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1、竞 赛 专 题 6 数 列（50题 竞 赛 真 题 强 化 训 练）一、填 空 题 1.（2020江 苏 诲 三 竞 赛）已 知 正 实 数“，h,满 足“+/，,+m=16（23）,则 为+c 的 最 小 值 为.2.（2021 全 国 高 三 竞 赛）己 知 工 丁 WR.3/+./=3,则+封+的 最 大 值 为 3.（2021 全 国 高 三 竞 赛）已 知 正 实 数，。90满 足 4+%+%侬=1，则 蜃 一 的 最 小 值 为%+ai%+wo+a4.（2021.全 国 询 三 竞 赛）实 数“、满 足 a、/=1,则 帅+maxa,的 最 大 值 是 5.（2021.全 国 高
2、三 竞 赛）已 知 圆+=1与.v轴 相 交 于 AJ?两 点，抛 物 线 C:.t=2”与 圆 O 相 交 于 C、。两 不 同 的 点，则 梯 形 八 8 CQ面 积 的 最 大 值 是 6.（2020浙 江 高 三 竞 赛）设“劣 0,则 max|miny+红 了 市=.7.（2021全 国 高 三 竞 赛）设 4*（）满 足“+c+儿=0,则-.一+_-cr+I 3+1 r+1的 最 大 值 是 8.（2021全 国 高 三 竞 赛）设 是 给 定 的 正 整 数，是 非 负 实 数，.（,.=1,则 历 7 的 最 小 值 是.9.（2021 浙 江 高 三 竞 赛）已 知 Y+）J
3、+z2=l,则 的 最 小 值 为.10.（2021浙 江.高 三 竞 赛）使 得 2/石 对 一 切 正 实 数”,恒 成 立 的 A最 大 实 数 为.11.（2021.浙 江 高 三 竞 赛）若 则 函 数）、=如 7c os x+3的 最 小 值 为 I 4 4/sfn A+cos.v12.（2021,全 国 高 三 竞 赛）已 知 等 腰 直 角 APQR的 三 个 顶 点 分 别 在 绻 腰 直 角 AA8 c 的 三 条 边 上，记 APQK、“8 C的 面 枳 分 别 为 5“小、则 沁 的 最 小 值 为 13.（2021 全 国 高 三 竞 赛）已 知 非 负 实 数 X、
4、.丫、z满 足 4/+4./+Z2+2Z=3,则 5、+4）+3z的 最 小 值 为 14.（2021全 国 高 三 竞 赛）已 知 两 个 非 零 向 量 而 斤 满 足 同=2,忱+2同=2,则 1 2戊+司+同 的 最 大 值 是.15.（2021全 国 高 三 竞 赛）设 三 个 不 同 的 正 整 数“、6、c成 等 差 数 列，且 以/、必、e为 三 边 长 可 以 构 成 一 个 三 角 形，则”的 最 小 可 能 值 为 16.（2021全 国 高 三 竞 赛）设、,且 满 足 x-2/m=2 V 7 7 Z j,则 r+）的 最 大 值 为 部 min U,17.（2021全
5、 国 高 三 竞 赛）设 正 实 数 4,%，一 必 冈 满 足 1,=1,则,十 寸 最-1 kt-1大 值 为 18.（2021浙 江 高 三 竞 赛）一 条 直 线 上 有 三 个 数 字 卬，%，.数 字%位 于 4，%之 间，称 数 值|，4-局+|%-为 该 直 线 的 邻 差 值.现 将 数 字 卜 9 填 入 3 x 3的 格 子 中，每 个 数 字 均 出 现，过 横 向 三 个 格 子、竖 向 三 个 格 子 及 对 角 线 三 个 格 子 共 形 成 8 条 直 线.则 这 8条 直 线 的 邻 差 值 之 和 的 最 小 值 为 最 大 值 为.19.（2021 全 国
6、 高 三 竞 赛）己 知 正 整 数、，且/2 2,设 正 实 数 叫.小 满 足 1 3=匕 则”（的 最 小 值 为.二、解 答 题 20.（2021全 国 高 三 竞 赛）求 所 有 的 正 实 数。，使 得 存 在 实 数 x 满 足 a2Z+am 2 2-21.（2021全 国 高 三 竞 赛）设，”为 正 整 数，且=稼+1,求 所 有 的 实 数 组 2 I2A 6.V,使 得.V,.=1+r 要-,对 所 有 i=1.2,，成 立.+W+X；22.（2021全 国 高 三 竞 赛）求 最 大 的 正 实 数 4,使 得 对 任 意 正 整 数 及 正 实 数,I,均 有 Z 2
