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1、6.1 等差数列（精练）（提升版）题组一等差中项1.（2 0 2 2 全国模拟预测（理）已知数列 ，是等差数列，出,4 6 是方程x-3 x-2 1 =的两根，则数列 叫 的前2 0 项 和 为（）A._3 0 B._1 5 C.1 5 D.3 0【答案】D【解析】处,%是方程一3 x-2 1 =的两根，所以牝+%6 =3,又 4 是等差数列，所以其前2 0 项和为2 （忙/）=2 0（%96）=3 0.故选：D2 22.（2 0 2 2 全国高三专题练习）设等差数列 ,的前项和为s“，若4 +4=%+%，则 凡=（）A.2 8 B.3 4 C.4 0 D.4 4【答案】D【解析】因为+囚=出
2、+%,所以由4 +%=电+牝，可得所以=4,所以$=、（+即）=1 1 4 =4 4.2故选：D3.（2 0 2 2全国高三专题练习）已知等差数列 6,的前项和为s“，若S”=2 2,则/+%+%=（）A-1 8 B-1 2 C-9 D-6【答案】D【解析】根 据 等 差 数 列 公 式 及 性 质 可 得 竽佥=丑 导=1=22,所 以&=2,所以6 +%+%=3。6=6,故选：D4.（2022江西南昌十中高三阶段练习（理）已知数列&为等差数列，且满足%+%+4=1 5,则数列 “的前11项 和 为（）A.40 B.45 C.50 D.55【答案】D【解析】因为数列 对 为等差数列，故 出+
3、能+%=15等价于1 +06+%=34=1 5,故可 得%=5又根据等差数列前 项 和性质S”=11%=55 故选：D.4.（2022河北石家庄二模）等差数列 4 的前项和记为s“，若生+生=6,则$2022=（）A.3033 B.4044 C.6066 D.8088【答案】C【解析】由等差数列%知，2+2 0 2 1=4+2姬=6,所以邑期=迎 彗 吆 些2 =1011x6=6066,故选：C5.（2022河南平顶山）已知6“为正项等差数列 凡 的前项和，若4+旬=城，则S“=（）A.22 B.20 C.16 D.11【答案】A【解析】由题意设正项等差数列 a,的首项为4 吗 0，公差为d,
4、故 由%+g=W 得：2 q+l（W=%2，即2a a5+a7+a9=9+9x2=27 log3(a5+a7+a9)=log3 27=3)故选：B-题组二等差数列的前n 项和性质1.(2022全国高三专题练习(理)已知数列 对 是等差数列，s“为数列%的前项和,%+%+%+%=3，+%8 +q 9+。20=5 则$2 0=()A.10 B.15 C.20 D.40【答案】C【解析】数列 ,是等差数列，S“为数列 对 的前项和，根据等差数列的性质得到：邑。_ 品，品-金，&-国,国-邑，邑仍成等差数列，记$4=+&+。3+&=3，设 s$-S&=%+%+。7+%=3 +X，S1 2 Sg=%+4
5、 o +%i+a2=3+2 x，S、6 S2=。3+6 4 +。心 +a(,=3+3 x S，2 O-5|6=I7+1S+I9+2O=3+4X =5=X =1,$20=$20-S6 +S6 S2+S2 风+$8 1s 4+$4=1 5+1 OX，计算可得到结果为：20.故选：C.2.(2022全国高三专题练习)设等差数列 q“的前项和为s“，若%=2 0，$2 0=3 0,则S 3 L()A.20 B.30 C.40 D.50【答案】B【解析】由等差数列%的前项和的性质可得：s10，5,O-SIO1 5。_ 品)也成等差数歹。，:.2(S2O-Sw)=SiO+(SM-S2(l),.-.2X(3
6、0-20)=20+SM-30 解得品=30故选：B.3.（2022黑龙江哈尔滨市第六中学校一模（理）已知等差数列*的 前 项 和 为，邑=-55、声0,则邑=（）A.IO B.13 C.-13 D.-181 O【答案】D【解析】由$6=-5 5，可设$6=-5。,53=&,为等差数列，.s S/S 为等差数列，即a,6 a,风一邑成等差数列，.5 9-5 6=-1 3 ,即Sg=-18a.邑:一虚故选:D.4.（2022陕西武功县普集高级中学一模（文）设 S 是等差数列 劭 的前项和，若 包=1,则 包 等$8 3 几于（）3 111A.B.1 C.i D.110 3 9 8【答案】A【解析】
