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1、6.4求和方法(精练)(提升版)题 组 一 公式法求和1.(2022 黑 龙 江)已知等差数列 叫 满 足a2=4,a +2 7.(1)求数列 4 的通项公式；若d二2,求数列也%的前项和SB.【答案】(1)(=2 1；(2)22),+1-2.3【解析】(1)由题意，设等差数列 4 的公差为d,2tz,+d=4 ia,=1=1 +2(n-l)=2n-l则,1OJ 0-7 j 0，3q+12d=27 a=2(2)b“=2，ba=2%，ba _ b=b、=2(6)亡 =2%”，=4,又 ，数列I%,为等比数列，且首项为2,公比为4,an-_ 2（l-4H）_ 22n+1-2 O -1-4 32.(
2、2021 四川攀枝花市)在公差不为零的等差数列%中，q=1,且，%，生 成等比数列.(1)求 4 的通项公式;(1 Vrt b Sf(2)设2=5，求数列 的前项和【答案】(1)4=2”-1；(2)5“=2口_(；力.【解析】(1)设等差数列%的公差为，由已知得生2=%,%，则(%+d)2=a,-(a,+4 d),将 q=1代入并化简得 2 _ 2d=o,解得d=2 或4=0 (舍去)所以 a“=1 +(_ 1)x 2=2“一 1 (2)由(1)知a =(g)%=g)2 -i,所以川=(g y“+i,所 以 如=(J L)2 +T 2，T=_L,即数列 是首项为_ L,公比为1的等比数列.bn
3、 2 4 2 43.(2 0 2 2全国高三专题练习)已知各项为正数的等差数列 对 的前项和为s“，s,=2 6,且，5 3+&成等比数列.求a,；(2)若=求 也 的前“项和？5“+【答案】3 +3【解析】(1)设等差数列%的公差为(d 0)，S4=2 6 q a3 S3+a6 4 a l+6 d =2 6由 ，且，成等比数列可得7+2d)(3q+3+5。解得 q =2 d=3 ,所以=q +(_ 1)=2 +3(_ 1)=3-1 ,(2)由“，=3 -1 可得$+=(q+a，)+=(3 +l)+”=3 (+l),“2 2 22所以a=3 (+l)翡 一*1所以7；=2/1斗1=工3(n+)
4、3+3题组二裂项相消求和1.(2 0 2 2江苏江苏一模)已知数列%,4=1,且a向=%-(+1)求数列%的通项公式;记数列%的 前“项 和 为 求 证：S.篇【答案】（1）见=4（2）证明见解析n【解析】（1）解：因为角=下 一nyn+1）所有知+%1 1(+1)+1 n当 2 2 时,1 11-广 厂/-a2=-1-921_1 _n n-1相加得an-a=-所 以 二 Ln 1 n当拉=1 时，%=1 也符合上式，所以数列 0 J的通项公 式/=4n（2）证 明:由（I）得靖=4n2=1 1所以/了 不n 4+;1n2n+-f2c 1 1 1111S=-1-1-,+2向故 s,=自+%+4
5、+,+21 x 2 2X22J i2 x22 3 x 2 3 _2 x23 3 x 24.1 1-7-:-rn-2 (+l)2 T-+(-l)+12 （；7 +l）-2,+13.（2 0 2 2 广东广州市第四中学高三阶段练习）已知数列 ,满足2（+1）勺 _%”=0,q=4.（1）求数列 氏 的通项公式；（2）设 数 列 的 前 项 和 为7 求证：T 0 f a 1=1 ，由 S+.得 2S.=a：+a“-2-当 心2时，23=$+*由 ，得2a“=（片+%）_（4+%），整理得（q +%-1）（4 -勺-1 T）=0，：/0，a+a,-#，=1）数列%是首项为1,公差为1的等差数列;由（
