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1、7.3空间角（精练）（提升版）题组一线线角I.（2 0 2 3 全国高三专题练习）已 知 直 三 棱 柱 的 所 有 棱 长 都 相 等，区 为 4G 的中点，则4与8G 所成角的正弦值为（）A.叵 B.正 C.如 D.V W3 3 4 4【答案】C【解析】取线段/C的中点。，则3 O _ L/C，设直三棱柱/B C-4 4G 的棱长为2,以点。为原点，而、灰、五7 的方向分别为X、y,z 的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系,则/（0,-1,0）、M（0,0,2）、8（百,0,0）、G（0 ，2）,=（0,1,2）所以，S C；=(-73,1,2)cos=痂用 5 历丽|.西 石 x20-
2、4所以，sin（俞，函 =&一 腐 =呼故选：C.2.（2023全国高三专题练习（理）已知正四面体/2 C 2 /为 8 c 中点，N为A D中点、,则直线8N 与直线。/所成角的余弦值为（）A.1 B.|C.叵 D.4后63 21 21【答案】B【解析】设该正面体的棱长为，因为M 为 8 c 中点，N 为 中 点，所 以 阿 H 丽 卜 小 _（?1）2=5，因为M 为8 c 中点，N为AD中点、,所以有丽 二 方+而 二 一 方+白 而，2两=丽+丽=加+方+；册=一诟+刘+；证 一 函=一 而 +；万+；丽BN D M一 1 1 1 =(-AB+-AD-AD +-A B +-A C)-1
3、-2 1-1 2 1-1 =AB AD一一AB 一一AB AC一一AD+-A B AD-AC AD2 2 2 4 42 212，2 22 42 42cos 丽,而 =BN D M丽 H网-2 ,27 F V T X-2 22根据异面直线所成角的定义可知直线加与直线。M 所 成 角 的 余 弦 值 为 故 选：B3.（2 0 2 2河南省杞县高中模拟预测（理）如图，四 边 形/为圆台O 0的轴截面（通过圆台上、下底面两个圆心的截面，其形状为等腰梯形），4B=2AA=2Ag，C、D分别为OB,8片的中点，点E为底 面 圆 弧 的 中 点，则 8 与 所 成 角 的 余 弦 值 为（）A.B.-C.
4、正 D.-45 3 5【答案】A【解析】不妨设44=2，连接，则CD /OB 因为N 8 =2 4及，所以同耳=/。，又A B、/AO，所以四边形”。片4为平行四边形，所以0与/4，所以4 4 C D，所 以 即 为 8 与4E所成的角（或其补角）.作垂足为“，连接HE,AE,则”=1,4=勿42-心=百,H E =飞 O H2+O E2=石所以/E =yjA O2+O E2=2 /2 ,AE =yl AtH2+H E2=2 72在等腰 中，8 s乙 仞 八=正4E 4故选：A.4.（2022浙江嘉兴模拟预测）如图，在矩形48CZ）中，AB f B C，&居G,分别为边A B,BC,CD,D
5、A的中点，将AE8F,AGDH分别沿直线F,G翻折形成四棱锥8-4 EFC,O-4 C G/，下列说A.异面直线 G”所成角的取值范围是（0*B.异面直线E*，G 所成角的取值范围是（呜C.异 面 直 线 网 所 成 角 的 取 值 范 围 是（0,D,异面直线 ，协 所成角的取值范围是10,三【答案】C【解析】建立如图所示空间直角坐标系，由题意得,因为 AB=6 B C，令 4 8 =，则 BC=2,由比值可知，8 的x,乃z坐标比值为:百 二，所以令坐标为(友后,2 6”B ABCD BB,(因为 在平面 中的投影在 上，所以0,/同理可得 坐标为(2 6-,2-6 ,2 )，(73,0,
6、0),G(6,2,0),尸(0,1,0),(2 6,1,0)，则 丽7=s-瓜扬,2 b),GD =(y/3-d,-j3 d,2 d),c o s(E B GD)|丽.现二|到 阿解得cos 国，而百屹，上 31,因为 和 的范围均为所以cos E8,GZ)e(0,l),即夹角范围是。弓，故 A,B 错误;同理可得cos产诃，标)-|行(6+-1|4 M),因为异面直线所成角范围是(0,二,则J 8b 之 -2 y5b+1 x,8-2 K d+1 2-*夹角范围是(0仁,即C 正确，D 错误；故选：C.5.(2023全国高三专题练习)如图，四边形/8 C D 中，A B=BD =D A =2,
