《高中数学竞赛真题13多项式（学生版+解析版50题）.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学竞赛真题13多项式（学生版+解析版50题）.pdf（38页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、竞 赛 专 题 1 3 多 项 式（5 0 题 竞 赛 真 题 强 化 训 练）一、填 空 题 1.（2021全 国 高 三 竞 赛）（20.v+1 ly）3=b,a+b+c=0,且、&为、x、）满 足 心+外=3,=7,ax+by,=16.ax4+by4=42.则 a./+byf=.8.（2019全 国 高 三 竞 赛）设 抛 物 线 V=v 的 一 条 弦 被 直 线 八、,=M X-1）+1（AW Z）垂 直 平 分.则 弦 PO1KJ长 等 于 9.（2019全 国 高 三 竞 赛）为 正 整 数 k,方 盾?-A）优-A）=/-A 的 整 数 解 组 卜,4、）有 个.10.（201
2、8 全 国 高 三 竞 赛）在 复 数 范 围 内，方 程/+/次+】=，（e R）的 两 根 为 a、P.若=则 片 11.（2021 全 国,高 三 竞 赛）在 1,2,3,4,1000中，能 写 成/-从+（“6 可）的 形 式，且 不 能 被 3 整 除 的 数 有 个.12.（2020浙 江 高 三 竞 赛）设 曲 线 C：f（x）=x-3xz+2 x,若 对 于 任 意 实 数 A,直 线y=K+/）与 曲 线。有 且 只 有 一 个 交 点，则 的 取 值 范 围 为.13.（2019江 苏 高 三 竞 赛）若+,-2 是 关 于 K、y 的 多 项 式/+9+川-5x+y+6的
3、 因 式，则 ab 的 值 是.14.（2019江 西 高 三 竞 赛）设 x0,且/+4=7,则 丁+1=X-X15.（2019江 西 岛 三 竞 赛）将 集 合 I,2.19 中 每 两 个 互 异 的 数 作 乘 积，所 有 这 种 乘 积 的 和 为.16.（2019山 东 高 三 竞 赛）整 数 使 得 多 项 式/口 尸 3 7 一 x一 一 2,可 以 表 示 为 两 个 非 常 数 整 系 数 多 项 式 的 乘 积，所 有 的 可 能 值 的 和 为 _.17.（2019全 国 高 三 竞 赛）已 知 关 于 8 的 方 程 f+（“-2010）,v+“=0（a w0）的 两
4、 根 均 为 整 数.则 实 数”的 值 为 18.（2019 全 国 高 三 竞 赛）已 知 实 系 数 方 程/-啜+6-1=（）有 三 个 正 实 根.则 T n，的 坡 小 值 为 19.（2019 全 国 高 三 竞 赛）若、当 是 关 于 N 的 一 元 三 次 方 程 9-5 1+5.1+1=0 的 三 个 两 两 不 等 的 复 数 根，则 代 数 式 卜:+.r,.t,+项（石+占 斗+靖 卜；+$N+才）的 值 为 20.（2019全 国 高 三 竞 赛）对 xeR,e N.,定 义 墨=但 业 士 二 上 D.设/（X）是 一 个 6 次 多 项 式 且 满 足 尸（0）
5、=1,P 仕）=2伏=1.2,6）.用 a 伙=1,2,6）表 示？（）=.21.（2018河 北 高 三 竞 赛）若 实 数 x、y、z 满 足 F+y?+22=3,.v+2,v-2-=4,则“inax+“min22.（2018福 建 高 三 竞 赛）己 知 整 系 数 多 项 式/（）=/+4 f+生 炉+%9+6+4,若/(6+3)=(),/(1)+/(3)=0,则-1)=23.（2018 全 国,高 三 竞 赛）设“、wR.且 满 足 方 程 组,+C=0,则 a b+b c+c u的 取 值 范 围 是 一 加 一 4。-5=0.24.（2018 全 国 高 三 竞 赛）设 实 数”
6、使 得 关 于 x 的 一 元 二 次 方 程 5.尸-5（Z+66-1715=0 的 两 个 根 均 是 整 数 厕 所 有 这 样 的 是25.（2018全 国,高 三 竞 赛）设 多 项 式/（X）满 足 2/（x+l）+3f（x-l）=l（）Y+ll+32.RO/（-）=.26.（2018全 国 高 三 竞 赛）已 知 关 于 工 的 方 程 F-4/+5X+A=0（”e R）有 三 个 实 数 根 A,.r,v,.则 maxxx2,.v,的 最 大 值 为.27.（2021全 国 高 三 竞 赛）己 知 多 项 式。口 尸 生 皿.产“+%0M 2 2+，+4 有 2020个 非 零
