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1、 7|2021年 高 考 数 学 模 拟 豉 题(J、)岫|湖 南 省 郴 州 市 第 二 中 学 黄常健一、选 择 题：本 大 题 共1 2小 题，每 小 题5分，共6 0分。在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中，只 有 一 项 是 符 合 题 目 要 求 的。L 已 知 集 合A=1 6 1 1|工一 1 IV 2),3 =了|(l +1)(N 3)0 ,则 集 合 八0(CRB)等 于()。A.1,3 B.(-1,3)C.1,2 D.0,1,22.已 知2+.=16 i,其中 a,6 R,i 是1虚 数 单 位，则|a+6 i|等 于()。A.A/6 B.6 C.A/5 D.5
2、了一y 0,3.若z.y满 足 约 束 条 件+y&2,则x-F 1 0,C.C 1 5 D.1 7,54 .设 a,b 是 非 零 向 量，则”|a+b|=|0|一|6|是,5”的()。A.充分不 必 要 条 件B.必 要 不 充 分 条 件C.充 分必要条件D.既 不 充 分 不 必 要 条 件5.已 知 数 列3户 的 前 项 和 为S。，首项,n=2 -1,.a 1=a,a+1=2。(二)选 考 题：共1 0分。请 考 生 在 第22、2 3题 中 任 选 一 题 作 答。如 果 多 做，则 按 所 做的 第 一 题 计 分。22.选 修4-4：坐标系与参数方程(10分)在 平 面 直
3、 角 坐 标 系J c O y中，直 线Z的参工=7 一T八数 方 程 为4 C 为 参 数)。以坐=2 +与，标 原 点 O 为 极 点，H 轴 的 非 负 半 轴 为 极 轴 建立 极 坐 标 系，曲 线C,的 极 坐 标 方 程 为p=2W cos(a-),曲 线C2的 直 角 坐 标 方 程 为y=x/d-F。(1)设 直 线I与 曲 线 g 的 交 点 为M，N，求IM N I的 值；(2)记 直 线Z与 工 轴，y轴 分 别 交 于A,B两 点，点P在 曲 线C?上，求 前 P B的取值范围.23.选 修4-4：不 等 式 选 讲 卜1 0分)已知 a 0,6 0,且 小+从=1。
4、(1)若 对 于 任 意 的 正 数-6,不 等 式|3工一+=恒 成 立，求 实 数 工 的 取 值 范 围,a o 证 明：U+S)(a，+&D A.(贵 任 编 辑 王 福 华)方 程f（N）=-2 z +m有 且 只 有 两 个 不 相 等的 实 数 根，则 实 数m的 取 值 范 围 为（兀A.（o o,4）B.（o ot4 jC.（2,4）D.（2,4 7.考 古 发 现，在 埃 及 金 字 塔内有一组 神 秘的数字 14 2 85 7,因为 14 2 85 7 X 2 =2 85 7 14,14 2 85 7 X 3=4 2 8 5 7 1,，所 以 这 组 数 字 又 叫走 马
5、 灯 数。该 组 数 字 还 有 如 下 规 律：14 2 +85 7=9 9 9,5 7 1+4 2 8=9 9 9,。若从 1,4,2,8,5,7这6个 数 字 中 任 意 取 出3个 数 字 构 成 一 个 三位 数 工，则9 9 9-x的 结 果 恰 好 是 剩 下3个数字 构 成 的 一 个 三 位 数 的 概 率 为（）.8.在 等 腰 直 角AABC中，D,E分 别 是斜 边BC的 三 等 分 点（D靠 近 点B）,过E作A D的 垂 线，垂 足 为F,如 图1所 示，则A F等 于().A.obB.+C.4 AB 4-4-ACD DD.A B +A C9.已 知 函 数f （H
6、）=5/2 si n 3 工和g （工）=V 2 C O S S N （其 中s0）的 图 像 的 交 点 中，任意 连 续 三 个 交 点 均 可 作 为 一 个 等 腰 直 角 三 角形 的 顶 点。为 了 得 到 函 数g（N）的 图 像，只需把 函 数f（N）的 图 像（）。A.向 左 平 移1个单位长度B.向 右 平 移1个单位长度C.向 左平移三个单位长度D.向右平移方个单位长度10.如 图2,已 知 抛 物 线C：/=2户工（20）的 焦 点 为F,P （了。5）是抛物线C上 一 点。以P为圆心的圆与线 段P F交 于 点Q,与 过 焦 点F且 垂 直 于 n 轴 的 直 线 交