7、BC=C D =曰 现将沿 即 折起，当二面角一8八一。处于 土,包 过程中，直线“。与所成角的余弦值取值范围是6 6()A.r 5V 2 V 2B.rv2 5V 21-，丁c bf【答案】D【解析】设向 量 而 与 前 所 成角为a，二面角力-8 D-C 的平面角大小为。2,因为 BC?+CD 2 =B D)所以 8 C，C ,又BC =C D ,所以 生，4A D D B=2x2xcos =-2,B D-BC=2x V2xcos =-2,34则 祝=亚+而+前，所以|就 =|1 5 +丽 +瑟 =通 2+丽 2+工 2 +20-2 5 5 +2 -Z +2 5 =2+4Vcosd取 8。中
8、点 E,连接/E,C E,A E L B D,C E L B D,乙4 E C=仇，AE=6，CE=I,在/E C 中，AC2=AE2+CE2-2 AE CE COS02 1 V A C2=4-2 5c o s02所以2+4夜 c o s d=4-2 6 c o s 2,即出。也 一 通 烟&，1 4 4 2n工 四 C 近5 M又因为e 6,6_|，所以cosqe 一 3 一屋，因为直线夹角范围为0,-2,所以直线。与S 0 所成角的余弦值范围是 八 逑，8故选：D.题 组二线面角1.（2023全国高三专题练习（文）如图，在 四 面 体 中，N BCZ）=90。，平面AB=BC=CD，P 为
9、Z C 的中点，则直线8尸 与 所 成 的 角 为（）A.-B.-C.-D.-6 4 3 2【答案】D【解析】在四面体/B 8 中，/B J.平面BCZT C D u 平面8 a T 则而/BC=90。，即 8C_LCZ），又 A B cB C =B，/8,8 C u 平面 N 8C，则有 C0J_ 平面/8 C，而 8 P u 平面 N 5C，于是得CD_LBP，因尸为,0 的中点，即-8尸，而/CrtCZ）=C，Z C Q u 平面4cZT则8P_L平面Z C Z T 又Z O u 平面Z C Z T 从而得B P，/。，所以直线8 P 与ZO 所成的角为土2故选：D2.（2022河南省杞
10、县）如图，在三棱柱4 8 C-/4 G 中，/口 平面/8C,ZACB=90 BC=AA、=M/C =l，则异面 直 线 与 C g所成角的余弦值为（）【答案】Bc.B2D.乎【解析】把三棱柱补成如图所示长方体,连接 8 Q，C D,则所以NC8Q即为异面直线NG与C4所 成 角（或补角）由题总 uJ 得 CD=AB=yjAC2+BC2=Vl+3=2 B、D=AC,=y/AC2+CCt2=2,CB=/TF3=瓜,所以26%器言制咚故选：B.D3.（2 0 2 2 青海西宁二模（理）如图是一个正方体的平面展开图，则在正方体中，异 面 直 线 与 8所成的角为（）A.3 0 B.4 5 C.6 0
11、。D-9 0【答案】C【解析】把展开图还原成正方体如图所示，由于且相等，故 异 面 直 线 与 8 所成的角就是C E 和8 所成的角，故N E C D（或其补角）为所求，再由AEC。是等边三角形，可得N E C D =6 0。-故选：C.4.（2 0 2 2,全国高二专题练习）如图，在二棱锥S -N 8c中，A B _ L B C S A =A B=B C=2 ,点 、”分别是 ZC B C 的中点，S O I 底面/B C，(1)求证：8。_ 1平面$。”；(2)求直线AS与平面SOM所成角的大小.【答案】证明见解析(2)巴6【解析】(1)证明：连接。8,由为/C的中点，得0A=()B=O
12、 C乂 S O _ L 底面 SA=SB=S C,:点 M 为 BC 的”1点，,S M L B C,又：O M A B，O M L B C,S M H O M 故 BC J _ 平面 SOM-解法：由（1）知平面S Q W，且6M=1，又 AB/0 M AB 又P B L A B，且 Z 8 c8 C =8，Z8,8C u 平面/8C，是得PB 1平面A B C D,而尸8 u平面P BC 所以平面PBC 平面A BCD-(2)在平面4Be。内，过B作 直 线 垂 宜 于 交 直 线c o于邑 有CE=1，BE=如图，则NE 8P为二面角C 4B-/的平面角，平面E BP，于是得C E1PE