7、-X-Xk A al X(J+X+十&23.(2021全 国 高 三 竞 赛)己 知 0 外 1(*0,1,()证 明：存 在/.ye(0.1,2.-,10),使 得 0 仪(勺-玉)*24.(2020浙 江 高 三 竞 赛)设 非 负 实 数:,证 明：I _I _ 6(c-/+/7+(p-1)4cib.27.(2021 全 国 高 三 竞 赛)求 c 的 最 大 值，使 得 对 任 意 的 正 实 数.r、.y、z,均 有 Er，-&2 2 c()j 其 中“Z”表 示 轮 换 对 称 求 和.28.(2021 全 国 高 三 竞 赛)求 所 有 实 数 x 2 l,z NI满 足：nii
8、nyx+xyz,J.v+.gz,yjz+xyz)=4x+Jy-l+I.29.(2021全 国 高 三 竞 赛)已 知“i=l,2,是 正 实 数,求 证：E 刈 储，区 1区/日 _ ah+bc+ca.31.(2021全 国 高 三 竞 赛)已 知 函 数”t)=(。(/+尿+(卜 4-1，记|/(可 的 坡 大 值 为 例(“).当、c变 化 时，求 的 嫌 小 值.32.(2021全 国 高 三 竞 赛)在 平 面 内 画 出(22)条 直 线，把 平 面 分 成 若 干 个 小 区 域，其 中 一 些 区 域 涂 了 颜 色，且 任 何 两 个 涂 色 区 域 没 有 公 共 边 界(可
9、 以 有 公 共 顶 点).证 明：涂 色 区 域 的 个 数 不 超 过;(2+).33.(2021全 国 两 三 竞 赛)设”是 一 个 大 于 等 于 3 的 正 整 数，当 满 足 什 么 条 件 时，对 任 意 实 数 q(i=12L,)总 成 立：(,-,)(,-)(,)+(2-i)(2-a?)(%-4,)+(”“一”|)(“一)“-%)之。.34.(2021 全 国 高 三 竞 赛)设 函 数 X)-I有 三 个 正 零 点，求g(&)=-r-的 最 小 他.a(b-a)35.(2021全 国 高 三 竞 赛)证 明：对 每 个 大 于 I的 奇 数，arccos(J=)是 无
10、理 数.n yjn36.(2021 全 国 高 三 竞 赛 己 知 q=q+o,+a“wN.求 证：nV w N.S*4.37.(2021全 国 高 三 竞 赛)已 知 正 实 数、/八 c满 足 求 证：(a+l)(+2)(/?+l)(c+2)。,+1)(+2)、3+之 一(+1)(+5)(c+l)(c+5)(+1)(+5)-238.(2021 全 国 高 三 竞 赛)若 数 列 求 证：存 在 无 穷 多 个 正 整 数，使 得 并 确 定 是 否 存 在 无 穷 多 个 正 整 数 使 得 q”求 5=父+yA+z4 的 最 大 值 与 最 小 值.41.(2021,全 国 高 三 竞
11、赛)对 每 一 个 正 整 数 N 2,求 最 大 的 常 数 使 得 不 等 式 CX同 4 Z W-勺|对 任 意 满 足=o 的 实 数 4，/,，为 成 立.i=l KJ；川 42.(2021 全 国 高 三 竞 赛)已 知 正 实 数%，/，必(2)满 足+&+4=1.证 4,“祥 3%】.十.士*q+2%+-2“+一 2(-1)43.(2021令 国 高 三 竞 赛)已 知 4 吗,4 为 正 实 数(2 4),且 满 足 网+jcif+/;(+!)!.44.(2021 全 国 高 三 竞 赛)设“4,2,3,2”(*wN.)是 连 续 个 正 整 数 组 成 的 集 合，求 最
12、小 的 正 整 数 k，使 得 M 的 任 何 R元 子 集 中 都 存 在，+1个 数 满 足 4 何+=1,2,45.(2021全 国 高 三 竞 赛)设 4，%,2 2)为 正 实 数,求 证：46.(2021 全 国 高 三 竞 赛)已 知 4 必,”0,求 证:(q+%+&+&)(“+q+a)(何，(4+%)&+).(%+)47.(2021 全 国 高 三 竞 赛)设 正 实 数 分“2，如，满 足 对 任 意 I M，4 屋 99有 必+ia,2 i+j,求 证:(,+1)(,+2)+99)1(X)1.48.(2021全 国 高 三 竞 赛)已 知 外 处 上.凡,且 满 足 其+
13、域+“：=1,求|a,-a,|+|,-3|+L+|.|-|+|-(|的 最 大 值.49.(2021 全 国 高 三 竞 赛)设 qwR.,i=l.23,，记：2=尸 2，:-二 其 中 求 和 是 对 1,2,.,的 所 有 C：个 上 元 组 合，/进 行 的，求 证：5 DA4l.(/f=1,2,-.50.(2021浙 江 高 二 竞 赛)设 x,V,z 0,6+4+y=|,证 明.V4+y2z2 y4+z2.r z4+y2x2、丁+下 一 一 之).v2(y+z)y2(z+.v)z2(y+.v)竞 赛 专 题 6 数 列（50题 竞 赛 真 题 强 化 训 练）一、填 空 题 I.（2
