《2023年湖南省高考数学解答题专项复习：圆锥曲线（含答案解析）.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2023年湖南省高考数学解答题专项复习：圆锥曲线（含答案解析）.pdf（72页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、2023年湖南省高考数学解答题专项复习：圆锥曲线1.已知R,尸2为椭圆E塌+方=l(a b 0)的左、右焦点，且|西|=2遥,点P 孚,字)在E上.(1)求E的方程；(2)直线/与以E的短轴为直径的圆相切，/与E交于4 8两点，O为坐标原点，试判断。与 以 为 直 径 的 圆 的 位 置 关 系，并说明理由./y2 yT F52 .已知椭圆C：7 +记=1(。6 0)的离心率为三，且经过点(1 ,(1)求椭圆C的标准方程；(2)若过点P (0.2)的直线交椭圆C于4,B两点、,求O Z 3(。为原点)面积的最大值.第1页 共7 2页3.已知动圆C的圆心为点C,圆 C过点尸(3,0)且与被直线x
2、=l截得弦长为4 夜.不过原点O的直线/与点C的轨迹交于/,B两点，且|。4+O B|=|O A-O B|.(1)求点C的轨迹方程；(2)求三角形0/8 面积的最小值./V24 .已知椭圆C：+=1 (a b 0)左焦点为F(-1.0),经过点F的直线/与圆a bFl：(x-1)2+产=8 相交于P,。两点，M是线段P 产 2 与 C的公共点，且|M F i|=|A/P|.(1)求椭圆C的方程.(2)/与 C的交点为N,B,且 N恰为线段P。的中点，求 N 8 F 2 的面积.第2页 共7 2页5.已知椭 圆 C：1+，=l(a b 0)左、右焦点分别为尸1，Fi，且满足离心率e=多FXF2=
3、4 V 3,过原点O 且不与坐标轴垂直的直线/交椭圆C 于，N 两点.(1)求椭圆C 的方程；(2)设点/(2,1),求4MN面积的最大值.x2 y26.已知点M 为椭圆熊 +金=l(a b 0)上一个动点，且点M 到两焦点的距离之和为4,V3离心率为彳，且点M 与点、N关于原点。对称.(I)求椭圆的方程；(II)过点M 作椭圆的切线/与圆C：2+/=4 相交于4，8 两点，当N 48的面积最大时，求直线/的方程.第3页 共7 2页x2 y27.已知 椭 圆 靛+黄=l(a b O)的左、右焦点分别为E i,尸 2,且 Q(-1，0),椭圆经点(L|).(1)求椭圆的方程；(2)直线/过椭圆右
4、顶点8,交椭圆于另 一 点 点 G在直线/上，且NGO8=NG8O.若GFx LAFi,求直线/的斜率.y xV 3 V 38 .已知椭圆 C i：+-2 =1 (ab 0),P i(1,1),尸 2(0，2),P 3,-1),P 41)四点中恰有三点在椭圆C 1 上，抛物线C 2：y2=2p x(p 0)焦点到准线的距离为(I)求椭圆。、抛物线C 2 的方程；(H)过椭圆C i右顶点0的直线/与抛物线C 2 交于点/、8,射线0 4、。8分别交椭圆G 于点M、N.(I)证明：小 茄为定值；(n)求力。8、M O N 的面积分别为S i、S 2,求里的最小值.第4页 共7 2页/y?V3 _9
5、.已知椭圆C：/+记=1(。6 0)的离心率为三，F i,也是椭圆的左、右焦点，短轴长为2.(1)求椭圆C 的方程；2V6(2)过右焦点乃的直线/与椭圆C 相交于力，8 两点，若0 4 8 的面积为 广，求直线/的方程.10.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：各番=l(a b 0)的右焦点为尸(1,0),左顶点为4右准线的方程为x=4.(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线小过尸与椭圆C 交于N(异于点/),直线/M,ZN分别与直线/交于FDP,Q,直线FD 与直线7垂直，交直线/于。，求证：为定值.第5页 共7 2页x v11.在平面直角坐标系X。，中，椭 圆 氏/+会=l(a b 0)的
6、四个顶点围成的四边形面积为2 V L 圆。：x2+y2=1经过椭圆E 的短轴端点.(I)求椭圆的方程：(I I)过椭圆E 的右焦点作互相垂直的两条直线分别与椭圆E 相交于4 C 和 8,。四点，求四 边 形 面 积 的 最 小 值.12.已知抛物线C：y2=4x.(1)若 x 轴上的点/关于直线y=x-1的对称点在C 上，求/点的坐标；(2)设过C 的焦点厂的直线/与C 交于P,。两点，P。的延长线与y 轴交于，。为坐标原点，若POQ的面积等于WO0面积的3 倍，求直线/的方程.第6页 共7 2页1 3.已知双曲线E的两个焦点为Q(-2,0),Fi(2,0),并且经过点尸(2,3).(1)求双
