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1、专 的 翻 舞 wo习 考 试 高 等 数 学 题 号 一 二 三 四 五 总 分 60 20 50 14 6 150本 卷 须 知：答 题 前：考 生 务 必 将 自 己 的、考 场 号、座 位 号、考 生 号 填 写 在 答 题 卡 上 本 卷 的 试 题 答 案 必 须 答 在 答 题 卡 上，答 在 卷 上 无 效 选 题 分 析:易（18分）中（94分）难（38分）选 择：选 择：选 择：1/3/8/10/25 2/4/5/7Z9/11/13/14/15/16 6/12/20/24填 空：/17/18/19/21/22/23/26/27 填 空：33/34/36/37/28/29/3
2、0 40计 算：填 空：计 算：应 用：31/32/35/38/39 45/47/48证 明：计 算：应 用：41/42/43/44/46/49/50 51应 用：证 明：52 53证 明：7 _一、选 择 题(每 题 2 分，共 6 0分)在 每 题 的 四 个 备 选 答 案 中 选 一 个 正 确 答 案，用 铅 笔 把 答 题 卡 上 对 应 题 目 的 答 案 标 号 涂 黑.11.函 数/U)=一/,的 定 义 域 是().y/4-x2A.2,2)B.(-2,2)C.(-2,2D.-2,22.函 数/(x)=(e*-e f)s in A().A.偶 函 数 B.奇 函 数 C.非
3、奇 非 偶 函 数 D.无 法 判 断 奇 偶 性 X2+i3-lim-=().5 2 x 7+1A.01B.-2C.1D.24.当 x-0,(1+/J 1 与 l-c o s x为 等 价 无 穷 小，那 么 上 的 值 为().A.121D.-15 函 数 y=在 x=12 _.处 的 间 断 点 类 型 为 x 3x+2（）A.连 续 点 B.可 去 间 断 点 C.跳 跃 间 断 点 I）.第 二 类 间 断 点 6 设/（X）在 X=4 的 某 领 域 内 有 定 义，那 么/（X）在 无=处 可 导 的 一 个 充 要 条 件（）./（+2/?）-/（+/?）A.lim 存 在/7
4、-o h lim“。）一 一 例 存 在/?-o hD1.f（ci+2/z）f u H）*B.lim八，八）存 在/?o hD.lim+1）一/（aj 存 在 A-+oo l _ h1,I7rzral.（.1 极 a限 rc htamnj x arct,an、一 0 1）.x-01 x x）A.-1B.1C.0D.28.y=xnxf yff=（）.1A.-x1A.x(2y+l)iB.2x(2)，+1尸 C.(2y+l)-ln(2jy+l)D.2(2y+l)n(2y+l)210.曲 线 y=2”的 水 平 渐 近 线 为().JC+X-2A.y=1B.y=0C.x=-2D.x=111.以 下 等
5、 式 正 确 的 选 项 是 1).A.“4(x)=/a)B.djdf(x)=f(x)+CC.jf(x)dx=f(x)+CdD.j#(x)=/(x)12.j f(x)dx=x3+C,那 么，犷(l-d M x n().2c.l(i-x2y+c2B.(l+/D.(1+e 14.以 下 不 等 式 成 立 的 是().A.f xdx x2dxJo JoB.xdx J dxC.f xdx J dx15.以 下 广 义 积 分 收 敛 的 是().J-H 1 dx1 c+0 0 1B.-(=dx+0 0 1C.f-dxJl xf+1D.-dxx In xT-f-16.向 量 a=2,-3,1,Z?=1