14、020江 苏 高 三 竞 赛）已 知 正 实 数 b,c满 足，必+/，+2+）（“+219+16=1（）,【答 案】*【解 析】【分 析】【详 解】4,r2+.ry+4x2+-+y1=.当 且 仅 当）=y=土”时 取 到 等 号.故 答 案 为：3.（2021全 国 高 三 竞 赛）已 知 正 实 数 6,加 满 足 4+%+4o2（=1，则 工+-+的 最 小 值 为 _.4+6%+%a2O2Q+at【答 案】yOO.5【解 析】【详 解】山 柯 西 不 等 式 知 当 且 仅 当“=3,=c=2 时，等 号 成 立.故 答 案 为：10.2.（2021全 国 高 三 竞 赛）已 知.v
15、.y e R.3x2+y2=3.则 4x3+xy+y2的 最 大 值 为(4+2)+3)+，+(。2220+%)-!+-=+叩()+%+/2 0=1，2 2 j且(4+/)+(%+(4)+(4 2 O M)+4)=2，所 以+1.q+a?%+小%+4 2“当 q=%=生 皿=五 上 时 取 到 等 少 故 答 案 为：y.4.(2021 全 国 高 三 竞 赛)实 数*6满 足/+/=,则 砥+m axa,b的 最 大 值 是【答 案】巫 4【解 析】【详 解】解 析：不 妨 设 0 4.则:a f=ab+b=.广(&+1)-(1)=-(1+)3 3n)_(3+3“+3-M 丫 _ 27-3,
16、(4 J=T?当 且 仅 当 a=-/=正 时 等，成 立,2 2故/的 坡 大 值 为 主 叵，4故 答 案 为：乎.5.（2021 全 国 高 三 竞 赛）已 知 圆 O：/+V2=I与、轴 相 交 于 A,R两 点，抛 物 线 C：.d=2.v 与 圆。相 交 于 C、D 两 不 同 的 点，则 梯 形 AZJC。面 积 的 最 大 值 是【答 案】经 4【解 析】【详 解】解 析:设 点 C（x,），）,、e（0.1）,则 梯 形 的 面 积 为（l+Q.y,而 不+=I 消 元，可 得 面 枳 为 S=（1+x）小-f.故 S：=（I+4（1 7）=；（1+（3-3月 4 啜，当 且
17、 仅 当=加 等 号 成 立,故 面 枳 最 大 值 为 也.4故 答 案 为：士 叵.46.（2020浙 江 高 三 竞 赛）设“/0则 max min 12a+b,/广)=【答 案】【解 析】【详 解】b 2(-n设 min42+，r Z J=析,则|b,十 b所 以 J（）满 足 a 则=-；+r 才+1/7-+1 r+1的 最 大 值 是【答 案】y【解 析】【详 解】取 AA C,使=tan,=tan,c=tan.2 b 2 2由 于 土,A 1.,8 1=cos-z-=sin,2/r+1 2 1+1.nC=snr 2所 以 2cos2 A _2si 且+3co/2 2 2=(1+c
18、os A)-(1-cos 3)+3=2 sincos-+3 12 2 1一 3 仙 c o s T)+3+L/=(2 3 2 J 3 2地 大 值 为 3+；=写.故 答 案 为：y.8.（2021 全 国 高 三 竞 赛）设 是 给 定 的 正 整 数，.三，,士,是 非 负 实 数，2.V,=l,M则 后 门 的 最 小 值 是.【答 案】0+（-1）【解 析】【详 解】先 证 明+I+y/2x：+1 y/x,+X,+I+1,事 实 J 两 边 平 方 后.化 简 可 得 上 述 不 等 式 等 价 于 3+2+1）（2&+1）2 2占+a+1,由 于（.*+l）（2x,+1）.V,+.V
19、,+1,于 是 式 成 立，所 以 成 立.类 似 可 证 明 g+内+1+依、+1&+当+&+1,.展 后 可 得 施 工？2iz+(-1)=应+(-|)：3 当 芭=L=占=X”=0 时,中 的“”即 为“=”.所 以 坡 小 值 为 近+（-1）.故 答 案 为：&+（-1）.9.（2021 浙 江 高 三 竞 赛）已 知 Y+y+z=l,则 1（9-3），2）+1 2 2 1+6 了）的 城 小 值 为【答 案】-1【解 析】【分 析】【详 解】因 为 M=x(.v2-3y2)+|-z2(.v+6 V)=(工+G y)j T=一?+2 6.昼+3.v 卜-+-|z2 J-(-V2 2
