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1、竞赛专题2函数（50题竞赛真题强化训练）一、单选鹿1. （2019全国高三竞赛）函数/（）的定义域为0,若满足（1）f（x）在。内是单调函数：（2）存在力仁。，使/（x）在a上的值域为“.，则称F=/（k）为“闭函数”.现知=+*是闭函数，那么&的取值范围是（）.2. （2018全国高三竞赛）卜表示不超过实数x的最大整数，设N为正整数.则方程/一/=八一卜）在区间这xWN中所有解的个数是（）.A.M+N+lB.N2-NC.N2-N+D.M-N+23. （2019全国高三竞赛）设。（0“1）是给定的常数，/（x）是R上的奇函数，旦在（0,+8）上递增.若/（；）=,/（log.v）0,那么，X的
2、变化范围是（）.C.Ju.V1D.4ixf=y=4. （2019贵州高三竞赛）方程组的解的组数是（）A.5B.6C.7D.85. （2020浙江温州高一竞赛）已知实数m/5满足：对于任意的实数.V,不等式（hH）（IM/（N一2“2一|拄。恒成立，则|x-“|+|k-U的取值范围为（）.753A.L+8）B.-,+8）C.-+8）D：，+8）OO二、馍空题6. （2018,湖南高三竞赛）设a,bwR,a|的解集是8. （2020江苏高三竞赛）已知集合4=123.456,则满足/（/（功）=的函数/：共有个.9. （2021全师高三竞赛若函数的=-/775的定义域为值域为卜/向，则实数，的取值范
3、围是10. （2018山东高三竞赛）函数、）=2sin.rcos.q+kin.v+cosr的值域为.（其中卜表示不超过实数A的最大整数）.11. （2021浙江金华第一中学高三竞赛）设/3=（Y+4x+3守为定义在R上的函数.若正整数“涉足疗/化）=2021，则”的所有可能值之和为12. （2020江苏高三竞赛）已知函数/ID是定义在R上的奇函数，若/。）+.i+eT为偶函数,且-2）+/（“?）40,则实数的最大值为13. （202卜全国高三竞赛）已知sj是关于*的整系数方程.+bx+c=0（0）的两根，lvsv，v2,则当正整数“取得最小值时，b+c=.14. （2021，全国高三竟赛）方
4、程=I的不同的实数解的个数为(x-1)(a4)(.v-9)2.t+1,F+43x*+93(.v+l)(.v+4)(.r+9)+3|(v+1)A(x+4)，(x+9)715. （2018河北,高二竞赛）已知璃,yIn.1g2.v+|g2y=IgI（）.v2+Ig1Or,则“=1gxy的最大值为.16. （2018河南高三竞赛）己知“、/八c均为正数.则码的最大值为.17. （2018,甘肃,高三竞赛）已知函数F（a）=F+$inx（、eR），函数g（x）满足*（K）+&（2=。（AGR）.若函数/?（）=f（x-1）-g（X）恰有2019个零点，则所有这些零点之和为18. （2018甘肃高三竞赛
5、）关于r的方程lg（0,力X）和函数y=2+2（0,cx1）的图象均恒过同一个定点，则L+g的最小值为ab20. （2019重庆高三竞赛）设/为三元集合（三个不同实数组成的集合），集合8二*，y力，xy,若8=log26,log210。目215，则集合力二,21. （2019重庆高三竞赛）函数/“）=（Vi77+jn-3）bA7F+i）的坡小值为加，最大值为“，则丝=m22. （2019吉林高三竞赛）已知函数A）=?+x+，+2,若关于x的不等式.仆）小|的解集中有且仅有1个整数，则实数，”的取值范围为.23. （2019福建高三竞赛）已知/（x）=r+“/+.r+2的图象关于点（2。）对称，
6、则/（1）=.24. （2019河南高二竞赛）已知（数/（N）=4而+限+r（“AceR.。0）的定义域为D且点（“/”）（,，e。）形成的图形为正方形，则实数尸.25. （2019河南高二竞赛）已知函数/（河=./+如+反（”己w/?）,记A/C力）是|心）|在区间-IJ上的最大值.当“、满足M（a,b）2时，1。1+1川的最大值为.26. （2019贵州高三竞赛）己知函数/（x）=（e-e、/，若，满足/（|og,/）+/（log（15m）2（p），则实数，”的取值范围是.27. （2019,广西高三竞赛）设函数yAJiUFT+ZxJTP+lXxG，1），则的最小值为28. （2019广西
