2023年上海市春季高考数学试卷.pdf

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1、2023年 上 海 市 春 季 高 考 数 学 试 卷 一、填 空 题（本 大 题 共 有 12题，满 分 54分，第 L6题 每 题 满 分 54分，第 7-12题 每 题 满 分 54分）考 生 应 在 答 题 纸 的 相 应 位 置 直 接 填 写 结 果.1.已 知 集 合 人=1,2,B=1,a）,且 A=+则 2=.（4 分）2.已 知 向 量 羡（3,4）,W=（1,2）,则 1-2=.（4 分）3.不 等 式|x-l52 的 解 集 为：_.（结 果 用 集 合 或 区 间 表 示）（4 分）4.己 知 圆 C 的 一 般 方 程 为 x2fx+y2=O,则 圆 C 的 半 径

2、 为=_.（4 分）5.己 知 事 件 A 的 对 立 事 件 为 工，若 P（A）=0.5,则 P（7）=.（4 分）6.已 知 正 实 数 a、b满 足 a+4b=1,则 ab的 最 大 值 为.（4 分）7.某 校 抽 取 100名 学 生 测 身 高，其 中 身 高 最 大 值 为 186cm，最 小 值 为 154cm，根 据 身 高 数 据 绘 制 频 率 组 距 分 布 直 方 图，组 距 为 5,且 第 一 组 下 限 为 153.5,则 组 数 为.（5分）8.设（l-2x）4=ao+aix+a2x2+ajx3+a4x4,则 a（+a 4=.（5 分）lo g?（x+l l

3、x09.已 知 函 数 f（x）=2+l,且 g（x）=6 Z V，则 方 程 g（x）=2的 解 为 f f-x,x 0_.（5 分）10.为 了 学 习 宣 传 党 的 二 十 大 精 神，某 校 学 生 理 论 宣 讲 团 赴 社 区 宣 讲，已 知 有 4 名 男 生，6 名 女 生，从 10人 中 任 选 3 人,恰 有 1名 男 生 2 名 女 生 的 概 率 为.（5分）11.已 知 Zl,Z2GC且 Z|=2（i为 虚 数 单 位），满 足 口-1|=1,则|Z|-Z2|的 取 值 范 围 为.（5 分 12.已 知 3 7、O B，次 为 空 间 中 三 组 单 位 向 量，

4、且 卫、OA-i-OC 3 3 与 3 2 夹 角 为 60。，点 p 为 空 间 任 意 一 点，且 I3?I=I,满 足 i3?木 凶 3?下 国 3?五 7i,则 泥 I 最 大 值 为.（5 分）二、选 择 题（本 大 题 共 有 4题，满 分 18分，第 13-14题 每 题 满 分 18分，第 15-16题 每 题 满 分 18分）每 题 有 且 只 有 一 个 正 确 选 项，考 生 应 在 答 题 纸 相 应 的 位 置，将 代 表 正 确 选 项 的 小 方 格 涂 黑.13.下 列 函 数 是 偶 函 数 的 是（）（4 分）A.y=sinx B.y=cosx C.y=x

5、D.y=214.如 图 为 2017-2021年 上 海 市 货 物 进 出 口 总 额 的 条 形 统 计 图，则 下 列 对 于 进 出 口 贸 易 额 描 述 B.从 2018年 开 始，进 出 口 总 额 逐 年 增 大 C.从 2018年 开 始，进 口 总 额 逐 年 增 大 D.从 2018年 开 始，2020年 的 进 出 口 总 额 增 长 率 最 小15.如 图 所 示，在 正 方 体 ABCD-AiBCiDi中，点 P 为 边 A iG上 的 动 点，则 下 列 直 线 中，始 终 与 直 线 B P 异 面 的 是（）（5 分）A.DDi B.AC C.ADi D.Bi