7、 实 根（可 以 有 重 检），其 中 的，“-，的 no为 非 负 整 数，求 2（2020）的 坡 小 值.28.（2021 浙 江,高 三 竞 赛）已 知 方 程 Y+s+=o 有 两 个 不 同 的 实 数 根，则 x4+av+（/?-2）.v3-av+1=0 有 个 不 同 的 实 数 根.29.（2019福 建 高 三 竞 赛）已 知/（x）=.，-IO.P+加+/+：,若 方 程 尺）=0 的 根 均 为 实 数，川 为 这 5 个 实 根 中 最 大 的 根，则，”的 最 大 值 为.二、解 答 题 30.（2021全 国 高 三 竞 赛）设 不 士（N 占）是 方 程”2*2
8、+6.+=0的 两 个 实 根，事 内（当%）是 方 程“F+ht+l=的 两 个 实 根，若 事 七 A4，求 实 数“的 取 值 范 围.31.（2021全 国 高 三 竞 赛）己 知 实 数 小 八 z满 足，+）+z=2020+L=焉 求 x y z 202。证：工、.八 w中 至 少 一 个 为 2020.32.（2020浙 江 高 三 竞 赛）己 知。（#，Q W 为 整 系 数 多 项 式，若 尸 2O2O）Q（x）=1,求 P。），Q（x）.v+y+xy=833.（2019 新 疆 高 三 竞 赛）己 知 x、j，、z是 正 数 旦 满 足 h+2+户=15.则|z+.v+zv
9、=35工 七），叶 2+毛，=.34.（2019山 东 高 三 竞 赛）已 知/-3/+9是 素 数，求 正 整 数 的 所 有 可 能 值（a+o+d=335.（2019全 国 高 三 竞 赛）设 实 数 a、b、c、d 满 足 a2+h2+c2+el2=3.|abc+lx（1+cda+dab-I证 明：a（l a）,一）=c（l-c）.36.（2019 全 国 高 三 竞 赛）若（w R）为 某 一 整 系 数 多 项 式 的 根，则 称？为“代 数 数 二 否则,称，为“超 越 数”,证 明:(1)可 数 个 可 数 集 的 并 为 可 数 集：(2)存 在 超 越 数.37.(2019
10、全 国 高 三 竞 赛)是 否 存 在 实 数 A,使 得 小、=八-W+)尸+巧 伊+己+Z)是 一 个 二 亓 名 项 式.、7 x+y+za=】+c38.(2019全 国 高 三 竞 赛)已 知 非 零 实 数、从，、/满 足 i/,八.(1)证 明：二 次 方 程.V2+C(-2c)A-(/r+r)(-、4、，一 中 某 一 个，且 另 两 个 恰 为 方 程 丁+(“一 3)x+“2-3“=()的 两 实 根.试 求/+/+/的 最 小 可 能 值.40.(2019全 国 高 三 竞 赛)设 2006个 实 数,的,“刎 满 足 多+g+探=：幺+刍+.+3=%+生+.+,，工+_+
11、.+3=,3 4 2008 5 4 5 2009 7”-2007 2008 4012 4013求 代 数 式 与+.+端 的 值.41.(2018 全 国 高 三 竞 赛)求 出 所 有 使 工+尹 从 一+2+匕 0 火 均 为 整 数 的 正 有 理 数 组.V y z(A；y,.v)Cvyz).42.(2018全 国 高 三 竞 赛)已 知 复 平 面 上 的 正 边 形，其 各 个 顶 点 对 应 的 复 数 恰 是 某 个 整 系 数 多 项 式/(8)=/+%尸+4 工+4 的”个 复 根.求 该 正 多 边 形 面 枳 的 最 小 n43.(2021 浙 江 高 二 竞 赛)已
12、知 二 次 函 数 江=+*(.fee R)有 两 个 不 同 的 零 点.若/伊+2x-l)=。有 四 个 不 同 的 根 小 旦，演，占，5 成 等 差 数 列，求 的 取 值 范 围.44.(2021 全 国 高 三 竞 赛)设 函 数/(K)=a-V+bK-l有 三 个 正 零 点，求 g(4,)=r-的 坡 小 值.a(b-a)45.(2019江 苏 高 三 竞 赛)己 知 实 数“、b、c均 不 等 于 0,且+。+(=U+从+/=贮，求 四 士?*”一 变 七 色 包.的 值,2 abc46.(2019 全 国 高 三 竞 赛)已 知 非 常 数 的 整 系 数 多 项 式/(1