13、，RaP E C 中，P C=/,CE=则 P E =/T，在P8E 中，PE-l2 BE=1，尸8=4,由余弦定理得cosNP BE =PB2+BE-PE,=则有“BE=2兀，2PB-BE 2 3显然平面M P J,平面EBP,在 问E B P 内过B作&_L 8 P，则Bz J.平面ABP,以8为原点，分别以射线6 4 8P,8z为x，y,z轴非负半轴建立空间直角坐标系，则 5(0,0,0),N(4,0,0),C(l,-；,斗,(3,当，尸(0,4,0)，8/=(4。，。)，前=，一;，亭，z=1A BCD n=(x,y,z)设平面 的法向量，则 nB C=x-j 4-z =0 A.2 2
14、 ，v斤 8 4 =4 x =0 =(0,V 3,l)，得而 而=(3,-|,亭，设尸 与平面 8 所成的角为，s mgs。,而生迪=汇=巫n P D 2 x 3 0 5所以0 与平面 8 所成的角的正弦值为画.56.(2 0 2 3全国高三专题练习)如图，在直三棱柱/8C-44G中，A C BC,A C=B C =2,CC,3 点。工分别在棱44和棱C G上，且 4 D =1,CE =2.(1)设尸为4G中点，求证：平面8 D E;求直线同片与平面B D E所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2)受6【解析】证明：取眸中点G ,连接收、D G则FGI I CCJ I A A、，只尸 6
15、=但=1 1 12 22,所以F G/4。且F G =/Q，所以四边形ZQGE为平行四边形，所以4 F/D G 又 4?u平面BO E，D G a平面，所以 平面BDE 4 尸 BDE(2)解：因为直三棱柱4 B C-4 8 1 G中4 C，8 C,所以以、CB、C g两 两 垂 直.分 别 以、CB国 的 方向为x轴、/轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则8(0 2,0)，E(0,0,2),。(2,0,1),4(2,0,0)，所以丽=(0.-2,2)，丽=(2,-2,1)，葩=方=(-2,2,0)，设平面出汨法向量为”=(x,y,z),则/上二。，必/)：。，即-2y+2z=0,
16、令 尸1,得到平 面 血2x-2y+z=0的一个法卜句量Tg,1,)设直线 固 与平面的 所 成 的角为,则sin。=卜05(/岛4 42 x(-2)+1X2+1X0+1 +1-74+4+04 A华，所以直线 与了血6BDE所成角的正弦 值 为 也.6题 组三二面角1.(2022北京景山学校模拟预 测)如图，正三棱柱中，E,尸分别是棱CC,上的点,平面8尸_1_平面，屈是 的 中 点.(1)证明：CM平面BE%(2)若AC=AE=2 求平面B E F与平面/8 C夹角的大小.【答案】（1）证明见解析（2）45。【解析】（1）证明：在等边A/B C中，M 为N 8的中点，所以在正三棱柱中，平面Z
17、8C_L平面N 8 B/，平面B C D 平面48用4 =4 8，C M u 平面4 8 C，所以CAfJ平面4 8 8/，过F在平面B E F内作F N 1 BE 垂足为N ,平面 BE F _L 平面 AB B，平面 B M C 平面=B E，,F N 1 平面 A BBA CM/FN,;CM 仁平面 BE尸，F N u 平面 B E F，C M I I BE F（2）解：由题设CF平面48月其，平面FCMTVn平面/S B/=M N，CF/NM,四边形B N 是平行四边形，又M N H A E且MN=-AE，2所以CF=NM=gzE=l,延长E尸，A C,相交于点G,连接8 G，则C、尸
18、分别为/G、EG 勺中点，则 平 面 与 平 面/s c 所成的角就是二面角E _ 8 G _/，可知 CG=4C=8C,BG L A B,所以 BG J平面/B B/，NE BA是二面角E-5G-Z 的平面角，,又 A E =A B，A B 工 A E 所以=45。即 平 与 平 面 4 g c 所成的角为45；/I2.（2 0 2 2湖南雅礼中学二模）如图，在正方体力8c中，点E 在线段c q 上，CE =2ED/点、尸为 线 段 上 的 动 点.若 口 平 面 血 汽 求 零 的 值:（2）当尸为Z B中点时，求二面角 _。尸一c 的正切值，【答案】（1）生=1;（2）逐.FB 2【解析