6、1）得见=i+=,a2 n-2知+。,+2 5+1)(+2)2+1T/7+12)2+i 2+i+-=-1 2 +2 +2 +25.（2022陕西模拟预测（理）已知正项等比数列也,的前项和为s“，且用=1,2q+心=%，数列也 满足2，=4%0 +1）-证明：数列 4 为等差数歹U；（2）记 为 数 列 的 前 项 和，证明：UAJ 15 6【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）设等比数列 的公比 为 人 因为q=1,2%+%=%，故2+q=/，解得夕=2或夕=-1（舍），故5=2-1，因为 2%=4%（S+1）=2M+1 x X =22,+1 故=2+1，又=2+3（2+1
7、）=2，故数列仇 是公差为2的等差数列.（2）因为=1-=l p-L,hnbn+（2+1）（2+3）2（2+1 2n+3Jn _ n3(277 4-3)6+9又 蚱 春 二 （川）是单调增函数,且X又当=1时，T=,故即证.15 15 66.（2022安徽安庆二模）已知数列 叫的前项和为s“，且满足=（+那_3.e（1）求4,的通项公式；若“=（2+3）（-1）a求 他 的前 项和T【答案】（1）%=7“此出_3+工（一1）（+1）（+2）M+2V【解析】(1)解：=1时，4=4%-3,解得q =1.eN,时，T=2%_3，故%=$“_$,1=(+1)2“_ 2%，所以2=，a-+2=一1&T
8、 an-2 a2 6 +2 n+3 2 ,6 j =-5 4 (+l)(n +2)为符合上式故WJ的通项公式为%=7提 一;(n +l)(n +2)(2)解：结 合(1)得=(2.+3)(-1)/=6(-1)f-L +-L(拉+1 +2所以9+与+a=T+H；+)+6(一1)+=-3 +67+2).题组三错位相减求和1.(2 02 2广东模拟预测)在+&+%=g(+l),氏=2月-1,。：-。工=2-1(q,0)这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答.问题：已知数列 ,的前和为5“，若4=1，且_ _ _ _ _ _ _ _，求数列 2%,的前项和7【答案】选，北=(7 2 “+2；
9、选，1=|_(_ 2)；选，T，=(T)2*+2.【解析】选：当此2 时，因为q+出+”=；(+1)，所以q+%+Q6-i=；(1)，上面两式相减得an=H(W2)当=1 时，q=_Lx2=l,满足上式，所以=”.1 2因为7；=1x2+2x2?+“X2，所以27；=1x22+2x23+x 2 i，上面两式相减，得：=2+2?+2-x 2 i，所以 7；=(_ 2+2 选：当 时，因为 a“=2S“-l，所以=2S“_ 1 一1，上 面 两 式 相 减 得 a“_i=2a“，即-a,经检验，a2=at 1所以 叫 是公比为T 的等比数列，=1x(-1)-=(-1)-,.因为 2 (-1)-1=
10、-(-2)1,，所以看=_ (_2)+(-2+(-2)-=广 二：=|1-(-2)选:由=2 1 9得：。3-片 一 2 =2-=2-5,-片=3，由累加法得：a：_i=(T)(；T +m=2_,a；=2.乂 0 所以 a“=n-因为7；=1x2+2x22+x 2，所以27；=1x22+2x23+x2向，上面两式相减得_ 乙,=2+2?+2_x2，所以 7；=(-1).2-1+22.(2022广东肇庆二模)已知 数 列 满 足 q=L,2a向=凡+1.2(1)证明：数歹a,7 是等比数列；(2)求数列/的前项和7【答案】证明见解析、-42 2【解析】(1)证明：由2。”+1，得2。,+-2=。
11、一1，又所以故似 匚 UL 2 -1 2故 ,-1 是 以 为 首 项，以;为公比的等比数列；2(2)解：由 得 一(3,得(3，所以勺=(设卜(J 的前项和为,则月=吟+2*出2+图,；Sx(j+2x(?+(；)，由 ,得)/+,+(户 口+1 1-2M+1I =1-则 E,=2-(+2m1-出以%7T；=1+2-+3-+n=-n2+n Pn=-n2+-n-4 +n+23.(2 02 2 广东韶关一模)在 2 a=2；S =2 -2；5 =2 角-2 这三个条件中任选一“+丁 乙，阳 /n n n个，补充在下列问题中，并做出解答.设数列*的前项和为S,Oi=1,2 +Z?4 +包=21.求数