6、,1,3,那 么 a 与 b 的 夹 角 余 弦 为().88B.j=V n8C x/154D.0fz=y1 21A.一 2B.2C.1D.019.关 于 二 元 函 数 Z=/(%,)在 点(羽,)处，以 下 说 法 正 确 的 选 项 是().1 7.曲 线 绕 Z轴 旋 转 形 成 的 曲 面 方 程 为().x=02 2A.z-x r+yB.z=x2 y?C.z=y2-x2D.z=(x+18.极 限:1-cos(x2+y2)lim,一、).(X.V)-(0.0)(2+y 2(2+y2)C.偏 导 存 在 一 定 可 微 D.偏 导 存 在 一 定 连 续 3 3120.将 二 次 积
7、分（小 改 写 成 另 一 种 次 序 的 积 分（）.3 3yA）办,2/（X,y）dx3x 3B.L 公/f（x,y）dy3x 3c.3 f（.x,y）dyD.f(x,y)dx设。为 y=Y 抛 物 线 介 于（0,0）和（广、工 Mov2,2）之 间 的 一 段 弧，那 么 曲 Movyds-?9，A.二).136D.13 Fsin（n7）1 122.关 于 级 数 疗-彳,以 下 说 法 正 确 的 选 项 是（）A.绝 对 收 敛 B.发 散 C.条 件 收 敛 D.敛 散 性 与。有 关 0023.设 基 级 数 Z 4,n=l发 散 A.绝 对 收 敛 B.条 件 收 敛 C.(
8、x 1)在 x=l 处 条 件 收 敛，那 么 它 在 x=2 处().y _D.不 确 定 24.设%，%，是 非 齐 次 线 性 微 分 方 程/+p(x)y+g(x)=0(x)三 个 线 性 无 关 的 解，那 么 该 方 程 的 通 解 为().A.C|j|+G%+c3y3B.G M+c2y2(G+G)%c.G M+c2y2-(iG-C z)%D.。|(%-)+。2(%-%)+%25.微 分 方 程(丫+2x()孙=o 的 阶 数().A.1 B.2C.3 D.4jc 1 v I 7 126.平 面%:x+2y-3z=0 与 直 线-=.=的 位 置 关 系 是().1 2-3A.平
9、行 但 不 在 平 面 内 B.在 平 面 内 C.垂 直 D.相 交 但 不 垂 直 27.用 待 定 系 数 法 求 微 分 方 程 y-3y+2y=xe2的 特 解 y*时，以 下 特 解 说 法 正 确 的 选 项 是().A.y-x(Ax+B)e2 B.y*-(Ax+B)e2 xC.y*-A e2 x D.y Axe2 x28.假 设 曲 线 积 分(3/y+axy2)dx+(x3+8x2y+12yey)dy在 整 个 xoy平 面 内 与 路 径 无 关，那 么 常 数”=().A.-8B.-1 C，D.88 829.以 下 微 分 方 程 中，通 解 为 y=Ce2*+Ce3x的
10、 二 阶 常 系 数 齐 次 线 性 微 分 方 程 是().1 2A.y-5 y+6 y=0 B.y+5 y+6 y=0C,y-6 y+5y=OD.y+6 y+5y=030.对 函 数/(x)=l在 闭 区 间 1,4上 应 用 拉 格 朗 日 中 值 定 理 时，结 论 中 的 4=().3 2 4 9A._ B._ C._ D._2 3 9 4二、填 空 题(每 题 2 分，共 2 0 分)31.f(x)=ex,且 八 奴 x)=l+2x(x 0),那 么 例 幻=口.32.lim|_|xf 4 2+x)faev+l,x 034.函 数 y=xsin x,那 么 力=_.x-t35.曲
11、线，丁=/在 1=1对 应 的 点 处 法 平 面 方 程 为.z=，36.极 限 lim必)包.XT+00 X137.不 定 积 分 氏 包.39.f(x,y,z)=ln 4+$+z 0 龙-1)fx=2（r-sinr）d2y42.参 数 方 程、，求 一 y=2（1-cos t）dx43.求 不 定 积 分 Jx4x-ldx./144.求 定 积 分 f dx.x4+Inx45.求 微 分 方 程 y-6y+9y=Q 的 通 解.46.求 函 数 f（x,y）=f+y2+2）,2x 的 极 值.47.将 函 数/（x）=ln（2+x）展 开 为 x-l的 基 级 数.48.。是 由 y=x
