《高中数学竞赛真题8立体几何（学生版+解析版50题）.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学竞赛真题8立体几何（学生版+解析版50题）.pdf（37页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、竞赛专题8立体几何（50题竞赛真题强化训练）一、填空题1.（2018四川高三竞赛）在三棱锥户-A 8 c 中，三条棱幺、PB、户 C 两两垂直，且24=1、户 8=2、PC=2.若点。为三棱锥户-A8 c 的外接球球面上任意一点，则Q到面ABC距离的 最 大 值 为.2.（2018辽宁高三竞赛）四面体ABCD中，已知4?=2,AD=-.C =8.CD=-,则异面直线AC与 BD所 成 角 的 正 弦 值 是.2 23.（2018湖南高三竞赛）四个半径都为】的球放在水平桌面上，且相邻的球都相切（球心的连线构成正方形）.有一个正方体，其下底与桌面重合，上底的四个顶点都分别与四个球刚好接触，则该正方
2、体的棱长为4.（2018湖南高三竞赛）在半径为R 的球内作内接网柱，则内接圆柱全面积的最大值是.5.（2018湖南高三竞赛）正方体 中，E 为 A B 的中点，F 为CC,的中点.异面直线EF与AQ所 成 角 的 余 弦 值 是.6.（2020江苏高三竞赛）在长方体A A C D-A 4C Q 中，A8=4,BC=CC、=2叵,M 是 8G 的中点，N 是MG的中点.若异面直线AN与 C仞所成的角为0,距离为d，则 2 2,dsin6=7.（2021全国高三竞赛）已知一个正四面体和一个正八面体的核长相等，把它们拼接起来，使一个表面重合，所得多面体的有 面数.8.（2018全国高三竞赛）在三棱锥
3、 P-ABC 中，PA=PB=4,PC=3,NAPB=/APC=60。，NBPC=90。.则三极锥P-ABC的体积为 9.（2018全国高三竞赛）已知长方体/W CD-A A G 的长、宽、高分别为1、2、3,/,为平面A/O 内的一点，则 4,长的最小值为10.（2021全国高三竞赛）已知三棱锥A-8 c。的三个侧面及底面的面积分别为5、12、13、15,且侧面的斜高相等，则三棱锥的体积为11,（2020浙江高三竞赛）如图所示，在单位正方体匕有甲、乙两个动点，甲从户点匀速朝/，移动：乙从Q 点匀速出发朝。移动，到达。后速度保持不变并折返.现甲、乙同时出发,当甲到达发时,乙恰好在到达。后折返到
4、Q,则在此过程中，甲、乙两点的最近距离为12.（2021全国高三竞赛）在帔长为3 的正方体A 8 CO-A 4 G 2 上，点为A 8 中点，从点尸发出的光线经侧面8 CG 4 内 部（不含边界）一点。反射后投射到侧面D Cg R 内 部（不含边界），则满足条件的点。所组成区域的面积为13.（202L 全国高三竞赛）已知正三棱锥P-A 8 C 而为2,底面边长为3，现在将三棱锥切去一部分，得到一个顶点为P,底面在&A 8 c 内的正四梭锥，则该四棱锥的体积最大为14.（2021全国面三竞赛）正四面体A8C。中，点 G 为面A 8 c 的中心，点加在线段D G 上，且 tanZAM 8=-拽 L
5、 则515.（2021全国两三竟赛）A、B、C、。是半径为I 的球面上的4 个点，若A B=C D =,则四面体A 8 C D 体积的最大值是一.16.（2021全国两三竞赛）已知三棱锥S-A 8 c 的底面A 8 C 为正三角形，点 A 在侧面S 8 C 上的射影4 是58 c 的垂心，二面角4-A 8-C的大小为30 ,且 =2,则此三棱锥的体积为17.（2021.全国高三竞赛）如图,已知正方体A8C。-A 4 G L的极长为2,尸为空间一点，且满足A/J _ A 4,4 P 4=NA O 4,则 4 P 的最小值为18.（2021全国高三竞赛）四面体A8C7）中，C D.L BC,A B
6、 1 HC.C D =A C,A B=B C=,平面 8 c o与平面 A 8 c 成 45 的二面角，则点4到平面A C 3的距离为19.（2021全国高三竟赛）已知正三棱锥P-A 8 C,M是侧棱P C的中点,P B.L A M .若N是A例的中点，则异面直线8/V与P t所成角的余弦值为.20.（2021全国高三竞赛）正方体A 8 C Q-A 8 C。中，P是线段A C上一点，平面P A B与底面A B C D 的夹用为a,平面p 8 c与底面A 8 c o的夹角为夕，则tan（a+4）的最小值为.21.（2021.全国.高三竞赛）在三棱锥P-A 8 c中，则这个三棱徘的体积为22.（2