19、】（1）过E 作E G,。于G，连接G 儿则 EGC。|I，|J CD/FA 所以E GE T因为EF/平面4D D A、,EF u平面E F A G，平面E G A FPl 平面4 D D M=G 4,所以E尸 G/所以四边形EG”是平行四边形，所以GE=Z尸因为CE=2町所以2=空.D C DtC所 以 竺=LA B 3二匚A F 1所以一=-.FB 2(2)法一：如图建立空间直角坐标系,设正方体棱长为%,则 0（，）,E（0,a,2 a）,C（0,3a,0）,F,0易知平面DC F的一个法向量1 =（o,o,i），设平面E OF的法向量为元=（x/,z），因 为 而=（34,5,0）,瓦
20、=（O,a,2 a），而=36+到=0,什 =。则 2 2 可取n2 D E =ay+2 az=0.0由图知两平面所成角 为锐角，则 其 二即二面角E-OF-C的正切值 为 在.法二：这 E 作 E H L C D D过n,引1余弦值为3。响同=,H M 1 D F 于 M 连接 E M 因为平面CDDG _L平面/8C),EH LCD jAD2+AF2=a21 1 2WS D L D F,M H u D H S D n M H u -a,2 2 V5FH r-tanZEMH=V5.MH即二面角f Q/一 C 的正切值为 退.3.(2022浙江海宁中学模拟预测)如图所示，在四边形/B C D
21、中,AD/BC 9 AB1AD 9AD=A B=-8c.现将 ABD2沿BD折起，使得点A到E的位置.试在8 c边上确定一点居使得A C IDL J _ L Lr(2)若平面EBD 1平面BCD,求二面角E_BC-D所成角的正切值【答案】(1)尸为8 c中点(2)血【解析】(1)因为，AD=AB=-BC,2所以 48=/Z 08=/)8C=45，BD=ylAB f BC=41BD 所以 ABADS.D C 所以 Z.BAD=NBDC=90 所以 80 JL CD，在四边形4 5 8内过点/作8。于点、M,并延长交8 c于尺/DBME则点”为8。中点，所以尸也为8 c 中点.将 4 8 0 沿B
22、 D折起，使得点4 到E的位置时，有 E M 1 BD,M F 1 B D 所 以 此，平面既 跖也为皿平面.，所以80 J_斯，（2）（解法一）过点忖作WBC交5 c 于点N.则M V 48.2则在三棱锥E _8CZ）中，因 为 平 面 平 面 8 8,BN所以E M L）间BCD因为M N J.8C，连接E M则有 E NJ_8C.所以“N M即为二面角E-B C-D的平面角，i A D =A B=-B C =2,则 EM=&，M N =.2匚 匕 卜 六 RtZiE A/V,E M r r所以在 中，tan/E NM=-=V2.M N所以二面角E-8 C-O所成角的正切值为0.（解法二）
23、过点M 作MN L B C 交 B C 于点、从则 MV=1/8.2则在三棱锥E_ BCD中，因为平面80 J_平面BC。，所以E M J.平面BCD所以以M为坐标原点，MF、M D、M E分别为X，V z轴建立空间直角坐标系设 E D =E B=-B C =2,则=M E=M F =五.2所以 E（0,0 形），B（0 r 互 Q）,G（2 正 正 0）。（0 万 0）.由题可得，平面8 8的一个法向量为蔡=（o,o 0,设平面EBC的一个法向量为G =（x,z），因为 屁=（0,V2,V2）,C=（-272,-V 2,V2）h-BE =2 y+V2z=0所以 万.在=-2 42 x-y/2
24、 y+V2z=0 则有 7=（1,-1,1），设二面的平面角为O,0为锐角，口,|人 1则 cos 0=|_|,|=j=-,?V3所以 sin 0=V l-co s20所以tanO=H2e=应cos0所以二面角E-8 C-。所成角的正切值为啦.4.(2022广东惠州高三阶段练习)如图，在 五 面 体 中，-8(7为边长为2的等边三角形，EA A.由谢力8c CD/AE平面，CD=-A E.2(1)求证：平面BDE工平面NBE；(2)若直线即 与平面ABE所成角的正切值为 四，求平面BDE与平面ABC所成锐二面角的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)交2【解析】取8E的中点为A/，的中点为N，