7、 于 点A,B,|A B|=|P Q|,直 线P F与 抛 物 线C的另 一 个 交 点 为M。若|P F|=偌|P Q I,则A.1 B.7 3 C.2 D.7 511.关 于 函 数 的 周 期 性 和 对 称 性，有 以下四 种 说 法：定 义 在R上 的 函 数/（工）满 足/（x）二 2 一 ），且 函 数f （N）的 图 像 关 于 点（3,0）对 称，则8是 函 数”工）的 一 个 周 期；定 义 在R上 的 函 数/（n）满 足f（N +）+f（7）=0,则 I是 函 数”工）的一 个 周 期:若 函 数 八 工 一3）为 奇 函 数，则 函 数“了）的 图 像 关 于 点（一
8、%0）对 称；在 同 一 坐 标 系 中，函 数f （N-1）与了（1一工）的 图 像 关 于 直 线x=l对 称。其 中 说 法 正 确 的 个 数 为（）。A.1个 B.2个C.3个 D.4个12.已知 四 棱 台 A B C D -AXBXCXDX的上、下 底 面 均 为 正 方 形，其 中AB=2 7 2 ,A 1 1 3 j=/2,AA =B B =CCi=DD 1=2,如图3,则 下 列 叙 述 正 确 的 是（）oA.棱 台 的 高 为2B.A Ac ac.棱 台 的 体 积 为 吗3 D.棱 台 的 侧 面 积 为1 2夕 图3二、填 空 题：本 大 题 共4小 题，每 小 题
9、5分，共2 0分。13.在（1+工+后）的 展 开 式 中，i 项的 系 数 为 _ _ _ _（结 果 用 数 值 表 示 兀14.已 知 数 列 a.的 前 几 项 和 为S.，若2 a.=S.2,则 S,=_ _ _ _。15.在 角&，仇,，仇。的 终 边 上 分 别 有点Pl t P2,，P a。，如 果 点P 的 坐 标 为（s i n（1 5 4 ）,s i n（7 5+4）（l&0,6 0)的 左、右 两 支 上，且 关 于O原 点。对 称，双 曲 线c的 左 焦 点 为F一直线A B 与 双 曲 线C的 左 支 相 交 于 另 一 点M。若|M F,|=|BF,|,且 BF7
10、 =0，则 双曲 线C的 离 心 率 为 _ _ _ _O三、解 答 题：共7 0分。解 答 应 写 出 文 字说 明、证 明 过 程 或 演 算 步 骤。第17 2 1题为必 考 题，每 个 试 题 考 生 都 必 须 作 答。第22、2 3题 为 选 考 题，考 生 根 据 要 求 作 答。(一)必 考 题：共6 0分。17.(1 2分)在 平 面 四 边 形A B C D中，AB=72,A D=/1 7，Z A B D=4 5 O(1)求A B D的 面 积；(2)设 sin C=sin 5 0(l+JJta n 100)求四 边 形A B C D的 周 长 的 取 值 范 围。18.(
11、1 2分)如 图4,在 多 面 体A B C D E F中，四边形A B C D为 梯 形，AB 戊C D,A B =4,B C =CD=幺DA=2,四 边 形B D E F为 用4矩 形。(1)求 证：平 面A D EJ_平 面A B C D i(2)若 D E=l,A E=y ，点 H 在线段 E F上，且A H与 平 面B D E F所 成 的 角 为45,求直 线B H与 平 面C E F所 成 角 的 余 弦 值。19.(1 2分)某 科 技 公 司 新 开 发 一 电 子 产品，该 电 子 产 品 的 一 个 系 统G有3个 电 子 元件 组 成，各 个 电 子 元 件 能 否 正
12、 常 工 作 的 概 率均 为 且 每 个 电 子 元 件 能 否 正 常 工 作 相 互独 立，若 系 统G中 有 超 过 一 半 的 电 子 元 件 正常 工 作，则G可 以 正 常 工 作，否 则 就 需 要 维修，且 维 修 所 需 要 的 费 用 为500元。(1)求 系 统G不 需 要 维 修 的 概 率。(2)该 电 子 产 品 共 由3个 完 全 相 同 的 系统G组 成，设Y为 电 子 产 品 需 要 维 修 的 系 统所 需 的 费 用，求Y的 分 布 列 与 数 学 期 望。(3)为 提 高 系 统G正 常 工 作 的 概 率，在系 统G内 增 加 两 个 功 能 完 全