20、6 T.3./)+卜-6 F+F z。3-V2-y/ixy+z2当 x=-l,y=z=。时，取 得 最 小 值 T.故 答 案 为：T.10.（2021浙 江 高 三 竞 赛）使 得 心，+。”+：；2 加 对 一 切 正 实 数 一 恒 成 立 的 AA。*八 十 C/j最 大 实 数 为.【答 案】9【解 析】【分 析】【详 解】不 妨 设 ah=I,则 有 3（.”）+”.1,（k+3）（a+Z;）令 1=a+b,2/ab=2，则 有 a2+？=（a+b）2-2ab=r-2.则 有 3 1 一 2）+2 2（火+3）/.整 理 得 3/-a+3）/+2#-6 2 0.即 有（3 r-（火
21、 一 3）（，一 2）2 0.则/宗 恒 成 立，则 有 号 4 2 2 9.故 答 案 为：9.II.（2021,浙 江 高 三 竞 赛）若 则 函 数）=4nx8sx+3的 最 小 值 为 4 4；sm-v+cos A,【答 案】2丘【解 析】【分 析】【详 解】令 7=9in.Y+cosH=&sin(.r+?)w(0,虚,2(广 I)+3”2+|y=I)=三 二=2”之 2叵 t f t当 且 仅 当 2 y 1即/二 正 时 取 等 号.t 2故 答 案 为：212.(2021 全 国 高 三 竞 赛)已 知 等 腰 直 角 APQ R的 三 个 顶 点 分 别 在 等 腰 直 角 8
22、 c 的 三 条 边 上，记 APQR、AA8 c 的 面 枳 分 别 为 S j g、S.AM,则 部 的 最 小 值 为，/W C【答 案】I【解 析】【分 析】【详 解】(I)当 APQR的 直 角 顶 点 在 A 4 8 c的 斜 边 上,如 图 I 所 示，则 P,C、Q,R 四 点 共 圆，/APR=/CQR=180。-NBQR,所 以 sinNA，A=sin/8QR.pp AR C)R RR在 APR、ABQR中 分 别 应 用 正 弦 定 理 得；=.sin A sin NAPR sin B sin NBQR又 N A=N 8=451PR=QR,故 A R=B R，即 R 为
23、A 8 的 中 点.过 火 作 RHJ.AC 于 H.则/R2RH=l8C,2所 以 s,1Vll _%6 8cl _ I，此 时 沁 的 最 小 值 为 7.SiAI)eBCT BC2-4 3 c(2)当 d Q R 的 直.角 顶 点 在 AA8 c 的 百 角 边 上,如 图 2 所 示.设 BC=l,C/t=x(0 A 1)2BRQ=o a-|L则 Z.CPR=90-/PRC=ZBRQ=a.CR xT.Ri.CPR 中,PR=二 一，在 R Q 中，$ina sin ar 3B R=j.R 2=P R=-、/RQB=/Q R B-N B=n-a.sin _!._=-,1 S。,昧.（c
24、osa+2$inaj（1+22）（cos2 a+sin2 a）5当 且 仅 当 a=arctaii 2时 取 等 号，此 时 争”的 展 小 值 为 J-L，t，C J故 答 案 为：13.（2021氽 国 高 三 竞 赛）己 知 非 负 实 数 x、z满 足 4/+4片+Z2+2Z=3,则 5x+4.y+3z的 最 小 值 为【答 案】3【解 析】【分 析】【详 解】设 4.炉+4./=储（w N O）,则 HJ+（2+1）2=4.又 因 为 x,y2（）,所 以（2.r+2.a=4x2+4y3+8xy M,5x+4y+3z 4.r+4 v+3z 2if+3z.点（u,z）在 画 心 为（0
25、,-D,半 径 为 2 的 圆 上 运 动，结 合 几 何 意 义 和 w,z N O 知，当（”，,z）=（0,l）时，2卬+3z有 最 小 值 3,且 当.1=.丫=。,2=1时 等 号 成 立.故 答 案 为：3.14.（2021全 国 高 三 竞 赛）己 知 两 个 非 零 向 量 加 万 满 足 园=2加+2同=2,则|2戊+川+间 的 城 大 值 是.【答 案】随 3【解 析】【分 析】【详 解】设 所=(2.0),而+2”=(2cos.r,2sin.v),则 万=(cosx-Lsin.c).则：12访+”|+1”|=/(cos,v+3)*2 3+sin2%+J(cos.v-1)、