25、连接CN，MN DM因为4E_L平面45C，C N u平 面 地C，故AELC N，而“BC为等边三角形AN=B N 所以4B上CN，又M、N分别为8M 所在棱的中点，所以MN/AE,M N =)_A E2又CD/A E ,C DAE,所以 C,C D =M N ,故四边形6 岭j平行四边形,2所以3 J M D LA E M D 工 A B 又 4 B C 4 E =4，A B,A E u 平面 A B E,所以 A _L 平面 A BE ,而M D u 平面8 ）E ,故平面B D E1平面4BE-由 可 知，/。晶 为直线E。与平面E所成角，设 E =，则 EM=_LE2=，DM=02
26、2则tanZ D电平无解得 =2E M 2法一：向 量 法（通性通法）如图建立空间直角坐标系力_x广，则 E（0,0,2）、8（收1,0）、。（0 2 1）.屏=（-瓜-1,2）、丽=卜 石,1,1）B D E n =（x,y,z）n-BE =-y/3 x-y+2 z =0设平面 的法向量，则1 _方 方 仄 八，令y=6 ,解得x=3,Z =2百，则 =（3,石,2 6）:4 J 平面N8C，；刈=（o,o,l）是平面A B C的一个法向量所以平面血m与平面4 8 C所成的锐二面角余弦值为 立.法二：几何法：延 长 即 交4 C的延长线于S,连接8 S,则平血8 )Ec平面N 5C =5S山
27、(1)易知 D =D S，“=M8，则 M )8S，所以 B S _L 平山i 4 B E，又力平面/B C 所以8 s l力8 BS 1 BE 故N 4 B E为平面B D E与平面A B C所成的锐二面角，又北=延=2,则 仍=2以故c s 心 理=正BE 2所以平面比石 与平面 S 0所成的锐二面角余弦值为 也.5.(2 02 2 山东聊城三模)已知四边形”8 8 为平行四边形，E为的中点，A B=4,/门户为等边三角 力形，将三角形Z D E 沿NE折起，使点。到达点P的位置，且平面/p 平面/8C E.A rn,_L(1)求证:A P I BE(2)试判断在线段尸 8 上是否存在点F
28、,使得平面/E F 与平面N E 尸的夹角为4 5。.若存在，试确定点F的位置:若不存在，请说明理由.【答案】(1)证明见解析(2)存在，点厂为线段夕8 的靠近点。的三等分点【解析】证明：因 为 四 边 形 为 平 行 四 边 行，且 为 等 边 三 角 形，所以 N 8C E=I2 O .又E为 C。的中点，所以C E=E D=D A=CB,即 为 等 腰 三 角 形，所 以/。8=3 0。.所以 Z A E B=1 S O-N A E D-/B E C=9。,即 BE A E.又因为平面4 七 尸，平面A BCE,平 面/Me平面 8C E=以 平面/4 0已A rtL C DLL U所
29、以 平 面 4 P E,又ZPu平面4 P E 所 以 力 汽解：取Z E 的中点0,连接P O,由于八/p 为正三角形，则P O U E,又平面/PEJ_平面Z 8 C E,平面平面48C=E，尸 0 u 平面及 P,所以尸0_L平面/8CE,p cBE=2拒，取 的 中 点 G,则OG/BE，由（1）得所以0G，/瓦以点。为原点，分别以。4 O G,。尸所在的直线为x 轴，夕轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系。则 0（0,0,0）,J（1,0,0）,5（-1,273,0）；尸（0,0网,（-1,0,0）,则 第=（2,0,0）,3=（0,273,0）,丽=卜 1,2 -石），丽=（1