6、C16.己 知 无 穷 数 列 a0 的 各 项 均 为 实 数，S”为 其 前 n项 和，若 对 任 意 正 整 数 k2022都 有|SdISk+小 则 下 列 各 项 中 可 能 成 立 的 是（）（5 分）A.ai,a3,a5,a2i,为 等 差 数 到,a2,阳,a2n,为 等 比 数 列 B.ai,a3.as.,a2n-l,为 等 比 数 列，a2,34,36,a2n,为 等 差 数 列 C.ai,a2,a3,，a2022为 等 差 数 列，&W22 S2023,a”，为 等 比 数 列 D.ai,32,&3,a2022为 等 比 数 列,32022,22023，a”，为 等 差

7、数 列 三、解 答 题（本 大 题 共 有 5题，满 分 78分）解 答 下 列 各 题 必 须 在 答 题 纸 的 相 应 位 置 写 出 必 要 的 步 骤。17.已 知 三 棱 锥 P-ABC 中，PA_L平 面 ABC,AB_LAC,PA=AB=3,AC=4,M 为 BC 中 点，过 点 M 分 别 作 平 行 于 平 面 PAB的 直 线 交 A C、PC于 点 E,F.（1）求 直 线 P M 与 平 面 A B C 所 成 角 的 大 小；（2）求 直 线 M E 到 平 面 PAB的 距 离.（14分）18.在 A B C 中，角 A、B、C 所 对 应 的 边 分 别 为 a

8、、b、c,其 中 b=2.若 A+C=120。，a=2c,求 边 长 c；（2）若 A-C=15。，a=0:sinA,求 ABC 的 面 积.（14 分）Fn19.为 了 节 能 环 保、节 约 材 料，定 义 建 筑 物 的“体 形 系 数 S=U，其 中 Fo为 建 筑 物 暴 露 在 空 气 v0中 的 面 积（单 位：平 方 米），V。为 建 筑 物 的 体 积（单 位：立 方 米）.（1）若 有 一 个 圆 柱 体 建 筑 的 底 面 半 径 为 R,高 度 为 H,暴 露 在 空 气 中 的 部 分 为 上 底 面 和 侧 面,试 求 该 建 筑 体 的“体 形 系 数”S；（结

9、果 用 含 R、H 的 代 数 式 表 示）（2）定 义 建 筑 物 的“形 状 因 子”为 f=ki,其 中 A 为 建 筑 物 底 面 面 积，L 为 建 筑 物 底 面 周 长，又 A定 义 T 为 总 建 筑 面 积，即 为 每 层 建 筑 面 积 之 和(每 层 建 筑 面 积 为 每 一 层 的 底 面 面 积).设 n为 某 宿 舍 楼 的 层 数，层 高 为 3 米，则 可 以 推 导 出 该 宿 舍 楼 的“体 形 系 数 为 S=/%+当 f=18,T=10000时，试 求 当 该 宿 舍 楼 的 层 数 n为 多 少 时,“体 形 系 数”S最 小.(14分)20.已 知

10、 椭 圆 匚+1=1(m 0且 n#后).3(1)若 m=2,求 椭 圆 的 离 心 率；(2)设 A、A2为 椭 圆 的 左 右 顶 点，椭 圆 T 上 一 点 E 的 纵 坐 标 为 1,且 两(丽 二 2,求 实 数 m 的 值；(3)过 椭 圆 上 一 点 P作 斜 率 为 的 直 线 1,若 直 线 1与 双 曲 线 占-日=1有 且 仅 有 一 个 公 共 点，求 实 数 m 的 取 值 范 围.(18分)21.已 知 函 数 f(x)=ax3-(a+l)x2+x,g(x)=kx+m(其 中*0,k,m R),若 任 意 x 0,1 均 有 f(x)g(x),则 称 函 数 y=g

11、(x)是 函 数 y=f(x)的“控 制 函 数；且 对 所 有 满 足 条 件 的 函 数 y=g(x)在 x 处 取 得 的 最 小 值 记 为 7(x).(1)若 a=2,g(x)=x，试 判 断 函 数 y=g(x)是 否 为 函 数 y=f(x)的“控 制 函 数；并 说 明 理 由;(2)若 a=0,曲 线 y=f(X)在 x=g处 的 切 线 为 直 线 y=h(x),证 明：函 数 y=h(x)为 函 数 y=4-if(X)的“控 制 函 数：并 求 f(y)的 值；4(3)若 曲 线 y=f(x)在 x=xo,xo(0,1)处 的 切 线 过 点(1,0),且 cxo,1,证

