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1、专科毕业生进入本科阶段学习考试2022年河南省普通高等题号*二三四五总分本卷须知：答题前：考生务必将自己的、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上本卷的试题答案必须答在答题卡上，答在卷上无效选题分析:易（4 0 分）中 8 0 分）难（3 0 分）选 择：1/2/3/4/1 1/1 4/1 6/1 9/2 0/21/2 4/2 5/2 6/2 7/2 9填 空：3 1/3 2/3 3/3 4/3 5计算：应用：证明：选 择：5/6/7/8/9/1 0/1 2/1 3/1 5/1 7/1 8/2 2/2 3/2 8填 空：3 6/3 7/3 8/3 9/4 0计算：4 1/4 2/4 3/4 4/
2、4 6/4 8应用：5 1/5 2证明：选择：3 0填空：计算：4 5/4 7/4 9/5 0应用：证明：5 37_一、选 择 题（每 题2分，共6 0分）在每题的四个备选答案中选一个正确答案，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.a r c s in （1-x）1.函数），=z=的定义域是（）.A.0,2 B.1,+8)C.1,2 D.l,2 12.设/（X），那 么/（切 =（）.X11 1A.-B.-C.-y-D.XX-1 1-XX13.函数y=-_ _ _ _ _ _ _ _(；-00 x 0,0 ),那么f=对应点处的法线斜率为().y=/?s in r4hahaA.-B.-c.-
3、rD.-abab8.设/(x)=g(x),那么或(s in，)=().A.2 g(x)sinxdxC.g(s in 2 x)6 kB.g(x)s in 2 x公D.g(s in2 x)s in 2 jdr9.设函数/（x）具有任意阶导数，且/,（%）=/（X）2,那 么f（n x）=（）.A.n!/(x)n+,B.n/(x)n+,C.(n +l)/(x)r+,D.(n +l)!/(x)r+I/r1 0.由方程孙=e+确定的隐函数x（y）的导数 dy().A3y dD)(x T)D.-y(x+i)x(y T)M y+1)D.-y(i)1 1.假设/(x)0 0 x 08./（兀）在0,0上单调增
4、加C./U)0口./（幻 在 0,a 上单调增加1 2.点（0,1）是 曲 线y ud+bf+c的拐点，那 么（）.A.b=0,c=1 B./?=-1,c =0C.b=19 C =1 D./?=-1,C =x+21 3.曲线y=l+的垂直渐近线共有().x X f)条B.2条 C.3条 D.4条1 4 .函数/（x）=，e-x的一个原函数是（.KF x)=ex-e-xB.尸(x)=ex+exC.F(x)=e-eD.F(x)=-ex-e-x1 5.假设r（x）连续，那么以下等式正确的选项是（）.A.J 4(X)=/(x)c j.r(x)d x=f(x)产1 6 .x sinxdx-().B.d
5、f(x)dx=f(x)D.d J/(x2)dx=于()dxA.71B.-C.lD.O1 8.以下广义积分收敛的是（）.zdx+0017 8不出dxxdx7 丁1 9.微分方程（y 2 +5）2），+y=0的阶数是（.A.l B.2 C.32 0微分方程d y-2 xy2 d x=0满足条件M D=-1的特解是（）.D.41 1A =,B.y=一 ,C.y=d D.y=-尤2X JC2 1.以下各组角中，可以作为向量的方向角的是().冗冗冗 71 TC 71 冗 冗 冗 冗 兀 兀A 7 4 3 B.6 4 3 C.3,3 4 D-4 3 2x-1 v+2 z-42 2.直线L：=与平面：2 x