7、高三竞赛）已知AJhF+z=l2,则1%田+1喝y+gg”的锻大值为29. （2019浙江,高三竞赛）如图所示，将长度为I的线段分为a、J两段，再将K度为x的线段呼成半圆周/1C8,将氏度为y的线段折成矩形。小的三条边（8。、DE、EA）,构成闭“曲边形”疣8。力,则该曲边形面积的最大值为.CD30. (2021全国高三竞赛)在同一平面直角坐标系内，/=/+后+$+岳.v的图象与它的反函数的图象交点的坐标为31. (2021全国高三竞赛)已知函数八2是定义在实数集K上的奇函数,当1NO时，/(x)=g(k-“|+k-2“|-3.若/(.-2)-/(幻4。恒成立，则实数a的取值范围是32. (2
8、021 全国高三竞赛)已知函数/(* = I。&Y(1),若函数 = 8”)的图象上任意一点P美F原点的对称点Q的凯迹方程恰好为f(.v),若xe0.1),总有/(.v)+(.v)W成立，则m的取值范围是33. (2021全国高三竟褰)设常数“eR,函数/(x)=(“-x)N存在反函数尸(x),若关于的不等式(./+Mfix)对所有的xe-2,2恒成立，则实数，”的取值范围为34. (2021全国高三竞赛)设/?上的函数/()满足/(k)=2.当aWT时，/(x)=2-l,则/用=.35. (2021全国高三竞赛)若f(x)=/-2历.r一F+V-2亚元F+2.v-同丙.则人痴百+的值为36.
9、 (2021全国高三竞赛)设x)=-3x+0,对函数/）=e,其中国表47+【小（+LJJ示不超过的最大整数，其值域是.42. （2021全国高三竞赛）已知函数/3）=（合）口1）,如果不等式（1-五）/4）对.7恒成立，则实数加的取值范围lo4三、解答题（a+b+c+d=343. （2019全国高三竞赛）设实数a、b、c、d满足彳/+/+/=3.|“0c+bed+aki+dab=I证明：（la）=/（1/,）=c（lc）=/（!/）.44. （2018天津高三竞赛）设再、&是方程/-17.-18=0的三个根，-4芭-3.且4内0）,试求f=min）2,e-c）-.（c-a）的最大值.48.
10、（2021全国高三竞赛）己知4，%人.,6拉，且满足“：+r+4=l，求|,-a2|+|a2-%|+L+1.!-aj+|a-fi|的地大值.49. （2021全国高三竞赛）对于区间力K“。）与函数y=/（K）（xeR）,定义区间口的长度为|/|=一。,/（/）=.y|.y=/（x）j/.已知二次函数对于任何长度为1的区间，均育依之1，求证：对于任何长度为2的区间均有/（24.50. （2018湖北高三竞赛）已知正数、b满足”+。=1,求M=Jl+2“2+2、（总+/的最小值.竞赛专题2函数（50题竞赛真题强化训练）一、单选题1. （2019全国高三竞赛）函数/（K）的定义域为若满足（1）/（）
11、在/）内是单调函数；（2）存在山，仁/使/（x）在.以上的值域为“/,则称k/为闭函数”.现知/（a）=J77I+A是闭函数，那么人的取值范围是（）.【答案】D【解析】【详解】因为/（x）=7771+&=*有两个不等的实根,从而，x2-（2A+1）a+A2-2=O.且上2,解得Ae,：.-2.故答案为I）2. （2018全国高三竞赛）卜表示不超过实数x的最大整数，设N为正整数.则方程在区间IWWN中所有解的个数是（）.A.*+N+lB.N2-NC.”-N+lD.N2-N+2【答案】C【解析】【详解】显然，x=N为方程的一个斛.下设l.rN,m=a.=工一，=.r.则工=1+.原方程为(，+“I
12、-(7+)=/,即2/=2ip+？.又041,2,叩为整数，则p=0.丁，尸“冬共27个.2m2mIm因为，=1,2，./V-I,所以，这类数共有2+4+6+.+2（N-I）=N2-N个.故方程V-=（a-.v）：在区划14k4N中所有解的个数为N2-N+1.（O.+a）上递增.若3. （2019全国高三竞赛）设“（）“1）是给定的常数，/（同是口上的奇函数，旦在0,/（log,.v）=/（X）0（0.2）上的草图.由图像可知，f（r）0等价、-；或Q.v；.于是,由/（log、）0，得I呜AY或0bg/V；,又0丁或1.选B.4. （2019贵州高三竞赛）方程组的解的组数是（IWTW=|A.