12、 明：当 且 仅 当 c=xo或 c=l 时，f(c)=f(c).(18 分)2023年 上 海 市 春 季 高 考 数 学 试 卷 参 考 答 案 一、填 空 题（本 大 题 共 有 12题，满 分 54分，第 L 6题 每 题 满 分 54分，第 7-12题 每 题 满 分 54分）考 生 应 在 答 题 纸 的 相 应 位 置 直 接 填 写 结 果.1.答 案：见 试 题 解 析 内 容 解 析：【分 析】根 据 已 知 条 件，结 合 集 合 相 等 的 定 义，即 可 求 解.【解 答】解：集 合 A=1,2,B=1,a,且 人=8,贝 I a=2.故 答 案 为：2.【点 评】题

13、 主 要 考 查 集 合 相 等 的 定 义，属 于 基 础 题.2.答 案：见 试 题 解 析 内 容 解 析：【分 析】根 据 平 再 句 量 的 坐 标 运 算 法 则，计 算 即 可.【解 答】解：因 为 向 量 之=（3,4）,b=（1，2）,所 以 1-2 3=（3-2x1,4-2x2）=（1,0）.故 答 案 为：（1,0）.【点 评】本 题 考 查 了 平 面 向 量 的 坐 标 运 算 问 题，是 基 础 题.3.答 案：见 试 题 解 析 内 容 解 析：【分 析】运 用|x区 aoaSxga,不 等 式|x-l区 2即 为-2WX-1W2,解 出 即 可.【解 答】解：不

14、 等 式|x-l|W2即 为-2W X-1W 2,即 为-1VXW 3,则 解 集 为-1,3,故 答 案 为：-1,3.【点 评】本 题 考 查 绝 对 值 不 等 式 的 解 法，考 查 运 算 能 力，属 于 基 础 题.4.答 案：见 试 题 解 析 内 容 解 析：【分 析】把 圆 C 的 一 般 方 程 化 为 标 准 方 程，可 得 圆 C 的 圆 心 和 半 径.【解 答】解：根 据 圆 C 的 一 般 方 程 为 x2+2x+y2=0,可 得 圆 C 的 标 准 方 程 为（x+1）2+y2=l,故 圆 C的 圆 心 为（-1,0）,半 径 为 1,故 答 案 为：1.【点

15、评】本 题 主 要 考 查 圆 的 一 般 方 程 和 标 准 方 程，属 基 础 题.5.答 案：见 试 题 解 析 内 容 解 析：【分 析】利 用 对 立 事 件 概 率 篡 公 式 直 接 求 解.【解 答】解：事 件 A 的 日 立 事 件 为 工，若 P（A）=0.5,贝 IJP（7）=1-0.5=0.5,故 答 案 为：0.5.【点 评】本 题 考 查 概 率 的 求 法，考 查 对 立 事 件 概 率 计 算 公 式 等 基 础 知 识，考 查 运 算 求 解 能 力，是 基 础 题.6.答 案：见 试 题 解 析 内 容 解 析：【分 析】直 接 利 用 基 本 不 等 式

16、求 出 结 果.【解 答】解：正 实 数 a、b 满 足 a+4b=1,则 a b=$a 4吟 x（空 券 产=9 当 且 仅 当 a=L,b=益 时 等 号 成 立.故 答 案 为：上.1 0【点 评】本 题 考 查 的 知 识 要 点：基 本 不 等 式，主 要 考 查 学 生 的 理 解 能 力 和 计 算 能 力，属 于 基 础题 和 易 错 题.7.答 案：见 试 题 解 析 内 容 解 析：【分 析】计 算 极 差，根 据 组 距 求 解 组 数 即 可.【解 答】解:极 差 为 186-154=32,组 距 为 5,且 第 一 组 下 限 为 153.5,丝=6.4,故 组 数