13、)满 足(x,+4.r+4,r+3)/(4)=(/-2X2+2K-1)f 卜+1).正 明:对 所 有 正 整 数(2 8),）至 少 有 五 个 不 同 的 质 因 数.47.（2019 全 国 高 三 竞 赛）已 知 正 A48c的 三 个 顶 点 在 抛 物 线 上.试 求 正 A48C中 心 的 乳 迹 方 程.48.（2019 全 国 高 三 竞 赛）已 知 方 程 Y+p x+g=0 和 寸-2丫+厂=0 都 有 实 根（/，、q、rsR,。0）,且 可 以 安 排 适 当 的 顺 序 分 别 将 两 个 方 程 的 根 记 为 外、%和 X，X 厕 M X 7 亚=I成 立 的
14、充 要 条 件 是 1+2/J（什 厂）+1=p.49.（2019全 国 高 三 竞 赛）试 求 出 所 有 实 系 数 多 项 式/（x）,使 得 对 满 足 tib+E=（）的 所 有 实 数“、b、c 都 有 八-）+/（-）=2/（“+/?+c）.50.（2018 全 国,高 三 竞 赛）求 所 有 正 整 数 对（P M、）.其 中，/且（M）=I,使 得竞 赛 专 题 1 3 多 项 式(5 0题 竞 赛 真 题 强 化 训 练)一、填 空 题 1.(2021 全 国 高 三 竞 赛)若(20 x+ll.y)3=1+*+c v N+d/,则 a-2b+4c_&/=.【答 案】-8【
15、解 析】【分 析】【详 解】令 x=I,y=-2,条 件 式 立 即 化 为(-2)=-2/7+4c-&/,即 a-2/,+4b,a+b+c=0,且 为 泼+/M+C=0的 两 实 根.则 忖 一 阊 的 取 值 范 围 为.【答 案】0,3)【解 析】【详 解】由 a+b+c=0,知 方 程 b c.a十 b+c=0,故 a0,c V O,且 a a c c.则 一 2，v-g.a 2故=()4 从 而，忖 7；同 0,3).故 答 案 为 口 3)3.(2018 湖 南 高 三 竞 赛)四 次 多 项 式/-l&P+kF+ZOOx-Ngd的 四 个 根 中 有 两 个 根 的 积 为 3
16、2,则 实 数 k=_.【答 案】86【解 析】【详 解】设 多 项 式 X-I&P+Q 2+2(X)X-I9 8 4的 四 个 根 为 中 当、右,则 由 E达 定 理，得-V|+.v2+.v,+.Vj=18,.V|X,+ApV,+M W+.v2.v；+x2x4+x5.v4=k,.v.Ai.y,+A/r%+.r,.t3.r4=-2(X),.外 玉.0。=-1984.设 N%=-32，则.v,.r4=62,故 62(.V,+.v,)32(A,+.v4)=-20.x.+x,=4,又 为+勺+&+士=1 8,所 以.故=玉&+*0+(X|+丛)(.q+x4)=86.故 答 案 为 864.(201
17、8,湖 南 高 三 竞 赛)已 知 n 为 正 整 数，若 空 即 二 3 是 一 个 既 约 分 数，那 么 这*+6/7-16个 分 数 的 值 等 于.【答 案】【解 析】【详 解】因 为：J：；：=：；熏 4 当”2=1时，若(+8,+5)=(+5,3)=1,则，E上 即 二 U1是 一 个 既 约 分 数，故 当=3 时，该 分 数 是 既 约 分 数./*-6/-16Q所 以 这 个 分 数 为 A.O故 答 案 为 5.(2019全 国 高 三 竞 赛)已 知 关 于、的 方 程+x+r=0 的 三 个 非 零 实 根 成 等 比 数 列，则【答 案】0【解 析】【详 解】d+d
18、q+dqz=设 这 三 个 根 分 别 为 4、4/、dq-,由 韦 达 定 理 得 上/%+2+%=/代 入 式-c,故“，-/=().故 答 案 为 06.（2021 全 国 高 三 竞 赛）若 实 数“，满 足”_=2.空 里+上 生=4 则/=I+1-/?空 上+匕 色 1=40()(1+)+(1-后(_)=4(1+“)(1-)，【答 案】82【解 析】【分 析】【详 解】I+-h(a-b)(a h)*1+3ab-(a b)2 lab-(/?)+2=4+4(“一)4ab=ab=1,a5-h5=(?+h2)(/-)-(av+by,)(.v+y)=I6(.r+_y)=(av+hy4)+a
19、y+/?y2)=I6(.v+y)=42+7.9,=16(.v+.V)ax2+hy2=7=(a I6+3A I=7(A+v),联 立 式、解 得 x+.r=T 4,母=-38.则,“+/，)，=42=(m+bj)(.v+),)=42(x+),)=(a?+by5)+.vy(ix+by)=42(.v+.y)=a?+by-=42(.v+y)-l 6xy=20.故 答 案 为 208.(2019全 国 高 三 竞 赛)设 抛 物 线.-一 的 一 条 弦/。被 直 线/：)，=A(x-l)+l(&eZ)垂 直 平 分.则 弦 照 的 长 等 于.【答 案】Vio【解 析】【详 解】设 直 线 P Q 的
