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1、2023年高考圆锥曲线复习题x21.己知点F为椭圆C：+y2=l的左焦点，记点P到直线/：x=-2 的距离为d,且d2=|%.(I)求动点P 的轨迹方程；(I I)过点P 作椭圆C 的两条切线RL P B,设切点分别为力(x i，川)，B 8,二)，连接/R BF.(i)求证：直线处方程为XLX+2Vly-2=0；(ii)求证：AFVFB.【分析】(I)由题意得到关于x,y 的等式，然后进行化简即可确定轨迹方程；(II)(/)由题意可知直线经过点4联立直线方程和椭圆方程，结合韦达定理即可证得题中的结论；()联立直线和椭圆方程，结合韦达定理证得向量的数量积为0 即可证得题中的结论.【解答】(/)
2、解：设点尸(x,y),由d=|PF|,|x+2|=7(x+l)2+y2,化简得丁=2%+3,所以点尸轨迹方程为/=2 x+3；()证明：点N (xi，)在椭圆C 上，得好+2比 2=0,所以直线-2=0 经 过 点A(x i,尺)，由(x1x+2y1y-2 =0,U2+2y2-2=0消去 y 得(2资+%i)x2-4 XiX+4-4yf=0,又好+2yl 2=0,得2 d 4XX+2xf=0,由4=(-4xi)2 4 2-2xf=0,直线xix+2yiy-2=0 与椭圆只有一个公共点，所 以 直 线 附 方 程 为 2yly-2=0.第1页 共5页（ii）证明：设点P （x o,/），由（i）
3、知 直 线 以 方 程 为xx+2yy-2=0,同理，直线尸8方程为工2/27 2y -2=0,得!。t先 吁 U U，所以直线A B方 程 为 X 0 X+2）脏-2=0,（x2x0+2y 2y o -2 =0 /当 泗#0时,由 偿：宝2 2-n 0得（端+2据）/一 4 和X +4（1 一城）=0,十乙 y 4 u,4 0 4（1.冶乙+”2-帝2对帝2%，FA-FB=+1,y j 。2+1，、2）=（匕+1）。2+1）+7 17 2=%1%2+0 1+犯）+1+4 1 一号（X 1+x2）+华町y。乙 什=（I +）”1犯+（1 一 爵 乂 久】+%2）+1+2_ 国+4%、4（1一%
4、）2y g-%o 4 和%+1（1-羽）（就+4 诏）+22o（2据-）（）+（舟 1）（就+2据）_ 2羽（3 据+2配）y o（xo+2y o）羽（诏+2据）又 羽=2x0+3,所以4 F F B =0；4 4 1 4 1当y o=O 时，直线/8 方程为x =可，?1（,8（-W，一 W）,FA-FfB =1 方1）（一方1，一1分=。，AF 1 FB综上，AFLFB.【点评】本题主要考查轨迹方程的求解，椭圆的切线方程，直线与椭圆的位置关系等知识，属于中等题.2.已知曲线C上的任意一点到点F （0,1）的距离与到直线八1=0 的距离相等.（I ）求曲线C的方程；（I I）若不经过坐标原点
5、。的直线/与曲线C交于/,8两点，且 O/LO8.求证：直线/过定点.【分析】（I）利用抛物线的定义可知曲线C为抛物线，求解其方程即可；（I I ）设直线/：y=f c v+6,A（x i，y i）,B（X 2，”），联立直线和抛物线的方程，将。/转化为坐标表示，再利用韦达定理进行求解，求出b的值，从而证明出直线恒过定点.【解答】（I）解：因为曲线C上的任意一点到点尸（0,1）的距离与到直线1=0 的距离相等，第2页 共5页根据抛物线的定义可知，曲线C的轨迹是以尸(0,1)为焦点，直线产1=0为准线的抛物线，故曲线C的方程为，=4 y；(I I )证明：设直线/：y=kx+b,A(x i，y
