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1、2023年高考圆锥曲线复习题1 .己知中心在坐标原点O,焦点在无轴上，离心率为三的椭圆C过点(百，!).(I )求椭圆C的标准方程；(I I )是否存在不过原点。的直线/：=依+切 与 C交于PQ两点，使 得 O P、P Q、O Q的斜率依次成等比数列.若存在，求出A%满足条件；若不存在，请说明理由.【分析】(I )设椭圆的方程为=+三=1,由于离心率为77的 椭 圆C过点(6，!),a2 b2 2 21c /3e=H =T(右)2 (分2 _ ,解得序,即可得出答案.a +=1a2=b2+c2y=kx+m(I I )设 P(X I,y),Q-(X 2,”)，联立(力彳+f=1,结合韦达定理可
2、得 X l+%2,XX2fy i”，由 OP,PQ,O Q的斜率成等比数列，得到kopkoQ=kpQ2,解 出 由 (),且 xu 2N O,求出机的范围.【解答】解：(I)设椭圆的方程为x2+2y2=1,M 匕 n因为离心率为3 的椭圆C过点(遮，!),(一 c 一百e a T(73)2(1)2 解得 J=4,b2l,n+记=1Q2=力 2 +c2所以椭圆的方程为二+)2=1.4y=kx+m(I I )联立 2 ,得(1+4 后)/+8公批+4 (川-1)=0 (m W O),匕+V=1设 P (xi,y i),Q(x2 ”)，则 xi+/2=8铲 一,XLX2=4(q 二 1),4 f c
3、2+l 4k+1所以 y i”=(f cn+m)(t e+/n)=&ix2+mk(xi+x2)+，枯，因为OP,PQ,O Q的斜率成等比数列，所以kopkoQ=kp廿,所以一 一=必，X i%2所以Q+型0 62+尤=02 xlx2第1页 共6页”,-8k2m2 m2(4/c2+l)所以-+-4(m2-l)4(zn2-l)=0,所以t，因为=(8 km)2-4 (4 必+1)X 4 C m2-1)0,所以4 严-川+1=2 -川 0,所以一夜 O nVVL因为X 1 X 2/O,所以用2-1 力0,解得机#1,1综上所述，k ,四 O n 0),由抛物线的定义可得|A F|=xi+l=3,解得
4、xi,yi,即可得出答案.(2)由题意设直线/为=?丫+1,设 A (xi,y i),B(X2,”)，分析圆心C到直线的距离 为 d 3,计算弦长|“川，52,联立直线与抛物线的方程，结合韦达定理2 l?n 3可 得 X 1+X 2,由抛物线的定义可得依5|=加+汝+2,再 计 算 S i,则 S 1 S 2=2+；)=4y/2,解得 2,即可得出答案.V l+r n2【解答】解：(1)由题意得F (1,0),准线方程为无=-1,设点 A (xi,yi)(yi0),则|A F|=xi+l =3,得 xi=2,第2页 共6页所以 y=22,所以点A的坐标为(2,2 V 2).(2)由题意设直线/
5、为x=g，+l,圆 C：(x-3)2+/=1的圆心为C(3,0),半径为1,设 A (xi,ji),B(X 2,”)，因为圆心C到直线的距禺为d=0 11 =7 2,J l+m2 J l+m22因为直线与圆相交，所 以 尸 力 VI,得 3,V l+m2由)得 -4 z n y -4=0,所以 y i+y 2=4 z,所以 xi+x2=?.y i+l+m y 2+l=w(y i+”)+2=4/?22+2,所以|A 8|=xi+X2+2=4 m 2+4,1 、所以 S i=)(4 m 2+4)4 m 2+4所b,以 S 3 京2J m2-.3 4淅(m2+lT)=88=4 /2,解得加=夕,此时