20、 方 程 为 了=-工+分(显 然 否 则，/不 可 能 垂 直 平 分 P Q).k2y=x由 I 消 去 工 并 整 理 得 v2+k、-bk=0.y-x+p,由 P Q 与 抛 物 线.9=X 有 两 个 不 同 交 点，知 上 式 的 判 别 式 大 于 零,即 K+4从 0.设 P Q 的 中 点 为 M,则 有=-g，X”=g+bk.而 在 直 线/上，所 以，人=人 3 代+从+将 式 代 入 式 整 理 得：(八 2乂&2-24+2)0.解 得-20,乂 由 A e Z,知 太=-1.将 A=-l代 入 式，得 二 一 1.于 是，直 线 P Q 的 方 程 为.xx-l.f
21、y=V-I由.消 去 儿 得 V _ 3V+i=o.I 厂=工 设、声 为 其 两 根，根 据 韦 达 定 理 得 为+凸=3.xrv2=I.故|PQ|=J1+烷 Jb-.qlA+x2)-A(.V2=1-故 答 案 为 加 9.（2019 全 国 高 三 竞 赛）对 正 整 数 k,方 程（a2-大 心 2-4）=，2-A.的 整 数 解 组 有 个.【答 案】无 数【解 析】【详 解】H乂=+l,r=ab-k,则 c?-k=a2b2-2kdb+k2 k-人）（2-人.）=2 2_人.（“2+2）+公.因（+1）+1=2+1,所 以.（l-Q（5-k）=c2-Z：.由 h 的 任 意 性 知，
22、方 程 有 无 数 个 解.故 答 案 为 无 数 10.（2018 全 国 高 三 竞 赛）在 发 数 范 围 内，方 程 F+px+l=0（R）的 两 根 为“、夕.若|。-刈=】，则 P=.【答 案】6或 4【解 析】【详 解】若 方 程 有 实 数 根，则 这 两 个 实 数 根 分 别 为 撞 里 与 迈 I，此 时，/）=石；2 2若 方 程 无 实 数 根，则 这 两 个 复 数 根 互 为 共 扼 复 数，分 别 为 士 G+i 与 6-i2 2此 时，p=611.（2021全 国 高 三 竞 赛）在 I,2,3,4,.,1000I,能 写 成+1（“w N）的 形 式，且 不
23、 能 被 3 整 除 的 数 有 个.【答 案】501.【斛 析】【详 解】设 5=1,234,1（）00,若“=从+1,则 3（mod4）.又4A=(2A)3-(2A-1)2+1.44+1=(人 I)?-(1)2+1,4A+2=(2A+l)2-(2A-)3+l.因 此，n=a-b-+1 当 且 仅 当 n*3(m od44).令 A=wS|三 3(mod44),fl=/?eS|fts()(m od3),则 A c 8=c e S|c三 3(m odl2),因 为 闻=2 5(),同=333,|A c 同=8 4,从 而 符 合 条 件 的 数 的 个 数 为 1(XX)-250-333+84
24、=501故 答 案 为 50112.(2020浙 江 高 三 竞 赛)设 曲 线 C：J(X)=X3-3 X2+2X,若 对 于 任 意 实 数 A,直 线)=kv+/与 曲 线 C 有 且 只 有 一 个 交 点，则 的 取 值 范 围 为.【答 案】0.【解 析】【详 解】直 线 F=心+与 曲 线 C联 立，消 去)得：f-3/+(2-A).v-/=().法 上 出 题 设，该 方 程 对 任 意 的 w R,均 有 且 乂 只 有 一 个 实 数 解，设 g(.t)=F-3.d+(2-A)x-,则/(x)=3 Y-6 x+(2-k),则=3 6-l2(2-A)4 对 任 意 的 A e
25、R恒 成 立，这 不 可 能 成 立，故 人 的 取 值 范 围 为 0.法 2：设 方 程 的 根 为%,则.?-3A-+(2-k)x-b=(.v-.r(1)(.v2+tv+).由 题 意 得.方 程 F+武+=0 无 解，或 方 程 的 根 为 品.对 比 两 边 的 系 数 得：3m=THX。=-3的 n-m x)=2-k=，n=5-k一 叫=-h hii=%因 为 V&w R,所 以 e R,方 程 V+故+=0化 为.V3+,v+=0(*)9 4 1)(1)方 程(*)无 解 时，则=1 9%对 任 意.。工 0恒 成 立，玉)上)故 人 的 取 值 范 围 为 0.方 程(*)有
