《高中数学竞赛真题12复数（学生版+解析版50题）.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学竞赛真题12复数（学生版+解析版50题）.pdf（33页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、竞赛专题1 2复数（50题竞赛真题强化训练）一、填空题I.（2021全国高三竞赛）已知z为复数，且关于x的方程4/一 8+4i+3=0有实数根，则|z|的城小值为2.（2018辽:宇高三竞赛）设“、b均为实数，复数4=6。-1 +（6-班与4=2-6“+4的模长相等，口2月为纯虚数，贝i j b=.3.（2020江苏高三竞赛）已知复数:满足上|=1,则:的 最 大 值 为4.（2018山东高三竞赛）若复数二满足|z 7|+|z-3-2 i|=2夜，则目的最小值为5.（2019甘肃高三竞赛）在复平面内，复数Z 1 f，H对 应 的 点 分 别 为 若同=国=函.四=0,k +zzj=2,则%|的
2、 取 值 范 围 是.6.（2018.福建高三竞赛）设发数二满足|z-i|=2,则|z-司 的 最 大 值 为.3为虚数单位，云为复数2的共枕复数）7.（2018全国高三竞赛）己知定义在复数集上的函数/（2）=（4+/）/+火+40q为复数）.若/与/均为实数，则|+M的最小值为.8.（2021全国高三竞赛）设复平面上单位圆内接正20边形的20个顶点所对应的复数侬 次 为 卬 4,4,则复数2产,#*,所对应的不同的点的个数是9.（2021全国高三竞赛）设尸（z）=!,其中i为虚数单位，zwC.设iz-l%=；+i.工“川=（2”）,e N，则2必0的实部为-10.（2021全国高三竞赛）设复
3、数A-、4满足闵=忆|=%|=2,则I I.（2 0 2 1 浙江高三竞赛）复数4，z?满 足 =同=3,卜-马|=36,则1 2.（2 0 2 1 浙江高二竞赛）设复数二=x+.vi 的实虚部J F所形成的点（X.V）在椭圆+=上.若 三 U 为实数，则复数z=_ _ _ _ _ _.9 1 6 z-i1 3.（2 0 2 1 全国高三竞赛）已知z C,z +=l,则|z|的取值范围为.1 4.（2 0 2 1 全国高三竞赛）已知复数2=在+五 i （i 虚数单位）,则2 2 a2+ab+b2=1,5 （2 0 2 1全国高三竞赛）已知复数、/人c 满足+c +c、2 =_ 1,则,心+庆|
4、z,满足条件z）z,+z,zt=I,z,z4+z4z,=-1,2,+z4 R ,则（Z|-z3）（z,+z4）=.1 7.（2 0 2 1 全国高三竞赛）若复数二满足4 2 3-3 1 2-刘9-g-4=0,则（三 生）+E 3：的取值范围为1 8.（2 0 2 1 全国高三竞赛）若非零复数二），满 足/+“+./=0,则（工 产，+（上 产,的值是_ _ _ _ _ _ _ _ _A+y x+y791 9.（2 0 2 0全国高三竞赛）设 Z 为复数.若为 实 数（，为虚数单位），则l z +3 1 的z-t最小值为.2 0.（2 0 1 9 浙江高三竞赛）设 为 复 数，凡满足k|=5,3
5、=2 +i（其中，为虚数单位），则B-Z z l 取值为2 1.（2 0 1 9 贵州高三竞赛）已知方程f-丁+5 =（）的五个根分别为4 J,4 飞,XA）=A-+1,则 口/（3）=2 2.（2 0 1 9 四川高三竞赛）满足3+6）6=。一阳其中“,力 K,尸=-1）的 有 序 数 组b）的 组 数 是.2 3.（2 0 1 9 福建高三竞赛）已知复数z,Z 1，4（z 产 4）满足Z：=Z；=-2-24,且|2-2I|=|2-22|=4,贝I|Z=.24.（2019山东高三竞赛）已知虚数z满足w=z+1为实数，且-l w 2,“=了，Z1+Z那么卜。-“斗的最小值是25.（2019重庆