7、根据等差数列的性质，若数列%为等差数列，则S,，S8-S4 sr，九-几 也 成等差数列;又,&=L则数列凡，&一$4,品 8,司6-凡 是以S4为首项，以$4为公差的等差数列S*3则W=3S4,品=吗.0=3故 选:人九io5.（2022重庆八中模拟预测）已知等差数列%与等差数列 4 的前”项和分别为S和7且 鼠=，-,T n+那 么 色的值为（）bl1.上 B.C.D.1 21 3 1 4 1 5【答案】C【解析】设等差数列 对,的公差分别为&和.,显 二/.员=幺，即Tn n+l Tt b,2 2S2 _2a+d _ 2 即 4 =3 4 -2d2T?2 b l +d 3.邑 _ 3%+
8、3d1=3,即 4 =4 4 -3d2 T3 3 4 +3 d 2 4由解得4 =d2,b=dx.&=q+7 4 .2 4+7 4 =1 5 故 选:cb b、+6d2 4+6 4 1 46.（2 0 2 2全国高三专题练习）设等差数列%与等差数列他 的前力项和分别为s“，T,若对任意自然数 都有2=电二2,则，的 值 为（）T 4-3 尻 +3 bs+b4【答案】C1 1(%+%)旬 生 。9+。3 2 2x1 1-3 1 9 -【解析 1 由题意，r-=1 1/,.r =二 故选：C.b5+b3 4+4 4+篇 4+4 i 1 1(4+41)4x1 1-3 41一厂7.（2022全国高三专
9、题练习）等差数列%的前 项和为S，若9皿=&!也+1且4=3,则（2021 2020A.=2 +1 B。=+1C Sn=2n2+n D.=4n2-n【答案】A【解析】设k 的公差为乩:S=a,+（T）d:%+1.d旦 的,n 1 2 n 2 2 2口 哈 为等差数列公 差 为 由 翦一藕=3=j=2,故a“=2+L 5=*+7 +1).+2”牧选 A.8.（2022全国高三专题练习）已知s“,q分别是等差数列%,也“的前项和，且T3 +17 7 +1则 4。+4+九。+九【答 案 吟【解析】因为 ,为等差数列，所以4+九=+1，所以。a”/+的。=5*（4+生。）0，52（）,2 0*邑0 2
10、 2 0=1 0 1 1 （a,+。2 0 2 2 ）=1 0 1 1 （。1 0 1 1+。1 0 1 2 ）O，q o u+a 2 0,。血 0,即等差数列 g 的公差”0；”W 1 0 1 2 时，an 0，4 0，则S 的最小值为（）Ay B.S s C.56 D-Si【答案】C【解析】因为s“=华出=1 电 0,所以,所以所以S 的最小值为$6.故选：c.3.（2 0 2 2 浙江省浦江中学高三期末）设等差数列 a,的公差为d,其前项和为S“，且羽二鸟，4+4 。，则使得S,0 的正整数”的最小值为（）A.1 6 B.1 7 C.1 8 D.1 9【答案】D【解析】i l l S5=
11、S1 3 得 6+%+。1 2+/3 =0，因为 6 是等差数列 所以。6+%3=，“6+%4 =2 卬 0 0 4 0 。6+。12+d =。6+。13=%1 9 1 8 1 7 _所以，9=万（卬+卬9）=1 9卬 0 。使得S“0,公差d 0,若对任意的 c N*，总存在&w N*，使S”_ 1 =（2&-1 电.则衣-9 的最小值为（）A-7 4 B-6 4 C,-53 D-4 3【答案】C因为首项囚。，公差则得2=40，出型+0 刈50,0，则使前n项和s“0，（z2 0 1 4-a2 0 1 5 所以公差d 0，出。”。，。2 0 1 5 ,所以邑1284 0 2 8(7,+24
12、0 28)_ 4 0 2 8(a?。M +。2。1 5)n2 2因为，。=+初9，所 以 二 4 0 2 9（q+&0 2 9）0 ：“2 4 0 2 9时 S 0 故使前“项和Si：0 成立的最小正整数是4 0 2 9.故选：D.6.（2 0 2 2 全国高三专题练习）设等差数列 处 的前项和为S”，且满足S Q0,S1 6 0,则与，邑，麋/阳中最大的项为（）A.邑 B.昱 C.邑 D.邑。6%。9。8【答案】D【解析】1 等差数歹 前n 项和s“=（g）2+（q_?），由 S 1 5X）,S1 6 0,q+TS 9，S n最大值是国,分析工，知氏为正值时有最大值，故为前8项，又d 0 B