26、唯 一 的 解 则=-竺=0 n.%=工 r W T+3+=0.%4b 4 h)9矛 盾.综 上 所 述，的 取 值 范 困 为 0.故 答 案 为：013.(2019江 苏 高 三 竞 赛)若 y2 是 关 于 X、y 的 多 项 式/-5x+y+6 的 因 式，则“一 的 值 是.【答 案】1【解 析】【分 析】结 合 因 式 分 解 待 定 系 数 V+v+/-5x+.v+6=(x+-2)(.r+力+,”),即 可 得 解.【详 解】由 题：K+.V-2 是 关 于 x、y 的 多 项 式 f+，”/,-5*+y+6 的 因 式,所 以 F+aw+by2-5.v+y+6=(,r+,-2)
27、(.r+by+m)即 x3+ary+hy1-5 v+y+6=.vJ+(/?+1)xv+by2+(zw-2).v+(in-2I)-2m所 以=/?+!-2-5m-2/=I-2/n=6a=I，解 得=-2m 3所 以“一 的 值 是 I.故 答 案 为：I【点 M】此 题 考 杳 多 项 式 因 式 分 解，利 用 待 定 系 数 法 求 解 系 数，也 可 利 川 赋 值 法，结 合 特 殊 值 求 解.4(2。江 西 高 三 竞 赛)设 Q。，且 八 9 7,则 八 卜【答 案】123【解 析】【详 解】1X H X=X?+7 4 2=9,所 以.r 4=3.由 49=卜+)=x、J+2,则
28、47.所 以 y=，+口 一 二+3)故 答 案 为：123.15.(2019江 西 高 三 竞 赛)将 集 合 I，2.19 中 每 两 个 互 异 的 数 作 乘 积，所 有 这 种 乘 积 的 和 为.【答 案】16815【解 析】【详 解】所 求 的 和 为;(1+2+.+19尸-俨+2?+19，=(36100-2470)=16815.故 答 案 为：16815.16.(2019 山 东 高 三 竞 赛)整 数 使 得 多 项 式/(T)=3/，”一 一 2,可 以 表 示 为 两 个 非 常 数 整 系 数 多 项 式 的 乘 积，所 有 的 可 能 值 的 和 为【答 案】192【
29、解 析】【详 解】由 题 总 知 於,)=(，*+x+c)(&+e).其 中“、/、cd、e均 为 整 数.且 不 妨 设(“，)=(】，3)或(3,I).若(a,J)=(1.3),则 一 5=7(-1)=(1 一 加 r)(-3+e),所 以(-3+e)|(-5),得 听 一 2,2,4,8：又/卜 三)=0 得 e1=3(ne-3n-6).有 3|e,矛 盾.若(a,0=(3,I),一 方 面 由 一 5=/(I)得&-1)|(一 5),有 片 一 4,0,2.6；另 一 方 面.力)=0,得 3/e-2=0,故 可 以 求 得”的 值 为 38,-2.26,130.所 以 所 求 之 和
30、 为 192.故 答 案 为：192.17.(2019全 国 高 三 竞 赛)已 知 关 于 的 方 程 f+(“-2010).v+a=0(“x0)的 两 根 均 为 整 数.则 实 数”的 值 为-【答 案】4024【解 析】【详 解】设 方 程 的 根 为-vi、占(N X2)-由 韦 达 定 理 得 兴+占=一（一 2，IO）,X R=a.则-+A+.q=201（）,即(再+1)(9+1)=2011.又 因 为 2。1 1 为 质 数，所 以，I M：=刈 0,。嘿 I x.=2=012,故=。（舍）或）24.18.（2019全 国 高 三 竞 赛）已 知 实 系 数 方 程 加-V+公
31、-1=（）有 三 个 正 实 根.则 p _ 5a2-6ab+3的 附 小 值 为【答 案】108.【解 析】【详 解】设“r5-.$+辰-1=的 三 个 正 实 根 为 M、匕、vj.由 书 达 定 理 得 9+%+、=：，b 三 匕%+彩 匕+匕 匕=,，a由 式、得“（）.h（）.由 式、得 4 3 6.a而 3（耳 f+丹 丹+匕 甘）&（匕+匕+匕）=3 3;=3ab 5a2+1(/?-一 2唧-2 J&-2、=9a2-4 a b+()=5a2+1 4 r/(/?-a).4 a（b a）4则 7 7-=-l8.a（b-o）cT故 当 a=今,b=6 时,取 最 小 值 108.故 答