6、高三竞赛）已知复数与吃小使得至为纯虚数，闻=|22k l.z2归+4 +Z3|=1,则|z j的搔小值是26.（2019.上海高三竞赛）若复数z满足|z-7 J|+|z+班|=4,则|z+的最大值为27.（2019江苏高三竞赛）在复平面中，复数3 八2-2/1+5，分别对应点A、B、C,则 人8 c的面积是28.（2018河南高三竞赛）已知i为虚数单位，则在（G +i 的展开式中，所有奇数项的和是.29.（2018全国高三竞赛）设复数马=sina+2 i，z,=I+cosj3a.小a-1 =-b,6 _、出 +r r解得。=二=一 或 a=6=-故 a+匕=士 1.6 -b=-2.2 2故 答
7、 案 为*13 c.3.（2020江苏高三竞赛）已知复数z满 足 忖=1,则一 三 亮 的最大值为z-1 -v3 i【答 案】3【解 析】【详 解】解 析：由题意可得Z2-2Z+4(厅+3(z-l)2-3 i2,IT.-i 7T-；一百-；一 百 一-z-I Z 3 1Z-I-J 3】z-l-4 3 i则|z-l+/3i|=|z-（l-表示复平面上点Z到（16）的距离.如图所示，c（i.-/3）,由此可得i q z q 3.故的 最 大 值 为3.故答案为：3.（2018山东高三竞赛）若 复 数z满 足|z-l|+|z-3-2 i|=2 0 ,则卜|的最小值为【答案】1【解 析】【详解】设人（
8、1Q）,8（3.2）,|/叫=2 6,则 点z的 轨 迹为 线段A 8.因此W L为 膜 点。到A的距离，即4n=|。4|=1 .5.（2019.甘肃高三竞赛）在 复 平 面 内,复 数4 4小 对 应 的 点 分 别 为ZZZ j.若|2|=|z2|=72.OZ；-OZ,=0,|2|+z:-z,|=2,则 的 取 值 范 围 是【答 案】0,4【解 析】【详解】因为上|=|zj=0,O Z OZ?=().所以 k+z j=+=2 因为k+z；!-z j=2,所以Z T Z i+Z j-z j Nh i+z J T z J I X I z.J-Z，从而一 2 W|z J-2 4 2,()4 总
9、区4.6.(20 1 8 福建高三竞赛)设复数二满足|z-i|=2,则|z-W|的最大值为.(i 为虚数单位，5为复数z 的共枕复数)【答案】6【解析】【详解】设2=*+3(%了对，则三=x-y i,z-I =(.v+.)i)-(A-3i)=2.v i,|z-z|=2|y|,由|z-i|=2,知|(x+y i)-i|=2,.d+(.y-i y=4.所以(.y-炉“，y 3.所以|z-可=2 卜区6.当且仅当=3,即 z =3i 时，等号成立.故|z-司的最大值为6.7.(20 1 8 全圜高三竞赛)已知定义在复数集上的函数/(z)=(4+)2 +/*+q (p、q为发数).若/(1)与/均为实
10、数，则|/)|+卜/|的最小值为【答案】y/2【解析】【详解】设=“+，q=c+di(a、b、c、d e R).由/(l)=(4+“+c)+(l+d)i,/(/)=(-4_+J c +d 故当c =()(即“=1,h=-)时，用+卜/|取最小值&-8.(20 21.全国高三竞赛)设复平面上单位圆内接正20 边形的20 个顶点所时应的复数依 次 为 不 ,则复数z：叫,z7所对应的不同的点的个数是【答案】4【解析】【详 解】因 为z,w=（z5广，故 考 虑Z*.看的不同个数.由z广 =l,则O=z-l=（z；T（z：+l）（z；-i）侈+i）,可 知Z；只 有4个 取 值,而*=（z：）的取值