17、为 7组，5故 答 案 为：7.【点 评】本 题 考 查 频 率 分 布 直 方 图，属 于 基 础 题.8.答 案：见 试 题 解 析 内 容 解 析：【分 析】根 据 二 项 式 定 理 及 组 合 数 公 式，即 可 求 解.【解 答】解：根 据 题 意 及 二 项 式 定 理 可 得：ao+a4=C：+C：.(-2)4=1 7.故 答 案 为：17.【点 评】本 题 考 查 二 项 式 定 理 及 组 合 数 公 式 的 应 用，属 基 础 题.9.答 案：见 试 题 解 析 内 容 解 析：【分 析】分 迂 0 和 x 2|2 s i n(0-l|,显 然 当 s in(e-W)=时

18、，原 式 取 最 小 值 0,当 s in(e-?=-l时，原 式 取 最 大 值 2-丘，故|z g|的 取 值 范 围 为 0,2-后.故 答 案 为：0,2-.【点 评】本 题 考 查 复 数 的 三 角 形 式 以 及 三 角 恒 等 变 换，同 时 考 查 了 复 数 的 模 长 公 式，属 于 中 档 题.12.答 案：见 试 题 解 析 内 容 解 析：【分 析】将 问 题 坐 标 化，表 示 出 演，O B,送 的 坐 标，再 设 而 二（x,y,z），代 入 条 件，结 合 不 等 式 的 性 质 求 解.【解 答】解：设 前=（0,0,1），B=（多 p 0）,QC=（0,

19、1,OpOP=不 妨 设 x,y,z0,JH!|OPl=x2+y2+z2=l,因 为 泥 凶 3?而 凶 所 以 理 当 吗 修，可 得 X唔 y,zy,所 以 I=x 2+y 2+z 2净 2+y 2+y 2,解 得/号,故 而.奇”浮.故 答 案 为：早.【点 评】本 题 考 查 空 间 向 量 的 坐 标 运 算 以 及 不 等 式 的 性 质，属 于 中 档 题.二、选 择 题（本 大 题 共 有 4题，满 分 18分，第 13-14题 每 题 满 分 18分，第 15-16题 每 题 满 分 18分）每 题 有 且 只 有 一 个 正 确 选 项，考 生 应 在 答 题 纸 相 应

20、的 位 置，将 代 表 正 确 选 项 的 小 方 格 涂 黑.13.答 案:B解 析：【分 析】根 据 偶 函 数 的 定 义 逐 项 分 析 判 断 即 可.【解 答】解：对 于 A,由 正 弦 函 数 的 性 质 可 知，y=sinx为 奇 函 数：对 于 B,由 正 弦 函 数 的 性 质 可 知，y=cosx为 偶 函 数；对 于 C,由 基 函 数 的 性 质 可 知，y=x3为 奇 函 数：对 于 D,由 指 数 函 数 的 性 质 可 知，丫=2乂 为 非 奇 非 偶 函 数.故 选:B.【点 评】本 题 考 查 常 见 函 数 的 奇 偶 性，属 于 基 础 题.14.答 案

21、:C解 析：【分 析】结 合 统 计 图 中 条 形 图 的 高 度、增 量 的 变 化，以 及 增 长 率 的 计 算 方 法，逐 项 判 断 即 可.【解 答】解：显 然 2021年 相 对 于 2020年 进 出 口 额 增 量 增 加 特 别 明 显，故 最 后 一 年 的 增 长 率 最 大，A对；统 计 图 中 的 每 一 年 条 形 图 的 高 度 逐 年 增 加，故 B对；2020年 相 对 于 2019的 进 口 总 额 是 减 少 的，故 C 错；显 然 进 出 口 总 额 2021年 的 增 长 率 最 大，而 2020年 相 对 于 2019年 的 增 量 比 2019

