2010年上海市春季高考数学试卷.pdf

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1、第 1页（共 18页）2010 年上海市春季高考数学试卷年上海市春季高考数学试卷一一、填空题填空题： （本大题满分本大题满分 56 分分，每小题每小题 4 分分）本大题共有本大题共有 14 小题小题，考生应在答题纸相应考生应在答题纸相应的编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得的编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得 4 分，否则一律得零分分，否则一律得零分1 （4 分） （2010上海）函数的最小正周期 T2 （4 分） （2010上海）已知函数 f（x）ax2+2x 是奇函数，则实数 a3 （4 分） （2010上海）计算：（i 为虚数单位） 4 （4 分） （2010上海）已知集合 A

2、x|x|2，Bx|0，则 AB5 （4 分） （2010上海）若椭圆+1 上一点 P 到焦点 F1的距离为 6，则点 P 到另一个焦点 F2的距离是6 （4 分） （2010上海）某社区对居民进行上海世博会知晓情况分层抽样调查已知该社区的青年人、中年人和老年人分别有 800 人、1600 人、1400 人，若在老年人中的抽样人数是 70，则在中年人中的抽样人数应该是7 （4 分） （2010上海）已知双曲线 C 经过点 C（1，1） ，它的一条渐近线方程为则双曲线 C 的标准方程是8 （4 分） （2010上海）在（2x2+）6的二项展开式中，常数项是9 （4 分） （2010上海）连续两次掷

3、骰子，出现点数之和等于 4 的概率为（结果用数值表示） 10 （4 分） （2010上海）各棱长为 1 的正四棱锥的体积 V11 （4 分） （2010上海）方程0 的解集为12 （4 分） （2010上海）根据所示的程序框图（其中x表示不大于 x 的最大整数） ，输出 r第 2页（共 18页）13 （4 分） （2010上海）在如图所示的斜截圆柱中，已知圆柱底面的直径为 40cm，母线长最短 50cm，最长 80cm，则斜截圆柱的侧面面积 Scm214 （4 分） （2010上海）设 n 阶方阵An任取 An中的一个元素，记为 x1；划去 x1所在的行和列，将剩下的元素按原来的位置关系组成

4、n1 阶方阵 An1，任取 An1中的一个元素，记为 x2；划去 x2所在的行和列，；将最后剩下的一个元素记为 xn，记 Snx1+x2+xn，则 Snx1+x2+xn，则二、选择题二、选择题： （本大题（本大题 20 分）本大题共有分）本大题共有 4 小题，每题有且只有一个正确答案，考生应在小题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得 5 分，否则一律得零分分，否则一律得零分第 3页（共 18页）15 （5 分） （2010上海）若空间三条直线 a、b、c 满足 ab，bc，则直线 a 与 c（）

5、A一定平行B一定相交C一定是异面直线D平行、相交、是异面直线都有可能16 （5 分） （2010上海） （上海春卷 16）已知 a1，a2（0，1） ，记 Ma1a2，Na1+a21，则 M 与 N 的大小关系是（）AMNBMNCMND不确定17 （5 分） （2010上海）已知抛物线 C：y2x 与直线 l：ykx+1， “k0”是“直线 l 与抛物线 C 有两个不同交点”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件18 （5 分） （2010上海） （上海春卷 18）已知函数 f（x）的图象关于点 P 对称，则点 P 的坐标是（）ABCD （0，0）三、解答题三、

6、解答题： （本大题（本大题 74 分）本大题共有分）本大题共有 5 题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤定区域内写出必要的步骤19 （12 分） （2010上海）已知 tana， （a1） ，求的值20 （14 分） （2010上海）已知函数 f（x）loga（82x） （a0 且 a1）（1）若函数 f（x）的反函数是其本身，求 a 的值；（2）当 a1 时，求函数 yf（x）+f（x）的最大值21 （14 分） （2010上海）已知地球半径约为 6371 千米上海的位置约为东经 121、北纬31，大连的位置约为东经 121、

7、北纬 39，里斯本的位置约为西经 10、北纬 39（1）若飞机以平均速度 720 千米/小时，飞行，则从上海到大连的最短飞行时间约为多少小时（飞机飞行高度忽略不计，结果精确到 0.1 小时）？（2）求大连与里斯本之间的球面距离（结果精确到 1 千米）第 4页（共 18页）22 （16 分） （2010上海）在平面上，给定非零向量，对任意向量，定义（1）若 （2，3） ， （1，3） ，求；（2）若 （2，1） ，证明：若位置向量 的终点在直线 Ax+By+C0 上，则位置向量的终点也在一条直线上；（3） 已知存在单位向量 ， 当位置向量 的终点在抛物线 C： x2y 上时， 位置向量终点总在抛