12、,y=2x及 尤=1所 围 成 的 闭 区 域，求 二 重 积 分 Jjyc优，（y.49.求 函 数 y=3/一 4/+2 的 凹 凸 区 间 及 拐 点.50.设 z=e*+cos（x+y）,求 全 微 分 dz.四、应 用 题（每 题 7 分，共 1 4分）51.设 平 面 图 形。是 由 曲 线 y=1,直 线 y=x 及 尤=3 所 围 成 的 局 部，求。绕 x 轴 旋 转 所 形 x成 的 旋 转 体 的 体 积.52.某 车 间 靠 墙 壁 要 盖 一 间 长 方 形 的 小 屋，现 有 存 砖 只 够 砌 20 米 长 的 墙 壁，问 应 围 成 什 么 样 的 长 方 形
13、才 能 使 这 间 小 屋 的 面 积 最 大.五、证 明 题（每 题 6 分，共 6 分）53设/在 闭 区 间 0,1内 连 续，在（0,1）内 可 导，且/（0）=0,/=；，证 明：存 在 不 同 的 两 点 九 刍 武。），使 得:（。）+/4）=1成 立.2 0 2 2 年 河 南 省 普 通 高 等 专 科 毕 业 生 进 入 本 科 阶 段 学 习 考 试 高 等 数 学【参 考 答 案】一、选 择 题(每 题 2 分，共 60分)1.【答 案】B【解 析】要 使 函 数 有 意 义，开 偶 次 方 根 被 开 方 数 必 须 大 于 等 于 0,又 分 母 不 能 为 0,即
14、 4 x2 0,解 得-2 x oo 1 1 2 2：4.【答 案】CI得 k=一，应 选 C.25.【答 案】B(l+x2/-1 kx2 kx2【解 析】lim-=lim-=2 lim-=2k=1,a。1-cosx v-0 J_ 2,v-02Ax2-1Mov=iMov【解 析】y,当 手 时，分 母 为 零，无 意 义，故 是 该 函 数 的 间 断 点,故 排 除 A,又 因 为 lim%2-1=li(x+l)(x-l)=li(x+l)=l+l=-2,-M lx2-3x+2 f(x-2)(x-l)f(x-2)1-2所 以 九=1 为 可 去 间 断 点，排 除 C 和 D,应 选 B.6.
15、【答 案】C【解 析】对 于 选 项 A:f(x)在 x=a 处 可 导 可 以 推 出 lim,S 土 加 一/伍 存 在,但 是/1 0hlim，（+2）一/m+h）存 在，推 不 出/（x）在 x=a 处 可 导，即 存 在 时 在 处 可 导 得 必 要 不 2 0 h充 分 条 件，对 于 B 选 项：同 A,不 正 确，对 于 C 选 项 为 导 数 的 定 义 式，正 确，对 于 D选 项:/?f+8 即-0+,只 考 虑 了 右 导，可 导 的 充 要 条 件 是 左 导 数 等 于 右 导 数，应 选 C.【解 析】lim x arctanarctan%、1 arctan x
16、 M x.=lim x-arctan-h m=O-h m=-l 故 x x x选 A.8.【答 案】D【解 析】/=l ln x+x-1=ln x+l,/=1+0=1,=-1,应 选 D.9.【答 案】BQz【解 析】即 求 Z对 y 的 偏 导，把 X看 作 常 数 求 导 即 可,q=x(2y+l)i-(2y+l)=x(2 y+1)1-2=2x(2 j+1)(1,应 选 B.by10.【答 案】A【解 析】根 据 水 平 渐 近 线 的 定 义：lim/(x)=C,即 y=C 即 为 水 平 渐 近 线，故 有 lim y=lim*=l i m=1,即 y=1为 该 曲 线 的 水 平 渐