7、021全国,高三竞赛）在三棱锥P-A 8 c中，2 c =6,CA=8,A 8=1 0.若三侧面与顶面所成二面角均为45。，则三棱锥P-A 8 c的体积为23.（2021.全国.高三竞赛）已知正方形A 8 co上是边A 3的 中 点.将4K和AC庞分别沿。和C E折起，使得A 6与 的 重 合.记A与3重台后的点为凡则平面。C O与平面ECD所成的二面角的大小为.24.（2021全国高三竞赛）在菱形4?。）中，乙4=6（）。,A8=,将A3。折起到 P8O的位置，若三棱锥P-8 c。的 外 接 球 的 体 积 为 也，则二面角2-8。-C的6正弦值为25.（2021全国高三竞赛）如图，楼长为I
8、的正四面体S-A 8 C的底面在平面a上，现将正四面体绕棱8 c逆时针旋转，当直线SA与平面第一次成30。角时，点A到平面a的距离为.7人26.（2019江西高三竞赛）P是正四棱锥丫 一/W C。的 高K 4的中点若点夕到侧面的距离为3,到底面的距离为5,则该正四棱锥的体积为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _27.（2019吉林高三竞赛）己知三棱铢P-/WC的四个顶点在球。的球面上，M=P B=P C,A 8 C是边长为2的正三角形,产分别是AC、8 c的中点,N E P F=60,则球。的表面积为28.（2019上海,岛三竞赛）边长为2的正方形，经如图所示的方式裁剪后，可以围
9、成一个正四棱锥，则 此 正 四 棱 锥 的 体 积 最 大 值 为.29.（2018甘 肃 高 三竞赛）已知空间四点A,8,三。满足A B L A C,A B ,A D.A C.L A D,且 A8=AC=A。=1.Q是三棱锥 A-8 C O的外接球上的一个动点，则点。到平面B C D的 最 大 距 离 是.3（）.（2018天津高三竞赛）半径分别为6、6、6、7的四个球两两外切.它们都内切于一个大球，则大球的半径是31.（2018河南高三竞赛）一个棱长为6的正四面体纸盒内放一个小正四面体，若小正四面体可以在纸盒内任意转动.则小正四面体棱长的最大值为.32.（2018河北高三竞赛）已 知 棱
10、长 曲 的 正 方 体 内 部 有 一 圆 柱,此圆柱恰好以直线A G为轴，则 该 圆 柱 体 枳 的 最 大 值 为.33.（2018河北高二竞赛若 A&A,的三边长分别为8、10、1 2,三条边的中点分别是B、C、D,将三个中点两两连结得到三条中位线，此时所得图形是三棱锥A-BCD的平面展开图，则 此 三 棱 锥 的 外 接 球 的 表 面 积 是.34.（2018江西高三竞赛）四棱锥尸-A 8 CO的底面A 8CQ是一个顶角为60。的菱形，每个侧面与底面的夹角都是60。，棱铢内有一点M到底面及各侧面的距离皆为I,则棱 锥 的 体 积 为.3 5.（2 0 1 8 福建高三竞赛）如图，在三
11、棱锥尸-48C 中，P A C、“8 C 都是边长为6的等边三角形.若二面向P-AC-8的大小为1 2。，则三棱锯尸-A 8c 的外接球的面积为.P3 6.（2 0 1 8 全国高三竞赛）在正方体4昭。-A4C Q中，已知棱长为1,点 E在AR上，点 F 在 C D上，4I =2 E DI,。尸=2 FC.则三棱锥8-在弓的体枳为3 7.（2 0 1 9全国高三竞赛）已知四面体ABC D的四个面A D 8 C、A D C4、A ）A 8、A A 8 C 的面积分别为 1 2、2 1、2 8、3 7,顶点 D 到面A A 8 C 的距离为h.则 h=3 8.（2 0 1 8全国,高三竞赛）在四面
12、体A B C D 中，己知NA/）B=N B D C =N C D A =%,3A D B.A B D C、A C D A 的面枳分别为更、2.1.则此四面体体积为.23 9.（2 0 1 8全国高三竞赛）在金属丝制作的3 x 4 x 7 的长方体框架中放置一个球，则该球 的 半 径 的 最 大 值 为.4 0.（2 0 1 8 安徽高三竞赛）在边长为I 的长方体内部有一小球，该小球与正方体的对角线段AC,相切，则小球半径的最大值=.4 1.（2 0 2 1,全国高三竞赛）把半径为1 的 4个小球装入一个大球内，则此大球的半径的最小值为4 2.（2 0 1 9 浙江高三竞赛）如图，在A 8 C