8、物线 C：y2x 上，曲线 C 和 C关于直线 l 对称，问直线 l 与向量 满足什么关系？23 （18 分） （2010上海）已知首项为 x1的数列xn满足 xn+1（a 为常数） （1）若对于任意的 x11，有 xn+2xn对于任意的 nN*都成立，求 a 的值；（2）当 a1 时，若 x10，数列xn是递增数列还是递减数列？请说明理由；（3）当 a 确定后，数列xn由其首项 x1确定，当 a2 时，通过对数列xn的探究，写出“xn是有穷数列”的一个真命题（不必证明） 说明：对于第 3 题，将根据写出真命题所体现的思维层次和对问题探究的完整性，给予不同的评分第 5页（共 18页）2010

9、年上海市春季高考数学试卷年上海市春季高考数学试卷参考答案与试题解析参考答案与试题解析一一、填空题填空题： （本大题满分本大题满分 56 分分，每小题每小题 4 分分）本大题共有本大题共有 14 小题小题，考生应在答题纸相应考生应在答题纸相应的编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得的编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得 4 分，否则一律得零分分，否则一律得零分1 （4 分） （2010上海）函数的最小正周期 T【分析】直接利用三角函数的周期公式，求出函数的周期即可【解答】解：由三角函数的周期公式可知，函数 ysin2x 的最小正周期为 T故答案为：【点评】本题考查三角函数的周期公式的应用，

10、是基础题，送分题函数 f（x）Asin（x+）的最小正周期为；T2 （4 分） （2010上海）已知函数 f（x）ax2+2x 是奇函数，则实数 a0【分析】由奇函数定义入手寻找特殊值是解决此问题的最简解法【解答】解：由奇函数定义有 f（x）f（x） ，则 f（1）a2f（1）（a+2） ，解得 a0【点评】本题考查奇函数定义3 （4 分） （2010上海）计算：1+i（i 为虚数单位） 【分析】复数分子、分母同乘分母的共轭复数，化简为 a+bi（a，bR）的形式【解答】解：1+i故答案为：1+i【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题4 （4 分） （2010上海）已知集合 Ax|x

11、|2，Bx|0，则 ABx|1x2【分析】利用绝对值不等式及分式不等式的解法，我们易求出集合 A，B，再根据集合交集运算法则，即可求出答案【解答】解：集合 Ax|x|2（2，2）第 6页（共 18页）Bx|0（1，+）AB（1，2）x|1x2故答案为：x|1x2【点评】本题考查的知识点是交集及其运算，其中根据绝对值不等式及分式不等式的解法，求出集合 A，B，是解答本题的关键5 （4 分） （2010上海）若椭圆+1 上一点 P 到焦点 F1的距离为 6，则点 P 到另一个焦点 F2的距离是4【分析】根据椭圆的定义|PF1|+|PF2|2a，已知|PF1|6，进而可求|PF2|【解答】解：由椭圆

12、的定义知|PF1|+|PF2|2a10，|PF1|6，故|PF2|4故答案为 4【点评】本题主要考查了椭圆的性质属基础题6 （4 分） （2010上海）某社区对居民进行上海世博会知晓情况分层抽样调查已知该社区的青年人、中年人和老年人分别有 800 人、1600 人、1400 人，若在老年人中的抽样人数是 70，则在中年人中的抽样人数应该是80【分析】根据老年人抽取的人数计算抽取比例，再根据这个比例求中年人中需抽取的人数【解答】解：由题可知抽取的比例为 k，故中年人应该抽取人数为 N160080故答案为：80【点评】本题考查基本的分层抽样，解决分层抽样的关键是抓住各层抽取的比例相等，属基本题7

13、（4 分） （2010上海）已知双曲线 C 经过点 C（1，1） ，它的一条渐近线方程为则双曲线 C 的标准方程是【分析】根据题意，双曲线 C 的一条渐近线方程为，则可将双曲线的方程设为y23x2（0） ，将点 C 坐标代入可得的值，进而可得答案【解答】解：根据题意，双曲线 C 的一条渐近线方程为，则可设双曲线的方程为 y23x2（0） ，第 7页（共 18页）将点 C（1，1）代入可得2，故答案为：【点评】本题考查双曲线的方程，涉及双曲线的方程与其渐近线的方程之间的关系，要求学生熟练掌握，注意题意要求是标准方程，答案必须写成标准方程的形式8 （4 分） （2010上海）在（2x2+）6的二项