13、 一 样 的 其 他 品 牌 的 电 子 元 件，每 个 新 元 件 正 常 工 作 的 概 率均 为 力，且 新 增 元 件 后 有 超 过 一 半 的 电 子 元件 正 常 工 作，则 系 统G可 以 正 常 工 作。试间：户 满 足 什 么 条 件 时，可 以 提 高 整 个 系 统G正 常 工 作 的 概 率？20.(12 分)已 知 圆 C：(N+2 +/=24与定点 动 圆N过 点M且 与 圆C相切，记 动 圆 圆 心N的 轨 迹 为 曲 线E。(1)求 曲 线E的 方 程；(2)斜 率 为A的 直 线1过 点M,且 与 曲 线E交 于A,B两 点，P为 直 线H=3上 的 一 点
14、，若A B F为 等 边 三 角 形，求 直 线Z的 方 程。21.(12 分)已 知 函 数 /(x)=e(1 4-?nln)，其 中m 0,f(工)为/(工)的 导 函数，且恒成立。(1)求m的 取 值 范 围；(2)设 函 数f (工)的 零 点 为 H。，求 证：f存 在 极 小 值 点x,，且工。工(二)选 考 题：共1 0分。请 考 生 在 第22、2 3题 中 任 选 一 题 作 答。如 果 多 做，则 按 所 做的 第 一 题 计 分。2 2.1选 修4-4：坐 标 系 与 参 数 方 程 卜10分)在 平 面 直 角 坐 标 系x O y中，直 线I的参*x=a-t,数 方
15、程 为4 a为 参 数，。0)。以1k=Tz坐 标 原 点 O 为 极 点，H 轴 的 非 负 半 轴 为 极 轴建 立 极 坐 标 系，圆C的 极 坐 标 方 程 为p=2cos 6。(1)求 直 线I的 普 通 方 程 及 圆C的直角坐标方程,(2)当a=2时，设 直 线Z与 圆C交 于A.B两 点，求A O B的 面 积。2 3.选 修4一5,不 等 式 选 讲 卜1 0分)设函数/(x )=|+6|+|ax 6|(a b R)。(1)若a=2,6 =1,解 不 等 式f (工)4,(2)若 对 任 意 满 足 的 实 数 工，都有/(x)|ax 6|1成 立,求。的dft大 值。(贵
16、任 编 辑 王 福 华)33 2021耳考微学横刎徐电(八)参考答越一、选择题1.D 2.C3.B 画 出 可 行 域，如 图1 X j所 示，当 直 线 之=4 z +y经 过点A(1,一 1)时，z取得最小值 一5；当 直 线Z=4N+、经过/点时，之 取 得 最 大 值5,图1故 一5WnW5。4.A 5.B6.A 提 示：作 出 函 数)=4)与g(x)=-2N+T H的 图 像，如图2所 示。方 程“工)=+/.力/一2工+加 有 且 只 有 两 个/对人为不 相 等 的 实 数 根，则一!X&t*?/(工)与g(N)的 图 像 有 且 只 有 两 个 交 点。当g(N)=2 1+m
17、的图 图2像 经 过 点(1,2)时，加=4,结 合 图 像 可 知，当m =0.因 为E F-L A D,易得E F的 方 程 为2工+4 =0.联立 A D与E F的 方 程，解 得 交 点F的 坐 标 为 信 卷)。设 A F =zn A B+“A C,即(,z)=m(3,0)5 5/.8 4十 九(0,3),解得 m =fn=9.A 提 示：令 f(i)=g(N)，即 s i n uX=cos OJJC，t a n u)x=1 o 不 妨 取 cox=，4 4乎 得 连 续的三个交点为A层，1),B吃，T，C(总】)，如 图4所 示。则 点B到 边A C的 距 离 为2,因为 A BC
18、是 等 腰 直 角三 角 形，所 以 斜 边A C的 长 为4,于 是 一 卢=4,得3 =年，八工)4切 4 o)Z=/2 s i n -y x(x)=/2 cos -yx=5/2 s i n (1 +1)。所 以 只 需 把 函 数 八 工)的 图 像 向 左平 移1个 单 位 长 度 即 可。10.B 提 示：设 点P的 坐 标 为(N,、)，圆P的半径为厂。因 为|AB|=|P Q|=一所以 点P到 弦A B的 距 离 为 空r,于 是H=方+等，。由 焦 半 径 公 式 知|P F|=N+/=立+聋 结 合 条 件|叩 =V I|P Q|,解得r=丝，于 是I PF I=2/。设 N
