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1、2023年上海市春季高考数学试卷一.填空题 本大题共12题，总分值48分，第 16 题每题4 分，第 712题每 题 5 分 1.设集合 A=1,2,3 ,集合 B=3,4 ,那么 AUB=.2.不等式|X-1|V 3的解集为.3.假设复数z 满足2 T=3+6 i i 是虚数单位，那 么 z=.1兀4.假设cos a=w，那么 sin(a)=.5.假设关于x、y 的方程组1+2y=4无解，那么实数a=.I3x+ay=66.假设等差数列a的前5 项的和为2 5,那 么 ai+as=.7.假 设 P、Q是 圆 x2+y2-2x+4y+4=0上的动点，那么|PQ|的最大值为.8.数列a j的通项公
2、式为4=3”,那 么 lim-=.n 8 an9.假 设(x)n的二项展开式的各项系数之和为729,那么该展开式中常数项的X值为.2 c10.设椭圆方-+y2=i的左、右焦点分别为FI、F 2,点 P 在该椭圆上，那么使得EF2P是等腰三角形的点P 的个数是.11.设 a、a2 ,ae为 1、2、3、4、5、6 的一个排列，那么满足|a1-a?|+|a3-a/+|a5-a=3 的不同排列的个数为.12.设 a、b R,假设函数f(x)=x+g+b在 区 间 1,2)上有两个不同的零点，X那 么 f 1的取值范围为.二.选择题 本大题共4 题，每 题 5 分，共 20分 13.函 数fx=x-1
3、2的单调递增区间是 A.0,+8 B.1,+8 c.-8,0D.-8,114.设 aR,“a 0 是“工0 的 条件.aA.充分非必要B.必要非充分C.充要D.既非充分也非必要15.过正方体中心的平面截正方体所得的截面中，不可能的图形是 A.三角形B.长方形C.对角线不相等的菱形D.六边形16.如下图，正八边形A冉AsAAAAAs的边长为2,假 设P为该正八边形边上的动点，那么A/：不 的取值范围为 A.0,8+6721B.-2 7 2，8+6加 C 1-8-6&,2 7 2 1D.-8-6 7 2.8+6V2三.解答题 本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分 17.12 分 如
4、图，长方体 ABCD-ABCD 中，AB=BC=2,AA产3;(1)求四棱锥4-A B C D的体积；2求异面直线A Q与D 1所成角的大小.18.12分 设a R,函数 6)=及 包；1求a的值，使 得fx为奇函2X+1数；2假设f(x)等对任意xW R成立，求a的取值范围.19.(1 2分 某 景 区 欲 建 造 两 条 圆 形 观 景 步 道M2 宽度忽略不计，如下图，ABAC,AB=AC=AD=60 单位：米，要求圆他与AB、AD分别相切于点B、D,圆 与AC、AD分别相切于点C、D;(1 )假设NBAD=60,求圆Mi、M2的 半 径 结果精确到0.1米 2 假设观景步道队与M2的造
5、价分别为每米0.8千元与每米0.9千元，如何设计圆M 1、M2的大小，使总造价最低？最低总造价是多少？结果精确到0.1千元220.12 分 双曲线：x 2?7=：L b 0，直线 I:y=kx+m km学0，I 与b2交于P、Q两点，P 为 P 关于y 轴的对称点，直 线 PQ与 y 轴交于点N 0,n ；1假 设 点 2,0 是 的一个焦点，求 的渐近线方程；12假 设 b=1,点 P 的坐标为-1,0，且 而 尸=-F-Q,求 k 的值;3 假 设 2,求 n 关于b 的表达式.21-C 2 分 函数f x=l幅 普解方程f x 1 2 设 x G -1,1，a C 1,+8，证明：-e-