7、曲线E的方程；(2)过点M(0,1)的直线/与双曲线E有且仅有一个公共点，求直线/的方程.1 4 .在直角坐标系x O y中，已知点/(-2,2),B(2,2),直线4。，B D 交于D,且它们的斜率满足：kAD-kBD-2.(1)求点。的轨迹C的方程；(2)设 过 点(0,2)的直线1交曲线C于尸，。两点，直线。户与。分别交直线=-1手点区N,是否存在常数入，使若存在，求出入的值；若不存在，说明理由.第7页 共7 2页X y 1 5 .已知椭圆C：益+金=l(a b 0)的左焦点F i(-V 3,0),点Q(L 竽)在椭圆C上.(I )求椭圆C的标准方程；(II)经过圆O：/+/=5上一动点
8、P作椭圆C的两条切线，切点分别记为4 B,直线P A,P 8分别与圆。相交于异于点尸的M,N两点.(/)求证：OM+O N =0,(i i)求 0/8的面积的取值范围.，y2 y j21 6 .已知椭圆r：=+3=l(a b 0)的离心率为二左右焦点分别为E，F2,且/、Ba b 2分别是其左右顶点，P是椭圆上任意一点，P Q b 2面积的最大值为4.(1)求椭圆的方程.(2)如图，四边形/8 C。为矩形，设M为椭圆r上任意一点，直线M C、分别交x轴于E、兄且满足产=2)，求证：AB=2AD.第 8 页 共 7 2 页x y 731 7.已知椭圆C +7 7=1 (a 6 0)的离心率为不,
9、设直线/过椭圆C的上顶点和右ar2顶点，坐标原点0到直线/的距离为管.(I)求椭圆。的方程.(II)过点。(3,0)且斜率不为零的直线Z1交椭圆C于 4 8两点，在 X轴的正半轴上是否存在定点0,使得直线4 0,8。的斜率之积为非零的常数？若存在，求出定点0的坐标；若不存在，请说明理由./y2 01 8.已知楠圆C：+72=1(a 6 0)的离心率为，短轴的一个端点到椭圆的一个焦a4 D4 2点的距离为2 位.(1)求椭圆C的方程；(2)若直线y=x-1 与椭圆C交于不同的/、8 两点，求 4 0 8 为坐标原点)的面积.第9页 共7 2页/y2/2 2 29已知椭圆C：葭+记=Q 0)的左、
10、右焦点分别为Q,F 2,点 P(T)2 V 2在椭圆C上，且 P A E 的 面 积 为.(1)求椭圆。的方程.(2)过原点。作 圆 G )2+-6)2 2 的两条切线，切点分别为/,B,求F；4-F：B.2 0.已知椭圆C：盘+3=l(a b 0)的左、右焦点乃，F2,短轴长为2 后 若尸为椭圆C上的任意一点，且门|的最大值为5.(1)求椭圆C的标准方程；/y2(2)若斜率为左的直线/与椭圆C交于“，N两点，且与椭圆丁+=1相切，O为4 3坐标原点，求。O N 的取值范围.第1 0页 共7 2页x2 1 .在 平 面 直 角 坐 标 系 中，直线/：y=kx+m(k 0)交椭圆E：+产=1于
11、两点0，D.(I)若加=左=1,且点产满足后+亦+4,证明：点P不在椭圆E上；(I I)若椭圆E的左，右焦点分别为Q,Fi,直线/与线段尸|乃和椭圆E的短轴分别交于两个不同点M,N,且|C M =|W|,求 四 边 形 尸2面积的最小值.2 2 .已知椭圆C：5+庐=1 (6 0)的右焦点为尸，过F作两条直线分别与圆O：x2+y2=0。0)相切于N,B,且ZB尸为直角三角形.又知椭圆C上的点与圆。上的点的最大距离为百+1.(1)求椭圆C及圆。的方程；(2)若不经过点尸的直线/：y=kx+m(其中*0)与圆。相切，且直线/与椭圆C交于P,Q,求 FP0的周长.第1 1页 共7 2页X 2 V22
12、3.已 知 椭 圆 荔+会=l(a b 0)的四个顶点围成的菱形的面积为4 g,椭圆的一个焦点为(1,0).(1)求椭圆的方程；(2)若 M,N 为椭圆上的两个动点，直线OM,ON的斜率分别为心，kz，当的七=一,时，MON的面积是否为定值？若为定值，求出此定值；若不为定值，说明理由.24.已知椭圆E：捺+*1(a Z 0)的半焦距为c,原点。到经过两点(c,0),(0,1b)的直线的距离为5 c,椭圆的长轴长为4 g.(1)求椭圆E 的方程：(2)直线/与椭圆交于4 B 两 点,线 段 的 中 点 为 M(2,-1),求弦长|48|.第1 2页 共7 2页2 5 .如图，设尸是椭圆C：苴+3