13、中，/48 c=1 2 0。，A/S=8 C=2.在A C 边上取一点/）（不含八、C）,将4 3”沿线段8。折起，得到P/3 D 当平面P 8/）垂直平面/W C时，则 P到平面A 8 C 距离的坡大值为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _4 3.（2 0 1 9贵州高三竞赛）若半径0 =2+#皿的空心球内部装有四个半径为，的实心球，则，所能取得的最大值为 cj44.（2019.四川高三竞赛）己知正四核锥的高为3,侧 面 与 底 面 所 成 角 为 先 在 内放入一个内切球O,然后依次放入球。，使得后放入的各球均与前一个球及的四个侧面均相切，则 放 入 所 有 球 的 体 积
14、之 和 为.45.（2019山东.高三竞赛）空间有4个点4、13、C、D,满足8=8C=C。.若NA BC=/，0）=/。）人=3 6 ,那么直:线人C与直线4”所 成 角 的 大 小 是.46.（2019.重庆高三竞赛）已知正四面体可容纳10个半径为I的小球则正四面体棱氏的最小值为二、解答题47.（2019.甘瑞高三竞赛）已知三棱锥/一人8。的平面展开图中，四边形A B C Q 为边长等于2点的正方形，A B E 和 B C F 均为正三角形,在三棱锥产一A8C中：（I）证 明:平 面 削C L平面A8C；（2）若点M为棱加上一点且P M=I求 二 面 角P-B C-M的余弦值.M A 24
15、8.（2018广东高三竞赛如图，已知矩形ABCD满足A B=5,人C=I,沿平行于A D的 线 段 即 向 上 翻 折（点E在线段A B上运动，点F在线段C D上运动），得到如图所示的三核柱A B E-D C F.若图中 ABG是直角三角形，这里G是线段E F上的点，试求线段EG的长度x的取值范围：若中EG的氏度为取值范围内的最大整数，且线段A B的长度取得最小值，求二面角C-E F-的值：在与的条件都满足的情况下，求三棱锥A-BFG的体积.49.（2021全国高三竞赛）空间中的“个点,其中任何三点不共线，把它们分成点数互不相同的也组（|N3）,且，”位,2 m ,在任何三个不同的组中各取一点
16、为顶点作三角形，要使这种三角形的总数最大，各组的点数应是多少？5 0.（2 0 2 1.全国商三竞赛）证明：如下构造的空间曲线 的任意五等分点组都不在同一球面上，曲线的构造：作周长为/的圆。，在圆。上取A 心使5 4,用的长度2-/.并以A8为轴将4 8 旋转1 8 0 得弧A，8，在圆。上取8 C，使 4”8的长度2+8”C 的长度 不，并以8。为轴将加。旋转，度（0 。1 8。）得弧以七，这样，由弧&8 C、C M 组成的曲线便是空间l l h 线.（如图所示）竞赛专题8 立体几何（50题竞赛真题强化训练）一、填空题I.（2018411川高三竞赛）在三棱铢P-A 8 C 中，三条棱尸A、P
17、 B、P C 两两垂直，且P A=1、P B=2、P C =2.若点Q为三棱锥P-A B C的外接球球面上任意一点，则Q到面A 8 C 距 离 的 最 大 值 为.【答案】之+必2 6【解析】【详解】三棱锥P-48 c 的外接球就是以以、P B、P C为长、宽、高的长方体的外接球，其直径为2R =y/+21+22=3.又cosN 8AC =：,从而sinN 8AC =2 ,于 是.A 4 3 C 的外接圆半径为5 5BC 5 6 2sinZ/M C 6故球心。制 A 8 C 面 的 距 离 为=7=亚.6从而，点Q到面A 8 C 距离的圾大值是三+它.2 6故答案为之+或2 62.（2018辽
18、宁高三竞赛）四面体A B CD 中，已知A/?=2,11 ioA O =U,8 C =8,C O=，,则异面宜线A C与B D 所成角的正弦值是_.2 2【答案】I【解析】【详解】因为 HC2-A B2=82-2:=10 x6C D2-A D2,故A C-L 8 D,因此异面囱线A C与 B D 所成角的正弦值是I.故答案为I3.（2018湖南高三竞赛）四个半径都为1 的球放在水平桌面上，且相邻的球都相切（球心的连线构成正方形）.有一个正方体，其下底与桌面重合，上底的四个顶点都分别与四个球刚好接触，则该正方体的棱长为【答案】。4【解析】【详解】设正方体的楂长为a，上底为正方形AB C D,中心
19、为。,则 O A=Z.由对称性知，球2心。在面AB C D上的射影M 应在直线AC 或 B D上，I L 球。与邻球的切点P在面AB C D卜.的射影N在过点0且平行AB 的内线匕于是丘 M N =QM =0A+A M.又q A/=1 -“,则 A M =O,AZ-O,M:=，从而V1=W”+.整理得3/_8 a +4 =0,解得“二：.或a =2 (舍去).故a =q.2故答案为“=。4.(2 0 1 8湖南高三竞赛)在半径为R的球内作内接圆柱，则内接圆柱全面积的最大值是.【答案】万内(1 +6)【解析】【详解】设内接圆柱底面半径为R s i n a，则高位2R c os a.那么全面枳为2