13、.4 =0c.S1 5 O D.跖、司均为s“的最大值【答案】B D【解析】因为等差数列 对 是递减数列，所以，向一4 0,所以，d 0 S7=Ss S（n e N）因为由题意得，&=o,所以，故D正确；故选：B D、的 ,tn n 1 0 t 2 1当且仅当f =?时，即=3，”=7 时取等号.故选：人.39.（2 0 2 2广东模拟预测）已知数列 ,的前项和为s“，且4=1，a“+/M=2 0 2 1-5，则使工 0 时的 的 最 小 值 为.【答案】8 0 9【解析】当为偶数时，令”=2 a,(%e N*)，S2k=(4+“2)+(%+“4)+(。乂-1 +”)=2 0 1 6 +2 0
14、 0 6 +,+2 0 2 1 5(2k 1),40 4?7 k、R OQ又S2 k 0 =2 0 1 6 +2 0 2 1 5(2%1)2%即,即为偶数时，使s 0 时的的最小值为8 1 0;当为奇数时，令=2%+1,（%GN），$2 +1 =q +(。)+/)+(%+4)+(出&+J =1 +2 0 1 1 +2 0 0 1 +2 0 2 1 10 k，令2 0 1 1 +2 0 2 1-1 0 4 2 4 竺 江，所以殊+1 9 （验证符合题意），5即为奇数时，使用 0.S1 901则数列,中值最小的项为第一项.【答案】1 0【解析】由题意得：品J 9（。”=1 网。0,，。二。9 a9
15、 -I O 0 A|a9|a,|-故等差数列%为递减数列，即公差为负数，因此|%|的前9 项依次递减，从 第 1 0 项开始依次递增，由于同 陶，M a 最小的项是第1 0 项，故答案为：1 01 1.（2 0 2 2 陕西长安一中模拟预测（理）设等差数列 6,的前项和为s“，若4 0，力 0.则当满足S“0，由用 几 得：3 4 6=&+q 6 +7=4-54 0，即须数列”的公差d =4 ,则当 430,eN 时，,而S3产 牝 詈X31=31%6，因 此 当*31,eN，时，S,0，所以当满足sn 0 成立时，的最小值为31.故答案为：3112.（2022全国高三专题练习）设，为实数，首
16、项为4,公差为的等差数列 q 的前项和为s“,满足：4 O+2t/0 解得x 2 8 或 4-8 （舍去）.故 跖=11（%+5d）=11x2 88 此时”=竺，满足4+2 d 0.1 3 15即S”的最小值为88.故答案为：88.题组四等差数列的综合运用1.（2022广东江门）（多选）已知数歹也应 的前项和为s“=_”2+33（eN*），则下列说法正确的是)A.%是递增数列 B.=一 2 +3 4C.当”=1 6，或 1 7 时，S取得最大值 D.同+同+%0|=45 2【答案】B C【解析】因为y=一/+3 3(%)所以5 _1=-(-1)2+3 3(-1)(典之2)两式相减得4=-2 +
17、34,当 =1 时，q=32 适合上式,所以a=-2+34,因 为%S一 4 =-2 所以6%+经=91 29%+”d=61 22 6a.=1 Q解得d=-9,所以A B 正确,对于C,所以S n=na2 6 5 n(n-)=n-91 8=-(5 n1 82-57），对称轴 为 =，因为1 0所以当=6 时，S取得最大n 值n，所6以SS,，所以C 错误,对于 D,令 5，=,则 5 二 5 7 =6 ,解得=,或=/因为 G N 所以B “I mm=S ”，所以|S j N S u，所以D错 误,故 选:AB3.（2 0 2 2全国高三专题练习）已知数列 J的前”项和S”=_1 L2+40+
18、3（N*）,则下列结论正确的是4 3()A.数列 ,是等差数列B.数列 4,是递增数列C.,生，的成等差数列D.S6-S3 S9-S6 儿-S 9成等差数列【答案】D【解析】.s“3+Z+4 31.,”2 2 .时，=s“-s,i1 2 2+3-i(n-l)2+|(n-l)+3一1 +一52 1 2n 1 时，q=S =.一1 时，不满足4 =：+卷1 1 1 2 2 1 2.数列”“不是等差数列；a =120%0，则（）A.数 列 的 最 小 项 为 第6项 B.一丝 0 D.s“o时，的最大值为5【答案】ABC【解析】对于c选项，由九 （“；。）=5他+&）0 且“6 0“6 =%+3。=