30、,0,6），假设存在点凡 使平面彳 尸与平面/尸的夹角为45,设 所=2，设尸|=四边形4 8 c o 为正方形，Z P C =1 2 0 .所以o(o,o,o),c(o,2,o),JO_ L|,F(2，?，O),2 2/平面PCD的,个 法 向 量 加=(2,0,0)，所以 诙 0,_1,正)，O F =(2,W,0),设平面D E 户 的 个法向量7=(x,y,z)，-K 6 c 2=2 =-2 百 x=5 nn DE=-y +z=0 f 令，则，n-DF=2x+my=0m=(6 6,一 2 6,2)因为二面角C H Y平面角 法 7 i 2 _ B A -D A _ 1 _所以 c s|
31、.|2 V W+I 2 +4 5,1 山3解得 3,所 以=_ 3 一 2.A B 2 37.（2 0 2 2贵州贵阳一中高三阶段练习（理）如图，四棱锥产一 B C D 中，平 面,平 面 4 8 C Z FA B/CD,A B 1 A D ,A B=3,力。=6，A P=C D =2 Z P A B=6 0 -是 中 点，N 是 P B 上一点、.（1）是否存在点N使得M V平面尸/。，若存在求W的长.若不存在，请说明理由;（2）二面角p _ AAMM _ N 的余弦值为34,求 空P N的 值.5 P B【答案】（1）存在；理由见解析；PN=3【解析】（1）存在.理由如下：方法一：如图，在
32、P上B 取 点N，且满足尸N=g1P 3,D再过N 作BA的平行线交尸/于点Q，则 N 0/8,F LNQ =；/8 =1,又8 祕 且.是的中点，M D C D =X ,2:.NQ/MD,NQMD _ 4 5 G A 的棱长为a，E是 棱 的 动 点,若E为OR的中点，则直线8 g 平面4 8 O三棱锥G-瓦。石的体积为定值g/E为。的中点时，直线用 与平面CDDC所成的角正切值 为 平过点与，C,E的截面的面积的范围是2 ，A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】如图，以/为原点534244,所在直线为x,y z轴建立空间直角坐标系,则仇a,0,0),C(a,a,0),D(0,a,
33、0),4(0,0,a),S,(a,0,a),(0,a,a)所 以 率=(-a,a-),而=M-a),B D=(a,a,0).对于：当E为 叩 的中点时，/（。以 设 平 面 的 一 个 法 向 量 为 。/）,则产 空=a x-a z =0 ,不妨令x=l,则 =）,1万 ,B D =-ax+a y =0所以平面A l B D的一个法向量为”=（1 J 1）.又因为/率“a +a +t S -WHO,所 以 与 瓦石不垂直，所以宜线片/平面4班 不成立.故错误;对于：三棱锥-ACE的体积等于三棱锥 _(?1 8 c的体积.2 3乂 S s c r=ax a=2 ,同为 4,所以,8 r =X
34、2乂 =幺 故错误；A O|(.|-2 2 1_-/_ 3 2 6对于：当为乌的中点时，E(o,4,g.平面cG的个法向量为“0 =(，。，),而 BE =.C D D 3 7D-RE a2 2设直线S E与平面 所 成 的 角 为，所以s m9=/百 百=工 一 =.a2a所以co s =Jl-s in?。=(0 6 )1 所以1at。=平,3 2 C U、C z J即直线与“与平面CDAG所成的角正切值 为 苧.故正确；对于：设 E(0,a,z),(04 z a)因为 麻=(O,a,-q)，C =(a,O,-z)E C麻 瓦.麻|az所以 在 上 得 到 投 影 为1 1=7丁=三.网 C
35、|y/2 a 2所以点E到直线B 的距离为方=j反 一屋=FT7Z.当z=0,即。、E重合时，截面为矩形，其面积为。乂 缶=缶2.当0 za时，截面为等腰梯形.设截面交44于五所以怛同=/g _z)，所以/，(z)=(z-a)3-/0，所以/(z)在 0,上单调递减函数，所以f(a)4/(z)4/(。)，Hp-a4/(z)2a4.4因为所 以 与2 s 缶22当z=a,即。八E重合时，截面为边长为缶的正三角形，其面积为_ L x 0ax 0ax 3=叵22 2综上所述：且.2 4 s 4缶2.故正确.2故选：B2.(2023全国高三专题练习(理)在矩形4 8 C 0中，A B=2 3 =2百，