14、展开式中，常数项是60【分析】在二项展开式的通项公式中，令 x 的幂指数等于 0，求出 r 的值，即可求得常数项【解答】解：在（2x2+）6的二项展开式中，通项公式为 Tr+126rx122rxrx123r令 123r0，解得 r4，故展开式的常数项为60，故答案为 60【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题9 （4 分） （2010上海）连续两次掷骰子，出现点数之和等于 4 的概率为（结果用数值表示） 【分析】本题是一个古典概型，试验发生包含的事件总的试验结果为 36 个，满足条件的事件是点数和为的结果为 4，可以列举出

15、共 3 个，根据古典概型的概率公式得到结果【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的事件总的试验结果为 36 个，满足条件的事件是点数和为的结果为 4，可以列举出（1，3） ， （2，2） ， （3，1）共 3 个，由古典概型概率计算公式可得 P故答案为第 8页（共 18页）【点评】本题考查古典概型，考查分步计数问题，是一个基础题，解题过程中要用到列举法来做出事件所包含的事件数，注意列举时，做到不重不漏10 （4 分） （2010上海）各棱长为 1 的正四棱锥的体积 V【分析】先求出正四棱锥的斜高，再求出它的高，然后利用体积公式求解即可【解答】解：由题知斜高 h，则 h，故 VSh

16、1故答案为：【点评】本题考查棱锥的体积，考查空间想象能力，计算能力，是基础题11 （4 分） （2010上海）方程0 的解集为3，2【分析】利用矩阵的化简方法把方程的左边化简，得到一个一元二次方程，解出即可【解答】解：9x+2x2124x+3x2180，即 x2+x60，故 x13，x22故方程的解集为 3，2【点评】考查学生化简行列的方法，解方程的方法，写解集的方法12 （4 分） （2010上海）根据所示的程序框图（其中x表示不大于 x 的最大整数） ，输出 r第 9页（共 18页）【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算变更 r 的

17、值，模拟程序的运行，用表格对程序运行过程中各变量的值进行分析，不难得到输出结果【解答】解：由框图的算法原理可知：a，b，n1，n（ba）1；n2，n（ba）2（）1；n3，n（ba）3（）1，此时，m36，r，故输出 r故答案为：【点评】根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是： ：分析流程图（或伪代码） ，从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型解模13 （4 分） （2010上海）在如图所示的斜截圆柱中，已知圆

18、柱底面的直径为 40cm，母线长最短 50cm，最长 80cm，则斜截圆柱的侧面面积 S2600cm2第 10页（共 18页）【分析】将相同的两个几何体，对接为圆柱，然后求出新圆柱侧面积的一半即可【解答】解：将相同的两个几何体，对接为圆柱，则圆柱的侧面展开，侧面展开图的面积 S（50+80）2022600cm2故答案为：2600【点评】本题考查圆柱的侧面积，考查计算能力，是基础题14 （4 分） （2010上海）设 n 阶方阵An任取 An中的一个元素，记为 x1；划去 x1所在的行和列，将剩下的元素按原来的位置关系组成 n1 阶方阵 An1，任取 An1中的一个元素，记为 x2；划去 x2所

19、在的行和列，；将最后剩下的一个元素记为 xn，记 Snx1+x2+xn，则 Snx1+x2+xn，则1【分析】 不妨取 x11， x22n+3， x34n+5， ， xn2n21， 故 Sn1+ （2n+3） + （4n+5）+（2n21）n3，故可求【解答】解：不妨取 x11，x22n+3，x34n+5，xn2n21，故 Sn1+（2n+3）+（4n+5）+（2n21）1+3+5+（2n1）+2n+4n+（n1）2nn2+（n1）n2n3，故1，第 11页（共 18页）故答案为：1【点评】本题考查高阶矩阵和数列的极限，解题时要认真审题，仔细解答，避免不必要的错误二、选择题二、选择题： （本大

20、题（本大题 20 分）本大题共有分）本大题共有 4 小题，每题有且只有一个正确答案，考生应在小题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得 5 分，否则一律得零分分，否则一律得零分15 （5 分） （2010上海）若空间三条直线 a、b、c 满足 ab，bc，则直线 a 与 c（）A一定平行B一定相交C一定是异面直线D平行、相交、是异面直线都有可能【分析】 利用正方体的棱与棱的位置关系及异面直线所成的角的定义即可得出， 若直线 a、b、c 满足 ab、bc，则 ac，或 a 与 c 相交，或 a 与