13、=l(a b 0)的左焦点，A,8分别为左、右顶点，AF=2,离心率e =4,过点尸(-8,0)作直线/与椭圆相交于不同的两点M,N.(1)求椭圆C的标准方程；(2)求 面 积 的 最 大 值.Y2 6 .已知椭圆C：2言+v2方=l(0 V m V 5)的离心率为V1丁5，A,8分别为C的左、右顶点.(1)求C的方程；(2)若点尸在C上，点。在直线x=6上，且|B P|=|8Q|,B PVB Q,求点尸，。坐标.第 1 3 页 共 7 2 页QX V2 7 .已知点尸(-1,*)是椭圆C：/+言=l(a b 0)上一点，乃、尸 2 分别是椭圆的左、右焦点，|尸 尸 1|+|尸?2|=4.(1
14、)求椭圆C的标准方程；(2)设直线/不经过尸点且与椭圆C相交于4 8 两点.若直线处与直线P 8 的斜率之和 为 1,问：直线/是否过定点？证明你的结论.2 8.已知点4(1,。是椭 圆 C：，+1=l(a b 0)上的一点，椭 圆 C的离心率与双曲线/-夕 2=1 的离心率互为倒数，斜率为企直线/交椭圆c 于 8,D 两 点,且 4B,D三点互不重合.(1)求椭圆C的方程；(2)若 4 1，ki,分别为直线N 8,/的斜率，求证：%+依为定值.第1 4页 共7 2页/y22 9 .已知椭圆C：君+方=l（a b O）的左右焦点分别是Q,尸 2,点尸在椭圆。上,|尸 尸 1|+|P外|=4,以
15、原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线丫 =近+3相切.（I ）求椭圆C的方程：（I I）若直线/：y=k x+/与椭圆C相交于4、8 两点，求 实 数 鼠 使 得 以 线 段 为直径的圆经过坐标原点0.久 2 23 0 .已知椭圆C：至+$=1 （a b 0）的左顶点为4 左、右焦点分别为四，F i,离心率为g，P 是椭圆上的一个动点（不与左、右顶点重合），且A P Q F 2 的周长为6,点 P 关于原点的对称点为0,直线ZP,0 尸 2 交于点（1）求椭圆方程；（2）若直线尸尸2 与椭圆交于另一点N,且 S A”2 M=4 S m N，求点尸的坐标.第1 5页 共7 2页3 1 .已
16、知椭圆C的焦点在x轴上，并且经过点(0,1),离心率为三.(1)求椭圆C的标准方程；(2)动直线/与圆O：相 切 于 点 与 椭 圆 C相交于/,8 两点，线 段 的中点为。，求。用。面积的最大值，并求此时点。的坐标.x2 y23 2 .已知椭圆C：/+记=l(a b 0),F i,尸 2 分别为椭圆的左、右焦点，过尸2 且与x轴不重合的直线/交C于 P,。两点，的周长为8,尸人乃面积的最大值为2.(1)求 C的方程；(2)点 N (2 V 2,0),记直线为，04的斜率分别为由，ki,求证：心+幻=0.第1 6页 共7 2页3 3.已知椭圆C：苴+1|=l(a b 0)的左、右焦点分别为尸1
17、，尸2,离 心 率 为 今 过椭圆C焦点且与长轴垂直的直线被椭圆C截得的弦长为4.(I)求椭圆C的标准方程；(H)过椭圆左顶点/的直线/与椭圆的另一个交点为与夕轴交点为P,若点。(-8,0),且。求直线/的方程.X 2 V23 4.已知椭圆C：丁+=1的左、右顶点分别为4、B,直线/与椭圆。交于M、N两点.4 31 T T(I )点尸的坐标为(1,1),若M P=P N,求直线/的方程；(I I )若直线/过椭圆C的右焦点F,且点M在第一象限，求3%“/_ kN B(kMA、kN B分别为直线K 4、N 2的斜率)的取值范围.第1 7页 共7 2页3 5 .己知椭圆C：各:=l(a b 0)的
18、离心率为点 过焦点且垂直于长轴的弦长为3.(1)求椭圆C的方程；(2)过点(1,0)的直线/交确圆C于力，8两点，在x轴上是否存在定点P,使 得 易 通为定值？若存在，求出点。的坐标和日1 病 的值；若不存在，请说明理由./V23 6 .已知P(V L 6)是椭圆C：蔡 +3=l(a b 0)上一点，以点P及椭圆的左、右焦点Fi、尸2为顶点的三角形面积为2 V1(I )求椭圆C的标准方程：(I I )过乃作斜率存在且互相垂直的直线4、12,M是/1与C两交点的中点，N是/2与C两交点的中点，求尸2面积的最大值.第1 8页 共7 2页xz yz 33 7.已知椭圆C：7+金=1(b 0)右焦点下