11、不会增加，故 应 为4个不同的点的个数.故答案为：4.J 7 +19.（20 21全国高三竞赛）设尸（2）=；，其 中i为虚数单位，z e C.设12-I%=g+i,z“*尸户（z“）.e N ,则 的实部为.【答 案】最【解 析】【详解】%）=芸=3,故/（%）=迁-2：T=i U，12-1 2 4-1-J-十,I:Z（1 4-i/）-1 Z-1z +i.N+1故 F（尸（F（Z）=-1=Z,i-+iz-lJ +f -i i故 为”=F（Z2nl 9）=F（2j =去-=-,从而实部为 正.Li+i 6，+l 3 73故答案为：1 0.（20 21全国高三竞骞）设复数哥、立、弓满足匕|=同=
12、匕|=2,则Z/?+Z Q；+Z R _Z（+Z,+z【答 案】2【解 析】【详解】故答案为：2.II.（2021 浙江高三竞赛）复数4，4 满足匕|=忆|=3,卜-马|=3 6,则卜寸+同。【答案】330【解析】【分析】【详解】如图所示，设不力在复平面内对应的点分别为Z Z-由已知得|。蜀=|。圉=3.|4-Z,|=3百.由余弦定理得向量区，区所成的角 为 笄 不妨设 4=3(cos 0+z s i n,z2=3(cs(+与)+isin=3(cos(-0)+(sin(-0),z,=3cos(一。一与)+isin(-9 整)3引+中引）.乱=9（c。弓+si弓同“卜（-驾+呵-豹|,（引竽+丽
13、g（4 寸 +国 J”=3%x 2 x cos 拳=3隈 2 xcos 与=3?（再0+（薪）1=3”故答案为:320.12.（2021浙江高二竞赛）设复数二=x+.yi的实虚部X,F 所形成的点（、,.丫）在椭圆在 上 若 十 为 实 数，则复数二=3而-4-1.4【答 案】主 叵+i或一4【解 析】【分析】【详解】由 二：,T-4 q,所 以.y=L 贝!JA,=M ,Z-I.v+（y-）i 4所以 z=M l+i或z=-3叵+i.4 4故答案为：2=5+或2=-叵+1.4 413.（2021全国高三竞赛）已 知Z GC,Z+!=1,则因的取值范围为【答 案】2 Z 1|Z|12 1 1
14、2【解 析】【分 析】【详解】设2=（厂1）,则:八.八 /sin0 cos。=rcost/+/rsin6/-F-=（+，）cs20+（?,一!）sin2 0=r2+-T+2COS20.故 产+4 =1 -2 c o s 2 3,解 得 士1或4/4 士电,即由二垦1.厂2 2 2 2故答案为：号，铝.14.（2021全国高三竞赛）已知爱数z=+无i C虚数单位），则2 2【答案】36【解 析】【分析】【详解】由已知I z 1=1、上=1 z=1 w N ,故4 =再结合马,及知所求式子为F+/1,则|4-3 i=|4z +3 i|=|4-3 i z F -|4z +3 i F (),而7(l
15、-|z)0矛盾.同理1水1，亦不可能，所 以 忖=1.iStz=cos a+i sin a,3+4i=5(cos/y+isin/?),则：，3-4i1-3+4i-I-_-l+(3+4i)z=4-(3+4 i)z=51cos(+&)+isin(/7+a)+5cos(/7+c)+isin(+a)=10cos(/7+c),所求取值范围是-10,10.故答案为；-IQ10.18.(2021全国高三竞赛)若非零复数x j 涉足/+4，+)；=0，则(-_产$+(上 产 的 值 是 _ _ _ _ _ _ _.,v+y,v+y【答案】I【解析】【分析】【详解】(-)2+1 =0 f4 =/5 I z +3
16、 1=(l3+22)(+3)2+/r)|(a+3)+2/?|=5 ,即|z +3 巨4.当。=-24=2时，|z +3|取到最小值布.故答案为：5【点睹】关键点点睛:解答本题的关键是紧扣已知条件，i t算出满足条件的数量关系，继而可以求出结果.2 0.(2 0 1 9 浙江高三竞赛)设不均为发数，且满足=5,五=2+/(其中，为虚数单位)，则B-z?l取值为.【答案】V i o【解析】【详解】由 k|=5,i殳 4=5(c os a +i s i na),由二 =2 +i 得 z,=(2-i)(c os a +i s i na).Z7 -于是，-z,|H (3+/)(c os a 4-i s