26、+sin.v-k,c=+K 为 正 整 数，由 于 以、c$为 三 边 长 可 以 构 成 一 个 三 角 形，则 9-6+/。+A)5 o/0b4k+20/,%+2ks.所 以 103于 是 a=b-k 9 k,即 有“29A+12I0.故 答 案 为：1。.16.(2021 全 国 高 三 竞 赛)设,，且 满 足 X-2 J 7=2历 4 一)，则 X+F 的 最 大 值 为【答 案】12【解 析】【分 析】【详 解】注 意 到 x+y=2(，r+2+Jy+4)/2-2cos.v而 x=7.v=5时 取 到 最 大 值 12.故 答 案 为：12.W 2 min”1 7.（2021全 国
27、 高 三 竞 赛）设 正 实 数 4。2，“,，.满 足 2,=1，则 夙 处。十 最 r-l 乙 为 大 值 为【答 案】I-忐【解 析】【详 解】解 析：最 大 值 为 I-S=min 鼻,A;=l+y Xo=l n l,人 口 记 必 口 吗（，则 故$4：=-二,即 十 乙 q 七 xii-i1-S 2 卷，对 i=1,2,3,2020,求 和，并 结 合 算 术-几 何 平 均 不 等 式.2 0 2(y有 2020(1-S)2 2 2020 xz 若 2020 _ 2020-JO蚯-20202故 S 力 一 忐,等 号 当 4=（啦）一（刈:后 尸=1,2,3,2020）时 收 到
28、.所 以 原 式 的 最 大 值 为 1-矗.故 答 案 为：1-马 11 8.（2021浙 江 高 三 竞 赛）一 条 直 线 上 有 三 个 数 字，%,%,数 字 的 位 于 4，%之 间，称 数 值 何-+k-为 该 直 线 的 邻 差 值.现 将 数 字 19填 入 3 x 3的 格 子 中，每 个 数 字 均 出 现，过 横 向 三 个 格 子、鞋 向 三 个 格 子 及 时 角 线 三 个 格 子 共 形 成 8 条 直 线.则 这 8条 直 线 的 邻 差 值 之 和 的 最 小 值 为 最 大 值 为.【答 案】36 60【解 析】【分 析】【详 解】如 图 1,这 8 条
29、在 线 的 邻 差 值 之 和：9M=|,-f l1+|,-fl,|+|os-o7|+“J+E-4 1+E-。J+14-4+鼠-I+Z L-q I,利 用 局 部 调 整 法,当=*=1,2.9)时,何 有 最 小 值 2+2+2+6+6+6+8+4=36.sxo当 如 图 2 排 列 时，M 有 展 大 值 Z i+(9+8-2-3)x 2=+24=60./-I 2故 答 案 为:36,60.q。2。5。6。7。8。99 524 1 63 7 8图 1 图 219.（2021 全 国 高 三 竞 赛）已 知 正 整 数 小 P,且 2 2,设 正 实 数”4.叫%满 足 力 77匕=，则 小
30、 4，的 最 小 值 为.【答 案】（n-ir【解 析】【分 析】【详 解】令 咪=tanj,*o.9，i=l.2.,由 题 设 可 得 cos?xl+cos飞+cos2旦=1,于 是:cos2 为+cos?*+cos2 AM.(=sin2 A;,cos1 xx+cos2 A2+cos2 xi t_2+cos?AM=sin2.vn_t,cos2 v2 4-cos2 Xy+-+COS2=sinlq,将 上 述 各 式 利 用 均 值 不 等 式 得：(-Dcos2 X|cos2 x2-cos2 A；,.,siir A;,.(/?-l),rcos2 A|cos2 A2.-COS2 xn2cos2
31、A;sin2 xltA(n-l)ncos2x2cos2,y,.cos2Msin?八，再 把 上 述 个 不 等 式 相 乘,得(一】)(cost%cos2.v2 cos2 x)sin2 x sin x2-,siir xw，即 tan2,V j tan2x2-tan2 A;2(-1)”.由 丁 m；1=tan2=1 2,故 叫 叫 m之(_)入 当 且 仅 当,=(_ j 时 上 式 等 号 成 立.故 答 案 为：二、解 答 题 20.(2021全 国 高 三 竟 赛)求 所 有 的 正 实 数“，使 得 存 在 实 数 a.满 足“2、+“即*2.【备 案/()，更 31,+8)【解 析】【
32、详 解】设，=小 高，则 不 等 式 化 为,+乌 _23().I当()1 忖，/efl.w3.因 此 不 等 式 可 化 为/_2，+“W0.设/(f)=八-2/+“，考 虑/在 I和/之 间 恒 小 丁 零，则/(1)0,/(2)(),“I故 卜,一 1乂+4-1)0，解 得 更 二！“1.所 以”的 取 值 范 围 是(0,更 D I.+8).2221.(2021 仝 国 高 三 竞 赛)为 正 整 数，且=+，求 所 行 的 实 数 组 2 nixX,X2,-.X,使 得 占=1+r _ 三 _L-r.对 所 有 i=1,2.，”成 立.年+$+匐【答 案】证 明 见 解 析.【解 析