12、列 叫 和 也 的通项公式：(2)设=q.勾，求数列E 的前项和7【答案】(1)选：许=2(e N*)，4 =2-1；选：%=2(e N*)，=2-1；选：a=2(e N*)，(2)(2-3)x 2、6【解析】解：若选：由“+|=q+2，则。什|_。“=2，可得 知-%-i =2,-%.2 =2?一 2,=2?,。2 一 =2,将上述”-1 个式子相加，整理的“_ q =2 +2?+2 吁 2+2 i2（2 7-1）=-1-i =2M-22-1又因为q=2，所以%=2 1e N）若选：Sn=2 an 2，当 =1 时,%=2,当 2 2 时，%=S“-S-=（24-2）-（2%-2）所以上J
13、=2,所以%=2”.an-综 上 a“=2（c N）若选：S=2,+1-2 1 当”=1 时，%=2,当心 2 时，由邑=2 用-2 可得S,i =2-2，所以勺=S“一 S,-=2，所以a=2-经检验当 =1 时“=2”也成立，所以=2 （e N*）；设等差数列 4 的公差为4，由题有4 =1 也+d=2 1，即4+/+4+3 4+5”=2 1，解得d=2从而a=2-1（2）解：由（1）可得c“=（2-l）x 2 令呢的前项和是 7；，则 7；=l x 2 i +3 x 2?+5 x 2?+（2-l）x 2，2 7；=l x 22+3X23+5X24+-+（2M-1）X2,+I 两式相减得-
14、1=1X2+（2 X 22+2 X 23+2X2）-（2 TX2 -7；=l x2+-（2 n-l）x2+l整理得rn=n x2,+2-3X2向+6=(2-3)x2n+l+6；4.(2022广东模拟预测)已知数列 /满足q=L 2a用=%+1.2(1)证明：数列 q1 是等比数列；(2)求数列 4 的前项和?；.【答案】(1)证明见解析(2)7=/+-4+叶“2 2【解析】(1)证明：由 2a“+=a“+1，得2/+-2=a“-1，X a,-1 =-,所以见7 X ,故 为 二1，2-1 2故%一1 是以-1为首项，以g为公比的等比数列.2(2)由 得 知 _ 目,得日J所以nan=n-n设的
15、前项和为勺则=1X；+2X|+.+出，由-，得 1 p+出+出 O1严|21-2-图=1-nn-I，则甘,=2-（+2）出，2故7；=1+2 +3 +=_修4 +2-+-2T5.（2 02 2 广东佛山模拟预测）已知数列 与 满足q=i，a2=2 9 且对任意 N*，都有an+2=3。+-2 at l 求证：%+4 是等比数列，并 求 的 通 项 公 式;求使得不等式，+2+.+2 _ 4”成立的最大正整数机.4 2 4【答案】证明见解析；*=2 T（2）?=6【解析】由 限=3%-2%，得J-%=2（-所以%q 是等比数列所以“用-4)x 2 1-=2-从1 川 a n=(,_%J+g,i
16、-吃)+(。3 -a J+%=2-2 +2”3 +.+2 0+为=2T+2T+i +i =2 所以，an=2T-(2)设 乂=,+2+?4 a2 a.n1 2 3 m-l=_-1-H-1-1 2 22 2m2所以,即5 cc c 2 3 m-m2S=2 H-1-1-I-H-,w 1 2 2m-3 2m工于日3 Sc”,=2c +,1 +1 +尹1 +产1 -广m4“2+T?因为 S”,M=S ,+S,J 且$6=，“+1 m 2加 m 6 4所以，使，+2+色4”成立的最大正整数”6i%4题 组 四 分组求和1.（2022甘肃一模）已知数列 为 满足4=1，2au=a -数列出 满足=1，瓦=