21、c 异面【解答】解：如图所示：ab，bc，a 与 c 可以相交，异面直线，也可能平行从而若直线 a、b、c 满足 ab、bc，则 ac，或 a 与 c 相交，或 a 与 c 异面故选：D【点评】本题考查空间中直线与直线之间的位置关系，解题时要认真审题，注意全面考虑熟练掌握正方体的棱与棱的位置关系及异面直线所成的角的定义是解题的关键16 （5 分） （2010上海） （上海春卷 16）已知 a1，a2（0，1） ，记 Ma1a2，Na1+a21，则 M 与 N 的大小关系是（）AMNBMNCMND不确定【分析】根据题意，利用作差法进行求解【解答】解：由 MNa1a2a1a2+1（a11） （a2

22、1）0，故 MN，故选：B第 12页（共 18页）【点评】此题考查大小的比较，利用作差法进行求解，是一道基础题17 （5 分） （2010上海）已知抛物线 C：y2x 与直线 l：ykx+1， “k0”是“直线 l 与抛物线 C 有两个不同交点”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【分析】先推出直线 l 与抛物线 C 有两个不同交点的充要条件，再判断与“k0”的关系【解答】解：若直线 l 与抛物线 C 有两个不同交点，则有两个不同的解，即 k2x2+（2k1）x+10 有两个不同的解，则（2k1）24k20，解得，k则由 k0 可推出 k，而 k推不出 k0，

23、故选：A【点评】本题考查了充分条件与必要条件的判断，属于基础题18 （5 分） （2010上海） （上海春卷 18）已知函数 f（x）的图象关于点 P 对称，则点 P 的坐标是（）ABCD （0，0）【分析】利用对称性质和中点坐标公式进行求解【解答】解：设 P（m，n） ，任意给点 M（x，y）关于 P（m，n）的对称点为 N（2mx，2ny） ，由，联立方程组：，第 13页（共 18页）解这个方程组得到，故选：C【点评】巧妙运用对称性质，合理借助中点坐标公式是求解对称问题的重要方法三、解答题三、解答题： （本大题（本大题 74 分）本大题共有分）本大题共有 5 题，解答下列各题必须在答题纸相

24、应编号的规题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤定区域内写出必要的步骤19 （12 分） （2010上海）已知 tana， （a1） ，求的值【分析】 利用两角和与差的正弦函数， 以及二倍角的正切， 化简，代入 tana，求出结果即可【解答】解：原式即：【点评】本题是基础题，考查弦切互化，二倍角的正切，考查计算能力，常考题型20 （14 分） （2010上海）已知函数 f（x）loga（82x） （a0 且 a1）（1）若函数 f（x）的反函数是其本身，求 a 的值；（2）当 a1 时，求函数 yf（x）+f（x）的最大值【分析】 （1）先求出反函数的解析式，利用反函数

25、和原函数的解析式相同，求出 a 的值（2）当 a1 时，先求出函数的定义域，化简函数的解析式，利用基本不等式求出最值【解答】解： （1）函数 f（x）loga（82x） ，82xaf（x），x，故反函数为 y，loga（82x），a2（2）当 a1 时，由题意知，82x0，x3，函数 yf（x）+f（x）的定义域（3，3） ，第 14页（共 18页）函数 yf（x）+f（x）loga（82x）+，2x+2x2，当且仅当 x0 时，取等号0658（2x+2x）49，当 a1 时，函数 yf（x）+f（x）在 x0 处取得最大值 loga49【点评】本题考查求函数的反函数的方法，对数式的运算性质，

26、基本不等式的应用21 （14 分） （2010上海）已知地球半径约为 6371 千米上海的位置约为东经 121、北纬31，大连的位置约为东经 121、北纬 39，里斯本的位置约为西经 10、北纬 39（1）若飞机以平均速度 720 千米/小时，飞行，则从上海到大连的最短飞行时间约为多少小时（飞机飞行高度忽略不计，结果精确到 0.1 小时）？（2）求大连与里斯本之间的球面距离（结果精确到 1 千米）【分析】 （1）先求两地的球心角，求出球面距离，然后求飞行时间（2）求出两点的距离，求出球心角，然后求球面距离【解答】解： （1）上海与大连在同一经线上，它们在地球的同一个大圆上设地球的球心为 O，上

27、海、大连分别为点 A、B由上海、大连的经、纬度知AOB8地球半径 r6371 千米经计算得 AB 的弧长：6371889.567201.2（小时）从上海到大连的最短飞行时间约为 1.2（小时）（2）设里斯本为 C，过 B 作 与赤道平面平行的球面的截面，设其圆心为 O，由已知得BOC121+10131，OBO39OBOCrOCOBOBcosOBOrcos39由余弦定理可得第 15页（共 18页）BC2OB2+OC22OBOCcos1312r2cos239（1cos131）cosBOC1.87104BOC90.01于是大圆的弧长 BC 为大连与里斯本之间的球面距离约为 10009 千米【点评】本