19、1 2 +34 0-（/,配 1佃；知）=1 4 0 的的最大值为1 0,故 D 错误；对于A 选项，由上述分析可知，当且 N 时，an0;”1 2 6 1 1.$N*时，o,%当6 4 10且”eN*时，邑 0.由题意可知 ,单调递减,所以当 64kM i0 且刀 e N*时0 a6 a7 a8 a9 a10 由题意可知$“单调递减，即有56 57 S8 5,Sl0 0 所以1 -1 -1 1 -1-0n,。6%/%0由不等式的性质可得-邑-邑-务-邑-&0,。6。7。8。9。10从而可 得 区 邑 员 邑&0”是“S-+S 用 2 S ”的充要条件【答案】A D,1 Q 1【解析】由 =Q
20、 +（-1）1 知，=1 +,2n 2则所以是等差数列，故 A 正确；+1 n 2 J当4=0 时，邑=不是的二次函数，故 B 不正确；I d =0 时，=q,nan=nax，则（+1”,+凡=4,所以 为 是等差数列，故C 不正确；当d 0时，耳7+%-25“=0,故加+5同 2 5.，SI+S“+|2 S o Sn+l-Sn Sn-Sn_,a+l a o an+l-a=d 0所 以“d 0”是“Sn ,+S+l,2 Sn”的充要条件，故 D正确.故选：AD.题组五等差数列的实际运用1.（2 0 2 2 全国高三专题练习）2 0 2 2 北京冬奥会开幕式将我国二十四节气融入倒计时，尽显中国人
21、之浪漫.倒计时依次为：大寒、小寒、冬至、大雪、小雪、立冬、霜降、寒露、秋分、白露、处暑、立秋、大暑、小暑、夏至、芒种、小满、立夏、谷雨、清明、春分、惊蛰、雨水、立春，已知从冬至到夏至的日影长等量减少，若冬至、立冬、秋分三个节气的日影长之和为31.5 寸，冬至到处暑等九个节气的日影长之和为8 5.5 寸，问大暑的日影长为（）A.4.5 寸 B.3.5 寸 C.2.5 寸 D.1.5 寸【答案】B【解析】因为从冬至到夏至的日影长等量减少，所以构成等差数列%,由题意得:%+%+%=3。4=31.5，则 4 =10.5，国=式 4 1,）=%=8 5.5,则=95，所以公差为=%-4=-1，所以卬=q
22、+7 d =10.5-7=3.5，故选：B2.（2022江西模拟预测（理）“中国剩余定理”又 称“孙子定理”，最早可见于中国南北朝时期的数学 著 作 孙子算经卷下第十六题，叫 做“物不知数”问题，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二,五五数之剩三，七七数之剩二.问物几何？现有一个相关的问题：将 1到 2021这 2021个自然数中被5 除余 3 且被7 除余2 的数按照从小到大的顺序排成一列，构成一个数列，则该数列的项数为（）A.58 B.59 C.60 D.61【答案】A【解析】因为由1到 2021这 2021个自然数中被5 除余3 且被7 除余2 的数按照从小到大的顺序所构成的数列是一个
23、苜项为2 3,公差为35的等差数列，所以该数列的通项公式为处=23+35（-1）=35_ 1 2.因为%=35-1 2 4 2021，所以 4 5 8.即该数列的项数为5 8.故选：A3.（2022贵州贵阳模拟预测（理）孙子算经一书中有如下问题：“今有五等诸侯，共分橘子60颗，人别加3 颗.问：五人各得几何？”其大意为“有 5 人分60个橘子，他们分得的橘子数构成公差为3的等差数列，问5 人各得多少个橘子？”根据上述问题的已知条件，则分得橘子最多的人所得的橘子数为（）A.15 B.16 C.17 D.18【答案】D【解析】依题意，这 5 人得到的橘子数按从小到大的顺序排成一列构成公差=3 的等
24、差数列 勺，而数列应 的前5 项和$5=6 0,由阳+型 =6 0,解得q=6,则%=%+4 d =18,2所以分得橘子最多的人所得的橘子数为18.故选：D4.（2022宁夏平罗中学三模（理）朱世杰是历史上伟大的数学家之一，他所著的 四元玉鉴卷中“如像招数”五向中有如下一段话：“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日转多七人，”其大意为“官府陆续派遣18 64 人修筑堤坝，第一天派出64 人，从第二天开始每天派出的人数比前一天多7人”，则派出总人数为7 0 8 人时，共 用 时（）A.7 天 B.8 天 C.9 天 D.1 0 天【答案】B【解析】由题意可知，每天派出的人数