17、i na)|=-J lO.故答案为：V i o.2 1.(2 0 1 9贵州高三竞赛)己知方程.v5-F+5 =0 的五个根分别为.Uy,工4,1 5，/x)=r+l,则!/(.)=【答案】3 7【解析】【详解】设 8&)=X -V+5 ,则 g(.i)=PK.v-.vJ .A-I又41)=+1=(工一根工旬，所以r i J E)=汴(&-i).n(&+1)=*(i)&(T )I 7=(i5-i-+5)(-i)5-(-i)3+5=(6+i)(6-i)=3 7.故答案为：3 7.2 2.(2 0 1 9.四川.高三竞赛)满足3+炉=”一阳其中a,尸=-1)的有序数组(小)的 组 数 是.【答案】
18、8【解析】【详解】令 2=+加.则/=三，从而|2 =R|=|Z|.于是|z|=0 或者|z|=1.当|z|=0 时，z=0,即”=0,显然(0,0)符合条件:当|z|=l 时，由 Z“=三知 Z，=Z-f=|z F=l,注意到二7=1 有 7个复数解.即有7个有序实数对(a份符合条件.练上可知,符合条件的有序实数对(小加的对数是8.故答案为：8.2 3.(2 0 1 9.福建高三竞赛)已知父数z,z.Z 2(z 产方)满足z；=z；=2-2,且|z-z j=|z -Z；j|=4,贝 1 1=.【答案】2 6【解析】【详解】先求更数-2-2 也，的平方根.设(x+.vi)2 =-2-2 3/(
19、x,y e R).则(d-)+2)彳=-2-2-i.由z r =z；=-2-23，Z 尸 人，知4,分为发数-2 -2 的两个平方根.由对称性，不妨设Z 1 =l-6 i,z2=-l+y/3i.于是，归一引=4,卜-z J =|z-Z|卜卜-2 4=4,复数z.z”:对应的点Z W Z 构成边长为 4 的正三角形.又复数不对应的点乙2 关于原点。对称，所以0Z为AZ Z/Z?的高，故|z|=O2|=2 6.故答案为：2 G.1 1-2 4.(2 0 1 9 川|东高三竞赛)已知虚数z 满足u，=z +-为实数，fl.-l vv 2,=.Z 1+Z那么忖-1的最小值是.【答案】I【解析】【详解】
20、设 z=.v+y/(.v.y E/?),易知工*+y2=I.v22则 w-ir=2 x +:j-=2(.v+l)+-3.J ,(1 尸 A+1当A-0时等号成立.故答案为：1.2 5.(2 0 1 9 重庆高三竞赛)已知复数马金小使得一为纯虚数，匕|=同=1,k+马+z,|=1 ,则的最小值是.【答案】7 2-1【解析】【详解】设 Z =Z I+Z 2 +Z,则|z|=l,由已知五+(至=0.所以 Z,2,+2 齐|=0.所以忖+订=(Z|+2,)(2 +Z,)=2,2(+Z2：2+ZtZ2+ZtZ2=2.所以k+Z=0.所以昌|=归+K-2|.卜|+2 卜|2|=0 _|.、万 一 2当4=
21、|,z,=i,z,=七 一(l+i)时，最小值能取到.-3 2故答案为：J I-I.2 6.(2 0 1 9 上海高三竞赛)若复数z 满足|Z-Q|+|Z+6|=4,则|z +，|的最大值为【答案】更3【解析】【详解】由乂数的几何意义知，二任复平面上对应的曲线是椭画：+y2=l.4设 z =2 co s 8+isin 、(),，0 +-+-=X2X2 X5.v5【答案】850【解析】【详解】设 e=cos 本+zsin 卡.则 30=-1 .由于方程+(131-1)=0 的 10个复根分别为 名.小。，不妨设其为、公、与、-1&、工、I、人 1、.“3、=、.由(1 3K-1)=-.v，知 1