6、直线方程为：y=gx=【点评】本题考查直线与圆锥曲线的位置关系，解题中需要一定的计算能力，属于中档题.X2 y23.已知椭圆：+7 7=1(。人 0)，/1、放 分别为其左、右焦点.Q2 y(1)若 T为椭圆上一点，T F i0 面积最大值为4g,且此时T F 1 F 2 为等边三角形，求椭圆的方程；(2)若椭圆焦距长为短轴长的四倍，点 P的坐标为(2 m 网-b),。为椭圆上一点,当|P Q|+|Q F i|最大时，求点。的坐标；(3)若 A为椭圆r上除顶点外的任意一点，直线A O交椭圆于B,直线AF 交椭圆于C,直线8 内 交椭圆于 ,若4%=/l F%,瓯=；D,求人+”.(用 a、弋数
7、式表示)第3页 共6页【分析】（1）当T为短轴顶点时TBF2面积最大，可得一个a,b,c的方程，再根据7尸1尸2为等边三角形建立一个关于a,4 c的方程，解方程可得椭圆的方程；（2）利用定义转化可得|PQ+|QFi|=|PQ|+2a-|QF2|=2a+（|PQ-|。冏）W 2a+|Pf2|,当Q在PF2延长线上时，取等号，用直线PF2与椭圆联立可得点。的坐标；（3）先利用余弦定理证明焦半径公式，进而得到4=总 =爆=|F 1 L|U-C C OSC l r AU（*X v解 C z O L J,再利用余弦定理可得又ccosa=a W，同理ccos0=a-羔，代入即可求人 乙（X 人出定值.【解
8、答】解：（1）因为7F1F2面积最大值为4百，所以点T为短轴的顶点，所以S AT&FZ=9/1乃|坨=柩=4 8，因为7F1F2为等边三角形，所以/TF1F2=6O,所以 tan/7nF2=tan60=遮=物,又 a2=/+c2，由，解得d=1 6,庐=12,C2=4,x2 y2所以椭圆的方程为77+白=116 12（2）因为椭圆焦距长为短轴长的企倍，所以 2c=2hx V2,B P c=y2b,又 即 4=或匕，因为P点 坐 标（2a,0 a-b）,则（2加 ，b）,所以点P在第一象限，由椭圆的定义可得伊。|+|。|=|。|+2。-|。放|=24+（|PQ|-|QF2|）W2+|尸 尸2,当
9、且仅当点。在P放 延长线上时，取等号，直线PF 2的方程为y=T禁 一（x-c）,2y/2b c所 以 尸242b-42b*伍）即 产多-b（y=x-b联立J#2 y2，解 得x=0或x=&6,I 7 +-7=1第4页 共6页当 x=0 时，y=-b 或当 x=yj2b 时，y=0,所以 Q(0,-b)或(&b,0),因为点。在P尼延长线上，所 以Q(0,所).(3)设|AFi|=x,ZAFF2=a,则|A尸2|=2a-x,在AF1F2中，由余弦定理可得cosa=帛2泮1 2 1=N+叱 二 段 一 可2,2 2 2解得X =-，即|/&|=-,同理可得|CFI|=F-，a ccosa 1 1
10、1 a-ccosa 1 11 a+ccosa设NA乃为=0,则N。为尸2=71-0,所以|0&|-a_ccos(/r)-a+ccos(i 旧 户1 1 -a+ccos(ji 0)a ccospf痂;I 一|4尸1 1 _ a+ccosa _ IB/7/_ a+ccos/3一FC a ccosa|FD-a ccosp又cosa=)=c c o s a=。-，同理ccos0=a -xfa+ccosa+.2b2Q+CCOS0 _ a+a-a+aa-ccos/3 +人(a r)a-(a-后).2_ 2a-号.2,2 a 2 c _2a-xa-ccosa所以 a+4=:a-xx【点评】本题考查椭圆的定义及其标准方程，考查焦半径的求法，考查直观想象和数学第5页 共6页运算的核心素养，属于难题.第6页 共6页