6、1,1，且 fa-x a-x-f X=-f Da 3 设数列x j 中，x,E(-1,1，xn7=-13乂/13fn N*,求 X1的取值范围，使 得 X3，xn对任意nN*成立.2023年上海市春季高考数学试卷参考答案与试题解析一.填空题 本大题共12题，总分值48分，第 16 题每题4 分，第 712题每 题 5 分 1.设集合 A=1,2,3 ,集合 B=3,4 ,那么 AUB=1,2,3,4.2.不等式IX-1|V 3 的解集为-2,4.3.假设复数z 满足 W-1=3+6 i i 是虚数单位，那 么 z=2-3 i.1兀 14.假设cos a=w，那么 sin(a)=.5.假设关于x
7、、y 的方程组产+2 N 无解，那么实数a=.I 3x+ay=66.假设等差数列la j的前5 项的和为2 5,那 么 ai+as=10.7.假 设 P、Q是 圆 x2+yJ2x+4y+4=0上的动点，那么|PQ|的最大值为，.8.数列 aj的通项公式为an=3,那 么lim -三 兴廿8 an 29.假 设(x)n的二项展开式的各项系数之和为729,那么该展开式中常数项的值 为160.2 c10.设椭圆j-+y2=i的左、右焦点分别为R、F一 点P在该椭圆上，那么使得 FEP是等腰三角形的点P的个数是 6.11.设 a、a?、为 1、2、3、4、5、6 的一个排列，那么满足|aa?|+|a3
8、-a4|+|a5-a6|=3的 不 同 排 列的 个 数 为48.12.设a、b G R,假设函数f(x)=x+b在 区 间 1,2上有两个不同的零点，X那 么f1的取值范围为0,1.解：函数f(x)=x+2+b在 区 间 1,2上有两个不同的零点，X即方程x2+bx+a=0在 区 间 1,2上两个不相等的实根，1-2 f-4b。=04+2b+a0b24al+a+b04+2b+a0如图画出数对a,b所表示的区域，目标函数2=千1一a+b+1；.z的最小值为z=a+b+1过 点 1,-2时，z的最大值为z=a+b+1过 点 4,-4 时,F 1的取值范围为0,1故答案为：0,1二.选择题 本大题
9、共4题，每 题5分，共20分 13.函 数fX=x-1,的单调递增区间是1B A.0,+8 B.1,+8c.-8,0D.-8,114.设 aR,a 0 是“10 的 C 条件.aA.充分非必要B.必要非充分C.充要D.既非充分也非必要15.过正方体中心的平面截正方体所得的截面中，不可能的图形是A A.三角形B.长方形C.对角线不相等的菱形D.六边形16.如下图，正八边形4A2A3AAA6A7As的边长为2,假 设P为该正八边形边上的动点，那么不的取值范围为B A.0,8+6721B.-2&,8+6&C.2&D.8+62解：由题意，正八边形A也A3A4AAA7A8的每一个内角为135,且 I A
10、 A?I =IA Ag I =2,lAjAjl-lAjAy|-22+V2 I 4 I -I 1 Ag I -2+V2I A i A 5 I -j 4+22,再由正弦函数的单调性及值域可得，当P与 人 重 合 时，A1A；3节最小为2X?4丽 声3 s li2.5;2义2反近乂（更 杏）=一 距.结合选项可得 及 石,彳 的取值范围为-2加,8+672.三.解答题 本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分 17.12 分 长方体 ABCD-ABCD 中,AB=BC=2,AA,=3;C D求四棱锥Ai-ABCD的体积；2求异面直线A 与DDi所成角的大小.解：,长 方 体 ABCD-A
11、BCD 中，AB=BC=2,AA产3,，四棱锥A,-ABCD的体积:VArAr c D=Y s 矩形 A B C D X A A1 x AB X AD X A A 1=x 2 X 2 x 3=4.3 J o J2；DDiCG,.NAQa是异面直线A 与DDi所 成 角 或所成角的补角，.t anNA,C*军L平，3 J：N A CC j=ar c t 异面直线A 与DD1所成角的大小为ar c t an ；x1 8.1 2分 设a C R,函数f(x)=2包；1求a的值，使 得fX为奇函2X+1数；2假设f(x)萼对任意x W R成立，求a的取值范围.解：1由千X的定义域为R,且fX为奇函数，