28、题考查球面距离及其他计算，余弦定理的应用，是中档题22 （16 分） （2010上海）在平面上，给定非零向量，对任意向量，定义（1）若 （2，3） ， （1，3） ，求；（2）若 （2，1） ，证明：若位置向量 的终点在直线 Ax+By+C0 上，则位置向量的终点也在一条直线上；（3） 已知存在单位向量 ， 当位置向量 的终点在抛物线 C： x2y 上时， 位置向量终点总在抛物线 C：y2x 上，曲线 C 和 C关于直线 l 对称，问直线 l 与向量 满足什么关系？【分析】 （1）根据题意，算出7，10，代入的表达式并化简整理，即可得到（，） ；（2）设 （x，y） ，终点在直线 Ax+By+

29、C0 上，由题中的表达式解出（x，y）满足的关系式，从而得到点（，）在直线 Ax+By+C0 上，化简整理得到直线（3A+4B）x+（4A3B）y5C0，说明向量的终点也在一条直线上；（3） ）设 （x，y） ，单位向量 （cos，sin） ，解出关于 x、y 和的坐标形式，结合 的终点在抛物线 x2y 上且终点在抛物线 y2x 上，建立关于 x、y 和的方程，第 16页（共 18页）化简整理得到 （，） 再由曲线 C 和 C关于直线 l：yx 对称，算出 l 的方向向量 满足 0，从而得到直线 l 与向量 垂直【解答】解： （1） （2，3） ， （1，3） ，7，10，可得（1，3）（，）

30、因此 （2，3）（，）（，） ；（2）设 （x，y） ，终点在直线 Ax+By+C0 上算出2x+y，5，（2，1）（，） ， （x，y）（，）（，）因此，若（x，y） ，满足，得到点（，）在直线 Ax+By+C0 上A+B+C0，化简得（3A+4B）x+（4A3B）y5C0，由 A、B 不全为零，可得以上方程是一条直线的方程即向量的终点也在一条直线上；（3） 是单位向量，设 （x，y） ， （cos，sin） ，可得 xcos+ysin，所以 2（xcos+ysin ）（xcos2ysin2，xsin2+ycos2）第 17页（共 18页） 的终点在抛物线 x2y 上，且终点在抛物线 y2x

31、 上，xcos2ysin2（xsin2+ycos2）2，化简整理，通过比较系数可得 cos，sin或 cos，sin （，） ，曲线 C 和 C关于直线 l：yx 对称，l 的方向向量 （1，1） 可得 0，即 ，因此直线 l 与向量 垂直【点评】本题给出向量的关系式，求证当向量 终点在一条直线上时，向量的终点也在一条直线上等问题着重考查了向量的数量积运算、向量的坐标运算和曲线与方程的讨论等知识，属于中档题23 （18 分） （2010上海）已知首项为 x1的数列xn满足 xn+1（a 为常数） （1）若对于任意的 x11，有 xn+2xn对于任意的 nN*都成立，求 a 的值；（2）当 a1

32、 时，若 x10，数列xn是递增数列还是递减数列？请说明理由；（3）当 a 确定后，数列xn由其首项 x1确定，当 a2 时，通过对数列xn的探究，写出“xn是有穷数列”的一个真命题（不必证明） 说明：对于第 3 题，将根据写出真命题所体现的思维层次和对问题探究的完整性，给予不同的评分【分析】 （1）求出 xn+2，代入 xn+1化简后等于 xn，得到 a2xn（a+1）xn2+xn，当 n1 时，由 x1的任意性得得到 a 的值即可；（2）数列为递减数列，因为当 a1 且 x11 得到 xn0，而 xn+1xnxn0，所以得证；（3）由 a2 得到数列xn满足 xn+1，因为xn是有穷数列，

33、可以令 x1得到即可第 18页（共 18页）【解答】解： （1）xn+2xna2xn（a+1）xn2+xn，当 n1 时，由 x1的任意性得，a1（2）数列xn是递减数列x10.xn0，nN*又 xn+1xnxn0，nN*，故数列xn是递减数列（3） 满足条件的真命题为： 数列xn满足 xn+1， 若 x1， 则xn是有穷数列【点评】考查学生会利用数列的递推式解决数学问题，会判断一个数列是递减或递增数列声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2019/6/20 12:35:02 ；用户： 18799180383 ；邮箱：18799180383 ；学号： 21498020