22、3项 一 1 =22=|,2,5).于是，VI1 5故=+-L +=f(l3-*T)(l3-)占占X2X2 0“仁 八 =1 7 0-13卜 T +屋 1)=850-13 (4-21+-22)=850.I LE31.(2019全国高三竞赛若“为大于1 的正整数,则2兀 44 6乃 2 乃cos +cos +cos +cos-=n n n n【答案】0【解析】【详解】32.(2018全国高三竞赛)已知复数马,无、4 满 足 闻 41,卜 2仁 1，%-5+z,)|土-z,|.则的最大值是【答案】0【解析】【详 解】注 意 到|2 4|一忖十4|2 z3-(zt+z2)|z1-z2|.则2闾4匕+
23、z 4+区-44 g+z 4 y+(B-z J)，=4(常+同2)2夜.当 Z2=i-Z(K J =l),Z3=4+Z2 时，|z j 取城大值近.33.(2 0 1 9全国高三竞赛)在复平面上，复 数 与 对 应 的 点 在 联 结1和i两点的线段上运 动，复数入对应的点在以原点为留心、1为 半 径 的 圆 上 运 动.则 复 数4+4对应的点所 在 区 域 的 血 积 为.【答 案】2&+“【解 析】【详解】设 Z1=r+i(lT)()r(A +5 )(b-5 )=2 4 .仿+5 =12.彷+5 =6,又因为+5后-5为奇偶性相同的倍数，所 以，c；城，,I h-5a=2 b-5a=4.
24、解得 =1,=7.故 a +=8.35.(2 0 1 9全 国 高 三 竞 赛)化 简a rcta n6-L a rcsi i =.2 3-【答 案】74【解 析】【详 解】令 Z =l +6i，4=一百+2 则有a r gz1+a r gz2=|a r g(z；z2)=；a r g 4 +2 6 i)(6+2 i)=ya r g(-l 8 i)=y .20从而，I 7 1 a i cs i n 3 兀，故 a r cl a n-a r cs i n=.a i gi +-a r gz=a r ct a n 75+2=2 3 42 2 436.(2 0 1 9全国海三竞赛)复数列卬卬满足 闻=1
25、,z,“=三.若 2 刖=1 ,则 z0 可以有 种取值.【答案】2M【解析】【详解】显然，对任意的非负整数均有上|=1.设4 =产（仇6 0,2 兀）.则e%=n a,.L2q +/+y =2+yj =-=2,0+yj .由力”=1,得%”=2 4 万伏 w Z),即 2(+)=2 Xr +.由 4 7 0.2 万),得 2 巳 2 A”+9|z-zl-（z-z:）|=|zl-z,|=2 +2/3 ,其等”成立的条件是 g(z-z J =arg(z;-z).即辰。S*=瓜江。+2+括化简得 sinO-cosO=2,即 幽-6，。)=1,6=150。.3sin0-j3 存冶+3因此卜-4 1+
26、|z-2,|的城小值是2+2币.3 8.(2021全国高三竞赛)若e 为自然对数的底，则 满 足 =三，口目i(x y R)首先，容易直接验证z xO.1,-1.由 网 水 +知|三 1M e：|=eZ+1若K0,则|三二|,矛盾.Z+I7 一 1若.10,则|3z +1fn.lz-H2-|z 4-l|2=(z-l)(z-l)-(z+l)(z+l)=：-2(z+z)=4.v0.W1!I -1 0.卜 求满足e、=E的正实数 的个数.1 *4*vi由以上讨论，知/与丁 0 在复平而中所对应的点都在单位圆上，故Y应使两者的辐用主值相等.当 V 从 0 连续递增变动到+8 时，-1 +.y i的辐知