17、2,b+bn2=2b n eN,求数列应 及他,的通项公式;求数歹1 与+的前项和小【答案】a,=（；）T,wN*,=，”（2戊=2一（；尸+若111,可*.【解析】（1）由2勺+产%得色包=2，*2所以数列%，是以4 T为首项，g为公比的等比数列，故%=（；yi,e N*,由“+2=2，+可知数列也 是等差数列，首项4=1，公 差d=b2-b=l,所以 6“=N*(2)(=%+&+仇 +%+6 =(%+%1-1%)+(4+仇 +。)+1 +2+3+1 一(2)+(+D =2 _TT F2+1)2即*=2_(g)T+(；D,N*2.（20 22江苏南京高三开学考试）设数列出,是公差不为零的等差
18、数列，=i，若卬,出,成等比数列（1）求数列 ,的通项公式；设a =，+3%（w N.）,求数列色 的前项和为工.【答案】(1 产=2-1；s“=一+之(9-1).4+4 8【解析】(1)解：设数列 助 是公差为d(存。)的等差数列，。尸1若 即a29。5 成等比数列,可得4g=/，即有1 乂(1 +4 )=(1 +)2，解得d =2 或 d=(舍去)则%=1 +2(D =2-(2)解：b=+3%=L +32-=l f l _ _L L 32-1氏+i -1 (2n+l)-1 n+lj可得前项和 S =-(1-+-+-+-U(3 +27 +-+32n-”4(2 2 3 n n+)v止叽3+电，
19、力4(n+1)1-9 4 +4 8V)3.（20 22全国高三专题练习）已知正项等比数列 “,满足生能=1，是1 2%与5%的等差中项(1)求数列 对 的通项公式:(2)设6.=7-第-7+(7)，求数列也 的前“项和【答案】/=2 (2)当为偶数时，邑=1-齐 匕+会 当为奇数时，s“=宁 一 叠 匕.【解析】(1 勺 是正项等比数列，故的%=；=1，所以能=1，又2%=12q+5%，设公比为4(40)，即2%d=124+5%，即2 d=g +5,解得：1=2,则数列 叫 的通项公式为%=%尸q qa2/,+I 2”Q地=-9-+（-1）-n=-r-?+（-1）.=7-777+（-!）-/；
20、（+4-2）（+4-1）（2+1-2）（211+|-1）（2-1）（2+1-1）=-.!+（-I）J”2-1 2+|-1则 S=-7-1 7-J 1-1 -J-F-1 +2-3-1-!-（一 ）”“2-1 22-1 2-1 23-1 2-1 2 1-1 L v J当”为偶数时，S.=l-止J+会当为奇数时，=.Z 1 Z Z Z 14.(2022全国高三专题练习)已知等差数列 氏 的前项和为s“，且S,=2 5,%+%=3 1 (1)求数列%的通项公式以及前n 项和s“；2”,为奇数 bn T2II若b=，求数列 的前2一1项和为偶数aa+2【答案】(1)以=2;(2)s=竺 心+-1.15
21、3(4“-I)【解析】（1）依题意，$5=503=25，则4=5,故生+%+即)=%-1 +。3+21+。3+7d=31，解得 d=2,；4=%2d=1，故4,=2，L1,s=U 2.2(2)依题意，得一!一=-5-=1(!-%4+2(2-1)(2+3)4 2/7-1 2+3故 b=-12 、为奇数41 2-1 2+3，为偶数故14 一 511 M +4n-l J=2+2s+-+24n-3.4(3 7 7 11 4n-5 4n-l1 1-16 4 U 4n-lJ24,+I-2 n-1-1-15 3(4”1)5.（2022河南模拟预测（理）在等比数列%中，%=8%,且3,四一 5,4 一 12成
22、等差数列（1）求 q,的通项公式；（2）若 =1+_,证明：数列也 的前项和7；（土log2 a a2 _ 1 3【答案】（1）凡=2 2（2）证明见解析【解析】（1）设数列%的公比为4，由的=8%，得出4 3=8%,所以夕=2因为:七，S 4 T 2成等差数列，所以2（%-5）=：&+%-12,即8 q-1 0=L q+8 q-1 2 ,解得“印 2因此a“=4x2T=2向(2)因为 6=-1-i=唾2。“2-1 (+1)+2371_Ln n+1H-4所以=|1_1+1 _ 1 +.+1-L(2 2 3 n n+1 1 1 I +4-4 42 4+4因为1-bn+l=4b+2n+i eN,-