17、 近 线，应 选 A.1 8%2+2-211.【答 案】C【解 析】对 于 A选 项：力 疗=fx)dx；对 于 B选 项：d或(x)=fx)dx；对 于 C 选 项：为 不 定 积 分 的 定 义，求 全 体 原 函 数，正 确；对 于 D 选 项：/秒(x)=(x)最 外 层 运 算 是 求 导，应 选 C.12.【答 案】D【解 析】J V d-x2)=iJ/(l-x2)2=-ij/(l-x2)J(l-x2)-又 J/(X)公=%3+c,那 么 _=尤 2 M(_ x 2)=_ l(_ x 2 y+c,应 选 2 2D.D.13.【答 案】A【解 析】考 查 变 限 函 数 求 导，f=
18、(l+e 2 x)(/)=(l+e2x)/，应 选 A.14.【答 案】A【解 析】考 查 定 积 分 性 质：当 X（0）时，由 定 积 分 保 序 性 可 知:xdx x1 dx,选 项 A正 确，选 项 C不 正 确，当 元 e(l,2)时，x1 x,x3 x f由 定 积 分 保 序 性 可 知：J x2dx j xdx,j x3dx j xdx,选 项 B,D不 正 确，应 选 A.15.【答 案】Bf+o c 1+0 0【解 析】A选 项：J 一 公=2|=+8,发 散；4?？?、2I+I 3、.+1+-KMjfovV,收 敛；eC选 项：J 一 公=Ink=+8,发 散；1 x
19、1r+1 f+x 1 I LxD 选 项：J-0c=J-d l n x=ln】n x=+o o,发 散，应 选 B.e x ln x e In x e1 6.【答 案】C【解 析】a-b-a-)cos,L=J22+(-3)2+12=V14,B 选 项：f J=f x2dx-2x 2=-2|0-J_|=x3 1 n-h 2x 1+(3)x(1)+1 x3 8A=+(_ 1)2+32=而 么 cos a,h 3=-I-=J,V 14 Vil 7154应 选 c.7.【答 案】A【解 析】绕 谁 旋 转 谁 不 变，另 一 变 量 变 为 土 J 平 方 和,绕 Z 轴 旋 转，z=Q Jx?+y2
20、 j=X2+y2,应 选 A.18.【答 案】D【解 析】lim l-c o s*+9)=lim*+_ lim*+丁)(x,y)-(0.0)+y2(”)f(o.o)3+y 2 1 位+(x H(0.0)e G+尸)lim G+产)=。=0,应 选 D.(XJ，)T(O,O)2-219.【答 案】A【解 析】可 微 可 推 出 一 阶 偏 导 数 存 在，选 项 A 正 确；偏 导 数 存 在 且 连 续 方 可 推 出 可 微，应 选 项 B 和 C 不 对；偏 导 存 在 不 一 定 连 续，选 项 D,错 误，应 选 A.20.【答 案】D【解 析】由 题 意 知 积 分 区 域 D 为：
21、04x43,4 3龙，也 可 表 示 为：0 4 y 49,y x-y 故 交 换 积 分 次 序 后 力，f(x,y)dx 1 应 选 D.21.【答 案】A【解 析】L 的 方 程 为：y=x2,0 x 根 据 P-级 数 结 论 知 级 数-2 收 敛，7=1发 J 念-M l yin)散，利 用 结 论：收 敛+发 散=发 散，即 得 原 级 数 发 散，应 选 B.23.【答 案】A【解 析】由 于 级 数 工。.（九 一 1）在=一 1处 条 件 收 敛，故 此 级 数 在 卜-1|2时 绝 对 收 敛，n=即 在-1 x 向 向 量 为 s=（l,2,3）,那 么 s。故 该 直
22、 线 与 该 平 面 垂 直，应 选 C.27.【答 案】A【解 析】非 齐 次 微 分 方 程 y 3y+2y=xe2x,对 应 的 齐 次 微 分 方 程 y，一 3：/+2丁=0 的 特 征 方 程 为：产 一 37+2=0,解 得：八=1,丹=2,又 4=2 为 该 特 征 方 程 的 单 根，故 k=l,y,=x（Ax+B）e2 x,应 选 A.28.【答 案】D【解 析】第 二 类 曲 线 积 分：P（x,y）=3x2+axy2,（尤,y）=j?+8x?y+12 v，那 么 t=3 f+2也，=3幺+16巧 因 为 该 积 分 结 果 与 积 分 路 径 无 关，故 有 dy dx