32、 案 为 10819.（2019 全 国 高 三 竞 赛）若、三、内 是 关 于 x 的 一 元 三 次 方 程 9-5.d+5.t+1=0 的 三 个 两 两 不 等 的 复 数 根，则 代 数 式（X；+N N+-v；）（-v；+汽+,r；）（*+.卬 5+d）的 值 为【答 案】625【解 析】【详 解】由 韦 达 定 理 得 X,+.V2+=5,.VrV2+X2.v,+AA|=5,4 0 戈 3=-I.则(.V；+A|A2+X；)+X内+A；)(X；+工 内+A；)工：.匕 犬；X；.v；5工；5M-(5.v,-5.0-I)N-占 占 一 事 七 一%、一 看 5.v；-5工-1-(5
33、4-5.V5-1)5M 5.1-(5卜 5%1)4 一.q 七 一%=12 5(.、+&T)(M T)(M+N 7)=I25(4_.V J(4 _$)(4_%)=625.20.(2019全 国 高 三 竞 赛)对 xwR.”w N.,定 义 c：=出 二!土 二 竺 D.设 nP(x)是 一 个 6 次 多 项 式 且 满 足/()=1,P(A)=2i(*=1,2,6).用 仅=1,2,6)表 示/(司=.【答 案】1+C：+C：+C；【解 析】【详 解】由/,()=1,知 存 在 多 项 式 0(x)使 得 P。-)=I+xQ(、).故 1=。=I+Q，有 0=().又 有 多 项 式。2(
34、K)使 得 Q(-V)=(.1)2 3,即。(“=l+.v(.v-|)(22(-v).故 2=P(2)=I+2 Q,有 0(2)=g.从 而，又 有 多 项 式 R(x)使 得。2(M=(X-2)Q G)+；.则 P(.v)=l+C；+.v(A-l)(x-2)&(A).又 由 4=尸(3)=I+3+3!如 2),知(?,(3)=0.故 Q 3=(.r-3)2(-V),p(.v)=+C-+A-(.v-1)(x-2)(.v-3)(A).进 一 步 有/J(.v)=l+C；+C+-V(A 1)(X-2)(.V-3)(A 4)(.V).继 续 下 去 并 利 用 P(-v)是(,次 多 项 式 可 得
35、。=1+C+C*.故 答 案 为 1+C：+C：+C：21.(2018河 北 高 三 竞 赛)若 实 数 x、y、z满 足 F+./+=3,K+2)，-2Z=4,则 Zg、+。=-【答 案】*【解 析】【详 解】由 柯 西 不 等 式 得 M+r)(l+22)(x+2,由 己 知 得 V+y2=3-z(x+2yf=(4+2z,所 以 有 5(3-巧 2(4+22?，化 简 得 9Z2+16Z+140，即 Z.、ZE%方 程 9z?+16z+1=0 的 两 根，由 书 达 定 理 得 Znu,+Zm；n=-.22.(2018 福 建 高 三 竞 赛)己 知 整 系 数 多 项 式/(K)=*+4
36、/+a.r2+a.x+火，若/(6+应)=0,/(l)+/(3)=O,WJ/(-!)=【答 案】24【解 析】【详 解】设=6+无，则 与 一&=忘，于 是-2 6%+3=2,2=a：+1.所 以(26,=(x：+),x；-IO.VJ+1=0.所 以=6+/足 多 项 式 g(.v)=.v4-l Of+1的 一 个 根.又.=G+五 不 可 能 是 三 次 整 系 数 多 项 式、二 次 整 系 数 空 项 式 的 零 点.所 以 g(x)整 除/(X).故 J(x)=g(.v)(.v-r)=(.V4-!()X2+1)(x-r),，,为 整 数.所 以/(l)=8(1，)=-8+8/，/(3)
37、=-8(3-r)=-24+8r.由/(l)+f(3)=0,得(-8+8r)+(-24+8r)=0,-=2.所 以/()=(X4-10.v3+l)(.v-2),/(-l)=24.23.(2018全 国 高 三 竞 赛)设“、lb+c2+2/)c=V2+2+l=(?+l).由 根 与 系 数 关 系 知，b、c是 关 乎，的 一 元 二 次 方 程/不/+1)/+“2-5=0 的 两 个 实 根.由=(+1)，-4(/一 4“一 5)2,解 得-I al.令/(“)=ah+hc+ca=a(b+c)+be=a(a+)+a2-5,-51所 以，/(a)=2(+l)a-或/(4)=-5(“+l)(-l
38、447).易 知，当“)=-5(+1)时，-40/()0；当/(a)=2(“+l)“一|时，4g-/()72.所 以+仪、+c”的 取 值 范 围 是 卜 4(),72.824.(2018 全 国 高 三 竞 赛)设 实 数”使 得 关 于 x 的 一 元 二 次 方 程 N-5m+66-l7l5=0 的 两 个 根 均 是 整 数 厕 所 有 这 样 的 是.【答 案】870【解 析】【详 解】设 两 个 整 数 根 为 超、%(%4%).由 根 与 系 数 关 系 得=.+，从 而，”是 整 数.由 原 方 程 得“=5 155166=.v+l3+5.V-66O 5（_A-8 571）eZ
