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1、河南省一般高等学校选拔优秀专科生进入本科阶段学习考试 高等数学试卷题号 二三五六总分核分人分数在题一得分评卷人一、单选题（每题2分，合计60分）在每题的!四个备选答案中选出一种对的I答案,并将其代码写干背面的括号内。不选、错选或多选者，该题无分.1.已知函数/(2 x-l)的定义域为0 J,则/(x)的定义域为()A 中B,-1,1-OJ D.-1,2解：0 x l=-l 2 x-l l=B.2,函数 y=(8%A.3.当X 0时，X2-sinxx()A.高阶无穷小B.低 阶 无 穷 小C.同阶非等价无穷小D.等价无穷小解 力 ：1.x2-sinx.CIim-=-1=C.X T o X()A.
2、B.2 C.3 D.5解生 力 ：Iri m2n+3sin r r_ osin._-=lm2+3-=2=B.n w n5.设函数/(x)=在x=0处持续，则常数=()Q+1,X=0A.0 B.1 C.2 D.3“2ai _ 1解：Iirn f(x)=Iim-=Iim 2ae2ax=2=+l n q =l=3.x O.vO 06.设函数/(x)在点x=l处可导，则lim“2x)二/(1 二J)=()x0 XA.,(1)B.2,(1)C.3,(1)D.-,(1)解：Iim/d +2x)-/(D Iim/(1 +2x)-/(1)+/-/(1-X)XO X AO J Q=2 Hm+Hm八 1)n C工
3、 o 2x XfO X7.若曲线y=+上点M处的;切线与直线y=4x+l平行，则 点 坐 标)A.(2,5)B.(-2,5)C.(1,2)D.(-1,2)解：y=2x=2XQ=4=X0=2,y0=5=A.5 X-I Sinw2Jw r,Jv8.设 J。，则 丝y=Cos产 心:)A.t2 B.It C.-t2 D.-I thj3cly-2sinZ2 C 八解：=-=-2 t D.dx Sin 厂9.设 y d =Xin x(2,为 正 整数)，则 ()=)A.(x)lnx B.-C.(-1)D.O解：y(n2)-xlnx y(ZI-1)=1+In x=y()=B.10.曲线y=x 2x 3x+
4、3x+2()A.有一条水平渐近线，一条垂直渐近线 B.有一条水平渐近线,直渐近线C.有两条水平渐近线，一条垂直渐近线，D.有两条水平渐近线,两条垂两条垂直渐近线解,7：V=-x.2.,.X.3.=-(-x-+-l-)-(-x-3-)-=.I.i m V=11,I1im.V=-4,.Ii.m y=A.-X2+3x+2(x+l)(x+2)f v -21 1.下 列 函 数 在 给 定 的 区 间 上 满 足 罗 尔 定 理 的 条 件 是).y=%-l,0,2 B.y=1=,0,2Vu-D2C.y=X2-3%+2,1,2 D.y-xarcsin%,0,l解：由罗尔中值定理条件：持续、可导及端点的函
5、数值相等n C 12.函数y=e-*在区间(-,+)内 ()A.单调递增且图像是凹的曲线 B.单调递增且图像是凸的曲线C.单调递减且图像是凹的曲线 D.单调递减且图像是凸的曲线解：y =-e-x 0 n C.13.若(x)d=F(X)+C,则 Je r y(eT)0c=()A.ex+F(e-x)+C B.F(e-x)+CC.ex-F(e-x)+C D.-F(e-x)+C解：J e-f(e-x)公=J fke-xW)=-F e-x)+C=D.1 4.设心幻为可导函数，且尸(2x 1)=,则fx)=()A.-e2x-+C2C%+)B.2e2+CC.-e2x+C2-(x-1)D.2e2+C解：f,(
6、2 x-)=ex=尸(X)=n f(x)=+C=B.15.导 数 色 arcsin力=(dxja)A.arc sinx B.OC.arc s in-arcsinefb,Z 7 ftt)解：arcsinXdX是常数，因此 一 arcsinXdX=O=B.Jdx%16.下列广义积分收敛的是(+00,+X ,+00 -cA.exdx B.dx C.-d x D.cos xdxJl Ji X J 4+X2 JL解：f r d x-arctan =(-aretan)=C.j 4+X2 4 2,4 4 217.设区域D由x=,x=8 S ),y =/(x),y =g(x)所围成，则区域D的1面积为().J
7、：(X)-g(x)B.jjf(x)-g(x)cC.J J g(无)一/(x)dx D.I /(x)-g(x)D.18.若直线=宁=三2与平面3 x-4 y +3z+l=0平行，则常数=()A.2 B.3 C.4 D.5解：l,n,33-4,3=3-4+9=0=n=3=B.19.设/(x,y)=x+(y-l)a rc si ,则偏导数 f：(x,l)为()A.2 B.1 C.-1 D.-2解：/(x,l)=x=v,(x,l)=1 =B.20.设方程/一盯Z=O拟定了函数z=(x,y),则 竺=()xA Z B Z C y D yx(2z-l)x(2z+1)x(2z-l)x(2z+1)解：令尸(X