6、 3 y+z 4 =0的位置关系是2 3 1).A.L在左上B.L与垂直相交C.L与万平行D.L与左相交，但不垂直2 3.以下方程在空间直角坐标系中所表示的图形为柱面的是（）.X2 z 2.A +y7 3 ,4 1 61 .2 A/xy+42 4.l i m-=().r 孙y-0,A.O B.ldz2 5.设Z=/(尤 2 2,2 x +3 y),那 二2 2B.ZI=X_4 4D.尤?+y2-2 1=0C.-D.不存在4).A.2)斤+3方B2对+3 力 C.2罚+2方D.2劝 2.5,2 6.设/=J；d x p/(x,丁)力+血公小产”X，那么交换积分次序后，/可 以化为().f(x,y
7、)dx/(x,y)公T(：.(办产*f(x,y)dx 2y d x2 7积分x 2 ydy=().11A.2 B.-3C.-D.O22 8.设L是抛物线x=V上 从o(o,o)到A(l,l)的一段 弧，那么曲线积42盯 公+乂().A.O B.2C.4 D.l2 9.基级数温(+l)x”的收敛区间().A.(0,l)3 0.以下级数收敛的是(B.(8,4-O O).c.(-1,1)0 0,1A.Z(-1)7 7 Ftn=l0 0 1B.V i n (1 +)8 1C.V s i n D.(-l,0)二填 空 题(每 题2分,共20分)3 1 .函数/(%)在点与有定义是极限l i m /(x)
8、存在的 条件.X T%)3 2 .1 i m(l-yx=e-2,那么 p=X f 8匚 比(e Q,x 0,3 4.设函数/(_)=d,那 么 八 幻=2 +c o sx2 x+si n x-dx=_Q.3 6 .a=(1,0,1)与 b=(一 1,1,0)的夹角是.3 7 .微分方程y+y-九=0的通解是.3 8 .设方程工+2丁+2-2%”=0所确定的隐函数为2 =2（1，y）,那 1）=_dxE3 9.曲面Z=/+y 2在 点（1,2,5）处 的 切 平 面 方 程 是.4 0.将函数/（X）=1展开成。-4）的 幕 级 数 是.三、计 算 题（每 题5分，共5 0分）4 1.1 i m
9、.o x In (1 +x),.1_dx4 2.函数x =x(y)由方程a rc t a n )=In J d +所确定,求 .x dy4 3 .求不定积分a rc t a n G d x .4 4.设/(幻=1 +3 x 1 2+1 0)wLr+(x2-2 xy-y2+1 5)r/y,其中 L 为曲线 y=c o sx上从T T 7T点A(,0)到点8 (-Q)的一段弧8（X-1）5 0 .求 基 级 数 7 的收敛域.四、应 用 题（每 题 6分，共 1 2 分）5 1 .某房地产公司有5 0 套公寓要出租，当月租金定为2 0 2 2 元时，公寓会全部租出去，当月租金每增加1 0 0 元时
10、，就会多一套公寓租不出去，而租出去的公寓每月需花费2 0 0 元的维修费，试问租金定为多少可获得最大收入最大收入是多少5 2 .曲线y=d （xN O）,直线x +y=2以及y 轴围成一平面图形。，试求平面图形。绕 y 轴旋转一周所得旋转体的体积.五、证 明 题（每 题 8分，共 8分）5 3 .设/螃81ft区间 0刀上连续，且人够x）l,证明:方程2 审 6，钿3dt在区间（0,1）内有且仅有一个实根.2 0 2 2 年河南省普通高等专科毕业生进入本科阶段学习考试高等数学【参考答案】一、选 择 题（每 题 2分，共 6 0 分）在每题的四个备选答案中选一个正确答案，用铅笔把答题卡上对应题目
11、的答案标号涂黑.L【答案】C【解析】要使函数有意义，那么10 1 一3 1 解得l 0,选 C.2 .【答案】D1【解析】由 驷）=）=，=-二 /（X X）=_ f f(舱镯此 题 选 D.3 .【答案】B【解 析】令 y y =f 朝 镖 念 不，函数小瑜o：）的 定 义 域 关 于 原 点 对 称，且/3双）1ln(/l+xiz-xi)=-f(x 领故函数是奇函数工撷选4.【答案】B【解析】是 函 数 的 无 定 义 点，故x能 0不是函数/螃 8 的连续点，选 项A错误；由lim/3 8 3 LS in 2 x g m 2 x x=2存在，故X化 0是函数/诲8的可去间断点.此题选B.