19、的坐标为(1，0),点 尸(1,-)为椭圆C上一点.(1)求椭圆C的方程；(2)过椭圆C的右焦点尸作斜率为一次的直线/交椭圆C于A 1,N两点，且。9+而+OH=0,求丛M NH的面积.x2 y乙23 8.已知椭圆。:君+记=1 (a 6 0)的右焦点尸与抛物线C 2的焦点重合，。的中心与C 2的顶点重合.过尸且与x轴垂直的直线交C i于4 8两点，交C 2于C，。两点,且|8|=*/用.(1)求C 1的离心率；(2)若C i的四个顶点到C2的准线距离之和为1 2,求C i与C 2的标准方程.第1 9页 共7 2页x y y j 23 9 .已知椭圆7 +7 =l(a 6 0)的离心率为万，左
20、、右焦点分别为尸1、Fi,M 为椭圆1 6的下顶点，交椭圆于另一点N,MN F2 的面积与.(1)求椭圆的方程；(2)过点尸(4,0)作直线/交椭圆于/、8两点，点 8关于x轴的对称点为囱，问：直线/以 是否过定点？若是，请求出定点的坐标；若不是，请说明理由.4 0 .已知椭圆C：滔 +石=1的焦距为2&,离心率为三.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若点/(0,1),点 8在椭圆C上，求线段Z 8长度的最大值.第 2 0 页 共 7 2 页4 1 .己知椭圆C：盘+*1 (a b 0)的离心率为乎，其左、右焦点分别为尸八尸 2,过2 2 且垂直于X轴的直线交椭圆C于点。，|。尸 2 尸 1.(
21、1)求椭圆C的方程；(2)过尸1 的直线/交椭圆C于/、B 两 点,若 第 1 =2 F；B,求 4 0 8 的面积.x2 y24 2 .椭 圆 氏 葭+衣=1(。6 0)的右顶点为Z,右焦点为尸，上、下顶点分别是B,C.AB=夕,直线C F交线段A B于点D,且8。|=2|。4|.(1)求 E的标准方程.(2)过 点(0,的直线交椭圆E于 M、N两点，在y轴上是否存在定点。，使 得/M Q O=ZNQ O,若存在，请求出定点0；若不存在，请说明理由，第2 1页 共7 2页4 3.已知椭圆E：捻+1|=l(a b 0),点 A/(0,1)在椭圆E上，过点N (2,0)作斜V2率为1的直线恰好与
22、椭圆E有且仅有一个公共点.(I)求椭圆E的标准方程；(I I )设点P 为椭圆E的长轴上的一个动点，过点P 作斜率为左(A W 0)的直线交椭圆E于不同的两点4,B,是否存在常数匕使|P*2,竽，|PB|2 成等差数列？若存在，求出 k 的值：若不存在，请说明理由.x24 4.已知双曲线三 y 2 =1的左、右焦点分别为网、乃，尸 尸 1 尸 2 的周长为1 2.(1)求点尸的轨迹C的方程；(2)已知点0 (8,0),是否存在过点。的直线/与曲线C交于不同的两点M、N,使得四/2|=因/2 ,若存在，求出直线/的方程，若不存在，请说明理由.第 2 2 页 共 7 2 页4 5 .已知椭圆C：3
23、+a=1(。6 0)的离心率为芋，且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为2班.(1)求椭圆C的方程；(2)过点S (-1,0)的动直线/交椭圆C于/、8两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点7,使得无论直线/如何转动，以 为 直 径 的 圆 恒 过 点T?若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由.x24 6 .已知椭圆C：+y2=1,直线/：y x+m交椭圆C于/,B两点,O为坐标原点.(1)若直线/过椭圆C的右焦点P,求/O B的面积；(2)椭圆C上是否存在点尸，使得四边形O/P8为平行四边形？若存在，求出所有满足条件的m的范围：若不存在，请说明理由.第2 3页 共7 2页4 7.已知为，
24、尸2分别为椭圆c：+2=1 (a b 0)的左右焦点，点尸(当，分 在椭圆C上，且|目|+|尸 户2|=2夜.(1)求椭圆C的方程；(2)设/为 椭 圆C的左顶点，过点尸2的直线/椭圆C于M,N两点，记直线ZM,A N的斜率分别为由，k2,若力+幻=3,求直线/方程.4 8.已知椭圆C*+方=l(a b 0),过椭圆右焦点的最短弦长是&且点在(孝，里)在椭圆上.(1)求该椭圆的标准方程；(2)设动点P满足：0 P=0 M+2 0 N,其中，N是椭圆上的点，直线0M与直线C W的斜率之积为-最 求点尸的轨迹方程并判断是否存在两个定点4 B,使得|以|+|尸阳为定值？若存在，求出定值：若不存在，说