13、 5B. 6C. 7D. 8【答案】B【解析】【详解】如图,分别而出=-e引N-N|=l的图象,从中看出两图象右六个交点，故方程组解的组数有6组.故选：B.5. (2020浙江温州高一竞赛)已知实数出满足：对于任意的实数x,不等式(国一。)(国一川乂一2a-1)20恒成立，则卜-“|+卜一瓦的取值范围为().A.L+8)B.二,”)C.，+00)D.：,+8)OOO【答案】A【解析】【详解】2/+1“恒成立，若e(-8,2ir+1).取同G(，+|)则矛盾若/2/+1，则奶|2+1,所以A=242+1，flZ.v=0.(2fl-+l):(-o)0,则“WO,|.r-|.v-Z|-/?|=2a:
14、-a+1乂d0,所以最小位为I.故选：A.二、填空题6. (2018湖南高三竞赛)设此“|的解集是【答案】修+“)【解析】【详解】由/(x)+/(-1)=0uf得log?卜“+也/+l)+log,(-av+&/+1)=0即,八,+J2.1+1)卜av+J2x2+i)=1也即(2-。2).丁=。，所以二/5.由于JIv+技瓦万在；,只需找到/()=：的解.1X方程/(X)=T等价J+W+】=灸=2垃也即6771=点(2-x)两边平方，解得x=.因此，不等式/):的解集是倍，田故答案为+8)8. (2020江苏高三竞赛)已知集合4=1,2,3,4,5,6,则满足/(/(/(x)=x的函数f：A-4
15、共有个.【答案】47【详解】解析,值域中元素的个数为1或6,若值域中元素的个数为I.则,/(x)=/(为常数)，共6种；若值域中元素的个数6.当/(A)=X时，I种;当X-fwt/(/(A)-/(/(/(A)-x,则3个一狙，钉2C：=40.因此题述所求为1+6+M=47个.故答案为：47.9. (2021全国高三竞赛)若函数/。)=/-而5的定义域为值域为山，则实数，的取值范围是【答案】卜孑-2【解析】【详解】解析:易知/(a)=I-Jx+3在a.团上单调递减,(a)=b,1/-4+3=b.因为函数八2的值域为“,，所以:,，即(/两式相战得，f()=a,t-4b+3=(i.yfci+3Qb
16、+3=/=(/+3)(+3)=W”+3/-(17+3)所以屈5+J=i.因为“，所以ovJRvg,而/=J+3a-a-Ja+3+1,明以/=(a+3)yja+3-2=Ja+3；1-2.又所以-2v/-2.24故答案为：,-10. (2018山东高三竞赛)函数/(x)=2sin.v-cos.v+sin.v+cos.r的值域为.(其中x表示不超过实数i的最大整数).【答案】一2,-1.1,2【解析】【详解】因为/(K+2兀)=/(X)ll./-r=/(.v).所以/(.V)以27t为周期，凡图象关直线,V=(对称.所以只需讨论xe:年卜/(”的取值即可.易得，当=：时./(力1仅得鼓大值2：当牛.