20、 乃(R s i n a)-+2兀 R s i n ax2R c os a=2TTR(s i n Gf+s i n 2 a r j=不 A?(1 co s 2 a +2 s i n 2 a)=万川】+6 R(2 a -)4 乃川(l +6).其中网*=；,等号成立的条件是2 a =p+1.故最大值为 万/(1 +6).故答案为“*(1 +6)5.(2 0 1 8 湖南福三竞赛)正方体A8C O-A4G。中，E 为 AB 的中点，F 为CC,的中点.异面直线E F 与 AR所 成 角 的 余 弦 值 是,【答案】各巨3【解析】【详解】设正方体棱长为I,以 DA为 x 轴，DC 为y轴，。叫 为
21、z 轴建立空间直角坐标系，则 0,别,0,1，3 A(1.0,1)/2 ,M 是 8G 的中点，N是M R 的中点.若异面直线AN与C W所成的角为。，距离为d,则 2 0 2 0 si n 6 =【答案】1 6 1 6【解析】【详解】因为C M L 8G，故。=9 0。.过点 M 作 M E _ L A N 于点 E,!lj ME 1 CM,故 d=ME.因为 A 8 =4.*/V =3.所以 A N =5,则 d =M E =MN si n N A N 8 =g,从而可得2 0 2 0 4 si n 6=1 6 1 6.ClGDi题图解析图故答案为：1616.7.（2021全国而三竞赛）已
22、知一个正四面体和一个正八面体的棱长相等，把它们拼接起来,使一个表面重合，所得多面体的有 面数.【答案】7个【解析】【详解】计兑可得正四面体的两个相切的半平面的二面角的余弦值为1.正八面体的两个相邻的半平面 两个四棱链共底面的边的两个半平面）的二面角的余弦值为-g .故所得多面体的布7个面，故答案为：7.8.（2018全国高三竞赛）在三棱锥 P-ABC 中，PA=PB=4,PC=3,NAPB=NAPC=60。，NBPC=90。.则三棱椎P-ABC的体积为【答案】4叵【解析】【详解】如图，过点A作AH.L面PBC于点H,过H作HD_LPB于点I）、HE_LPC于点E由 NAPB=NAPC=60及
23、P A=4,知P D=P E=2 .从而，PH 为NBPC 的平分线，即Z DP H=4 5则，P H=D =2 0A H =-J P A-P H2=20 故三楂锥P-A B C的体积为卜，叱=46.9.（2 0 1&全国高三竞赛）已知长方体A 8 C O-A 4。的长、宽、高分别为1、2、3./，为平面A/。内的一点，则加 长的最小值为【答案】y【解析】【详解】注意到，AP长最小当且仅当4，而A，）.此时，由V 国札=V 削=A P=的.曷、即由勾股定理得人。=正./4=Ji 6,BD=A.则 c os/3 A D =n si nZ B A D “五-1 0 1 0从而，5&她=3故人 匕
24、卷.1（）.（2 0 2 1.全国高三竟赛）已知三棱锥A-8 C O 的三个侧面及底面的面积分别为5、1 2、1 3、1 5,且侧面的斜高相等，则三棱锥的体积为【答案】5#【解析】【分析】【详解】设斜高为八，则8 C =W,S=心-8 =卷.h h h从而8 CZ）为宜角：角形，故 1 5=Sg 产！？空.得人=2 点.*2 n h设三棱锥的高为AH，由斜高相等知H为 88的内心.由于内切圆半径片 造器而=&故前A H J h2-2=庭,体 枳 为 1#1 5=5瓜.故答案为：5&I I.（2 0 2 0.浙江高三竞赛）如图所示，在单位正方体上有甲、乙两个动点，甲从a点匀速朝/，移动；乙从。点
25、匀速出发朝Q移动，到达0 后速度保持不变并折返.现甲、乙同时出发，当中到达时，乙恰好在到达。后折返到。，则在此过程中，甲、乙两点的最近距离为【答案】华【解析】【详解】设甲、乙的速度分别为4、匕，在此过程中，.R P 2 v,=.9 匕不妨设彩=2,则总的时间为1.设在时间为外末,甲、乙之间的距离最短，即此时/、。分别达到M、N点.分两种情况讨论：路程前半程与路程后半程.（1）路程前半程：%e 0.1，则 Q N=2/,P M =瓜、,M H =/0.P H =飙,Q H2=+2t-2tu,进而有+一 故 M N 2 当（当且仅当。=：时取等号）.（2）路程后半程：4,e ,1 ,则 Q N =