27、主值从n连续递减变到(1)-,1+.)1的辐用主值从0 连续递增变到(J故寺 口 的辐加主值从“连续递减变到0,2 I +vi另一方面，对丁 N.考察e”在丫2”乃,(2 +2);?0时的变化情况.当.v从2mr连续递增变动到(2+时，d 的辐加主值从0 连续递增变到万：当.v从(2”+1)万)连续递增变动到(2 +2)同一时，e”的耨角主值从二连续递增变到(2 1)二由以上分析，知对每个e M e ；=号 在 2 万.(2，+1)句 上 恰有一个解，在(2 +1)兀.(2+2)万)上无解.那么，注意到()y1 0 0，凡3 3 1 0 0 3 2”.故 乂/=三 得 在(0.1 0 0)上
28、有 1 6个解，故答案为3 2.故答案为：3 2.3 9.(2 0 1 9 上海高三竞赛)设。是实数，关 于 的 方 程(z 2-2 z+5)(z 2+2“z+l)=()有 4个互不相等的根，它们在复平面上对应的4个点共圆，则实数”的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _.【答案】【解析】【详解】由 z-=0,得Z 1=l +2 i.Z z =l-2 i.因为z2+2 r/2+1=0 有两个不同的根，所以=4(.2 1)刈,故 4 科 L若=4(加一|)0,即一 1 “0,即 此 1 时，4=_“4 3 工是实根,在复平面上对应的点在实轴上，仅当Z 八 Z 2 对应的点在以、4对应的点为直径
29、的画周上时，四点共圆，此圆方程整理得 f-k+z J x+Z R+)?=.,K|l .r+2 r a+l+vJ=0,将点(I,2)代入得=-3.综上所述，满足条件的实数。的取值范围是-1 3 1 UJ-3|.故答窠为：划一1 0=64 cos2 (cos +i sin)4 cos2 cos _ sin。所以“=，0，,=二，。.4 得tan，=-.4 cos-4 cosr2 20.0 02 sin-co s-n由得y=-/=-闻】-.4ces2 -2所以tan?=-2 V ,代入得一上=丁丹二.2 4 1一 4广所以轨迹方程为；-=-A)-4十42.(2021 全国高三竞赛)已知z w C,存
30、在唯一的“w C.使得z+(2-)z2+(I-3“)z+/-a =(),求 1 +z?+/+.+.【答案】0【解析】【分析】【详解】由 z?+(2-)z2+(|-3fOz+2-=0,得/-“(z)+3z+1)+z，+2/+z=0.得，-“(z。+3z+l)+z卜 +2z+l)=0.所以(“-Z)“-(Z2+2Z+I)=O.由 a 的值唯一，故 Z=Z2+2Z+W Z2+Z+|=,所以(Z-I)(/+Z+I)=0,即=0.43.（2021全国高三竞赛）求证：存在非零复数c 与实数，使得对于一切模氏为I 的复数z?J-I-一-（2 2 1 lll+z+z|ll+z+z【答案】证明见解析【解 析】【
31、分 析】【详解】对于满足上1 =1 的复数 Z.&z=co s/+/sin/(0/2).则不难计算得一J=C1 +z +z-2co s/+l设工=Rc-1 +Z+Z*COS/2co sf+1Ini-1 +z +z-sinr2co s/+1则 co s/=-,sin/=l-2x,y =由co s?/+*iif 1 =1,得（；）+（j；=1，即-3 y2=1 即:一、在复平面中对应的点的轨迹方程.可以看到，此轨迹是双曲线，其焦点为（0,0）.*。由 双 曲 线 的 定 义,知 取 c=针4 4=：2满足题意.44.（2021 全国高三竞赛）若 关 于 z 的整系数方程zJ+AZ?+/+r=0 的
32、三个复数根在复平面内恰好成为一个等腰直角三角形的三个顶点，求这个等腰直角三角形的面积的最小值.【答 案】1【解 析】【分 析】【详解】设该等腰直角三加形斜边中点对应的复数为二.直向顶点对应的复数为4+z,(z,w 0).则另外两个顶点对应的复数分别为4+U和 A-二 J,依题意有:z5+pz2+/z +r=(z -z(-z,)(z-Zj-z,/)(z-z,+z u),化简得3 X 1+z.=-p,3 z：+2z,z,+z；=q,z,+z：z?+Z|Z；+z；=-r,所以 2z；=3 q-/eZ.4Z|Z；+8z；=/x/-9 reZ.进 而 4+2 2 6。，与 3 2|+w =-e Z 联立