33、】【分 析】第 一 步 化 简 原 式，第 二 步 利 用 A M-G M 不 等 式 即 可 得 到*=1或 加，这 两 种 情 况 是 对 称 的,不 妨 证 明*=1的 时 候 成 立，所 以 原 式 成 立.【详 解】由 已 知(2.得；=-7，故 全 相 等.Lxi-x；-1 v,-l旦 注 意 到 若 实 数，满 足 刍=白，则=+，即”=告.因 此 七 1,右.b*0./=1.2,.设 七 中 有 7 7,一 A=+1-A 个.则 有 0 4，+】,且 b I,b2/-.7 2 8k-+1+1-A 加=-,k即-+(厂+1 4)-1)=2/n.山/W-G 仞 不 等 式，若 0
34、2 4(/+1-1)2m.因 此 必 取 等.即 4=1或 R 这 两 种 情 况 是 对 称 的，不 妨 A=l,则-+ni2(/?-1)=2m,b-l知 一=-L,则=+L a=，+1./m若 人=0,则(/+1)出-1)=2,，即)=(；+1).=(1+1)-n r+1 2 m若 A=+,则 旧=2 八 即/；=例 士 工”=绰 上.b-1 2m n r+1综 上 可 知，苦 心 要 么 1个,+|./个 竺 1;要 么 全 是 丝 史.m n r+122.(2021全 国 道 三 竞 赛)求 最 大 的 正 实 数 工，使 得 对 任 意 正 整 数 及 正 实 数-V p-V pt,
35、Aw,均 有，力 一 一.&-U 人 人，&7*(*|*4【答 案】2 的 最 大 值 为 3.【解 析】【分 析】先 取.=1,&=2,%=4.,工=2 1 通 过 对 其 求 和 可 得 力 的 范 围,再 利 用 放 缩 法.,1 1 I、3 3nJ(!/-1-1-H-N-F,%内 勺+M.%+%+-,最 后 求 出 最 大 的 正 实 数 4 的 值.【详 解】一 方 面，以=.、=1,A=2,=4,，工“=2,得 1 13-A?h l.即 令 一 8,得 人 S3.一 I 1 4w-方 而 对 正 实 数 工，r 有 一 十 一?，故.V y N+yI I、4+-,.%-V,.%+%
36、I、4-十-N.%+工 1.v2.%+*+-V,I I、4+N-,+N+X2 Xy 一+.V j+x2+5，_!_+L-.%+%+.+4_|A；,%+.*+.+A；以 上 各 式 相 加,得 1.1,1、3.3 3-i-+.+-+-.%A|%.%+V j%+苦+Xy%+1+故 a=3时，原 不 等 式 恒 成 立.综 匕 彳 的 酸 大 值 为 3.23.（2021全 国 高 三 竞 赛）已 知 0 看 1（作 0,1、-,10）证 明：存 在/.j e（0,1.2.-.,10,使 得）、.【答 案】证 明 见 解 析【解 析】【详 解】不 妨 为 以 4 4%,设=-3），当 0 4 i 4
37、 J 4 10时，因 为 3x,xJ（xj-KJ（A；+若 七+-V；）（.vy-.,）=.r；-x-,即 3/(/,j)r；-x；,当 口 仅 当 i=/时，等 成 立.HI HI 1故 Z 3/(1/)Z(X；-XL)1，所 以 存 在 生(1 2 0,使 得 3/-1/)-1 1U/(f)*.所 以 存 在 i J 0,1 2,10,使 得 0 x当(专-X,)卷.24.(2020浙 江 高 三 竞 赛)设 非 负 实 数 K,二，证 明:1 I 1,=x+y+z+3(.v+l)(.v+D(z+l)6J3.【答 案】证 明 见 解 析【解 析】【详 解】(X-T 1=tZ证 设+1=1,
38、。之 l.cNl),z+l=c问 题 等 价 于 怔 明：;-.a+b-k-c abc 6q3当+？6 c 时，不 等 式 显 然 成 立：故 即 证：abc 3),探 究,匚 在 3,+6如 卜 力 大 小,即 比 哈 像 在 3,+66)的 大 小,/66 _/(6 6 7)-1 6 2 班 27 6/3-x 27(6j3-x)注 意 x:(6-.r)=i.r x(1273-2A)-+、+(1 2 6-2.=9673 6(c-)(0=.y Ia1+/?2-c2-6(c-a)(r-)=s1-8f+6s-7=y-(3.v3-24.v/+18.r-21.v)=3?-8(-l+?)+l8r-21.