25、明理由.第 2 4 页 共 7 2 页4 9 .已知椭圆C：5+左=l(a b 0)过点(夜，孚)，且离心率为e=4,若PA/N 为椭圆 C的内接三角形，且 M NL x轴，设 直 线 尸 尸 N与 x轴的交点分别为G,H,(。为原点)(1)求椭圆C的方程；(2)求|O G|2+Q 4|2 的最小值，并求出此时点尸的坐标.x2 y25 0 .如图，在平面直角坐标系x O y中，椭圆7+记=1 (a b 0)的左、右焦点分别为QV3(-c,0),F2(c,0).已 知(1,e)和(e,)都在椭圆上，其中e 为椭圆的离心率.(1)求椭圆的方程；(2)设/,8是椭圆上位于x轴上方的两点，且直线/Q与
26、直线84平行，”2与 BFi交于点P.(/)若/尸|-8 9 2=孚，求直线/Fi 的斜率；()若S u p%=9SA8P F/求直线跳 2 的斜率；第2 5页 共7 2页2023年湖南省高考数学解答题专项复习：圆锥曲线参考答案与试题解析2 21.已知尸1，尸2为椭圆氏 讶+方=l（a b 0）的左、右焦点，且回放|=2魂，点P 孚，亭）在 E 上.（1）求E的方程；（2）直线/与以E的短轴为直径的圆相切，/与E交于4,8两点，O为坐标原点，试判断。与以4 8为直径的圆的位置关系，并说明理由.2通 V3【解答】解：（I）|尸1乃|=2疗，点 尸（y）在E上，8 1可得c=B,即2-庐=3,/+
27、可？=匕 解得=2,b=1,x2则 椭 圆 的 方 程 为 彳+/=1;（2）当直线/的斜率不存在时，设直线方程为x=l和x=-1,、V3 V3若x=l,可得与椭圆的交点为（1,）,以Z 8为直径的圆心为（1,0）,半径为三,Q M 里，即。在圆外；同理可得X=-1时，也有。在圆外；当直线/的斜率存在时，设直线/的方程为y=Ax+机（笈#0）,则O至I 的距离为d=雪t=1 ,即1+乒=m2,Jl+k2联立椭圆方程和直线/的方程可得（1+43）x2+8 kmx+4 m2-4=0,=64乒用24（i+4严）（4?2-4）=1 6（1+4严 ,）0,设 力（xi,y）,B（X2,”），即有 xi+
28、2=一8 km4m2 4存 很，X X2=T 9 O A9 O B=x X 2 y y 2=x X 2 （kx i+m）（kx i m）=（l+庐）x x kt n（X I+JQ）+加2，一八 4nI2-4 8km s,2 5 m2-4 k2-4 1+fc2、八=，即&（），则N 4 0 8为锐角，故。在以力8为直径的圆外.综上可得，。在 以 为 直 径 的 圆 外.X2 y2 y/G y/3/o2.已知椭圆C：/+庐=1（。6 0）的离心率为三，且经过点（3，2-（1）求椭圆C的标准方程;第 2 6 页 共 7 2 页（2）若过点P（0,2）的直线交椭圆。于 4 8两点，求 0 4 8 （。
29、为原点）面积的最大值.【解答】解：由e2=Q2”=1 -2=I，得，=*，Q I 9 1由 椭 圆 C 经 过 点（2，2），得+4=1 ，联立，解 得/?=1/a =V 3,所以椭圆C 的方程是y+y2=1.（1+3 F）/+1 2京+9=0,令=1 4 4 乒-3 6 （1+3 庐）0,得 户 1,、12k 9设 A（x i，刈），B（X 2，歹 2），则%+x?=+3廷，%1%2 =1+3/?,所以 SAO B=|S“0 8 -Sp oA=2 x 2 X x1 X2=|%1%2br r i M ,z 、2/I、2 4 /1 2 k、2 3 6 3 6（/c 2 1）因为（XI 上）2=（
30、x 1+犯）2 4 X 6 2=（一 存 正 产 一 中 后=（1+3再2,设 版-l=f （Z 0）,则 S X 2）=所 寻=再 阴 后 乖诉=4，当且仅当9 t =学，即 t =暂时等号成立，此时 N O B 面积取得最大值 3.已知动圆C的圆心为点C,圆 C过点尸（3,0）且与被直线x=l截得弦长为4 口.不过第 2 7 页 共 7 2 页原点0的直线/与点C的轨迹交于/,8两点，且|。4+。用=|04-。用.（1）求点C的轨迹方程;（2）求三角形0 4 8 面积的最小值.【解答】解：（1）设 C （x,y）,圆 C 的半径 r=|P C|=（x-3）2+y2,圆 C到直线x=1 的距
31、离d=x -1|,由于圆C被直线X=1 截得弦长为4/，所以d 2+（竽）2=2,即|%-1|2+（4）2=（%-3）2+）/2,化简得，/2=4 工，所以点C的轨迹方程为”=4 x.（2）3 0A+0B=0A-O BO A-b=0 （或 0/_ L 0 8）,1解法一：设力（x i,y）,8（x 2,二）直线OA的方程为丁=则直线OB的方程为y =谍,由 沅%解 得 W即小。所以|。川=V i +f c2|%i -o|=,同理可得|0 B|=4VFT P,三角形O A B面积S=|。4|。阴=|x 4埠H X 4 V/C4+k2=引用版）,下面提供两种求最小值的思路：思 路 1：利用基本不等