33、就有z w 0.再 由 2.匕=3q-/e Z 知 z wZ.于 是 所 以 等 腰 宜 角.角 形 的 面 积 最 小 为 I.另方面，z +,v3+2+1=0 的三个复数根恰是面积为I的等腰直.用三方形的顶点.45.(2021 全 国 高 三 竞 赛)已 知 实 数 若 方 程 由+3 ad+2a+l=O 的三个复数根在复平而上构成边长为的正三角形，求公的值.【答案】0=阻，b=W啦.【解析】【分析】【详解】设方程三根为补4、z3,正三角形中心对应的复数为Z,则有z=4+：+)=_“进一步可设 Z 1 =-f/4-z.z2=-a+coz,zy-a+co2z.其中”=-_L+且 i是三次单位
34、根.2 2由V ieta定理知:b-z(z2+z,z,+2,2,=3,J-(1+y+l+v+y+v2)flz +(y+ft/+=婷.因此方程是实系数三次方程，必有实根，不妨设cR.由卜+a|=a 且。不坦方程的根知4=-2”.进一步地，z,=-.2,5 2 2r t l ZJZTZ,=-2a=-得 =2 ,2进一步地，b=3d=三范.46.(2019全国高三竞赛)zPN、4 为多项式P(z)=z+az+匕的三个根，满足|z+K J +|z J=2 5 O,且复平面上的三点子冲马怡构成一个直角三角形,求该直角三形的斜边的长度.【答案】5715【解析】【详解】由 I：达定理得4+A+=4 +-：+
35、马=。=以 不 入、三两为顶点的三处形的里心为原点.不妨i 殳 匕-4|=乂卜-z,|=.y 为两条直角边.由于顶点与重心的距离等于该顶点所对应的中线长的:2 ,，4 1、类似地，区=2,2+5=+19 则以+|z J+以=,+|/=|-v2+|/=2 5 0=J.P+f=5 A 4 7.(2 0 1 9 全国两三竞赛)设。、c 是 正 实 数,-2 2 2.证明：a2-Aab+b2)lr-2bc+c2 +(/r -Ahc+c2 c2-Aca+a2)+J(c2-zc (2+/r+c2)+(l-)(/?+bc+ca).【答案】见解析【解析】【详解】注意到，a-Aab+b1+(w-/,).于是，可
36、构造复数马=正/(+/，)+矩/(-/少，_ _ 4 2-2(&+/、.2-2 /、J 2 +2 /、.-2 =-(+c)+-b-c)i,4 =-(c+a)+-(c-6/)/.易得 z1z2+z2z,+2?Z|=(a2+/+/)+(1-/)(他+be+c”).故要证不等式的左边=|马忆|+忆忆l +l z J k b l z-l+l z H+k R N l g +Z B +z R=1/+/+c2)+(I-A)(/?+be+(7/)|(a2+/+/)+(l 7)(a/)+c +c a).4 8.(2 0 2 1全国高三竞赛)设 W，2 0 和叫，吨，卬 2 0 2 0 为两组复数，满足：2 0
37、2(1 2 0 2 0求证：存在数组(印如 4 圮)(其中46 f l ),使得【答案】证明见解析【解析】【分析】【详解】用Z *,，/)表示对所有数组(卬的求和，卜面用数学归纳证明如(4应,、q)下的等式：E跖+”z,f =2。(I)当=1时,式显然成立:当 =2时.|zi+z J+-z J =(zl+z j)(z,+z,)+(2l-z2)(z1-2,)=2(zlzl+z,z,)=2(|zl|:+|z,|2).即式成立.(2)假 设=k时.式成立，则=+1时,我们有Z k lZl+52Z2+-+ffX*lZ*4l|二 X(k2l +2Z2+，-，+ZA+Z4+l|+归|4 +/Z/-2R j