26、2（%）.P M =氐,M H =tu.P H =,QH2=+2t-2t,进而有M N?=1 喏-1 4/O+5=1 1 1，O-A）+寺 2 4，故例N2 坐（当比仅当乙,=（时取等号）.因为 且 叵，所以在此过程中,甲、乙两点的最近距离为 巫.1 2.（2021 全国高三竞赛）在校长为3 的正方体A S C O-A/C。上,点为A 8 中点，从点尸发出的光线经侧面8 C G 4 内 部（不含边界）一点0 反射后投射到侧面DC4 内 部（不含边界），则满足条件的点Q所组成区域的面枳为【答案】4【解析】【详解】设点。关于8 的对称点为片，以R为 顶 点.以。CG 4 为底面，作四极椎片-OCG
27、 4，该四棱锥与侧面B C C./y,的横面即为满足条件的区域.该梯形的面积为4.故答案为:4.1 3.（2021 全国高三竞赛）已知正三棱锥户-A 8 c 高 为 2,底面边长为3,现在将三棱徒切去一部分，得到一个顶点为P,底面在AA8 c内的正四楂锥，则该四棱锥的体积最大为【答案】8-4班【解析】【详解】作图可知该四极惟底边边长最大为3-6，从而可得相应的体枳为8-4赤.故答案为：8-473.14.（2021全国富三竞赛）正四面体A8C。中，点G为面A8C的中心，点例在线段3同 两DG 上，且 tan ZAMB=-3一,则=.I I【答案】IO【解析】【详解】解析：设AM=8 M=.t,A
28、 8=l,由余弦定理得x=逗、I1AG=G 8=,8 3则 GM=JA M、AG）=亚.24.!瓜 瓜而左=所以篙3 DG 星 8T故答案为：O15.（2021全国高三竞赛）A、B、C、/）是半径为1的球面上的4个点，若A8=CO=1 ,则四面体A8C7）体积的最大值是【答案】B6【解析】【详解】设A 8与C。间的距离为d,夹殆为。.取AB中点M和CO中点N,则d 4 M N 4 OM、O N =币,故四面体体枳V =L AS.Q B d .si n。4 虫.当 AB LCD且其中点连线过球心时等号成6 6立.故答案为：也.61 6.（2021 全国高三竞赛）已知三棱锥S-A 8 C 的底面A
29、 8 C 为正三角形，点 A 在侧面S 8 C 上的射影”是$8 c的垂心，二面角”-A 8-C的大小为30 ,且 必=2,则此三棱铢的体积为【答案】43【解析】【分析】【详解】由点4 在侧面S8 C卜.的射影，是 S 8C 的垂心，知三棱铢S-A 8 c 的三组对核互相垂IX.从而点5 在底面4 8 c 上的射影也是AA8C的垂心Q.乂 AABC为正三知形,所以垂心Q为AA8C的中心.则三棱锥S-4 J C 是正三棱锥.延长B H交S C 于点E,则二面角E-A B-C的大小为3 0 .乂ASA84SBC,得 AE=B E,取 A8的中点D 则易证N E O C 为二面角E-A 8-C的平面
30、角，E C L E D（S C I 平面A H B）.设 8 c =“，则）C D =C =,=.有.2 4 43从而三棱锥S A 8 C 的体枳为二.4故答案为：341 7.（2 0 2 1全国高三竞赛）如图，已知正方体A 8 C O-A 4 C；的棱长为2,尸为空间一点，且满足4/，4 8“乙4 尸 4=/4。4，则 P的爆小值为AB【答案】舟【解析】【分析】【详解】先不看条件A p J L A 8,只关注4Pq=N A D B、,即Z A P l i,为定角.若P点在平面AB Q）上，则如图2所示，此时有N A P&=NA DBi可知，P在以AQ为直径的圆弧4）8,匕那么在任意一个过直线
31、的平面上，尸点均为类似地一段圆弧.故，点的轨迹即圆弧A。与绕 旋 转 形 成 的 一 个 曲 面 （苹果加面）.再由4PL44知.P在过A且垂立于A4的垂面，即平面A 4 C 7）,上.故P为平面，8 c g 截曲面所得的曲线,即图3所示的I S O,故易知。产 的最小值为O P-O R,I I P 7 3 +1-7 6 .故答案为：&+瓜.1 8.（2 0 2 1 全国高三竞赛）四面体A 3 C 7）中,C D 1 BC,A H 1 l i C.C D=A C,A l i =B C =,平面 88 与平面 A B C 成 4 5 的二面角，则点 8到平面A C 7）的距离为【答案】叵3【解析
32、】【分析】【详解】D C =A C =丘,作/非J L 平面A8C,垂足为,连结C 、AE.山三垂线逆定理，E C.L B C.所以N/X E=4 5。，故 C E =D E =D C=%“=|DE =1.Z5 O乂因A8C芯为正方形，A E =1,则4。=应，因此正二角形A C D的面枳为 走，2设8到平面AC D的距离为八，由得=中.3 6 3故答案为：昱.319.(2021.全国离三竞赛)已知正三棱令P-A 8 C,M是侧棱P C的中点,P B J,A M ,若N是A M的中点，则异面直线8 N与 所 成 角 的 余 弦 值 为 .【答案】2叵21【解析】【分析】【详解】易证 外、P B