39、v=(8-5.v)(.v-l)2.又 由 基 本 不 等 式 叫 得 1=J+2 故+*.4 5故 5 0,因 此+/，-6(c a)(c).5 3s26.(2021 全 国 高 三 竞 赛)求 所 有 实 数/，使 得 对 任 意 实 数”、均 有+宙+小+2a+(/)-1)向?.【答 案】/，的 取 值 范 围 是 0,3.【解 析】【详 解】易 见 同 吟 令 则 而 20，所 以。*0令。=/,=1,则 R|+2/,+1,所 以 04 4 3.下 面 说 明 当/e 0.3时，原 不 等 式 成 立.若 e0,l,则 也:+pb2 2 a.J、+pa，2,(/-4 1，所 以 原 不
40、等 式 成 立.若 I/4(/T).；.因 为 y(i:+ib+和+pa J s+Jf+(+)，=|a+b Jl+p，W Zi/+/?+(/?-1-Jab 4|a+/”+(p-1)了=(p+1)7.乂 因 为 I a+b.于 是 原 本 等 式 也 成 立.综 上 所 述，/，的 取 值 范 围 是 0,3.27.(2021全 国 高 三 竞 赛)求 c 的 最 大 值,使 得 对 任 意 的 正 实 数.r、/、z,均 有 g l-2 c(X-9,：-X-V2)，其 中“Z 表 示 轮 换 对 称 求 和.【答 案】色 拽 2五 瓦:一 J.2 2【解 析】【分 析】【详 解】注 意 到=(
41、.v-y)(y-2)(z-A),由 不 等 式 的 轮 换 对 称 性，不 妨 设.V最 小,则)，=工+4 2=3+，其 中”,2 0.所 以，原 式 等 价 于：x3+(X+)3+(.1+一.i(.i+a)2(3+a)(.v+一(.+b)x2 c(h-a)ah.化 简 得 2,v(一 而+y)+a+by-ab2 cb-a)ah.由 a2-ah+b，0.L 可 无 限 接 近 0,得+/户 一 加 之 c(b-a)ab，对 Pa.bNO成 立.乂 o+b 一 ab2 0.为 了 求 c 的 最 大 值,可 不 妨 设 0.令/，,；5-/2+1.a设/*(/)=一：1=：+/(/1),(/-
42、I)/(/-1)/(/-1)/)所 以/在，81,田)上 严 格 单 调 递 增.而 ft)=0 n J _ 2+J _ 2/+】=0=；+-1)一 2口 卜=(),料 彳 2-正+1+也 应-1,所 以/(，)住 I.2上 单 调 递 减.在 上 单 调 递 增.故“2 d 迈 上”三 呼 战 力-1,所 以,，的 以 大 值 为(3+0)，2陵-1-1.2 228.(2021全 国 高 三 竞 赛)求 所 有 实 数 X N L A L Z N I满 足:ininJjv+.q2.J.v+.vy?、#+5=yjx-1+Jy-I+J 二 一 1.【答 案】。乂 2=，1+(S)+其 中/().