23、（1）求 q,的通项公式及其前项和S“;求证：+2”是等比数列，并求 的通项公式：ak,%2 T2 r，n=2k,kwN ）设c=J 4+2 求数列 的前 项 的 和.I 3x2”-,=2上 一1,上 e N*4 a-2 川+2【答案】J i?证明见解析，=4 -2 丁 J 6 +5|3（2-1）2,1 9 9-4 2+,-1【解析】（1）解：设等差数列%的公差为d，则d/0,由已知可得a；=的5，即(d +lp=l+4 d，解得d =2，故=q=2-1，(q+a“)“一 2=n2(2)证明：因为伪=噫 Q +1)=2，b+i=4b+2“，则 b+l+2n+=4bM+2n+2=4(b+2)因为
24、4 +2=4，故数歹|J +2 是以4为首项和公比的等比数列，因此，n +2 =4 x4 z =4 ，n因此，b=4-2-(3)解：设数列 6的前2 项和中，奇数项的和记为A ,偶数项的和记为B.当”=2左(4 e N*)2 k-14*1 3 5 2-1则“丁 不+不+丁1“1 3 2-3 2n-l4A=下+不+_ 5 6 +5n3-4n+l 故9 9.4 当”=2A-1,N)时，_ 3x2/_ 3x2C -4(4*-2*)-2t+2-4+|-3-2*+|+23x2*_ 3X2/T _ 3（1 1 （2t+l-l）（2A+1-2）一（2*+l-l）（2*-1）-2 U*-1 .2*+l-l）因
25、此，T J 6 +5|3（2-l）2”-9 9.4 -1题组五周期数列1.(20 21全国高三专题练习(理)已知数列口，的通项公式为q,=(+l).s in(eN+),其前”项和为S“，则S$=【答案】-36 解析ck=a4k_3+a4k_2+为1+Q4 A =（4k-3）（4%-2）-s in 一、加/1；+（4 k-2八）（“4左-八1）-s i.n-（4-4 -2-）-+（z4.k.-1）4 -s in-（4 -1）-万-+4.”（.4.&.+.1八）s i.n 4k 兀=（4 4一3）（4左 一2）x1+（4左 一2）（4%-1）x0 +（4左 一1）4左 乂（-1）+4 4（4左+1
26、）x0 =一1 6%+6，*-S8=c,+。2 =-1 6 x（l +2）+6 x2 =-3 6.故答案为：-3 62.（2 0 2 0河南郑州三模）设数列 加 的前项和为S，已知=3对任意的正整数满足C O S（一2）万/n m 1 0 =SR I=Sn+-丁一（2 k 7）+%，则【答案】-A【解析】由=S.+勺得“=竺”又 因 为 故 4*0.故_ _ J _+i%co s （一 2）九3（2/7-1）-fe_l=-C0SM,-=-2x3-,-LL2 Q 3。3。23。|9。18co s l 6 “-x3 5.3累加可得%91 1 3 5 7 3 5=-1-p.-%3 3 3 3 3-2
27、 x934，1 /I 1 7 3故=-6 +=-，故阳=-.%9 3 3 1 9 1 7故答案为：-1 7题组六倒序相加法1.(2 0 2 2 全国高三专题练习)已知函数y =/(x)满足幻+/(1 一 口=1，若数列 氏 满足%=/（0）+/（!）+/（2）+/（忙 1）+/，则数列%的前2 0 项 和 为（）A.1 0 0 B.1 0 5 C.1 1 0 D.1 1 5【答案】D【解析】因为函数y =f（x）满足+=1，an+.+/,.%=./+/（）+/（宁）+/|+/（o）,由+可得况=+1,.乜=匕 1,%7 2 0（1 +型里 所以数列 是首项为1,公差为2的等差数列，其前2 0