32、式S =8（|k|+自）2 1 6，*g=16,（或 S =8（|k|+而）21 6 隔=1 6,当且仅当庐=1 即=1 时，S”“=1 6,所以三角形O A B面积的最小值为1 6.思路2：用导数不妨设*0,则 =8”产2）=8（9 +分,及=8（1 表）,当 0 V/V 1 时，S 1 时，S 0；所以S在（0,1）上单调递减，在（1,+8）上单调递增，所以当左=1 时，所以三角形O 4 B面积的最小值为1 6.第2 8页 共7 2页解法二：设 4(xi，y),B(如/)直 线 4 8 的方程为掰y=x+，由I 2 A 消去 x 得丁-4/町-4拉=0,=16加 2-16 0,(.y=4%
33、U P /-0,y+y2=4m9 丁 12=4，-t y那由。4 O B=0,即 xix2tPU 2=0,即 1(+、1为=，由于yiyzW O,所以yiy2=-16,所以4拉=-1 6,解得=-4,所以直线4 8 方程为加y=x-4 恒过定点(4,0),三角形 048 面积 S=*4 x|yi-yzl=27(71+y2)2-4yjy2=2V167n2+16,当 M J=0 时，Smin=16,所以三角形OAB面积的最小值为16./v24.已知椭圆C：+J=1 (a b 0)左焦点为R (-1,0),经过点a的直线/与圆a b/2：(x-1)2+产=8 相交于产，。两点，M 是线段P尸 2与
34、C 的公共点，且|M/i|=|A/P|.(1)求椭圆C 的方程.(2)/与 C 的交点为4B,且/恰为线段尸。的中点，求N8F2的面积.【解答】解：(1)由圆尸2：(x-1)2+9=8 可得 乃|=2夜，因为=所以 2a=尸 1 +MF2=MP+MFi=PF2=2近，即 a=又 c=l,故 6=1,好 )所以椭圆C 的方程为1 +y?=1；(2)设/(xi,_yi),B(X2，/)，为线段尸。的中点，则/尸i_L/尸2,2AF1-AF2=%i2+yi2 1=0,又+7 i2=1，解得xi=0,yi=l,若巾=1,则 4(0,1),直线/的方程为y=x+l,=-q 4 11，即 5(一.-Ij)
35、,11 4 4所以儿5尸 2的面积s=引产/2 I,1 月 一yzl=2 2 X3=可,仅=%+1由2 2小 解得 丁+丫 2=1久 2丫 2若 刈=-1,同理可求得N8F2的面积S=*第 2 9 页 共 7 2 页4综上所述，A 5出 的面积为了5.已知椭圆C：1+春=l（a b 0）左、右焦点分别为Fi，尸 2，且满足离心率e =*|%尸21 =4 K，过原点。且不与坐标轴垂直的直线/交椭圆C 于，N 两点.（1）求椭圆C 的方程；（2）设点/（2,1）,求 面 积 的 最 大 值.【解答】解：（1）由题意可知，c=2V 3,根据6=2=字 得。=4,b=2,x2 y2椭圆C 的方程为7
36、7 +T=L1 6 4（2）设 直 线/的 方 程 为 丁=（Z W O）,y=kx曲工2+y 2 _1,(1 6+T-1得Xi=7=p “2=-MN=7(X 1 -x2y +(y i -y2y =V l +f c2k i -x2=8/l+f c 2，1+4/2点”到 直 线/的 距 离 八 符,所以SM M NX币 港 X后市g应一 4#1+44k攵 2当 4 0 时，SMN4；当 0 时，SAA M N=4 l+-TJ-b 0）上一个动点，且点A/到两焦点的距离之和为4,V 3离心率为三，且点加 与点N 关于原点O 对称.（I）求椭圆的方程；（I I）过点”作椭圆的切线/与圆C：f+/=4
37、 相交于48两点，当 N/8 的面积最大时，求直线/的方程.【解答】解：（I ）由椭圆的定义可得2a=4,即。=2,第3 0页 共7 2页又 e=亨，可得 c=百，b=V a2-c2=1,x2则椭圆的方程为7+f=i；(H)设 (m,)，由题意可得N (-加，-),/x对椭圆方程亍+f=1 两边对x求导，可得，+2抄 =0,可得过M的切线的斜率为-券，过 M 的切线的方程为 -=一痂(X -7W),又因为加2+4 2=4,化为加x+4 y=4,则 N到切线的距离为公|m2+4 n2+4|_ 8V m2+1 6 n2 V m2+1 6 n2,圆。的圆心 为(0,0),半径为2,可得圆心到切线的距