43、【解 析】【分 析】【详 解】记 汗=I+=】+/2.Z=】+nr,不 妨()4/?.于 是 有 JT+&2+0+公)(1+尸)(1+，/)=&+/+1.平 方 整 理 得(代+1)(力 L 1-+(H+k-1)2=0,于 是 有 二 L 7+/=g.所 以/w o.；=，&=7./-+I V相 应 的 x=1+=,+；z=1+，/=-4.y y-1由 x y,即 l-(y+1)20,符 合 假 设.由 x4z,RP(v2+v-l)(y-1)S/2,y-1 0,又 y 2 1,符 合 假 设.,综 上，(*J.Z=.+(，yy,|+八+/.，其 巾/0.29.(2021全 国 高 三 竞 赛)
44、已 知 工 什=1 2.)是 正 实 数，求 证：Z 炉，1-v,后“+I-亏 V【答 案】证 明 见 解 析【解 析】【分 析】【详 解】要 证 明 原 不 等 式，只 要 证 明“Z j 4(+1尸 性.1)5 311 池 乃)=|)/=1即 证 4 x：+Z.VA-.1=14(+1)2 x：+2 Z r,i=l 恪)7.V；+Z Xixi x：+2 Z x,-x,只 需 证 明 4三 一(n+l)2三-四 色 一.r；+Z-ii isiys记 r二 1_E 川,则 只 需 证 明 4 1即 证 4n(t+l)2 7+，=H rI；，所 r.-.以,j d、2r所 以(，-l)T+2(-1
45、)/4 2(-l)2+2(/-I)2-4n=0.一 1叩(*)成 立，所 以 原 命 题 成 立.30.(2021 全 国 高 三 竞 赛)已 知 aAce-l,2,求 证：abc+4 ab+hc+ca.【答 案】证 明 见 解 析【解 析】【分 析】【详 解】构 造 一 次 函 数/(.v)=(/x-*-c),v-/x+4.V e-1,2.根 据 一 次 函 数 的 单 调 性，只 需 证 明/(-l)N和/(2)NO.I 9因 为/(1)=(be/，-)_ be+4=(2/?1)(2c1)4 2 2由 题 设,(2-l),(2c-l)e-3,3,所 以(2b-l)(2c-l)9,所 以/(
46、-l)NO.又 因 为 2)=2(c-c)-氏+4=(/,_2)(-2)20.综 上，原 不 等 式 成 立.31.(2021.全 国 高 三 竞 赛)已 知 函 数/(x)=(l-f 乂 1+尿 记|/(”的 最 大 值 为 何 伽 c).当 6 r变 化 时，求 M(,c)的 最 小 值.【答 案】3-2 0.【解 析】【分 析】【详 解】因 为 时 任 意 的 例 依 c),所 以 取*=(),1,九 0.得：.|/(0)|yw(/;.).=，(1-币(储+以+,)|/(-x)|W(*,c),|(_句(万 一 秋+C)4 M(晨)|/(小 w则 2|(l-23)(23+c)|l2)|c|
47、(2-A2)A/(/?,c),则 何().，所 以 用(,。22 A3:3 2-万)ma此 时 可 取 M=3-2-J2,h=0.c=20-3，此 时(I-F)任+2 0-3)4 3-2 0 o 卜 2-2+&了 W 0,显 然 可 以 取 到.综 上,M 上(，)的 搬 小 值 为 3-20.32.(2021 全 国 高 三 竞 赛)在 平 面 内 画 出(、2)条 直 线，把 平 面 分 成 若 干 个 小 区 域，其 中 一 些 区 域 涂 了 颜 色，且 任 何 两 个 涂 色 区 域 没 有 公 共 边 界(可 以 有 公 共 顶 点).证 明：涂 色 区 域 的 个 数 不 超 过
48、：(r+).【答 案】证 明 见 解 析【解 析】【分 析】讨 论 这“(，总 2)条 直 线 的 位 置 美 系，当 所 画 在 线 均 两 两 平 行,当 所 有 的 立 线 不 全 平 行 时,当 只 有 两 条 线 为 边 界 的 区 域 的 区 界 是 两 条 射 线.对 每 种 关 系 进 行 一 一 讨 论，即 可 证 明.【详 解】若 所 画 直 线 均 两 两 平 行,则 把 平 面 分 成(+1)个 区 域，当 为 偶 数 时，涂 色 区 域 个 数 不 超 过 等+1；当”为 奇 数 时，涂 色 区 域 个 数 不 超 过 一.H亍+1+11/(+).当 所 有 的 直
49、线 不 全 平 行 时，此 时 每 条 直 线 都 被 与 之 相 交 的 在 线 分 成 了 线 段 或 射 线，故 没 有 边 界 为 直 线 的 区 域.设 边 界 的 线(线 段 或 射 线)的 条 数 为，的 涂 色 区 域 有 叫(i=2 3/)个，EL边 界 上 最 多 k 条 线.只 有 两 条 线 为 边 界 的 区 域 的 区 界 是 两 条 射 线,每 条 射 线 只 能 作 一 次 涂 色 区 域 的 边 界，条 立 线 上 只 有 2n条 射 线,从 而“4 4.乂 每 条 4 线 至 多 分 成 了 段，条 田 线 至 多 分 成”2段，且 每 段 只 能 作 一
50、条 涂 色 区 域 的 边 界，所 以 2/w,+3叫+4,a+k”i*金,于 是 涂 色 区 域 的 个 数 叫+叫+叫 g/%+g(2，%+3(+fo?zj：+：，33.(2021 全 国.高 三 竞 赛)设 是 一 个 大 于 等 于 3 的 正 整 数,当“满 足 什 么 条 件 时,对 任 意 实 数 q(i=1，2,L,)总 成 立：(q-a J(-q)(q-。)+(/-)(外 一 心)(生 一 a)+a-q)(q 一/)a“-1),【答 案】=3或=5【解 析】【详 解】当 且 仅 当”=3 或=5 时 成 立.设 A=(%-电)(4 一“J(q-%)+(4-q)(%-%),*(