8、,y,z)=e2z-xyz=Fx,=-yz,Fl-2e2z-x yz yz yz z=-=-=-=A.x,2elz-x y 2xyz-xy x(2Z-I)21.设函数 Z=X2y+?,则 dzx=I=()X 月A.dx+2dy B.dx-2dy C.2dx+dy D.2dx-dy力 c L xdy-ydx角牛：dz=2xydx+xdy-=JzLt=I=2dx+dy+d y-d x=dx+2dy=A.J=I22.函数z=2 x y-3-3 y 2+2 0在定义域上内()A.有极大值，无极小值 B.无极大值，有极小值C.有极大值，有极小值 D.无极大值，无极小值 K o2解：-=2 y-6 x =
9、0,-=2 x-6y=0=(x,y)=(0,0)=4 =-6,ox y ox警=-6,空=2y xy是极大值=A.2 3设D为圆周由/+V-2 -2 y +l=0围 成 的 闭 区 域,则JJddy=D)A.B.2 4 C.4 万 D.16 4解：有二重积分的几何意义知：JJdTfy=区域D股)面积为万.D2 4.互换二次积分/(x,y)dy(a 0,常数)的积分顺序后可化为()A J：办f (一)B d)(x,y)公c J。!/，y)D.,/(,y)d解：积分区域。=(x,y)IO%,0 y%=(%,j)IO y ,j%B.2s，n O25.若二重积分j j(x,y)心力=/可 f(rcos
10、,rsin)rdr,则积分区域DD为()A.2+2 Ix B.X1+y2 2C.X2+y2 2y D.0%2 y-y2解：在极坐标下积分区域可表达为：D=(r,)0 D.y=l-x j l Jl27.下列级数中，绝对收敛日勺是()A.V sin-B.V(-l)s in H=I 几 =1 c.X(-l)z,s i n D.之COS 4=l =1解：S in q 之Sin 收敛=C.n M rr_Q0_28.设基级数E ,(凡为常数=0,1,2L),在点=-2处收敛，则=0(-i)nnW=O()A.绝 对 收 敛B.条件收敛 C.发散 D.敛散性不拟定解:在x=-2收敛，则在X=T绝对收敛，即级数
11、绝对=0=0收 敛=A.29.微分方程SinXCOSydy+cosXSinMV=O B通解为()A.sinxcosy=C B.COSXSiny=CC.sinxsin y=C D.cosxcosy=C解：sin xcos,.7 八 cosy,cosx,yay+cosxsn ydx=O=-ay-axSiny sinxd sin y Jsin x 1 1 1=-=-=lnsm y+lnsnx=lnC=snxsn y=C=C.sin y Sin 尤30.微分方程y+V-2y=九冏特解用特定系数法可设为()A.y*=x(ax b)ex B.y*=x2(ax+b)exC.y*=(ax+b)ex D.y*=
12、axex解：-1不是微分方程日勺特性根，X为一次多项式，可 设*=（办+。）6一”=C.二、填空题(每题2 分，共 30分)31.设函数/(x)=,o,l Z 则=解：ISinXl 1 =/(SinX)=1.32.Iim E一 线v 2 X2-2 An r yji+x/r(%2)r角 牟：Iim-=Iim-,-L =IimT -2x Xf2 X(X_ 2)(JX+1 +3)121XQ X+1 +/)1 _ 3=Z3=733.设函数 y=arc tan2，则 dy=2解：dy=-dx.l+4 34.设函数F(X)=X3+fc c在X=T处获得极小值一2,则常数和b分别为解：,(x)=3X2+2a
13、x+b=3-2a+b-0,-2=1 +。-5=a=4,8=5.35.曲线y=尤3 一3+2 -l的拐点为解：y=3 -6x+2=y=6x-6=O=(x,y)=(l,-l).36.设函数/(x),g(x)均可微，且同为某函数的原函数,有了=3,g=1则/(x)-g(x)=解：/(x)g(X)=C=C=/一 g(l)=2=/(x)-g(x)=2.37.(x2+sin3 x)dx=JTr解：(x2+sin3 x)dx=xdx-sin3J-J-J-p 9 2冗3xdx 21 xdx+0=-.338.设函数/(x)=E Q ，则(2f(x-l)dx=_.x2,xO J。解：/(x-l)d=f (t)dt
14、=X1 clx+edx=e 39.向量五=1,1,2与向量B=2,-1,1)的 I夹角为.A7j-f ci b 3 1 一 1兀：cos=-=-j=-f=a b 66 2 3v2-2 r40.曲线L：,”绕X轴 旋 转 一 周 所 形 成 的 旋 转 曲 面 方 程 为，z=0解：把V=2 x 中By2换成z2+y2,即得所求曲面方程z 2 +y2=2.俾741.设函数Z =Ay+Siny,则-xyA77z C .2Z用 牛：一=y+2xsm y n-=1 +2xcosy.x xy42.设区域Z)=(x,y)0 X1,-1 y 1,则 JJ(丁/MXdy=D解：(y-X2 dxdy-dx y-