22、年 相 对 于 2018年 的 增 量 小，且 计 算 增 长 率 时 前 者 的 分 母 还 大，故 2020年 的 增 长 率 一 定 最 小，D 正 确.故 选：C.【点 评】本 题 考 查 统 计 图 的 识 图 问 题，以 及 增 长 率 的 计 算，属 于 中 档 题.15.答 案:B解 析：【分 析】根 据 空 间 中 的 两 条 直 线 的 位 置 关 系，判 断 是 否 为 异 面 直 线 即 可.【解 答】解：对 于 A,当 P是 A C i的 中 点 时，B P与 DDi是 相 交 直 线；对 于 B,根 据 异 面 直 线 的 定 义 知，B P与 A C是 异 面 直

23、 线；对 于 C,当 点 P 与 C i重 合 时，B P与 ADi是 平 行 直 线：对 于 D,当 点 P 与 C i重 合 时，B P与 B C 是 相 交 直 线.故 选：B.【点 评】本 题 考 查 了 两 条 直 线 间 的 位 置 关 系 应 用 问 题，是 基 础 题.16.答 案:C解 析：【分 析】由 对 任 意 正 整 数 k2022,都 有|Sk|Sk+i|,可 以 知 道 22022,a2033,a2024，,an不 可 能 为 等 差 数 列，若 d=0,an=O,则|Sk|=|Sk+i,矛 盾；若 d=0,an-oo,k使 得|Sk+i|Sk|,矛 盾；若 d=0

24、,an0,当 n+oo,Sn+a),必 有 k 使 得|Sk+il|SJ 矛 盾；若 d 0,当 n+oo,SL+8必 有 k 使 得|Sk+i|SJ 矛 盾；若 d V O,当 n+oo,an-oo,S n T 5,必 有 k 使 得|Sk+i|Sk|,矛 盾；即 可 判 断.【解 答】解：由 对 任 意 正 整 数 k2022,都 有|Sk|Sk+i|,可 以 知 道 a2022,a2O33,32024,an不 可 能 为 等 差 数 列，因 为 若 d V O,当 n+oo,anT-8,Sn-8,必 有 k 使 得|Sk+l|Sk|,矛 盾；若 d=0,an=0,则|Sk|=|Sk+i|

25、,矛 盾；若 d=(),an+8,Sn-8,k 使 得|Sk+i|Sk|,矛 盾；若 d=(),an 0,当 n+8,Sn-+8,必 有 k 使 得|Sk+i|Sk|,矛 盾；若 d 0,当 n+oo,a”+oo,Sn+8必 有 k 使 得|Sk+i|Sk|,矛 盾;所 以 选 项 B 中 的 a2,a4，a6,，a2n为 等 差 数 列 与 上 述 推 理 矛 盾，故 不 可 能 正 确；选 项 D 中 的 a2022,a2023,a2024,，an为 等 差 数 列 与 上 述 推 理 矛 盾，故 不 可 能 正 确；选 项 A 中 的 al,a3,a5,，a2n 为 等 差 数 列 与

26、上 述 推 理 矛 盾，故 不 可 能 正 确；事 实 上，只 需 取 a1=a2=，=a2022=-l，an=(g n,n22023,nN即 可.故 选：C.【点 评】本 题 考 查 了 等 差 数 列 和 等 比 数 列 的 性 质，属 于 中 档 题.三、解 答 题(本 大 题 共 有 5题，满 分 78分)解 答 下 列 各 题 必 须 在 答 题 纸 的 相 应 位 置 写 出 必 要 的 步 骤。17.答 案：见 试 题 解 析 内 容 解 析：【分 析】(1)连 接 AM,PM,/P M A 为 直 线 P M 与 平 面 A B C 所 成 的 角，在 P A M 中，求 解

27、即 可；(2)先 证 明 A C,平 面 P A B,可 得 A E 为 直 线 M E 到 平 面 P A B的 距 离.进 则 求 A E 的 长 即 可.【解 答】解：(1)连 接 AM,PM,：PAJ_平 面 ABC,Z P M A 为 直 线 P M 与 平 面 A B C 可 成 的 角,在 A PAM 中，V A B I AC,；.BC=J 32+42=5,为 BC 中 点，；.A M=,BC=W，(2)由 M E 平 面 PAB,M F 平 面 PAB,MECMF=M,平 面 MEF 平 面 PAB,：M Eu平 面 MEF,；.M E 平 面 PAB,：PAJ_平 面 ABC