28、项 和 为 I 2 故选:D.2.（2 0 2 2全国高三专题练习）已知/（x）=3（x w K）,若等比数列“力满足4&02。=L 则1 +Xf(a,)+f(a2)+-+/(2020)=(2 0 1 9A.B.1 0 1 02【答案】D2【解析】/f(x)=-7(XG 7?),1 +X-C.2 0 1 9D.2 0 2 02 2x2l+x2+x2=2 等比数列 4 满足4 2。=1，aa2 0 2 0=。2白2 0 1 9 =，=。2 0 2 0。1=1，/(6 )+/(。2 0 2 0 )=/(2 )+/(a2 0 1 9 )=/(。2 0 2 0 )+/(%)=2即/（）+/（出）+/（
29、的必）=2 0 2 0故选：D7 5 3.（2022全国高三专题练习）设函数/（x）=r、，利用课本（苏教版必修）中推导等差数列前项和的方法，求得了（_5）+/（_4）+/（4）+/（5）的 值 为（）A.9B.11D.11 2c.22【答案】B【解析】小）=等2 2-1-2V+1 2x+l2 2 2-1-7-r2，+1 2，（2-*+1）二 2 2 2 2（1 +2、）二,-2 +1 1 +2、-2+1-设 S=/（-5）+/（-4）+/（0）+/（4）+5”则 S=/（5）+/（4）+/（0）+/（-4）+/（-5），两式相加得2S=llx 4 5）+/（-5）=Hx2=22，因此，S=l
30、 l.故选:B.一g端）A.2016B.2017C.2018D.2019【答案】C【解析】函数g(x)=+3_；x2 +3 x_2,函数的导数g(x)=x2-x+3,g(x)=2 x-l由g(x0)=O 得2%-1 =0,解得而=.g(x)+g(I)=2,故设g+g 扁卜”收（需H则黑W煞 卜 （短）=m两式相加得2 x2 0 1 8 =2m则阳=2 0 1 8 故选仁5.（2 0 2 2全国高三专题练习）已知数列 ,的前项和为s“，满足S,=2+加，（力均为常数），且=（设函数/（x）=s i n 2 x+2 co s 2,记 以=）,则数列伪）的前3项 和 为（)A 1 3 7 rA.2B
31、.7兀c.7D.1 3【答案】D【解析】因为/(x)=s i n 2 x+2 co s2 1=s i n 2 x+co s x+1 ,山 S“=an2+b n，得=Sn Sn_=an2 A-bn-an )2 bn-)=2 an-a-bn 2)，又 =S =0 +6 也满足.式，所以4“=-a+b，则=2”为常数，所以数列 a,为等差数列;所以 ax+%3 -2 a7 =n ,y+yi3=/(q)+/(i 3)=s i n 2 a+co s q+l +s i n 2 t 7l 3+co s 1 3+1=s i n 2 ax+co sax+l +s i n(2-2 aI)+co s(-a1)+1
32、=2 -贝啜列”的前1 3 项和为/+/(%)+,.+/(引，d=/(%)+/(%)+/(%3)则=/(%3)+/(%2)+/(q 所以2 =1 3 /(%)+/)=2 6,因此A/=1 3.故选：D.6.(2 0 2 2 湖南岳阳二模)德国数学家高斯是近代数学奠基者之一，有“数学王子”之称，在历史上有很大的影响.他幼年时就表现出超人的数学天赋，10岁时，他在进行1 +2+3+100的求和运算时，就提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法.已知某数列通项可=型幽，则+&+4 o o=()“2-101A.9 8 B.9 9 C.100 D.101【答案】C【解析】由已知，数列通 项%=2二100,所以 2w-1012 2-100 2(101-/?)-100 2/7-100 102-2H 4-202.+4。1 =-+-L-=-+-=-=2,昨,2-101 2(101-/7)-101 2/7-101 101-2/?2/7-101所以 q +a100=a2+a99=a3+a9 g=an+a101_w=2 所以 +勺+/o o =5 0 x 2=100 故选 C.