12、XXTO XXTO X XXTOXXX5.【答案】A【解析】当0时，要使次而与J1+X/3 V l-XX等价，即出11-+网-6-戏=l.liin W+xx71T xxx O 部 X X TO 以 即 加(VH=XX-JI-i(1+逢耻(1 一x g i lirn=0；那么=-=-lim-=-lim L戏T O X评 Jl+xgJl-xx 2xx-0 xxnn 2 x x-0 xxnn-l-.1-n-*0解得1.故当丫加。时，无穷小量故与V l+x 3加V l-x x等价.此题选A.6.【答案】C【O r i/领()+心/领0)*鬻+加8-0)-J=h mx r-u x x x r-0 x x
13、 正。xx-xx x r-O x xlim )+(-x4。丽=+gg(O)=帅 此题选 C.x x-+O -xx 7.【答案】B工,d d d d 搬 bbcostt n t,.,d d d d b b【解 析dan=妣晔=-adwi n tJ.那 么曲线 在对应点处的切线斜率d d xx卜，8C I-“L.a_n=，故曲线在t幽 t g 4-0 =4I对应点处的法线斜率H =-1 =M此 题 选B.4k k b b8.【答案】D【解析】d d/sin2x x)=/,(sin2x$d s in2xx)=/,(sin2xx),2sinxxcosxxddxx=/,(sin2xx)sin2xxddx
14、x,团9/(xx)=g(x 所以ddf蚓壮戏)=g(sin2xx)sin2x%dcta.此题选 D.9.【答案】A【解析】由/翎 管I?,得/8=2f幅翎f f(x 8:2/-3 =2!/彼 8P，/广(万8=2 3，诲92，(丫拆2司/彼g3!/蝌 瑜，4(x 8=2 3 4 7 v g 3 ，Q8=2 3 4，=4!/(x领F，故(一(x-i g M X x-b B+i.此题选 A.10.【答案】A【解 析】令FF(xx,yy)=xxyy en+*那么FF=yy-e e*1%F F=n:-e e叫 故 蛔=应=竺-ee-F fxx dd 而 a 血-ee*d_ xx-xxd_A._dd-x
15、xdd d 第l-x笛1 1.【答案】B【解析】由（）0（0 (x 2)(x x x-xx-33 -3)3直 渐 近 线 共 有 1条.此题选A.14.【答案】B【解析】f f ddxx=J(e ex x-ee-xx)ddxx=/eexx ddxx-f ee-xx ddxx=J eexx ddxx+f ee-xx d -x x)=eexx+e e-x x +C C.故e e、x +e e 1 是函数/袋 二 e e。-e e-移 的一个原函数.此题选B.15.【答案】I)【解析】/d d/a o)=/颤%)+C C,选项 A 错误；d/x)ddxx=/飘x)ddxddxx=/翎的欣筋选项B错误
16、；J ff(xx)ddxx=/脩 x)+C C,选项C 错误；d J/翎 户)d d x x=/的 )ddxkldxx=ffKx2)ddxxf 选项D 正确.此题选 D.16.【答案】D【解 析】令/觎 x)=xx2 s i n xx,f觎x)的定义域为RR即定义域关于原点对称，且y -x x)=(-x s i n(-x x)=x x2(-s i n x x)=-xx2 s i n x x =xx2 s i n x x R R 上奇函数,由奇函数在对称区间上的定积分为0 得 j：/%2 s i n x/假 d x/4 0.此题选D.17.【答案】A【解析】方程广:巧 领 t)d d/萨:%e