17、兀卜卜年卜h/(x)取得最小值-2,所以/(a)的值域为-2-1,1,2.11. (2021浙江金华第一中学高三竞赛)设/(.0=(/+4.+3)喈为定义在上的困数.若正推数满足力/)=2021,则”的所有可能值之和为.hl【答案】12121【解析】【详解】/=伍+40产=+/+3产n/(*)=(l+l)(l+3)0(2+ir，(2+3),x.x(4/H-3+l)(4/0)的两根，1s/16，优!/工16，所以aN5.44当”=5时，/(I)-/(2)=25(.v-l)(/-l)(2-.v)(2-/)Gp.,所以/(11.八2)=1,所以1)=/(2)=1亍是/。)=5丫2-15+11,故/+
18、c=-15+ll=T.14. (2021全国高三竞赛)方程(.v-l)(x-4)(x-9)2f+Z.+Z2i卜I的不同的实数解的个数为(,v+l)(.v+4)(.r+9)3(A+l)。+4)(.v+9)?mj【答案】5【解析】【详解】解析：易知=0是原方程的解.当.1H（）时，利用/+3=（“+/，）（“2-帅+）原方程(.v-l)Cv-4)(.v-9)2x3+.aj+43N+T(工+1)(工+4)(工+9)3(x+1)?(a-+4)3(.v+9)3x3 + 49a*(.t + i)(x + 4)(jr+9)4,t9 工等价于+:+-y-0,(A+1)(x+4)-(x+9)，_方程两端同除x,
19、整理后将M-9&F-288X+385)=0,再同除X,得(x2-3I)2-(6a+24)2=0.即(/+64-7)(/一6a-55)=0，从而有(a+7)(x-1(a+5)(x-I1)=0.经骗证怎=-7,4=1,A-,=-5.v4=11均是原方程的根，所以原方程共何5个不同的实数根.故答案为：5.15. (20】8河北一高二竞赛)已知x烟，J1且lg2.t+lM.y=lgl(*+lg()y2,则“=lgxy的最大值为.【答案】2+2点【解析】【详解】由已知得糖21g.v+I+lg2y-21g.y+l=4.所以(igK-+(1&V-)2=4.因为二胤J1,所以1gM以Igy0,设s=lgf,=
20、喷,则有点(s,t)在以(1,I)为圆心.2为半径的恻弧(第象限及坐标轴)上.由线性规划知识直线u=s+f与圆弧相切点(JI+1,0+1)时，a=&(&+2)=2+2a.。均为正数,则 inin16. (2018河南,高三竞赛)已知“、b为【答案】应【解析】【详解】记 M = min124.那么 MR-. M -, MM=4a=2应时取得.17. (2018f|肃高三竞赛)已知函数f(.r)=.d+sin*(agR),函数g(.r)满足g(x)+g(2-K)=0(.veR),若函数/(r)=/(.r-l)一月(x)恰有2019个零点，则所有这些零点之和为.【答案】2019【解析】【详解】易知函
21、数/(x)=F+siav为奇函数，从而/(x-1)的图象关于(1Q)点对称.函数g(x)+g(2-.r)=0,可知伞)的图象也关于(1.0)点对称.由此力(“的图象关于(1,。)点对称，从而这2019个零点关于点(1.0)对称，由于Ml)=/(O)r=0=1是的一个零点,其余2018个零点首尾结缶两两关于(1,0)点对称，和为2018,故所有这些零点之和为2019.18. (2018tl肃高三竞赛)关于*的方程电(如+1)=电(厂1)+棺(2-6有唯一实数解，则实数“的取值范围是.【答案】(-gU3-26【解析】【详解】解法,原方程化为/(x)=f+(“-3)K+3=O,xe(l,2).(1)