36、沿对角线/C将矩形折成一个大小为的二面角一一，若co s 0=，则下列结论中正确结论的个数为()四 面 体 外 接 球 的 表 面 积 为16%点B与点。之间的距离为2 G四 面 体 的 体 积 为 递3异面直线/C与8。所成的角为60A.j B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】对于，取/C的中点 ，连接“8、MD,则/c =1次+次=4 因为4 8 c =N4C=90O,所以，MB=MD=L AC=MA=MC=2,2所以，为 四面体/B e。的外接球球心，球M的表面积为47rx22=16%，对；对于，过点)在平面4 内作。0，/(，垂足为点0，过点O作QEJ.4C交8 c于点E，则二面角
37、B-/C _。的平面角为NDO E =0,在RtzXZC。中，AD=2y/3 AC LOE ODcOE=O，NCJ.平面 OOE，以点.为坐标原点，OE、o c所在直线分别为x、了轴，平面ODE内过点O且垂立于0 E的垂线为z轴建立如下图所示的空间直角坐标系,因为cosO=L 则（0，T 0）、川 后,-2,0）、40,1,0）、0 2后33 3叫I +（-2-0）2+0-=2&,错,S B C=-AB-BC=2 ,/&2 6、侦=逑，对，/.D-AU L 3 3 3=（0,4,0）（2 G 26DIJ-,Z,-不 泰 AC-BD 8&y BD 45。cos=研阿广=彳,故异面直线 与 所 成
38、 角 为，错.故选：B.3.（2022北京首都师范大学附属中学三模）如图，在正方体48。-4 用 2 中，E 为棱8 c 上的动点,尸为棱用8 的中点，则下列选项正确的是（）A.直线4 A与直线E尸相交B.当E为棱8 c上的中点时，则点E在平面/R尸的射影是点尸C.存在点E,使得直线/乌 与直线E尸所成角为30。D.三 棱 锥 尸4nk的体积为定值【答案】D【解析】A：由题意知，A D、“B、C、,B g u平面4G C 8，4)1z平面4GC8所以4 R/平面q C|CB，又EFu平面5 C C 3,所以与EF不相交，故A错误：B：连接D国、4F A E CB，如图，当点E为8 c的中点时，
39、E F CB，乂/R _LC q，所以若点E在平面40尸的射影为尸，则EE_L平面/。尸，垂足为F，所以EF，/7，设正方体的棱长为2,则4后=/尸=后，E F=42 ,在 A/E 尸中，A F2+E F2 A E2 1(2,0,0),F(l,0,2),C(0,2,0),At(2,0,2)，则 E F=(-1,-1,2)，麴=(0,0,2),n=(-2,2,0),：EF AC =2-2 +0=0:.E F 1 A C故C正确.cos/(/F,JT4A )=E F-A A r4 -振 ,故M Dc 不h正 r”确./E F-A A J 6X2 3故选：C5.（2 0 2 2江苏如皋市第一中学）（
40、多选）在四边形 BQ）中（如图1），A B=A D,NA BD =45,BC=B D =C D =2，将四边形 8 C Z）沿对角线8。折成四面体/-88（如图2所小），使得n/8 c =9 0 E,F,G分别为5 C,H ）,W 8的中点，连接ECG,0为平面8。内一点，则D图1BA.三棱锥”-8 8的体积为变3B.直线石 与CG所成的角的余弦值为拽15C.四面体力，_8 8的外接球的表面积为8万D.若 =1,则。点的轨迹长度为毡7 r3【答案】ABD对于A,如图，取3。中点O，连接ZQCO，易得4 0 1 8D,CO 1 8。，又WOcCO=O,4 0,C 0 u平问HOC，则5。J,面H
41、OC，AO=LBD=l,OC=d K,A B =&A C =/m =&,W JCOsZAOC=1 +3-6=-则22xlxV3 3sin ZAOC=3S4.A.(07 CC=2-xlxV、3x3=2-则兀4-o，CB/JC/i=0V-/B1 C./.Co c+U V-A O C.oc=3 -AS C./C.o c BD=3 A 正确;A)对 于 B,EFEB+BD+DF=-B C +BD+-DA=-B C +Bb+-(BA-BD=-BC+-B b +-B A,2 2 2 2、222,，2 1 ”2 1 2 1 -2 1 _ _ 1 1 1-.-1 .则=-BC+BD+BA BC BD BC B