33、、P C互相垂直.以尸为坐标原点，分别以户8、PC、阳 所在的在线为.、z轴建立空间也加坐标系.设 P A=P B =P C=1,则.4(0,0,1),C(0.1,0),8(1,0,0)、M(0,则,心号),所以 8M=或=(0.0.1),_ 2“BN,P A _ 2 _ 2&T明 丽H西：*巨-21 故答案为：可红.2120.(2021全国高三竞赛)正方体A 8 C O-A 4 C Q中，P是线段A 上一点，平面与底面A13C D的夹知为a,平面P B C与底面A B C O的夹角为尸，则tan(+力)的最小值为【答案】-y【解析】【分析】【详解】过 户 作 平 面A 8 C O,垂足为：过
34、R作4M .L A 8,乖足为“，作R N.L 8 C,垂足为MDi易知a=设 正 方 体 的 校 长 为 1,P.M=.v,V=v,则 十+y=Liana=一,】=.tan(a+/?)=43,tan a+(an _ 4+)1 -tancrtan fl.v)?-14当且仅当x=忖 等 4 成立，所 以 tan（a+m 的最小价为一大.故答案为：-g4.21.（2021 全国高三竞赛）在 三 棱 锥 P-A 8 c 中,AP=BC=7,BP=CA=&C7,=A8=9,则这个三棱锥的体积为【答 案】16后【解 析】【分 析】【详 解】可以把这个三棱锥嵌人到一个长宽高分别为4、后,4外 长方体中，使
35、其六条极分别为K 方体六个面的面对角线，广 是 棱 铢 的 体 积 恰 为 长 方 体 的;，即 g x 4 x 后x 4出=16 0 T.故答案为：i6 jr r.22.（2021.全国.高三竞赛）在 三 棱 锥 P-A B C 中，8 c =6.CA=8M 8=1 0.若三侧面与顶面所成二面角均为45。，则三棱锥P-A B C 的体积为【答案】16【解 析】【分 析】【详 解】作 P O L 平 面 A 8 C,垂 足 为。，作8 c o CAOP A 8,垂足分别为1 E、F.设 OP=h,则 N P D O =A P E O =Z P F O =45,O D=O E =O F =hco
36、t 450=/?.在AASC中，有6 8+8O E+16 0尸=2S”水.=4 8,解得力=2.故 V=，S“wc=g x2 x2 4=l6.故答案为：16.23.（202卜全国两三竞赛）已知正方形AGCDE是边A 8的中点.将 以 和分别沿QE和CE折起，使得A 与8E重 合.记A与5重合后的点为P,则平面PC。与平面E8所成的二面角的大小为【答案】X P【解析】【分析】【详解】PCO 中，P C=P D =CD.故/P C。=6 0.?PCE 中，ces ZPCE =-C DE 中,cos ZDCE =.设二面角P-C D-E大小为0.对三面角C-P O E应用三面角余弦定理，得：_2_2
37、 J _c cos Z P C E -cos ZPCDcos ZE CD 忑 F 飞&sin ZPCDsin Z E C D 小 2 T-4 5即。=3 T.故答案为：30.24.（2021全国高三竞赛）在菱形A8CO中，NA=6（）。,A8=6，将 A 3。折起到 P BD的位置,若三棱锥P 8 8的 外 接 球 的 体 枳 为 也，则二面角P B D-C的6正弦值为【答案】昱2【解析】【分析】【详解】由外接球的体枳 为 也，则该球的半径出=也，6 2设球心。在平面P HD和平面8 c。上的射影分别为Q、O2，则*O2为正4 PB D和正 8C。的中心，取 8。的中点 E,连结。、02E,则
38、 q JL 3 D O 2 _L 8。，则N 是二面角P-8。-C的平面角.在朋A。夕 中，0 C=R=4,O =AB=1,则。小 专，又在直角 AOQ 中，则/。20=60。/0或。2=120。.则二面角P-3。一 C的正弦值为由.2故答案为：立.225.(202卜全国两三竞赛)如图.棱长为I的正四面体S-A 3 C的底而在平面a上，现将正四面体绕棱8 C逆时针旋转，当宜线SA与平面a第一次成30角时，点4到平而a的距离为.【答案】选二14【解析】【分析】【详解】取3 c的中点。，折叠后A在平面a内的射影为E,则N A O E=/S4 D-3 0,sin Z A D E=sin(/.S A