28、,A C u平 面 ABC,A PA AC,V A B 1 A C,PAClAB=A,PA,A B u平 面 PAB,AC J_平 面 PAB,；.A E为 直 线 M E到 平 面 PAB的 距 离，：ME 平 面 PAB,M Eu平 面 A B C,平 面 ABCCl平 面 PAB=AB,；.M E AB,；M 为 BC 中 点，；.E 为 AC 中 点，；.AE=2,直 线 M E到 平 面 PAB的 距 离 为 2.【点 评】本 题 考 查 直 线 与 平 面 所 成 的 角，考 查 直 线 与 平 面 的 距 离 的 求 法，属 中 档 题.1 8.答 案：见 试 题 解 析 内 容

29、 解 析：【分 析】(1)由 已 知 结 合 和 差 角 公 式 及 正 弦 定 理 进 行 化 简 可 求 A,B,C,然 后 结 合 锐 角 三 角 函 数 即 可 求 解；(2)由 已 知 结 合 正 弦 定 理 先 求 出 s in C,进 而 可 求 C,再 由 正 弦 定 理 求 出 a,结 合 三 角 形 面 积 公 式 可 求.【解 答】解：(I)：A+C=120。，且 a=2c,sinA=2sinC=2sin(120-A)=JTcosA+sinA,cosA=0,；.A=90,C=30,B=60,：b=2,3半(2)a=j2csinA,则 sinA=j2-sinCsinA,si

30、nA0,.r p.sinC=,2VA-C=15,c 为 锐 角，,.C=45。，A=60,B=75,.a=2 8sin600 sin750 拒+区 蒜，后 咯 4SA ABC-absinC x-=x 2 x=3-J3.2 2 J2+J6 2 N【点 评】本 题 主 要 考 查 了 和 差 角 公 式，正 弦 定 理，三 角 形 的 面 积 公 式 在 求 解 三 角 形 中 的 应 用,属 于 中 档 题.1 9.答 案：见 试 题 解 析 内 容 解 析：【分 析】(1)利 用 圆 柱 体 的 表 面 积 和 体 积 公 式，结 合 题 目 中 S的 定 义 求 解 即 可；(2)利 用 导

31、 函 数 求 S的 单 调 性，即 可 求 出 S最 小 时 n的 值.【解 答】解：(1)由 圆 柱 体 的 表 面 积 和 体 积 公 式 可 得：Fo=2nRH+nR2.V0=TTR2H-所 以 Vo nR2H2H+RHR(2)由 题 意 可 得 S=|T+J _=叵，J10000 3”100 3 nGN*,所 以 S=3 a-工=9/1 1 5-2 0 02 0 0 3,6 0 0 n 2令 S=0,解 得 n=3叵 丽 5=6.27,N 8 1所 以 S在 口,6.27单 调 递 减,在 6.27,+oo)单 调 递 增,所 以 S 的 最 小 值 在 n=6或 7取 得，当 n=6

32、时，S=U叵+-0.31,100 3x6当 n=7 时，s=y?H?+%0.16,100 3x7所 以 在 n=6时，该 建 筑 体 S 最 小.【点 评】本 题 主 要 考 查 根 据 实 际 问 题 选 择 合 适 的 函 数 模 型，属 于 中 档 题.20.答 案：见 试 题 解 析 内 容 解 析：【分 析】(1)由 题 意 可 得 a,b,c,可 求 离 心 率；(2)由 已 知 得 Ai A2(m,0),设 E(p,l),由 已 知 可 得 p2=mm2,p2-m2+l=-2,求 解 即 可；_ 设 直 线 丫=标-E A j=),E A 2=(m p,l),/.EA j*EA2

33、=(m p,l)(m p,l)=p2-m2+l=-2,代 入 求 得 m=3；(3)设 直 线 y=J?x+t,联 立 椭 圆 可 得=+(x+t)2=,_ 3整 理 得(3+3m?)x2+2 J3*tm2x+(t2-3)m2=0,由 N O,t23m2+3,联 立 双 曲 线 可 得 6肉+”2-1=1,整 理 得(3-m2)x2+2K tx+(t2-5m2)=0,5m2 5由 A=0,t2=5m2-15,.,.5m2-153m2+3,/.-3m3,_ _又 5m2-1520,m 5 JJ,/m/综 上 所 述：m e(6，3.【点 评】本 题 考 查 离 心 率 的 求 法，考 查 椭 圆