42、A+BD,BA4 4 4 2 2 2则 同=乎，CG=CB+BG=-BC+B A,则 帚=交-品.研+；而?=4十；=函 卜 孚,又乔石什+厚+源”+那=/7 7 _ EF CG 2 _4而 EF CG 475则cos(ECG片厨同=而不方=一百一，即直线 与 所成的角的余弦值为了丁，B正确;YXT对于 c,易得 AABC=AADC，N/8C=90，则 NHDC=90，取ZC 的中点 M，连接易得MA =M C =M B =M D=J2#B C D 屈则四面体 的外接球的半径为吃，则外接球表面积为4万-F =6兀，C 错误;4I z对了 D,作H N_LCO父CO延长线十N，由A 选项知，HN
43、JL5。，乂 8nC0=0，8。,。0=十面8 c则/N L”面8CZT变，则/w=逅，又 0 =1,则N Q =即。点的轨迹为以为圆心，立 为半径的圆，则。点的轨迹长度为2 叵乃，D 正确.3 3故选：ABD.6.（2022江苏常州市第一中学）（多选）如图，在菱形N88中，A B=2,Z BA D=60,将48。沿对角线8D 翻折到尸8。位置，连接P C,构成三棱锥p_8CZ）.设二面角尸一&）_（?为 6,直线尸8 和直线8 所成角为a,在翻折过程中，下列说法正确的是（）PDA.PC 与平面BCD所成的最大角为45。B.存在某个位置，使得P 8 L C DC.当。三k？丝7rl 时，cos
44、CZ 的最大值为三53 3 8D.存在某个位置，使得8 到平面PDC的距离为由【答案】BC【解析】取 8。的中点。，连接。、0 C，则。尸1BD,OC_L8。，又。尸cO C =0 可得B D，平面O P C BD u平面B D C 所以平面OPC_L平 面 皿 C，与平面8 8 所成的角为N PC，当小=百 时，OPC为等边三角形，此时2 代。=60。45。，故 A 错误:由上可知NPOC为P-3Z)_C的平面角即Z.P OC=0 因 为 方=砺-而，而=历-历，所 以 丽.丽=（无-丽）（历 _ 灰）=砺.而 一 砺 灰-历.历+而 灰 =-l+3cosO,当 cosO=1 时，PB C
45、D=O,即 P B C D,故 B 正确;3I /-、RB；CD|-1+3COS0|又 cos a=|cos（P B,CD）=得同=L 4 J，当Oe 时,3 3COS 0 G ,一 ,1 +3 COS 0 G2 2C T +3cosMGr D 对.DJ/i）c j 3 Z-J/I|zc I 3 、3 3故选：A C D.8.（2 0 2 2 山东德州）（多选）如图，菱形/8 C Z）边长为2,Z BA D=60,E为边N8的中点，将 N OE 沿DE折起，使/到 0,连接48，A C 且/O_ L OC，平面“卫后与平面/CD的交线为人 则下列结论中正确 的 是（）A.平面WQE_ L 平面
46、/B E B-CD/1C.8 c 与 平 面 所 成 角 的 余 弦 值 为:D,二面角“一 8一。的余弦值为且【答案】A B D【解析】在菱形中，为 边 的 中 点，所以4B,D E，因为C D U B E 所以 E0_LO C,因为4。，。，4DCDE=D,所以co i平面“D E，因为C D B E，所以8E平面因为8Eu平面所 以 平 面 平 面8E,故A正确；因为C D “B E，CZ）平 面 E B Eu平面4 B E ,所以CD平面/8 E,又平面48E与平面4 8的交线为/,所以。/,故B正确；由A知，8E1平面4O E,则BE1H,又菱形N88边长为2,Z BA D=60,为
47、 边 的 中 点，所以D E l A E,又B E C D E=E,所以4EJ.平面8ED,以E为原点，分别以E 8,E D.E A 为x,y,z轴，建立如图所示空间直角坐标系：则 8（1,0,0）/（0,0,6（7（2,抬,0）,（0,百,0）所以m=（i,百,0）,7 =（0,0,1）,7 5 =（0,6,-1）,方=（1,0,-1”由上可知：co,平面40乙设平面AD E的一个法向量为：函=（-2,0,0），BC C D -2 1则so 二同同口工咨丁；所以有sin%两=J l-c o/反，的=#，因此选项C 不正确;显然平 面/的 一个法向量为：3=方=e,6,0),设平面 即 的一个法向量为：蔡=(x j,z)7fi-w =0 fx-z =0则有则 布 而 3叫 岛 一=。,所以m 二 （g j,百）/-_ m n _ 75 _ v/所以c s/六 丽=j3 +l+3 x j3=下，所以选项D 正确,故选：ABD.