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1、2 20 00 05 5年年河河南南省省普普通通高高等等学学校校选拔优秀专科生进入本科阶段学习考试选拔优秀专科生进入本科阶段学习考试高等数学 试卷总分核分人一、单项选择题（每小题一、单项选择题（每小题 2 2 分，共计分，共计 6060 分）分）得在每小题的四个备选答案中选出一个正确答案，并将其代码分写在题干后面的括号内。不选、错选或多选者，该题无分.ln(x 1)1.函数y 的定义域为为（）5 x A.x 1 B.x 5 C.1 x 5 D.1 x5x 1 0解：1 x 5 C.5 x 02.下列函数中,图形关于y轴对称的是（）Ay xcosx B.y x3 x 12x 2x2x 2x C.
2、y D.y 222x 2x解：图形关于y轴对称,就是考察函数是否为偶函数,显然函数y 为2偶函数,应选 D.题号一分数评卷人二三四五六3.当x 0时，与ex1等价的无穷小量是（）A.x B.x2 C.2x D.2x2解：ex1 x ex1 x2,应选 B.2224.lim1（）nnA.e B.e2 C.e3 D.e4解：lim1n2nn1n1 lim1n2nn 2(n1)2nlim1n2nn22(n1)nnlim e2,应选 B.1 1 x,x 05.设f(x)在x 0处连续，则 常数a xa,x 0（）11A.1 B.-1 C.D.221 1 xx11解：lim f(x)lim lim li
3、m,应选 C.x0 x0 x0 xx(1 1 x)x0(1 1 x)2f(12h)f(1)16.设函数f(x)在点x 1处可导,且lim,则f(1)h0h2（）111 A.1 B.C.D.244f(1 2h)f(1)f(1 2h)f(1)11解：lim 2 lim 2 f(1)f(1),h02h0h 2h24应选 D.dx7.由方程xy exy确定的隐函数x(y)的导数为dy（）x(y 1)y(x 1)y(1 x)x(y 1)A.B.C.D.y(1 x)x(1 y)x(y 1)y(x 1)解：对方程xy exy两边微分得xdy ydx exy(dx dy),即(y exy)dx (exy x)
4、dy,(y xy)dx (xy x)dy,所以dxx(y 1),应选 A.dyy(1 x)8.设函数f(x)具有任意阶导数,且f(x)f(x)2，则f(n)(x)（）A.n f(x)n1 B.n!f(x)n1C.(n 1)f(x)n1 D.(n1)!f(x)n1 f(x)4,解：f(x)2f(x)f(x)2 f(x)3 f(x)23f2(x)f(x)3！f(n)(x)n!f(x)n1,应选 B.9.下列函数在给定的区间上满足罗尔定理的条件是（）A.f(x)1 x2,1,1 B.f(x)xex,1,11C.f(x),1,1 Df(x)|x|,1,121 x解：由罗尔中值定理条件：连续、可导及端点
5、的函数值相等来确定,只有f(x)1 x2,1,1满足,应选 A.1 10.设f(x)(x 1)(2x 1),x(,),则在(,1)内,f(x)单调 ()2 A.增加,曲线y f(x)为凹的 B.减少,曲线y f(x)为凹的C.增加,曲线y f(x)为凸的 D.减少,曲线y f(x)为凸的1解:在(,1)内,显然有f(x)(x 1)(2x 1)0,而f(x)4x 1 0,故函21数f(x)在(,1)内单调减少,且曲线y f(x)为凹的,应选 B.211.曲线y e（）A.只有垂直渐近线 B.只有水平渐近线 C.既有垂直渐近线，又有水平渐近线，D.无水平、垂直渐近线解：lim y 1 y 1;li
6、my x 0，应选 C.xx01xx acostd2y12.设参数方程为,则二阶导数2dxy bsint（）bbA.B.asin2ta2sin3tbbC.D.222acos ta sintcos tdyytbcostd2ybcost bcost dt解：2 dxxtasintasintasintdxxtdxb1b,应选 B.asin2t asinta2sin3t 13.若f(x)e dx e C，则f(x)（）1111 B.2 C.D.2xxxx1111解：两边对x求导f(x)ex ex(2)f(x)2,应选 B.xx14.若f(x)dx F(x)C，则cosxf(sin x)dx 1x1xA