17、e 2+m两边对%求导，得/能+x x)=ee2+xx xxee2+xx.t 2+xxf那么/领(二 e eu+2)eetl,即/颤=eexx+(通 2)eexx,故6=eexx+eexx+2)eexx=x x e e x x.此题选 A.18.【答案】C解析广 8 d 公 竺)n xg+8 =+w j+发 瞅 选 项A格曲广血弋2 厂_ 三2 4 辐+81 XX 1 1 XX 1 A x -=1 2-y J x x1般，+8曲就发散，选 项 B 错误；+8 1+8=1,+8d d%X收敛，选项c正确；+8由 皿也8=0的 阶 数 是 2.此题选B.I【答案】B【解,斤】对ddy-2以yy2d
18、dx0,别离变量，=2 xxddxx；两边积分，组J2戏dd%,那d d2 d d2 d dxx2+cc.Ehy）=-l,得1=1+CC,解得C c 0.故微分方程满足条件的特解i =2,即y第,d d一把匕题选B2 1.【答案】C【解析】向量的方向角必须满足 cccccc2aa+cccccc2 +CCCCCC2YY=1.cccccc2 而 +_cccccc2 土 cccccc?4 4 3哈2+审+(；)2=#1,选项A不正确;MT/耽2/年2y(争+(争+(*3*1,选项 B 不正确;C C C C C C2 +C C C C C C2 +C C C C C C2 71 71=()2+()2
19、+()=1，选项 C 正确；C C C C C C2 露 +2 3 3 4 2 2 T 4cccccc714-cccccc2 nn 2+G2+(0)2=H 1,选项 D 不正确.此题选 C.2 2 .【答案】B【解析】由直线a：；!】=2三二4,得直线的方向向量为=2,-3,1.由平面Tt:2xx-3yy+zz-2-3 14=0,得平面n 的法向量为=2,-3,1.因为2=干=E所 次|.故直线L与平面TT垂直相交.2-3 1本 题 选B.23.【答案】D【解析】D选项中X%2+y y 2 _ 2 x =0形 式 可 写 成1）2+y y 2 =1,在空间直角坐标系中表示圆柱面.此题选D.【解
20、 析】lim 2-d d+4 =l j m2 4 .【答案】C(2-d d+j)(2+.d d+4)_ jm (2-6+4)(2+.d d+4)=1 皿 4-(xxdh4)xx-O xx xx-O xxdd(2+-xdd nO xxdd(2+xd 4xx-0 x x d d_ Jd-O dd dd-+O+4)dd-*O d+4)dd-*Ollim 8=一 1 此题选 c.4xx-0 xxdd 4dd-02 5 .【答案】B【解析】由Z Z =/f（2 一 yy2,2XX+3沙），得曲=-2）州+3/f.此题选B.dddd 1 22 6.【答案】A【解析】根据二重积分变量的上下限画出积分区域，由
21、积分区域的图像写出交换二重积分后的形式.此题选A.2 7.【答案】Cj1ddxxfxx2yyddyy=xx2ddxxf 13 1 1 22 1 1（22-1）=1 3 J,本o-3-21-3-2 题 选c.28.【答案】D【解析】J 2xydx+x2dy=2 2为 d d y-J04 ddy-酎=1.此题选 D.12y 耕 伪 5#”29.【答案】C【解析】lim 铲o l im琴涔1,得收敛半径为RR=-时 刎 雌 区间为（-R 8n n-co 。丽 7W IT8 n舲 1 p p此 题 选c.30.【答案】A 解析 Hm 1 =0.；灶&L 单调不增，由莱布尼茨判别法，得级数E（一 1）”
22、收敛，f 00+l n+1 w=|n+1 8J选项A正确；级数工1 1 1（1 +一）,由级数、发散，得级数、也（1+一）发散，选 项B=i ，1 n 3n 3 n错误；级数 sin -Z 一，由级数Z 一发散，/i=l g】n=l 00 1得级数 i n淡 散，选 项C错误;，曰 n(+1 严班 5干(+1严lim =lim _=limn-oo n-8 /i-o c(+l)Fnn！n(+l)5+l)(+l)”=lim _ _=lim_n-(+)!n f8 -=lim（l+1）=e l,由比值审敛法得级数 工发散，选 项D错误.此题选A.“T 8 n n=l 二、填 空 题（每 题2分，共20