12、可 得f0=0,即 有 半=0,解 得a=-1.那 么fX=套 工，f -x)上史二-fx，那 么a=-1满足题意；2X+1 2-x+l 1+2X2f(x)(萼对任意x C R成立，即为 空 包 V萼 恒成立，等价 为 土2X+1 2 2X+1 2即有 2a-1a(2X+1，当a=0时，-1 VO恒成立；当 a0 时，2X+1,a由 可得】L)W 1,解得 0 V a W 2；a当a V O时，2X+1不恒成立.综上可得，a的取值范围是0,2.19.（1 2 分 某景区欲建造两条圆形观景步道Mi、M2 宽度忽略不计，如下图，ABAC,AB=AC=AD=60 单位：米，要求圆M,与 AB、AD分
13、别相切于点B、D,圆心与AC、AD分别相切于点C、D;C1）假设NBAD=60,求圆Mi、M 2的 半 径 结果精确到0.1 米 2 假设观景步道也与M?的造价分别为每米0.8 千元与每米0.9 千元，如何设计圆M 1、Mz的大小，使总造价最低？最低总造价是多少？结果精确到0.1 千元解：1M i 半径=60tan30 弋34.6,半径=60tan15 1 6.1；2 设 NBAD=2a,那么总造价y=0.8 2n 60tana+0.9 2 n 60tan（45-a，设 1+tan a=x,丹 卜 么 y=12n（8 x+-1 7）8 4 n,X当且仅当x=*t a n a*时，取等号，半 径
14、 30,M z半 径 2 0,造价42.0千元.220.12 分 双曲线：x 2?7=：L b 0，直线 I:y=kx+m km手0，I 与b2交于P、Q两点，P 为 P 关于y 轴的对称点，直 线 PQ与 y 轴交于点N 0,n ；1假 设 点 2,0 是 的一个焦点，求 的渐近线方程；2 假 设 b=1,点 P 的坐标为-1,0，且而尸 诃 下 求 k 的值；13假 设 m=2,求 n 关于b 的表达式.2解：1:双曲线：X?三=1 b 0，点 2,0 是 的一个焦点，b2:.c=2,a=1,:.bc2-a2=4-1=3,2_.的标准方程为：X2工=1,的渐近线方程为尸土 x.3(2；b=
15、1,.双曲线为：x2-y2=1,P(-1,0，P 1,0,设 Q0 y2),那么有定比分点坐标公式，得:2,3,解得X 2 J,*x22-y22-l*y2=4,J J2,_y2-Q=.,1k x2+l 2,3 设 P X”y j ,Q (x2,y2),%=%,那么 P(-X,V),lpQ=kgx+n,由,尸 kx+22 y 2，得&-妙 x2-4kx-4-bO,x-7=1x+x=_ _4-b21 2 b2-k2,X 1 X 2-b2-k2,由 y=kgx+n22 y-X Q-I,得 b?-k J x?-2k()nx-4 -b k,2k0n-XX2=2 1 2,b-k02,2f-b XiX2=2
16、 1 T，b-k0 XiX2二-4-b2,n2+bJ g b2-k02 g b2-k02_n2+b2百不b 2.2,即 正 正，即 正 正 一 不 声力一了1k X2-X1 =X+X2 _ 2 k 2-k02_ 2 k rn2+b2k0 丫 2 一 x2 xl kQn*b2 _k2 kon-4-b2X2+x K2化简，得 2n2+n 4+b2+2b2=0,:.n=-2 或 孑,卜 2 _ 卜 2 2 ,.2当 n=-2,由二N 4%,得 2日片+叱b2-k2-4-b2由尸。Iy=kx+2得 4k0-k2 k+2 k0 J行 ko-k即 Q 可4主中2 k+2 kn，代 入/-v廿2，化简，得:b2-(4+kko)b2+4 kko=0,解得 b2=4 或 b-kk0,2当 b?=4时，满足n=,-2.2当bkko时，由 Z b k k o?,得 1 f(x t)2-f(X1)f (x P：.=f(x2),即f (x4)2-f(x i),、1+盯解得：f x j W 1,即 log2-L 1,A 01-1+X 1-xlW 2,解得：-1 V x】w .o