 表 如 下：拐 点 为 35,2。四、综 合 题（本 大 题 共 3 大 题，每 小 题 1 0 分，共 3 0 分）2 4、利 用nnnxx 0)1(11，（1）将 函 数)1 l n(x 展 开 成 x 的 幂 级 数（2）将 函 数)3 l n(x 展 开 成 2 x 的 幂 级 数解 析：（1）令)1 l n()(x x f，xx f 11)(，当)1,1(x 时，nnnxx 0)1(111)1()1(11)0()()(10
16、000 0 nxdt t dttf dt t f x fnnn nxnnx x当 1 x 时，级 数 发 散；当 1 x 时，级 数 收 敛，故 收 敛 域 为 1,1。（2）)521 l n(5 l n)521(5 l n)2(5 l n)3 l n(x xx x 01)52(11)1(5 l nnn nxn 011)1(5)2()1(5 l nnnnnnx其 中，7 3 1521 xx。2 5、)(x f 在，1 上 导 函 数 连 续，0)(x f，已 知 曲 线)(x f 与 直 线)1(,1 t t x x 及x=1（1 t）及 x 轴 所 围 成 的 去 边 梯 形 绕 x 轴 所
17、 围 成 的 旋 转 体 体 积 是 该 曲 边 梯 形 的 t 倍，x），（2 2），（2)(x f-0+)(x f 凸 拐 点 凹精选求)(x f解 析：tdx x f S1)(，dx x f Vt)(12 由 题 意 知，t tdx x f t dx x f1 12)()(，求 导 得，得)()()(12t t f dx x f t ft 再 求 导，得)()()()()(2 t f t t f t f t f t f 即)()(2)()(2 t f t f t f t t f，则 y y y t y 2 2，y t y y)2(2，dydtyt y22，121 ty dydt，yy P
18、21)(，1)(y Q，)32(1)(23121 121C yyC dy e e tdyydyy,由 1)1()1()1(2 f f f，带 入 得31 C，故 曲 线 方 程 为yy x12 3。2 6、)(x f 在 b a,连 续 且）（)(,a f a 和）（)(,b f b 的 直 线 与 曲 线 交 于)(,b x a c f c（，证明：（1）存 在)()(2 1 f f（2）在),(b a 存 在 0)(f解 析：解 法 一：（1）过)(,(),(,(b f b a f a 的 直 线 方 程 可 设 为：)()()()(c xa ba f b fc f y 所 以 可 构 造
19、 函 数：x x f x F)()(所 以)()()(c F b F a F 又 因 为)(x f 在 c a,b c,连 续 可 导 的，则)(x F 在 b c c a,连 续 可 导，所 以 根 据 罗 尔 定 理 可 得 存 在),(),(2 1b c c a 0)()(2 1 F F,使)()(2 1 f f。（2）由（1）知)()(2 1 f f，又)(x f 二 阶 可 导，存 在 且 连 续，故 由 罗 尔 定 理 可 知，),(),(2 1b a，使 得 0)(f。精选解 法 二：（1）考 虑)(x f 在 c a,及 b c,上 的 格 拉 朗 日 中 值 定 理 有：c a,1，),(2b c，有)()()(1 fa ca f c f，)()()(2 fc bc f b f，由 于)(,(),(,(),(,(c f c C b f b B a f a A 共 线，则 有 A C 的 斜 率c ac f a fkA C)()(与 B C 的 斜 率c bc f b fkB C)()(相 等，于 是 有)()(2 1 f f（2）与 解 法 一（2）做 法 一 致。