34、 与 双 曲 线 的 几 何 性 质，直 线 与 椭 圆 的 综 合，属 中 档 题.21.答 案：见 试 题 解 析 内 容 解 析：【分 析】(1)设 h(x)=f(x)-g(x)=2x3-3x2,h(x)=6x2-6x=6x(x-1),当 xG0,1时，易 知 h，(x)=6x(x-1)0,即 h(x)单 调 减，求 得 最 值 即 可 判 断；(2)根 据 题 意 得 到 f(x)h(x),即 y=h(x)为 函 数 y=f(x)的“控 制 函 数，代 入 即 可 求 解;(3)f(x)=ax3-(a+1)x2+x,f(x)=3ax2-2(a+1)x+1,y=f(x)在 x=x0(xo

35、e(0,D)处 的 切 线 为 t(x),求 导 整 理 得 到 函 数 t(x)必 是 函 数 y=f(x)的“控 制 函 数，又 此 时“控 制 函 数“g(x)必 与 y=f(x)相 切 于 x 点，t(x)与 y=f(x)在 丫=处 相 切，且 过 点(1,0),在(二，1)之 间 的 点 不 可 能 使 得 y=f(x)在(二，1)切 线 下 方，所 以“c)=f(c)=c=4=xola 2a 2a或 c=L 即 可 得 证.【解 答】解：(1)f(x)=2x3-3x2+x,iS h(x)=f(x)-g(x)=2x3-3x2,h(x)=6X2-6X=6X(X-1),当 x 0,1时,

36、易 知 h，(x)=6x(x-1)0,即 h(x)单 调 减，Ah(x)m ax=h(0)=0,即 f(x)-g(x)f(x)g(x),g(x)是 f(x)的“控 制 函 数”；(2)f(x)=-x2+x,fg)得，f(x)=-2x+l，=p.h(x)=l(x-l)+A=lx+_L,f(x)_ h(x 2+m 缶 _(x*0,.,.f(x)f(1)=0,r(xo)=3axo2-2(a+l)xo+l=f，Cxo)(l-xo)=f(l)-f(xo)=(l-xo)al+xo+xo2)-(a+l)(l+X o)+lo _ o _ _ 1 1 _ 1=3axo4-2(a+l)xo+l=axo4-xo=(

37、2axo-l)(xo-l)=O,x0*l=a=G(-,+oo)=x0=/Xn 7 ZaU(x()=3ax02_2(a+l)X0+l=3a(；)2_2(a+l)(；)+l=-；,Na Na 4af(xo)=a(*)3-(a+l)(；)2+；二”，2a 2a 2a gat(X)=f(X0)(X-X0)+f(xo)=+”=t(x)=-；(x-1),4a 2a 8a2 4af(x)=x(x-l)(ax-l)ax2-x+0(乂-工 产“恒 成 立，4a 2a函 数 t(x)必 是 函 数 y=f x)的“控 制 前 数”,Vg(x)=k x+m f f x)=V f；f(x)=f(x)xG(O 1)是 函 数 y=f(x)的“控 制 函 数 此 时“控 制 函 数”g(x)必 与 y=f(x)相 切 于 x 点，t(x)与 y=f(x)在 x=处 相 切，且 过 点(1,0),在(上，1)之 间 的 点 不 可 能 使 得 y=f(x)在(，-,1)切 线 下 方，所 以 la laF(c)=f(c)=c=3=X0 或 c=l,2a所 以 曲 线 y=f(x)在 x=xo(xoG(0,1)处 的 切 线 过 点(1,0),且 cexo,1,当 且 仅 当 c=x(或 c=l 时，f(c=f f c).【点 评】本 题 考 查 了 导 数 的 综 合 运 用，属 于 难 题.