39、D-30。)故答案为:花I一 -.426.(2019江西高三竞赛)户是正四棱锥丫 一/WC。的 高 的 中 点 若 点 P 到侧面的距离为3,到底面的距离为5,则该正四棱锥的体积为【答案】750【解析】【详解】如图所示，P FJ ffi VBC.VP=5,W/=1().VF=W*P N=J5?_3 二=4.而 PH例尸共圆，VP-VH=VF-VM,所以W W=,H M -V H2=.2 2则 A 8=15.所以正四极锥的体枳V=L VW AB?=750.3故答案为：750.27.(2()19吉林高三竞赛)己知三棱锥P-A8c的四个顶点在球。的球面上，P A=P B=P C,/8 c 是边长为2
40、 的正三角形，E、F 分别居AC、8 c 的中点，N E P F=60.则球。的表面积为【答案】6M【解析】【详解】由于/M/3C为正三棱锥，故 砂=尸。，从而AEPF为等边三加形，上 I.边长防=1.由此可知侧面P A C的高P E=I,故校长PA=应.还原成棱长 为 及 的正方体可知，P.A BC的外接球的苴径长恰为正方体的体对用线长卡 .从而表面积为6万.故答案为：67r.28.(2019上海上三竞赛)边长为2 的正方形,经如图所示的方式裁剪后，可以圉成一个正四棱锥，则此正四棱锥的体积最大值为【答案】1 6 43 7 5【解 析】【详 解】设围成的正四极锥为P-AB CD .P0为四极
41、锥 的 高 作O E t.BC,垂 足 为E,连 结P E.令O E=x.则=1一%P O=Vl-2-v .于 是正四棱锥P AB C D的体枳 为V=?(2.1)工六二17.所 以 已 卷.”(1-2.0 噜2,(l-2 x)2 5 6“丁x x x x,一+1 2工2 2 2 252 5 6 9 x 55 故 V”生 叵.当X =3时等号成立所以正四棱锥体枳的最大值为 鲂 叵.3 7 5 、3 7 5故答案为：如 叵.3 7 52 9.(2 0 1&甘 山 高 三 竞 赛)已 知 空 间 四 点A,8,C。满足A B.L A C.A B.L A D.AC.LAD,且 A 8 =A C =A
42、 O =1,Q 是三极锥 A -B C D 的外接球上的一个动点，则 点。到 平 面B CD 的最大距离是【答 案】独3【解 析】【详解】将 三 棱 锥A-8 c。补全为正方体，则 两 者 的 外 接 球 相 同.球 心 就 是 正 方 体 的 中心，记为。，半径为正方体对角线 的 一 半，即为 遭.2在 正 方 体 里,可 求 得 点。到 平 面8 c。的距离为息,则 点。到 平 面8 8的最大距离是673&2 /3T +6,3 0.(2 0 1 8天 津 高 三 竞 赛)半 径 分 别 为6、6、6、7的四个球两两外切.它们都内切于一个大球，则大球的半径是【答案】14【解析】【详解】设四个
43、球的球心分别为A、B.C、D.则 AB=BC=CA=I2,DA=DB=DC=13,即 A、B、C、D 两两连结可构成正三棱锥.设待求的球心为X,半径为r.,则由对称性可知DX.JL平面ABC.也就是说，X 在平面A B C 上的射影是正三角形ABC的中心0.易知0八=4 6，OD=yjDA_04-=11.设 0X=x,W O AX=JOX-+O=V.V2+48由于球A 内切于球X,所以AX=r-6即 yjx2+48=r-6,乂 DX=OD-OX=I l-x,且由球D 内切于球X 可知DX=r-7于 是|-.r=-7 从 两式可解得.r=4,r=14即大球的半径为14.故答案为1431.（201
44、8河南岛三竟赛）一个校长为6 的正四面体纸盒内放一个小正四面体，若小正四面体可以在纸盒内任意转动，则 小 正 四 面 体 校 长 的 最 大 值 为.【答案】2【解析】【详解】因为小正四面体可以在纸盒内任意转动.所以小正四面体的棱长最大时，为大正四面体内切球的内接正四面体.记大正四面体的外接球半径为R，小正四面体的外接球（大正四面体的内切球）半径为r,易知r=g/?,故小正四面体极长的最大值为gx6=2.32.（2018河北高三竞赛）已知极长6 的正方体A 3C O-A 4C Q,内部有一圆柱，此圆柱恰好以直线AQ 为轴，则该圆柱体枳的最大值为_ _ _ _.【答案】y【解析】【详解】山题意知
45、只需考虑圆柱的底面与正方体的衣面相切的情况.山图形的对称性可知,圆柱的上底面必与过A点的二个面相切，且切点分别在A q、AC、A&上.设线段A片上的切点为E,圆柱上底面中心为0-半径。也=，.由AAQES AA B G得a q =应厂，则圆柱的高为3-2月。=3-2&八V=r（3-2 7 2/）,由导数法或均值不等式得V；M=.33.（2018河北高二竞赛）若A&A,的三边长分别为8、10、1 2,三条边的中点分别是B、C、D,将三个中点两两连结得到三条中位线，此时所得图形是三棱锥A-BCD的平面展开图，则 此 三 棱 锥 的 外 接 球 的 农 面 积 是.【答案】子【解析】【详解】由已知.