7、.（）A.F(sin x)C B.F(sin x)C C.F(cosx)C D.F(cosx)C解:cosxf(sin x)dx f(sin x)d(sin x)F(sin x)C,应选 A.15.下列广义积分发散的是（）1ln x11dx C.A.dx B.dx D.exdx20001 xex1 x21111dx arcsin x解：;dx arctan x000201 x2221 x11eln x1dx(ln x)2x2e;0exdx ex01,应选 C.16.x|x|dx（）242A.0 B.C.D.333解：被积函数x|x|在积分区间-1,1上是奇函数,应选 A.17.设f(x)在a,
8、a上连续,则定积分f(x)dx aa（）A.0 B.2f(x)dx C.f(x)dx D.f(x)dx0aaaaa解：f(x)dxaatuaaf(u)d(u)f(u)du f(x)dx,应选 D.aaaa18.设f(x)的一个原函数是sinx,则f(x)sin xdx（）1111A.x sin2x C B.x sin2x C222411C.sin2x D.sin2x C22解:(sin x)f(x)f(x)cosx f(x)sin x1cos2x11f(x)sin xdx sin2xdx dx x sin2x C,应选 B.22419.设函数f(x)在区间a,b上连续,则不正确的是（）A.f(
9、x)dx是f(x)的一个原函数 B.f(t)dt是f(x)的一个原函数aabxC.f(t)dt是 f(x)的一个原函数 D.f(x)在a,b上可积xa解:f(x)dx是常数,它的导数为零,而不是f(x),即f(x)dx不是f(x)的aabb原函数,应选 A.x 3yz 220.直线与平面x y z 1 0的关系是112（）A.垂直 B.相交但不垂直 C.直线在平面上 D.平行解：s 1,1,2,n 1,1,1)s n,另一方面点(3,0,2)不在平面内,所以应为平行关系,应选 D.zz21.函数z f(x,y)在点(x0,y0)处的两个偏导数和存在是它在该点处xy可微的（）A.充分条件 B.必
10、要条件 C.充要条件 D.无关条件解：两个偏导数存在,不一定可微,但可微一定有偏导数存在,因此为必要条件,应选 B.2x22.设z ln，则dz(1,2)（）yy1111A.dx B.dx dy C.dx dy D.dx dy2x222212x11解：z ln ln2x ln y dz dx dy dz(1,2)dx dy,应选 C.yxy223.函数f(x,y)x2 xy y2 x y 1的极小值点是（）A.(1,1)B.(1,1)C.(1,1)D.(1,1)z 2x y 1 0 x解：(x,y)(1,1),应选 B.z x 2y 1 0y24.二次积分dxf(x,y)dy写成另一种次序的积
11、分是（）002x2A.dy04042y2f(x,y)dx B.0dy04024yf(x,y)dxf(x,y)dxC.dy2f(x,y)dx D.dyxy解：积分区域D(x,y)|0 x 2,0 y x2(x,y)|0 y 4,y x 2,应选 A.25.设 D 是由上半圆周y 2ax x2和x轴所围成的闭区域,则f(x,y)d（）DA.dC.d20202a0f(rcos,rsin)rdr B.df(rcos,rsin)dr02acos0f(rcos,rsin)rdr D.d20202a2acos0f(rcos,rsin)dr,0 r 2acos，2解：积分区域在极坐标下可表示为：D(r,)|0
12、 从而f(x,y)d D20d2acos0f(rcos,rsin)rdr，应选 C.L26.设L为抛物线y x2上从O(0,0)到B(1,1)的一段弧，2xydx x2dy（）A.-1 B.1 C.2 D.-1x x解：L：,x从 0 变到 1,2y x2xydx xL2dy 2x dx 2x dx 4x dx x00133134101,应选 B.27.下列级数中，条件收敛的是（）n1nA(1)B(1)n23n1n1n1n1(1)nC(1)2 Dnn1n(n 1)n1nn(1)n1n1解：(1)发散,(1)2和绝对收敛，(1)n3n1nn1n(n 1)n1n1n1n2211是收敛的，但是p 的