22、 Ff(2)00(a+l)(2n+l)/3e(L2),因此a=3-2JJ,符合要求.解法二ax+1=-aj+3,v-2.因为Ivjtv2,所以”=T=3-)=/(江/(A-)在(I.)上单调递增，在(JI2)上单调递减.又/伊)=3-26j(2)=-g,所以“的取值范围是11.一3u3-2向.19. (2019上海,高三竞赛)若直线娘一切-2=Q(0,/0)和的数y=cZ+2(c0.cw|)的图象均恒过同一个定点，则的最小值为.ab【答案】1+/6【解析】【详解】因为广久：+2过定点片一2,3),所以小线a勿+2=0也过定点气一2,3),于是一2“一3加2-0,即船干3,尸2.因为(一+工(2
23、+3力).(6)一=5+26,所以，+.2+布，(ih)ab2当“=#-2,=二(3-6)时等号成立.故最小值为彳+06.故答案为：；+#.20. (2019重庆高三竞赛)设/!为三元集合(三个不同实数组成的集合)，集合8=+如，yA.混y,?=log,6.log,10,log,15,则集合力=【答案】I.log23.lo&5【解析】【详解】设人=log?alogMlog?c,其中0a?=6,oc=l0,加=15.解得a=2.6=3,c=5,从而A=l,log23.1og25.故答案为：1.log,3.log,5).21. (2019重庆高三竞赛)函数f(x)=(JTT7+Ji=-3)(Jl-
24、F+1)的最小值为m,坡大值为.“，则一=.m【答案】上卫2【解析】【详解】设则仑o=2+2ji,所以回621./(工)=(，-3)彳,令前)=5/(3)./gW2,21.令g()=0得z=2,g(0)=&-3,g(2)=-2.所以历=g(r)3=也一3,，=g.=-2.所以竺二江m2故答案为：三包.222. (2019吉林高三竞赛)己知函数危尸“?+x+，”+2,若关于x的不等式外)小|的解集中有且仅有1个整数，则实数，”的取值范围为.【答案】卜21)【解析】【详解】/(.K)鹿Ix|。2-1.vIV-x-in.令g(x)=2-|.v|,h(x)=x2-x-m.在同直角坐标系内作出两个函数的
25、图象，由图象可知，整数解为-0.故1-1-/7/解得-20”-L23. (2019福建高三竟赛)已知/(x)=.d+2=1-6+7+2=4解法二：由的图象关于点(2,0)对称,知对任意工丘儿/(2+.v)+/(2-r)=0于是.对任意.vWK.(2+.v)?+a(2+v):+b(2+.v)+2+(2-.v)?+a(2-.v)2+/(2-a)+2=0,即(2“+./+(8“+2+20)=0恒成立.2/+12=O8。+4+20=0所以/(I)=1+方+2=116+7+2=4解法三：依题意，有46=(22)*+心-2).利用./(0)=-8-2，”=2,得，”=-5.于是，5户(*2卢5(*2),/
26、(I)=-1-(-5)4.故答案为：4.24. (2019,河南高二竞赛)已知忸数/(a)=4a,+历+r(也cwRa0.”+历+C在区间k内上有城大位和最小仙分别为：40Jo.4a函数，= JcE +x +(的值域M为0,-b1区间”的长度为由题设知两个区间5定义域)和“(械)的长度相等，则:招c两边平方得曰4竺=4c一-4即a2+4a=0.结合”Q得“=-4.故答案为：-4.25. (2019河南高二竞赛)已知函数/(河=W+x+A(“己eR),记”(,)是(x)|在区间11上的坡大值.当满足力2时，Ia1+1川的最大值为【答案】3【解析】【详解】由题意可得：对任意tf-2J+X+Vl-V
27、(-V(),1!).由1yji+.VJ17.故(.I)V。，由,心）单调递减,求得“W10,2.则，=（+2）中调递增2所以当“=应时，原函数取得最小帽2+应.故答案为：2+应.28. （2019广西二三竞赛）已知vz+j+z=12,则log八+幅+啕2的最大值为【答案】3【解析】【详解】由已知条件有12=A3z+,y+z.3xy2z:,个士?“64,则log,V+log2v+log,z=log.,(a2z-)log,64=3.当口仅当.r=；，尸/4时取得最大值3.故答案为：3.29. （2019浙江高三竞赛）如图所示，将长度为I的线段分为了、y两段，再将长度为x的线段弯成半圆周/C5,将长