46、四面体A-BC D的三组对棱的长分别是4、5、6.构造长方体使其面对角线长分别为4、5、6.设长方体的长、宽、高分别为x、y、z.外接球半径为R，则X2+y2=4-x2+z2=52,得（2/?）2=.+）；!+22=二,故/?2=3.所以 S=3 2.2 +产2 =62 8 234.（2018江西高三竞赛）四棱锥P-A 8 c。的底面A 8 C 0是一个顶角为60。的菱形，每个侧面与底面的夹角都是60。，棱锥内有一点”到底面及各侧面的距离皆为1,则棱 锥 的 体 积 为.【答案】8代【解析】【详解】设菱形两对知线A C、3。的交点为,则PH既是线段A C的中垂纹,乂是8。的中垂线，故是四棱锥的
47、高.且点 可 在P 上，于是平面P8。与底面A8CC垂直，同理平面 幺C与与底面A 8C 3垂直，平面P8O将四棱锥分成两个等积的四面体.只需考虑四面体P-A 8/）.如图，设点M在面幺。上的投影为,平面M E 过点户,且 交A。于尸.因4 f H F=8 =ZM EF,则M、E、尸、四点共网.由于 A/EJL 面 PA。，得 MJ_A。，由 JL 面 A/?。，得所以4。_1面/加，故AD 工P F.F H是PF在面A 8/)内的射影.则A D.L FH,即二面角的平面角2 E F H=6T,于是Z E M H=120.据 M E=M H =1.得 =，故直线二角形M K F与M H F中，
48、E F =H F .因N E/H=6 0,所以 /是正三角形，即尸 =F=E=V L在直角 AA/77 中，Z4F=3 O.则 4 =2/”=2 6.故正AA8。的边长为4,于是S a,=4逝.在直线 APF”中，PH=FMan600=3,VP.,U I O=P H S l i l)=4/3.从而 Y p_ A l l i l)=2VP wl)=S j3.故答案为8 635.(2018.福建俗三竞赛)如图，在三棱锥P-A 8 C中，APAC、，8C都是边长为6的等边三角形.若二面角P-A C-8的大小为120,则三棱锥P-A B C的外接球的面积为.【答案】84K【解析】【详解】如图，取AC的
49、中点。，连结。尸、0 8,则由/%/2 4 x4 2 x5 6 5 0 4 应f i x h=-.S.内 c 37 3738.（2 0 1 8全国高三竞赛）在四面体A B C D 中,己知/A D B =N B D C =N C D 4 =2 .3A D B、A B D C.ACDA的面枳分别为 且、2、1.则此四面体体枳为.2【答案】矮9【薪析】【详解】.Z T 7 1 .7 1设DA、D B、DC分别为x、y、z.则弓 代 阳 5 Vs?2 2 2 28三式相乘得冷2 =忑 设 IX:与面ABD所成角为a,点 C到面ABD的距阳为h,则h=z si n a.由图形的对称性知c os =c
50、ostos =c os =L =si n =i-3 6 7 3 7 3C.xvsin?/r故所求四面体体枳为;SM1M =1 -2 疝“=旦.3、4 2 9 /39.（2 0 1 8 全国高三竞赛）在金属丝制作的3x4 x7 的长方体框架中放置一个球，则该球的半径的最大值为【答案】|【解析】【详解】显然，球的直挣不能超过3x4的长方形外接圆的囱冷，即它的比”不超过正寿=5，故该球半径的展大值为j .40.（2018安徽高三竞赛）在边长为1的长方体4 A C -A 冏G R 内部有一小球,该小球与正方体的对角线段A G 相切，则小球半径的展大值=.【答案】匕 述5【解析】【详解】当半径最大时，小