39、（因 为 F C,5 与.51-66互 质）5.v-665A-66-5x857+66 4219O-G/O-G Z5.V-66 5 A-66。5x-66=1 或 土 4219(因 为 4219 是 质 数)o x=l3或 857.所 以，a=13+857 式 13+13或 857+857,即“=87（）!哎 26 或 1714.由 方 程 有 整 数 根 知 5,，这 与”=26,1714矛 盾.故/=87().25.（2018全 国 高 三 竞 赛）设 多 项 式/（、）满 足 2/（x+l）+3/（x-l）=IO./+ll.r+32.则）=【答 案】2.V2+3.V+5【解 析】【详 解】注
40、 意 到/（N+1）与/（1 I）的 次 数 相 同，而 右 边 为 二 次 的，故 A）=/+6+U.代 入 题 设 等 式 并 比 较 两 边 系 数 得“=2.=3,C=5.因 此，/（v）=2.v3+3x+5.26.（2018,全 国 高 三 竞 赛）已 知 关 于 x 的 方 程 F-4A?+5 A+“=0（a e R）有 三 个 实 数 根 弓.%为.则 max.%S的 最 大 值 为.【答 案】2【解 析】【详 解】不 妨 设.0=m a x k，Xj,.q.由 韦 达 定 理 x得+x2+.晨 v.=4,=k=5 fx（+.A-,=4）-=.v5-/（4-斗）于 是，以 N、为
41、 根 的 一 元 二 次 方 程 为.-（4-）*-5+.虱 4-）=（）=（4-x J-45-.v,（4-$）2 0 n 3x；-8.v,+4 易 知 4”“2020 I-当 入 2 0时，/(.)0.所 以 E 0.由 均 值 不 等 式 知 2020-x,.202W行(i=l,2,、2020).这 2020个 式 子 相 乘，得 2020(2020P(2020)=4202Vn(22-“初。2 0 2 产 匈 产 n*V z=。M 202产、伊-V 02O2U=202 严 2。*0a第 20212020.当 P(x)=(x+1)如。时，等 号 成 立.故(2020)的 最 小 值 为 20
42、212Mo.故 答 案 为：202产 20.28.(2021 浙 江 高 三 竞 赛)已 知 方 程 F+m+=o 有 两 个 不 同 的 实 数 根，则 Y+小+(-2)V-av+1=0有 个 不 同 的 实 数 根.【答 案】4【解 析】【分 析】【详 解】设 项 与 与 是 方 程 炉+“r+=()的 两 个 不 同 的 根.由：达 定 理 知 N+占=-a,玉=b.不 难 验 证,f+av+(ft-2).v2-av+1=x2-(.v,+A;).r3+(-VIX2-2).V2+(.V|+X,)A+I=(/-w i)(F 1)、剩 K 只 需 证 明，方 程 F-中-1=O,1-X,A-I
43、=0的 根 是 实 数 L两 两 不 同.事 实 匕 这 两 个 方 程 的 判 别 式 显 然 都 是 正 的，所 以 个 有 两 个 不 同 的 实 数 根，而 若 X 是 这 两 个 方 程 的 公 共 根.则 有(F-.v,.v-l)-(x2-Arv-l)=-N)=0.于 是 x=0,是 X=0 却 明 显 不 是 它 们 的 根.所 以 方 程/+公+(-2).-+1=0 有 四 个 实 数 根.故 答 案 为：4.29.(2019 福 建 高 三 竞 赛)已 知/)=./-lOx+ad+Za+c,若 方 程%)=0的 根 均 为 实 数，加 为 这 5 个 实 根 中 最 大 的
44、根，则，的 最 大 值 为.【答 案】4【解 析】【详 解】设.仆)=0 的 5 个 实 根 为 芭 触 J x我 儿，”,则 由 书 达 定 理,得，+N+X,+为=0,W?(.V,+X,+A；l+.V4)+(.V,X,+N N+X,Aj+x,x,+x,.v4+x；芍)=-10.于 是,卬?+.v,.Vj+与+,r2.r?+x2x4+%为=-10+in1.所 以 x：+x；+x；+.v;=(xt+x2+.V,+.V4)：-2(.V1X2+.VIAJ+N&+.v2.v,+.0。+内)=?2-2(-10+ni2)=20-F另 一 方 面，由 柯 西 不 等 式，知(.+三+.“+.”4(xf+.