38、)(。分勺)=2 Z(归 仔 +/2+,+/才+*)I。：；)=2(2仿*l)卜噂町，即=A+1时式成立.由(1)(2)可得：Z+J=2 t|z j,eN.(0国.-4)6d2020:。2n 2020.2020.回到原题，由Z k F 闷2，可得2翻 吧 时 2 Mo力4,:二！/|21 ti即 Z 1平】。212+,+20204)201 Z|与 M，l +,*，+2O2OV2O2OI f(。&L/aNj(0 G fa，)2020 2 202(2所以存在数组(与.2-，%m)(其中Gdl)，使 得”，的.即沁 I izl49.（2 0 19全国高三竞赛）设复数数列 5满足：卜|=1,且对任意正
39、整数，均有4z；“+2 z M“+z：=0.证明:对任意正整数?，均有L +z/+2 手.【答案】证明见解析【解析】【分析】很明显，复数列恒不为零，口 子=出 色(电).据此结合递推关系分类讨论，为4偶数和/为奇数两种情况即可证得题中的结论.【详解】由于闵=1,且对任意正整数，均有4焉+2号,“+z；=0,故z*0(e N j./2/由条件得4 4+28+l=0(eN.),Zn J ZH)解 得 三.=兰色(e N)Z“4因 此 畀=乎=二=故卜卜 J=!(N.)进而有B，+2“J=|ZJ 1 +q=击-3士f|=当 GN+)当m为偶数时,设“2 e M).利用可得IZ,+2,+.+2,I.X
40、 Iza-1 +Z|Z2*-l+22*|=火与=.T4=1 x=)2 3当m为高数时，设 尸2s+l($GN),由、可知.|6 己 G I%i|=于7 1 讨二i=乙 7 5TT=乙 Iz”-i+z2*|，N 3 乙 人 1乙 A fi故卜+Z?+-+Z，,(之卜2 -1+KJ+H-1|习 2刈 +%|=r.综上结论获证.【点睛】本题主要考查复数列的递推关系，笑数的运算法则，放缩法证明不等式等知识，意在考杳学生的转化能力和计算求解能力.50.(2021全国高三竞赛)设 6 、上 是无穷复数数列，满足时任意正整数，关于A的方程丁-ax+atl=0 的两个复根恰为A；、人.(当两根相等时A=.vH
41、).若数列 Ml 恒为常数，证明:|小2：(2)数列“恒为常数.【答案】（I）证明见解析：（2）证明见解析.【解析】【分析】（I）根据题意和韦达定理可得 2=%“（,t），取模得k，M=k M k“T|,若k|=-结 论 同 2显然成立，否则，由于数 列 低|恒为常数，则卜-1卜|,即结论也成立；（2）由（】）和题意知，数列肛 恒为常数，则5 只有互为共扰的两种取值，不妨设为1 和云，依据题意即可证明.【详解】由题意和韦达定理得，则$4 =,即 4+2=$“-I =X“,|（5 -1）.（I）由取模得k”=k“J k,T，若 同=o,结 论 同 s 2显然成立：否则，由于数列 同 恒为常数，则
42、 上-i|=】，即有氏区k T+i=2.（2）由（I）知，对任意的，w N.，k“T =l,又数列 1 3 恒为常数，因此K“只有互为共聊的两种取值 利 后.若存在 w N.,使得x“=s“，不妨设%=%“=,则x.,=i-2-（.r!.若Xp=,则2=0,即=0或 2；若.1.“=万，则6,2=?+&-R J1U-I 1=.因此，要么e e R,要么 5 呈、2 周期.故显然“”=1“+（”越常数，即证数列”,恒为常数.【点暗】关键点点照：本题主要考杳数列不等式的证明，解题关健在于利用韦达定理得出K=X z（x“-1），再取模，对|工|=0这种特殊情形和一般情形氏-1|=1讨论即可证明结论成立；（2）本题主要考查常数列的证明，解题关键在于占的取值情况和5 =的假设，由（1）和题意知，数列 氏|恒为常数，则与只有互为共挽的两种取值，不妨记为和工，若存在e N 一，使得x,=x,“，不妨设士,=）“=则=二-，对/”分类讨论即可证明.