38、离为7=V m2+1 6 n2则 网=2 斤箫1，,e r 1 6-8 1 6 8 7 3 ,8V 3 “故S：=网4 -再畸 砧嬴=万而 百 同=萨 而 W谓需=4,当且仅当3 同=高，即=j,此时?=学，上式取得等号，则 当 的 面 积 最 大 时;直线1的方程为B x+8 瓜-1 2=0,或Wx-8俑-1 2=0,或 后+8V)1 2=0,或V 5 x-8倔 升 1 2=0./y27.己知椭圆君+金=l(a b 0)的左、右焦点分别为Q,F i,且 尸 (-1,0),椭圆经点(1,办(1)求椭圆的方程;(2)直线/过椭圆右顶点8,交椭圆于另一点4 点 G 在直线/上，且N G O 8=N
39、 G 8 O.若GFx LAFi，求直线/的斜率.Q【解答】解：(1)由题意可得c=l,Fi (-1,0),Fi(1,0),又椭圆经点(1,*),由椭圆的定义可得2a=J(1 4-I)2+1 =f +1 即。=2，,_ /2又b=V a2-c2=V 4 -1 =V 3,则椭圆的方程为彳+=1；(2)B(2,0),由题意可得直线/的斜率存在，设为七 方 程 设 为 G-2),第3 1页 共7 2页/y2联立椭圆方程一+=1 可 得（3+4 乒）x2-1 6 炉工+16后-1 2-0,4 3判别式4=2 5 6 必-4 （3+4 标）（1 6 3-1 2）=1 4 4 0,则 2%=-即切=4 （
40、必-2）=-p,由点G 在直线/上，且NG O8=NG 3O,可得|0G|=|3 G|,即 G 在 0 8 的垂直平分线上，可得G （1,-k）,一8 k2-6 1 2又 F l（-1，0）,F2（1,0）,A（2,-3），GF-LAF2f12可得 k GFk AF2=T，即=T，3+4k2r 3 V 1 0化 为 1 0 3=9,即k=-.1 0y2 x2 V 3 V 38.已知椭圆 C i：4-p-=1 （a b 。）,P （1,1）,P i（0,2）,尸 3（-1）,PA（-1）四点中恰有三点在椭圆C i 上，抛物线Q：/=2*（p 0）焦点到准线的距离哧(I)求椭圆。、抛物线C 2的方
41、程;(II)过椭圆。右顶点。的直线/与抛物线C 2交于点/、B,射线。4、。8 分别交椭圆C i 于点”、N.(0 证明：江4 后为定值；S 1(z 7)求力。8、用ON的面积分别为S i、S 2，求厂的最小值.$2【解答】解：(1)由。关于X轴对称，P 3,04 关于X轴对称，,3 1所以。3，尸 4 在 C 1 上，所以+113 1若 0 1 在。上，则以记+/=1，所以P 1 不 在 上，尸 2在。上，y2所以 Q=2,6=1,BP C i：+x2=l,4又由p=4，可得Q：f=x；(I I )(z)证明：设直线/：x=my+,代入/=%中，可得炉-?歹-1=0,所以 1 到2=，y y
42、 i-1，O A*O B=x x 2+y y 2=y 2y 22+y y i=i -1=0；第3 2页 共7 2页（）设直线C M：x=my（/771 O）,将直线0 4代 入。中,可得y2(4WI2+1)=4,即”/=同理可得冲=告 止=,心+叫 22J1+4 ml2 1 =细川 1。阴=1 04 1 0B=ly i l,|y2|=|九加S 2 一 0M-0N 0M|0/V|-yM yN yMyNJm12+4-41mli-44啊2+春+17 2 2 m+1 7=1当且仅当M=工，即 m=i时取得等号.?n1z/y2-v/39.已知椭圆C：+忘=1 （。6 0）的离心率为77，F i,乃 是椭
43、圆的左、右焦点，短aL bL 2轴长为2.（1）求椭圆C的方程；（2）过右焦点尸2的直线/与椭圆C相交于/，8 两点，若 04 8的面积为竽，求直线/的方程.Q /3【解答】解：（1）由题意可得一=77,26=2,a2=b2+c2fa 2解 得 次=4,i2=l,所以椭圆C的方程为7 +/=1 ；（2）由（1）可得右焦点?2（V 3,0）,由题意可得直线/的斜率不为0,设直线/的方程为x=w y+%,A（x i，y i）,B（X 2,j2）Ix =m y+V 3x2,，所 以（4+/）/+2 gmy-i=o,彳+产=1r,hi,2y/3 m-1则“+=一 而 滔，2=京 冠,所以 SO AB=
44、3 0 尸 2|3 -|=1 遮 力（力+丫2）2 -4 丫/2 =亭-A察2=平，所以 2 m4-9 nr+70,解得 m2=彳或 m2 1 1即 m-+日也或 m =1,所以直线/的方程为x=半 什 百 或 x=y+V 3,z 即直线/的方程为 2x+V 14 y -2 V 3 =0,或 2x-V 14 v -2 V 3 =0,第 3 3 页 共 7 2 页或 x+y V 3 =0,或 x -y V 3 =0.10.在平面直角坐标系X 0 y 中，已知椭圆C：芸+餐=l(a b 0)的右焦点为F (1,0),左顶点为4 右准线的方程为x=4.(1)求椭圆C 的方程;(2)若直线机过尸与椭圆