23、 二 0,即 3d+2axy=3f+16x）、,比 较 系 数 有：2a=16,解 得：。=8,应 选 D.dy dx29.【答 案】A【解 析】二 阶 常 系 数 齐 次 线 性 微 分 方 程 的 通 解 为 y=C e2x+C e3 根 据 二 阶 常 系 数 齐 I 2次 线 性 微 分 方 程 通 解 的 构 造 特 点 可 知，该 二 阶 常 系 数 齐 次 线 性 微 分 方 程 对 应 的 特 征 方 程 的 解 为：八=2,4=3,故 该 特 征 方 程 为：r2-5r+6=0,即 所 求 二 阶 常 系 数 齐 次 线 性 微 分 方 程 为：y-5y+6y=0,应 选 A
24、.【答 案】D【解 析】由 拉 格 朗 日 中 值 定 理 的 结 论 可 知 存 在 一 点 J e(a,。)满 足：仆 f(b)-f(a)_/(4)-/(1)_ V4-1)-(V1-1)_1J=7-7 一；Z T，b-a(4-1 3 3又/(X)J 匕 即/=1-1 I 解 得：J=9 J 应 选 D.3 Q 2 7?3 4二、填 空 题(每 题 2 分，共 20分)31.【答 案】ln(l+2x)【解 析】因 为/(x)=e 故/p(x)=e*),又/ax)=l+2x(x0),那 么 e3)=l+Zr.两 边 同 时 取 植 制 ned*)=d 彳)=ln(l+2x).32.【答 案】e
25、22+X J 2+x)1 入 2+x)lim2_T+1 c=e x=e2.33.【答 案】1【解 析】要 使 函 数/(x)在 X=O 处 连 续，那 么 由 连 续 的 充 要 条 件 有，左 连 续 等 于 右 连 续,左 连 续 lim/(x)=l i m+l)=a+l=X T(T x-(rMov/(O),右 连 续 lim/(0),因/(0)=2,X 0，所 以。+1=2,即。=M O/(X)=lim(x+2)1=2=X T(T34.【答 案】(sinx+xcosx)dx【解 析】y=sin x+x cos x,dy=y d x,即 dy=(sin x+x cos x)公.3 5.【答
26、 案】x+2 y+3z 6=0【解 析】f=l时，对 应 的 点 坐 标 为(1,1,1),x=l,y=2t=2,z=3/=3,即 该 点 对 应 的 法 平 面 的 法 向 量 为=(1,2,3),故 法 平 面 方 程 为 1)+2.6-1)+3(z 1)=0,即 x+2y+3z-6=0.36.【答 案】100【解 析】一 型 极 限，应 用 洛 必 达 法 那 么 有：00lim ln(l+e)=lim 1+e*=lim=lim=1.X-H-CO X X f+8 J X-K)0 1+0.V-+cO 1 F 137.【答 案】l+CX【解 析】应 用 解 积 分 公 式 那 么 工 公=-
27、+c-238.【答 案】一 3【解 析】积 分 上 下 限 关 于 原 点 对 称，首 先 考 虑 被 积 函 数 是 否 有 奇 偶 性 j(x2+xcosx)rfx=|x/+j xcosxdx-j x2dx+O-T T T-1 3 3注：XcosX是 奇 乘 偶 为 奇 函 数，在 对 称 区 间 上 奇 函 数 的 积 分 结 果 为 零.39.【答 案】i+J+k3 3 3 解 析*_ _ 1 _L _ 1 2x=x _ 1 J$(M 2 f+y2+z2+J+z2 f+V+z 2 12+12+12 3同 理 可 得：f I=1-1 1 2 y=-=-=-，(W)7 7 7 7 7 7T