28、度为y的线段折成矩形48/%的三条边（8/）、DE、【解析】【详解】2r + 2/j所以曲边形的面积为S(4+ ”)/因此2(”+4)5 +图象与它的反函数的图象交点的坐标为1 +屈【答案】【解析】【分析】【详解】则由已知8都可能是该数列的周期进而交点的坐标为（2021 全国高三竞赛）在同一平面直角坐标系内构成闭“曲边形”C8O/,则该曲边形面积的最大值为若1是周期，则由且两个怅数交点的横生标为外 ,纵坐标为!(x* -5)2 -5)2 5)* 5(x2 5 +由8是&的一个周期，容易知道反函数为 /-(x) = (.r2 -5尸-5尸-5f -5.(x2记圆的半径为，矩形的宽为近答案E故答案
29、为：2（1+ 4）11+旧1+何j行1不是周期，则.rwJ775此时若2是周期,则只需要考虑程X=。5+6+5的解.当.rb+x时，有k=75+V-V+5-J5+V无解；当.vJ5+6+xx,也无解.故此时无解.同理,当4或8为周期时，也无解.(1+/2?1+亚综上,知所求的坐标为-2-2)、，故答案为：(乎.噂)31. (2021全国高三竞赛)已知函数/(、)是定义在实数集/T上的奇函数，当.120时,/(.v)=l(|x-n|+|.v-2|-3|d|).若/(.2)-/(.r)4()恒成立，则实数“的取值范惘是【答案】(eg【解析】【分析】【详解】/(.v-2)-/(.v)40等价为/(a
30、)0U-1.f(x)=-(.r-+a-2a+3/)=x.因为/(a)是奇函数，所以若&0,则/(-x)=-x=-/(x),则/(.i)=x,.v0,ifO.v2。时，/(、)=；(x-a+.r-2a-3”)=.v-3.即当20时，函数的最小值为一”,由于函数/。)是定义在R上的奇函数，当0时,/()的最大值为，作事函数的图象如图：4彳，求得。l),若由数y=g(x)的图象I-.V上任意一点关于原点的对称点。的轨迹方程恰好为若xe【0)，总有/(.v)+g(x)n成立，则，”的取值范围是.【答案】，1出0【解析】【分析】【详解】设y=&3图象上任意一点pu.),则P关于原点的对称点0-.O在y=
31、/(X)的图象上，故-V=log!,即#(.v)=log(l+A).1+A*由/a)+gWNin得log,匕乙m,I一I+T令F(x)=log,-,A0,l),由题意知F(X)1nMN,即可，1.V由于“l.所以FWulogl-l+yj/El。，】)上是增函数，F(.v)raiB=F(0)=0,所以,40.故答案为：/n|/n0).33. (2021全国高三竞赛)设常数ae/?,函数/(.v)=(7)区存在反函数广),着关于x的不等式尸(V+，)JU)对所有的-2.2恒成立，则实数，”的取值范围为【答案】(12.+8)【解析】【分析】【详解】因为/(0)=/()=0且存在反函数广(V),所以,r/=Q/(A)=-x|.r|,显然，函数/(X)住R上递减.故/(-V2+/)/(/(.I),即A-3+m/(/(A-)=m-X-+/(J(x)对所有的.Ve-2,2恒成立.记*)=-.炉+/(.f(x)=-F+f|W(xe-2.21).注意到，gOn-.iWlKlW-xWnk-；)-112.当x=2时，上式等号成立，所以，(12,3).故答案为：(12,+oc).34. (2021全国高三竞赛)设R上的函数/(a)满足/(/(x)=2、.当时,/(a)=2-1,则/(讣【答案】亚2【解析】【分析】【详解】显然/)是单射，故存在反函数.当x属/定义域时，/(、)=/(/(/)=2尸”.