13、级数发散的，从而级数(1)n条件收敛，22333n1n1nnn应选 B.28.下列命题正确的是（）A若级数un与vn收敛，则级数(un vn)2收敛n1n1n122 vn)收敛B若级数un与vn收敛，则级数(unn1n1n1C若正项级数un与vn收敛，则级数(unvn)2收敛n1n1n1D若级数unvn收敛，则级数un与vn都收敛n1n1n12解：正项级数un与vn收敛u与vn收敛，2nn1n12nn1n1而(un vn)2(u v)，所以级数(unvn)2收敛，应选 C。22nn1 29.微分方程(x 2y)y 2x y的通解为（）A.x2 y2 C B.x y CC.y x 1 D.x2
14、xy y2 C2解：注意对所给的方程两边求导进行验证，可得通解应为x2 xy y2 C2，应选 D.d2x30.微分方程22x 0的通解是dt（）A.x C1cost C2sint B.x C1etC2etC.x cost sint D.x etet解：微分方程的特征方程为22 0，有两个复特征根 i，所以方程的通解为x C1cost C2sint，应选 A.得评卷人二、填空题（每小题二、填空题（每小题 2 2 分，共分，共 3030 分）分）分1.设f(x 1)x2 2,则f(x 2)_.解：f(x 1)(x 1)22(x 1)3 f(x)x22x 3f(x 2)x26x 11.x2 ax
15、6 5,则a _.2.limx2x 2解：因lim(x 2)0 lim(x2 ax 6)0 a 1.x2x2 3.设函数y arctanx在点(1,)处的切线方程是_.4111解：k yx1，则切线方程为y(x 1)，1 x2x1242即x 2y 1 0.24.设y x ex，则dy _.1xln x1ln x dy ed(x)xxex1dx.解：y e2xx5.函数y 2x2ln x的单调递增区间是 _.ln xxxln xxx1111114x 0解：y 4x x(,)或,).x22x2x 06.曲线y e解：y exx的拐点是_.12 xx3 y ex(x 1)4x x 0 x 1,得拐点
16、为(1,e).7.设f(x)连续,且f(t)dt x,则f(27)_.0解：等式f(t)dt x两边求导有f(x3)3x21,取x 3有f(27)0 x31.278.设f(0)1,f(2)2,f(2)3，则xf(2x)dx _.01111111解：xf(2x)dx xdf(2x)xf(2x)0f(2x)d2x0202401111151f(2)f(2x)0f(2)f(2)f(0).24244419.函数y tetdt的极小值是_.0 x解:y xex 0 x 0 f(0)0.1sin x10.dx _.x cosx1sin xd(x cosx)解:dx ln|x cosx|C.x cosxx c
17、osx11.由向量a 1,0,1,b 0,1,2为邻边构成的平行四边形的面积为_.ijk解：ab 101 i 2j k S|ab|6.0112.设2xzzz_.ln，则xyzyxzx解：令F lnln z ln y,则zyzFx 11x1x z,Fy,Fz 2 2.zyzzzFyFxzzzz2zzz(y z),所以.;xyy(x z)xFzx z yFzy(x z)13.设D是由y 1 x2,y x,y 0，所围成的第一象限部分,则y2()dxdyxD=_.解：积分区域在极坐标系下表示为D(r,)|0 14122(sec 1)d(tan )40202314.将f(x)展开为x的幂级数是_.2
18、x x23311111解：f(x),2x(1 x)(2 x)1 x2 x1 x22 x x121xn1 n所以f(x)(x)()(1)nn1xn,(1 x 1).2n022n0n015.用待定系数法求方程y 4y 4y (2x 1)e2x的特解时,特解应设为_ _.解：2 是特征方程24 4 0的二重根,且(2x 1)是一次多项式,特解应设为x2(Ax B)e2x.三、计算题（每小题三、计算题（每小题 5 5 分，共分，共 4040 分）分）得评卷人分x21lim.x01 xsin x cos x,0 r 1,则41.28x2(1 xsin x cosx)解：lim limx0 x01 xsi
19、n x cosx1 xsin x cosx114 4.x03cosx xsin x33dy3x 222.已知y .,f(x)arctanx,求dx5x 2x03x 2解：令 u,则y f(u),5x 22dydydu3x 23x 216 f(u),arctan 2dxdudx5x 25x 2(5x 2)dy16 arctan12 4.所以dxx0424lim00 x23.求不定积分解：x31 x2dx.x1 x23x31 x22dx x22dx x2d 1 x22 x1 x(1 x2)2C.3ln(1 x),x 024.设f(x)1,求f(x 1)dx.0,x 02 x解：令x1 t,则f(x