45、r；+,v；+石).于 是，“法 网 20 P)、I6,f?4.乂 对.小 Kx-4)(.r+l)4=f _ Ox3_ 201-15 矛 4.方 程 的 根 均 为 实 数，且 5 个 实 根 中 最 大 的 根,”=4.所 以”，的 最 大 值 为 4.故 答 案 为：4.二、解 答 题(共 0 分)30 20 2企 国 高 三 竞 赛)设 均 W(N)是 方 程 侬.+=()的 两 个 实 根，,%(为%)是 方 程/+Av+1=0 的 两 个 实 根，若 与:占 三 A.AS=一 q+.0=-=一.a a-a a前 后 两 式 分 别 和 除，得+;=-6=+.2 4 3 工 J因 为
46、X/,=二 0,所 以.*、.与 同 号.。一 八 J I 1 I I)I IfX?().,x2 X4,矛 盾.,1 1 1 1 1 1 1 1Xi Xy-V x2 0.v4,则 一-_ 0,即 o.a1 1 1 1 1 1 1 1 c又 因 为$为 戈 2 X，得 一 一 一-7 0即/，结 合 0,知 实 数。的 取 值 范 围 为 al 1.31.(2021全 国 高 三 竞 赛)已 知 实 数 x、j，、z涉 足 了+2=2020,+1+1=短 求 x y z 2020证：x、y、z 中 至 少 一 个 为 2020.【答 案】证 明 见 解 析【解 析】【分 析】【详 解】由 题 意
47、 知 2020(A J+)-Z+ZX)=ATZ.故：(A-2O2()(.y-2()2()(z-2()2()=.vyz-2020(.0+yz+zv)+20202(.r+y+z)-2020=2O2O;(.v+y+z-2020)=0,故 x、.1、二 中 至 少 一 个 为 2020.32.(2020浙 江 高 三 竞 赛)已 知 P(x),Q(为 整 系 数 多 项 式,若 P-(A)-(.V!-2020)G(.V)=I,求 P(x),Q Q).【答 案】答 案 见 解 析【解 析】【详 解】由 题 意 得：)-1=(.d-2020)Q(.v),L!|J P(.v)-l P(.v)+1=(.v2-
48、2020)Q(x).因 为 F(.r)+l-P(A)-l=2,故 P(x)+1,P(A)-1 无 公 约 式，若 0(6=。，则 2。)=1,若。(、)H(),因 为 P。)，Q(x)为 整 系 数 多 项 式,则 P(x)-1=_ 2020)?,(.v)J P(x)+1=(./-2020)/,(.v)P P(.V V)+1 1=/,(A A)P(A)-|=/,(.V)其 中 q(.V),%(R无 公 约 式,P(.v)-1=(.V2-2020)/)(.v)P(x)+l=%(x)则%(x)=(Y-202()4(x)+2,故 P(x)=(.v2-2020)/,(.v)+l,Q(x)=qG)(.d
49、-2020)(.t)+2.同 理 当 a.o+iXY-zozobM)P。)-1=/,(A)111.P(x)=(.r-2020)/(A-)-I,Q(.r)=q,(x)(V-202()儿(x)-21，综 上，P(-v)=(.r-2020)(/,(.v)-1,(2(.r)=/,(.r)(.t2-202()/,(A)-2或 P(x)=(x-2020卜 4(A)+1,Q(.r)=%(.v)(.v2-2 0 2 0)(.r)+2J,q(x)为 将 系 数 的 多 项 式.v+y+.vy=833.(2019新 疆 高 三 竞 赛)已 知 了、二 是 正 数 且 满 足 b+z+1z=l5则|z+x+zx=3
50、5.什)注 2+.9=.【答 案】15【解 析】【分 析】根 据 卢 飞 尸 8 知.叶 吐 物 1=9,即(1+A)(1+)=9,同 理 对 方 程 组 变 形，作 商 求 解.【详 解】由 X+.V+K产 8 知.v+产 券 4 1=9,即(+x)(i+y)=9.同 理 可 得(J+3)(1+z)-16(l+z)(i+.r)=36结 合 和 可 得(l+K)(l+J)a+2)=3x4x6,ft!和 可 知 z=7.同 理 由，口 可 得 x=g,尸 1.从 而.v+j+z+.ri=15.故 答 案 为：15【点 瞄】此 题 考 查 解 三 元 二 次 方 程 组，涉 及 利 用 因 式 分