6、i),B(0联立方程组”可得/-4 24 6=0,=4 y所以 XI+X2=4%,XIX2=-4 bf所以4 8 =d(X1 一 2)2+(%-1 2)2,=J x/+y/,OB=yjx+y22,因为线段4 3为直线的圆过点O,所以。4 8为直角三角形，故有 AB2=OA2+OB2f所以(%1 2)2 +(为 一 y2y =+yi2+X22+y22,化简可得X 1 X 2+V U 2 =O，又因为y i=f c n+b,”=kx2+b,所以=(i 4-b)(kx2+b)=k2xrx2+(%i 4-xQkb+b2f所以i%2 +7 1 7 2 =(1 +2)XIX2+k b g+x2)+b?,因
7、为用+工2=4鼠xx2=4 b,所以1亚+=(1 +妙)(4 b)+kb-4 k+b2=b2 4 b 9所 以 房-4 6=0,解得b=0或6=4,因为直线/不过原点。，所以6 W 0,故 6=4,所以直线/：y=kx+4,令x=0,则歹=4,所以直线/恒过定点(0,4).【点评】本题考查了直线与抛物线的综合应用，涉及了抛物线定义的应用以及抛物线标准方程的求解，对于直线和圆锥曲线的位置关系问题，一般会联立方程组，利用韦达定理 和“设而不求”的方法进行研究，属于中档题.3.已知圆锥曲线E上的点M的坐标(x,y)满足J(x +V 3)2+y2+J(x-V 3)2+y2=2遍.(1)说明E是什么图形
8、，并写出其标准方程；(2)若斜率为1的直线/与E交于y轴右侧不同的两点小B,点P 为(2,1).第 3 页 共 5 页求直线I在y轴上的截距的取值范围；求证：N A P B的平分线总垂直于x轴.【分析】(1)根据椭圆的定义直接求解即可；(2)设直线/：y=x+处与椭圆方程联立，结合判别式求解即可；由于点P在椭圆上可得，点/(或点8)与 不重合，且与8 0的斜率都存在，再设直线A P的斜率为k,直线B P的斜率为k2,将问题转化为证明力+依=0即可.【解 答】(1)解：圆 锥 曲 线E上 的 点M的 坐 标(x,y)满足J(x +g)2+y 2 +故圆锥曲线E是以(-V L 0),(V 3,0)
9、为焦点，长轴长为2遍的椭圆,x2 y2所以其标准方程为7 +-=1；6 3(2)解：设直线/的方程为：y=x+m,A(x i，巾)，B(X 2，/)，y =%4-m联立方程组/y2,可得3 x 2+4 m x+2 m 2 -6=0,由题意可得，=(4/)2-4 X 3(2m2-6)0 且匕+x2=p 0,xrx2=2 m2 6解得3 VmV-B,故直线/在y轴上的截距的取值范围为(-3,-V 3)；证明：因为点P在椭圆上，若直线/过点P,即点/(或点8)与点尸重合，则/与 的另一个交点为T，-|),不 符 合 题 意，所以点工(或点8)与点P不重合，若4 P或 的 斜 率 不 存 在，则直线/
10、过点(2,-1),此 时/与 只有一个交点，不符合题意，所以直线A P与B P的斜率都存在，设直线Z P的斜率为1，直线8 P的斜率为公，因为要证明N 4 P 8的平分线总垂直于x轴，则只要证明%+4 2 =0即可，因为的=?一；，上 2=守 _；1A 1 乙 人2 4即 证 明(y i -1)(X 2 -2)+(”-1)(x i -2)=0,又(y i -1)(%2 -2)+(y2 1)(x i -2)=(x i+/n-1)(X 2 -2)+(x 2+/w 1)(x i -2)第4页 共5页=2 r i X 2+(m -3)(x i+x 2)-4，+4=-1-(m 3)(4 m +4 =0 成立，故乙iPB的平分线总垂直于无轴.【点评】本题考查了椭圆标准方程的求解、直线与椭圆位置关系的应用，在解决直线与圆锥曲线位置关系的问题时，一般会联立直线与圆锥曲线的方程，利用韦达定理和“设而不求”的方法进行研究，属于中档题.第5页 共5页