28、 2+y+z2 x2+y2+z2 12+12+12 3_ _ 1.1 _ 1.2L Z=J f+y+z 2 2*+y2+z 2 x2+/+z2 12+12+12 31-f 1-3 3 340.【答 案】9【解 析 了 2-3=3 2_*_=39?|=3-1=9.n=O=0 3=0(3)1 _3三、计 算 题（每 题 5 分，共 50分）141.【答 案】一 3.tan x-x r sec2x-l tan2 x _【解 析】原 式=h m-=h m-=h m=10 X3 XT。3X2,xfO 3x2 342.【答 案】一 2M-cos t)dy sin t【解 析】=dx 1-cosrdx1co
29、s r-1,d2y d_ dy dx fl-cos/)-那 4=()/=-?dt dx dt 2(1-cos t)2(1-cos tf2-v 2 v43.【答 案】(x-i)5+(x-iy+c5 3L【解 析】令 x-=r=%=r2+i,那 么 公=2j(f*+t2)dt=t5+t3+C=%1)5+-(=1)3+C.2(5 3 5 344.【答 案】2【解 析】原 式=J,d(+In x)=bjl+lnx.=2.1 Vl+lnx 1【答 案】(C+C x)eix【解 析】特 征 方 程 为 户-6+9=0,特 征 根 为：乙=4=3,那 么 原 方 程 通 解 为：y=(G+C2x)e3x.4
30、6.【答 案】一 2【解 析】!/=2MO 2 Q,解 得 驻 点(1,一 1),A=/=2，B=f=0,C=fI x f XX xy N1/=2y+2=03，B?AC=4 0,故 在 点(1,1)取 得 极 小 值，极 小 值 为 一 2.47.【答 案】E3+(D焉-X-1 8 y7+l【解 析】ln(2+x)=ln3+ln(l+.),由 ln(l+x)=(-1)(-3 To+1ln(2+x)=In3+(-1)“：(-2x).4 8.【答 案】【解 析】曲 线 y=x,、=2彳 与=1交 点 分 别 为(1,1),(1,2),i3x2 1“2 附=1 2 d x=2,49.【答 案】(0,
31、2),至)3 27【解 析】f(x)定 义 域 为(一 8,+8),f(x)=n x3-n x2,/(X)=36X2-24X,令 2 2 2/(元)=0,解 得 冗=0,X=,凹 区 间 为+8)；凸 区 间 为(0),即 拐 123 3 39点(0,2),(_,383 2750.【答 案】yj-sin(x+y)办+九 浮-sin(x+y)dy3【解 析】=yexy-sin(x+y),aJ=xexy-sin(x+y),dx dydz=yexy-sin(x+y)cbc sin(x+y)dy.四、应 用 题(每 题 7 分，共 14分)51.【答 案】8万【解 析】曲 线，)，=x 交 点(1,1
32、),取 x 为 积 分 变 量，由 微 元 法 知 绕 轴 旋 转 形 成 的 旋 转 X体 的 体 积：匕=j乃。2-)心=(/+)3=8%1 尤 2 3 X 152.【答 案】一 边 长 是 10米，另 一 边 长 5 米 时，小 屋 的 面 积 最 大 20-x【解 析】设 与 围 墙 平 行 的 边 长 为 x 米，那 么 另 一 个 边 长 米，矩 形 面 积 2S=x(20-x)=_/+0 x,s=x+10,令 S=0,解 得 驻 点 x=10,2 2S=-1 0,故 x=10是 唯 一 的 极 大 值 点，所 以 是 最 大 值 点.所 以 一 边 长 是 10米，另 一 边 长 5 米 时，小 屋 的 面 积 最 大.五、证 明 题(每 题 6 分，共 6 分)53.【答 案】见 解 析【解 析】/(x)在 0%内 连 续，在(0 1)内 可 导，由 拉 格 朗 日 中 值 定 理 可 知，至 少 存 在 一，2 2点 1使 得 1-/(0)=广,/(),c2 2 2V _同 理，至 少 存 在 一 点 J G 1 1),使 得/(1)一*1=f)J 2(广,J)2 XZ 乙 乙 1方 程+得/(1)-/(0)=因 为/(o)=o,/(i)=i,那 么 可 得/C)+/)=i.