45、C 交于M,N (异于点4),直线Z M,4N分别与直线/交于FDP,Q,直线FQ与直线?垂直，交直线/于。，求证：同 为 定值.公【解答】解：(1)由题意知：c=l,=4,b2=a2-c2,解得：。2=4,/=3,cX2 V2所以椭圆的方程为：丁+=1;4 3(2)由(1)知：A(-2,0),由题意当直线的斜率不存在时，直线相：x=l,代入椭圆整理得：炉=3 解得3 2所以 M(1,-),N(1,-4),由右准线/的方程：x=4,所以由题意知：D(4,0),Q(4,-3),P(4,3),从而FD_,FD 1=3,尸 0=6,所 以 而=了当直线机的斜率存在时.，设为我,则直线?的方程为:y=
46、M x-1),ED=3=到 行 纥设 M(x i,y),N(%2,y 2)P,。的纵坐标，y p,y Q,则 直 线 的 方 程：尸耳(x+2),故冲=骷，同理可得Ji y V L X l r 十乙又y i=k（X I-1）,y z=k（工 2 -1）,7 1 丫 2%i-%2P Q=y p-y Q=6|-一 -|=18|A|-|-二 f、，l，%l+2 犯+2%I%2+2（%1+2）+4y k（x 1）由 x2 y2，整理得：（3+4 F）f-8&+4 庐-12=0,则 x i+x 2=+T=18 k2 4k212豆 很 皿 2=下 丽，所以尸 0=1 O I.12 Jl+f c 2 ,_8
47、|计 与 布 所 以 竺 一|竺 与+3+4|一固，加以PQ 一1 3+4 2 3+4 k 2 12FD 1综上所述：而为定值了X V11.在平面直角坐标系X0 中，椭圆E：/+3=l(a b 0)的四个顶点围成的四边形面积为2vL 圆。：/+f =1经过椭圆E的短轴端点.(I )求椭圆的方程;第3 4页 共7 2页(I D过椭圆E的右焦点作互相垂直的两条直线分别与椭圆E相交于4C 和 8,。四点，求四边形4 9 CZ)面积的最小值.(2ab=2 V 2 (a=V 2【解答】解：(I )由题意可知：卜=1，解 得 b=1，(小=f a2 4-C2(C=1x2二椭圆E的方程为：y+/=1;(II
48、)易知椭圆E的右焦点坐标为(1,0),当 直 线 4C 的斜率不存在或为0 时，S四 边 形.CQ=X|/C|x BD=|x2ax-=2 b2 =2,当直线zc的斜率存在时，不妨设为&r o),则直线8。的斜率为一与直线ZC 的方程为：y=k(x -1),y =k(x 1)联立方程2 ，消去y得：(2 3+1)$-4 后 x+2 (F -1)=0,9+y =1右焦点在椭圆E内，故此方程的(),设 (x i,y O,C(x 2,y 2)则有X l +肛=磊，/尤 2 =等 号V l +f c?-|X 1-X2|=2翦;1),将无替换为一 先 得|8 联2啜1:S 四边形/BCQ=2 x AC x
49、 BD=令 f=l+F,贝h l,4(/+i)2(2k2+l)(k2+2)S四 边 形 力 B CQ=4 t 2在 6厂 Y T)2+542竽，当 f=2,即左=1 时，等号成立,：2 竽,.四边形/8C A的面积的最小值为费.1 2.已知抛物线C：/=4 x.(1)若 x轴上的点N关于直线y=x-1 的对称点在C 上，求/点的坐标;(2)设过C 的焦点尸的直线/与C 交于尸，。两点，尸。的延长线与y轴 交 于。为坐标原点，若 PO。的面积等于 M。面积的3倍，求直线/的方程.第 35 页 共 72页【解答】解：(I)设点4 (，0)关于直线v=x-1 的对称点为(,/),孚，2zlO)f Q
50、(xi,y),P(必 y i O 到直线/的距离为 d.则SAMOQ=MQ-d,SXOPQ=P Q d.由&P O 2=3%w o 0,得|P0|=3|2 M，即a2 =36，得 X2=4xi.由已知直线/的斜率存在，且不为0,设/：y k(x-1),代 入/=以，得庐x2-(2 乒+4)x+F=0.x1+犯=2 +制 2=1.由得X 2=2代入得庐=8.：.k=+22：.直线/的方程为2网 一 y -2 e=0 或2岳+y-2 V 2 =0.1 3.已知双曲线E的两个焦点为F i (-2,0),Fi(2,0),并且经过点尸(2,3).(1)求双曲线 的方程：(2)过点朋(),1)的直线/与双