23、分）3 1.【答案】既不充分也不必要【解析】函数（“）在点ho有定义只说明行（富）的定义域中包含小，/（碗）存在，而1加/（*）存在XXTXX0等价于l i m ff（xx）,两者之间没有什么本质联系.故函数/（“）在点的有定义是极限XX-XXQ X X-X+lim f 掘 8存在的既不充分也不必要条件.XX-XXQ32.【答案】2333 3.【答案】I2融 附 =lim lim(0-xx-0 xx-O+xx-0+0处连续，得/$0)=lim lim 即 1 -a a,解得xx-O-xx-0+23 4 .【答案】一 2X3螃析】令工=比，那么/2-1.由L 4,得/$t8=i,即/螃8=1.故
24、，(久8=X X2 切 Qz)=t2 X X2 X X335.【答案】In|2xx+sin xx 4-CC-d fj x r sin x g=ln|2 x F sin xx|+CC.【解析】L+cos,加=/12xr+si nn 2n+si nn36.【答案】2m l3 _ _ _ _ _ _ _ _ _【解析】E C O S =_ l x(-l)+0 xl+l x0=T=1,得=2二1S T，。7I2+O2+I2 H I)2+I2+O2 V2V2 2 337.【答案】y协 觎。田”一1,其中CC为任意常数【解析】由yy+yy=x x,得微分方程的通解为yy=e!ld ix if eflidn
25、 xxddxx+CC=e-nJxxenddxx 4-C 二 e-叫l)e政 +C 8=1 +其中CC为任意常数一38.【答案】一539.【解析】当%=0,yy=1M,zz=-2.方程两边对:求偏导,得1+*2yyzz=2%xyy=0,dxx dxx解 得 如=皿=1,故&加=。=2xl x(-2)-l =_5oxx l 2xx dxx 1 2x0 x1dd=i3 9.【答案】2哦H嚼-z新5【辍 令F(xx,加 劝=2+产-zz,那郊=2xi,FF=2w,FF=-1,FF(1,2,5)=2,FF(1,2,5)=x x a a z z x x d d4,町(1,2,5)=-1.那么曲面的切平面方
26、程是2(xx-1)+4(yy-2)-(zz-5)=0,Bxx+4yyzz 5.8(-1),40【答案】2而 (“一4)n=0-H=0得/w=iZ3 (D(r 4)=E 得 i)a 4)4=o 4 D 4i,0 x xx201 ,=lim=一XXT 2x0 xH im!2xx-01+xx5 2 2n.+w羁边对淮跳导，1+（磐 【通 康 （一城dddia+财22xx i2ddd-做x _ w 祖-dd 入xx-dd出2r2+dd2 xx2+dd2 xx2+dd2 x+dd2 xx2+dd2 xx2+dd2 xx2idd2dddd dddd dddd4 3.答案】x a rc ta n V%-ar
27、ctanV x4-C Cdddd xdd112 1_1_ ddxx【解析】令9;V xx,那么x份修故J aaaaccttQ flnn f aaaaccttaanntt dd(tt2)=V ddx tt2aaaaccttaanntt:-6-J解tt2aaaaccttaanntt 1+l，2-1(idtt=r tt2a(ia(iccttamntt J i+tt2J(l-a燃 价ttaaaaccttaannt-f同的叶J】ddt际1+tt2tt2aa(K icctt(ianJitt-tti aaaaccttaanntt iC=xxQ Q dQ ccttaQ nnVxx-Vn+Q Q Q Q C C