25、构成一个等差数列%,其中首项q=64,公差d =7，记数列“的 前 项 和 为 则 s =6 4+(7%7 =+(64，2 2 1 2 J当S“=7 0 8 时，解得 =8.故选：B.5.（20 22全国高三专题练习（理）某公园有一块等腰梯形状的空地，现准备在空地上铺上大理石，使它成为一个运动场地，若第一排需要大理石8 片，从第二排开始后面每一排比前一排多2 片，共需铺1 0 排,则这块空地共需大理石（）A.1 6 0 片 B.1 7 0 片 C.1 8 0 片 D.1 90 片【答案】B【解析】因为这1 0 排大理石片数构成一个首项为8,公差为2 的等差数列，1 0 x 9所 以 品=1 0
26、 x 8 +（x 2=1 7 0 .故选：B.6.（20 22辽宁东北育才学校模拟预测）天干地支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支，十天干即甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即子、丑、寅、卯、辰、己、午、未、申、酉、戌、亥.天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地 支 由“子”起，例如，第一年为“甲子”,第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”,以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，然后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，以此类推.今年是辛丑年，也是伟大、光荣、正确的中国共产党成立1
27、0 0 周年,则中国共产党成立的那一年是（）A.辛酉年 B.辛戊年 C.壬酉年 D.壬戊年【答案】A【解析】由题意知，天干是公差为 o 的等差数列，地支为公差为1 2 的等差数列，且 1 0 0 =1 0 x 1 0，1 0 0 =8 x 1 2+4因为20 21 年为辛丑年，则1 0 0 年前的天干为“辛”，地 支 为“酉”，可得到1 921 年为辛酉年，故选：A.7.（20 22全国高三专题练习）电 影 刘三姐中有一个“舟妹分狗”的片段.其中，罗秀才唱道:三百条狗交给你，一少三多四下分，不要双数要单数，看你怎样分得匀?舟妹唱道；九十九条坪上卖，九十九条腊起来，九十九条赶羊走，剩下三条，财主
28、请来当奴才（讽刺财主请来对歌的三个奴才）.事实上，电影中罗秀才提出了一个数学问题：把3 o o 条狗分成4 群，每群都是单数，群少，3 群多，数量多的三群必须都是一样的，否则就不是一少三多，问你怎样分?舟妹已唱出其中一种分法，即 3,9 9,9 9,9 9 ，那么，所有分法的种数为（）A.6 B.9C 1 0 D1 2【答案】D【解析】设少的1 群狗有”条，多的3 群狗每群有阳条，机、eN*，口加 根据题意，+3 旅=3 0 0,则 一定是3 的倍数，可设 =3f(f e N)由机 ，得0 7 5，则0 3/7 5，即0 f 2 5-由 为奇数，则，为奇数，即f e l,3,5,7,9,1 1
29、,1 3,1 5,1 7,1 9,2 1,2 3 ，于是分配方法有以卜 1 2种：3,9 9,9 9,9 9、9,9 7,9 7,9 7、1 5,9 5,9 5,9 5、2 1,9 3,9 3,9 3、2 7,9 1,9 1,9 1、3 3,8 9,8 9,8 9、3 9,8 7,8 7,8 7、4 5,8 5,8 5,8 5、5 1,8 3,8 3,8 3、5 7,8 1,8 1,8 1 6 3,7 9,7 9,7 9、(6 9,7 7,7 7,7 7)-故选：D.8.(2 0 2 2全国高考真题)图1是中国古代建筑中的举架结构，是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是 某 古 代 建 筑 屋 顶 截 面 的 示 意 图.其 中 是 举，,明,为阴是相等的步，相邻桁的举步之比分别为丝L =&3/图=&,幺=%.已知O Dt D C CB、2 BA i 3配&，%成 公 差 为0的等差数列，图1且直线。4的斜率为0.7 2 5,则与二()1/G 1、一0 ),x图2A.0.7 5B.0.8C.0.8 5D.0.9【答案】D【解析】设O R =G=C 8 1 =8 4 =1 贝I J C G=k,BB=k2,A A,=&，依题意,有自-。-2=匕他一。=右1 1 DD、+CC+AAODy 4-DC、+CB、+BAy0.725,所以q=。侬，故-。9,故选：口