20、 1)dx f(t)dt0121 2ln2t0 ln(1t)0 3ln21.115.设z f(exsin y,x2 y2)，其中f(u,v)可微，求z z,.x y解：令exsin y u,x2 y2 v,则z f(u,v),复合关系结构如图 05-1 所示,exsin yfu(u,v)2xfv(u,v),excos yfu(u,v)2yfv(u,v).x26求2dxdy，其中D是由xy 1,y x及x 2所围成的闭区域.Dy解：积分区域如图 05-2 所示，曲线xy 1,y x在第一象限内的交点为（1，1），图 05-11积分区域可表示为：1 x 2,y x.x则Dxx12dxdy dxdy
21、 x()dx11xy21y1y22x2x222x x4x29.42141(1)n2n1x7求幂级数的收敛域（考虑区间端点）.n02n 1图 05-2解：这是缺项的标准的幂级数，un1(1)n1x2n32n 12n 12因为 lim lim x lim x2，n2n1nunn2n 32n 3(1)xn当 1，即1 x 1时，幂级数绝对收敛；当 1，即x 1或x 1时，幂级数发散；当 1，即x 1时，(1)n若x 1时，幂级数化为是交错级数，满足来布尼兹定理的条件，2n 1n0(1)n1是收敛的，若x 1时，幂级数化为也是交错级数，也满足来布尼兹2n 1n0定理的条件，是收敛的.故幂级数的收敛域为
22、-1,1.8求微分方程(x21)y 2xy cosx 0通解.2xcosx解：微分方程可化为y2，这是一阶线性非齐次微分方程，y 2x 1x 12xC它对应的齐次线性微分方程y2.y 0的通解为y 2x 1x 1C(x)2xC(x)C(x)设非齐次线性微分方程的通解为y 2，则y 2，代入x 1(x21)2x 1方程得C(x)cosx,所以C(x)sin x C.sin x C故原微分方程的通解为y(C 为任意常数).x21四、应用题（每小题四、应用题（每小题 7 7 分，共计分，共计 1414 分）分）得评卷人1.一房地产公司有 50 套公寓要出租,当月租金定为 2000分元时,公寓会全部租
23、出去,当月租金每增加 100 元时,就会多一套公寓租不出去,而租出去的公寓每月需花费 200 元的维修费.试问租金定为多少可获得最大收入?最大收入是多少?解：设每套公寓租金为x元时,所获收入为y元,x 2000则y 50(x 200),(x 2000),1001整理得y(x27200 x 1400000),1001y(2x 7200)均有意义,1001令y 0得唯一可能的极值点x 3600,而此时y 0,所以x 360050是使y达到极大值的点,即为最大值的点.3600 2000最大收入为y 50(3600 200)343400 115600(元).100故 租金定为每套 3600 元时,获得
24、的收入最大,最大收入为 115600 元.12.平面图形由抛物线y2 2x与该曲线在点(,1)处法线所围成,试求:2(1)该平面图形的面积;(2)该平面图形绕x轴旋转所成的旋转体的体积.1解：平面图形如图 05-3 所示,切点A(,1)处的切线斜率为k yx1,221由y2 2x得y,故A点处的切线斜率yk yx1 yy11,2从而A点处的法线斜率为-1,3法线方程为x y 0.21-3图 05-3y2 2x9联立方程组得另一交点B(,3).32x y 02(1)把该平面图形看作 Y 型区域,其面积为 3y23y2y316S(y)dy (y);32226332(2)根据抛物线的对称性知,该平面
25、图形绕x轴旋转所成的旋转体的体积等于平面图形OBC绕x轴旋转所成旋转体的体积,有113故Vx 2xdx (x)2dx x292092329220931(x x2x3)3423292 得分81459.44五、证明题（五、证明题（6 6 分）分）评卷人11 x1 ln.1 xxx证明：构造函数f(x)lnx，它在(0，)内连续，1当x 0时，函数在区间x,1 x上连续，且f(x).x试证：当x 0时，有故f(x)在x,1 x上满足 Lagrange 中值定理,存在(x,x 1),使得f(1 x)f(x)f()，(x x 1).而11111 ln(1 x)ln x,f(),故有1 xx1 xx11 x1 ln成立.1 xxx即x 0时,