28、 血 皿 nVn+C C.44.【答案】e g+13-【解析】J3ff(xx-2)ddxx=f3 ff(xx-2)dd(xx-J1/(tt)ddtt=J(1+tt2)d d tt 4-f1 e的她io4110-(-1 3)+(ee 1)=3+e给 1=e -.45.【答案】yy=C4旷口+。*2”+*,其中电，为任意常数【解析】原微分方程化简，得与“+、）/-l y =3ee巩对应齐次方程的特征方程为2i i2 2 2即(+1)(_ 1)=0 解 得%=f 那么齐次方程的通解为yy=cc ee-+ccee ,其中以故 族 泌 任意常数.设非齐方程的特解为yy*=aaee%代入原方程，解得aa=
29、3,那么*1 242 w =Z要_ 叫 其中C a的任意常数.2+消 1 246.答案(2 x x +)ye en d d)d d x x +(2 c o s 2yy+xxeexidd)ddyy【解析】dddd=dd(xx2 4-sin 2 yy+e泗)=dd(xx2)+dd(sin 2 yy)+dd(ee曲)=2 xxddxx+2 c o s 2)夕蜘+比 威d d(x x y y)=2 xx ddxx+2 c o s 2)y d d yy+eenid(yyddxx+x x d d y y)=(2x x +yye泗)d d i i +(2 c o s 2yy+m Qd d yy.47 .答案
30、x协5 y.3 z新4i J【解析】所求平面的一个法向量为H =，1 一 1。=一5 一3=(1,-5,-3),所求平1-12面过点(1 0-1),故所求平面的方程为(x g l)-5(y g 0)-3(z g l)=0,即3z 舲=4.48.【答案】但于 2 出 2瑟面 2【解析】根 据 积 分 区 域 得 fe 公办yJiddyyJ0 Md加=八 步评I。d d y y =A 用(e e-l)d d y y =Deexv 2 三 4 4 -1)=印1).49.【答案】-IOT T1 2【解析】由于姒/+2,4八/+10)=_ 2”一吐 泗 3),那么所求积分与路径无关.故所求积ddd dx
31、x Hon n 门 _ 1 n1 5分可以沿直线 Q O,T-进行积分，原 式 二 Jn 2(2+10)dd%=H3+1 0n)|n2=-%(2 1 2r 2 1 2 3210K._50.【答案】-1,3)-1【解析】由舲 柄 I得收敛半径为R=i=2,那么nn-oo 欣 n n-2叫Q 1 2)2 p1)8 (T)-2 xx-1 2,即一lV x%3,即收敛区间为(一 1,3).当 工 =1时，原级数为3 +收敛；1当设=3时，原级数为y -发散.故事级数的收敛域为-1,3).白+i四、应 用 题(每 题 6 分，共 12 分)51.【答案】115600元【解析】设租金定为富元时对应的收入为
32、yy元，那么yy=(50-xx=2222)(xx-200)=-72xx-100 10014000,XXN2022.令yy=：%7 2=0,得唯一驻点%切3 6 0 0,且y y 0,故租金定150 50为3600元时可获得最大收入，最大收入是115600元.52.【答案】%15【解析】根据平面图形D得所求体积为V Vdd2而 八(4-z)ddyy=加+nn(-2 Ip5 3 3，05JT T JT .E R-yy3p+jir(4yy-2)y2o11r 2-1 2=兀 乃 (7 W ddy 的“翎 i(2-8 d d y.京翎0y舲打疑+：那)|2=土 兀/(8-8%)-(4 2：)=J，3 十 3133n.m 147T7T+=-.7r 3 155五、证 明 题(每 题 8 分，共 8 分)53.【答案】见解析【解析】令行(刈=2n-刃如F(E)为 0,1 上的连续函数，且杆(0)=-1 0,FF(l)=2-f铺t g d t t -1=1-广f瑜g d t t,由 于/魏)1 0,所以肝(月)在(0,1)上 单 调 增 加.故 方 程 锹 由 此 协 1在(0,1)内有且仅有一个实根.