15、x2)dy=xdx-.D 1 343.函数f(x)=e2在XO=O处展开欧|幕级数是8 Q O /_ v2 n O O 1解 2孩=/Xy厘).8 八+144.塞级数r附和函数为七(+1)2M+18 +1解：白Y(-i)n(tt+l)2n+r/X+1/”=(-l)n -=(-l)=ln(l+-),=o +1 M 2(-2 2-2 -3 =0=y-2 y-3 y =0.得分评卷人三、计算题（每题5分，共40分）4 6.计算lim1 27gX To XSirr 2%解：Hmxsin3 2x2-1=I.im-X-e-=0I1i.mX To 8x Xfo2x+2xe 3 2/=IimI。16X,200
16、=Iim*-o-lx e-232x-1-Iim e-J16 1 11647.求函数y=（，+3%产20j导数电dx解：取对数得：Iny=Sin 2xln(2+3),两边对 X 求导得：-yf=2COS21(2+3x)+sin 2xy X+3x2Y+3因 止 匕 y=(2+3x)s,n22cos2xln(x2+3x)+sin2xX+3x=2(X2+3X严 cos2%ln(2+3x)+(+3 x)sin2rl(2x+3)sin2x.48.求不定积分炉,d x.4-x2fV2解：7 =j 4 x=2sint-4sin2 tax-兀 J 2cosr/2 22costdt=4sin2 tdt=2J(I-
17、cos2r)Jr =2z-sin 2r+C=2 arcs in-2sinZcosf+C=2 arcs in-2 2H+C.249.计 算 定 积 分 空 士 号 必（Z X）解/苗崇公的）1 In(I+x)2 X 2-X-01(2-x)(l+x)dx1 ln2(3 J。11-1-2-x 1+)dx=In 2+gin2-x1+712 1=In 2 In 2=-In 2.o3350.设z=/(2 x+y)+g(x,d)，其中/Q),g(,u)皆可微，求 ,.x y解：包=f(2 x +y)晅 七。堂 包+遨 生x x u x v x=2f(2x+y)+gu(x,xy)+yg,(x,Xy)包=f(2
18、 x+)d(2 x+y I l d vy y u y v y=f(,2x+y)+xgv(x,xy).5 1.计算二重积分=J J 2)drdy,D其中。由y=X,y=2x及X =1所围成.解：积分区域如图0 6 T所示，口表达为：Q x l,x y 2 x.因 止 匕 /=X1 ydxdy=工 dxx x1 ydyD=/呜)5 2.求毒级数t一(x-l)的收敛区间w=o 1 +(3)(不考虑区间端点的状况).解：令x 7 =r,级数化为 J 1 +(-3)这是不缺项的原则的事级数.由于 Q=Iim L 一 8=Iim 一 8l+(-3)n n+l+(-3)n+l nIim，T 8+131-93
19、故级数 的 收 敛 半 径R=3,即级数收敛区间为(-3,3)./：=01+(-3)p对级数t 有一3 x-l 3,即一 2 x =字，则y=XC叫 20（2,代入方X X程得1 I r故所求方程的I通解为y=-+X 2 X1得分评卷人四、应用题（每题7 分，合计14分）5 4.某公司的甲、乙两厂生产同一种产品，月产量分别为无,y 千件；甲厂月生产成本是G=X2-2X+5（千元），乙厂月生产成本是C2=V+2），+3（千元）.若规定该产品每月总产量为8 千件，并使总成本最小，求甲、乙两厂最优产量和相应最小成本.解：由题意可知：总成本C=C+G =Y+y 2 2x+2y+8,约束条件为x+y=8
20、.问题转化为在x+y=8条件下求总成本。的最小值.把x+y=8代入目的函数得C=2-2 O x +88（xO0整数）.则C=4x 2 0,令C =O得唯一驻点为尤=5,此时有C=40.故 x=5是唯一极值点且为极小值，即最小值点.此时有y=3,C=38因此甲、乙两厂最优产量分别为5 千件和3 千件，最低成本为38千元.55.由曲线y=(x-I)(X-2)和X轴所围成一平面图形，求此平面图形绕y 轴旋转一周所成的旋转体日勺体积.解:平面图形如图06-2所示,此立体可看作X型区域绕y 轴旋转一周而得到。运用体积公式Vv=2 H XI f(x)I dx.56.设/(x)在-,(O,为常数)上持续，证明：f(x)dx=(X)+f(-x)dx.并计算R 量：水证明：由于 J/(x)dx=f(x)dx+于(x)dx,-f X=T M M而 L f(x)公=/(T)d(T)=f(-t)dt=f(-x)dx,.,p P a 广 0 c(i故 J f(x)dx=j f(x)dx+f(x)dx=f(x)dx+f(-x)dx即有 J (x g =(x)+(r)M x 运用上述公式有COSXl+77dx-+l+exdx=FCoSMC=Sin 出=-