19、 P FN=6,则IPFI=1 0,I MF|=7 所以1 -cos 6 1 十 cos 01 P A=2户，解得 cos e =),所以|M F|=1 cos 8 22P 丁目 I P Q I-2-33 于 是|F M|一偌*2伍。11.C 提 示：因 为f (7)的 图 像 关 于 点(3,0)对 称，所 以 /(N)+f (6 工)=0,又/(x)=/(2 n),于是/(2 x)4-/(6 x )=0,所以/(x +4)=-/(x),/(x 4-8)=”了)，即8是 函 数 工)的 一 个 周 期，所 以 正 确。由 f(N+3)=f =f(工)，则3是f(z)的 一 个 周 期，所 以
20、 是 错 误。因为函数为奇函数，图 像 关 于 原 点 对称,所 以 将y=/(H一刃 的 图 像 向 左 平 移 得个 单 位 长 度 可 得“工)的 图 像，则 函 数/(x)74 的 图 像 关 于 点（一卷,。）对 称，所 以 正 确。函 数y=f（）与、=，（一）的 图 像 关 于y轴 对 称，将函数与（一）的图像 都 向 右 平 移1个 单 位 长 度，即 得 函 数、=，（了一1）与y=f（l 工）的 图 像，二 者 关于直线N=1对 称，所 以 正 确。12.C 提 示：如 图5,将 四 棱 台 补 成 四 棱锥P-A B C D,记 棱 台 的 上 底 （L面 和 下 底 面
21、 的 中 心 分 别 为Ot.O,B C,BtC,的 中 点 分别 为E,E-由 条 件 知A-优 第 漓 贺B-G，D|分 别 为 四 棱 锥 的J-侧 棱P A,P B,P C,F D 的中 图5点，所以 OO,=y PO=-j-y P A -O A2=伍，故 A不 正 确；由 FA=FC=AC=4,得A A,与CC1所 成 角 为60,故B不 正 确；四棱锥P-A B C D的 体 积 为 十*8*2伍=专 生,|AAf 1+|AF/=|M F?/，即 +/=(工+2 a ,解 得 工=3 a.所 以|A F J =a,|A F2|=3 a,|F,F2|=2c,代 入|A F J?+|A
22、 F/z =I B F/2,解 得 双 曲 线C的 离 心 率e_ c _ /T o=T=2.三、解答题17.(1)在ZX A BD中，由 余 弦 定 理 得AD2=A B2+DB2 2AB D B cosN A B D,即 17=2+D B?-2D B =0,即 D B2-2 D B-15=0,解得 DB=5。15SA*BO=A B D B sinN A BD =5。(2)sin C=sin 50(1+73 tan 1 0 0)=sin 50。(i+牛小.孚)=sin 50 X cos 10)cos 10+/sin(6+45)。因为 O V 0V 9O,所以 45V J+45V135,岑 V
23、 s in e +45)W 1,于是 DC+BC=5 0 i n（?+45-）e（5,5。所 以 四 边 形A B C D的 周 长 的 取 值 范 围为（2+5+7 1 7,6+/1。18.（1）取A B的 中 点M,连 接D M。因为 A B/C D ,A B=2CD,所以 B M/C D,且B M=C D,所 以 四 边 形B M D C为 平 行 四 边形.因 为 A B=4,B C =2,所以 DM=BC=杂 所 以N A D B =9 0。,B D J_ A D。因为四 边 形B D E F为 矩 形，所 以BD J_E D。又A D C ED=D，所 以 BD 平 面 A D E
24、。又B D U平 面 A B C D，所 以 平 面 A D E J_平 面A B C D.（2）因为 DE=1,A E=心 ，所以 DE?十A D 2=A E 所以 A D JL E D.又 B D D E D =D,所 以AD J _平 面B D E，连 接D H ,则 Z.A H D是A H 与 平 面B D E F所 成 的 角，即N A H D =4 5,所以 D H =D A=2,于是 E H=V D H2-D E2=V 3e以D为 坐 标 原 点，DA,DB,D E所 在 直 线分 别 为1轴，y轴，N轴，建 立 如 图7所 示 的 空 间直 角 坐 标 系 D-Q Z,所以 B
25、(0,2展，0),图 7F(O,2氏 1),C(1,73,0),H(0,y 3 ,l)o 所 以 亘 声=(0,一 偌，1),C F=(l,y 3 ,1),E F =DB=(0,2/3,0)o设 平 面C E F的 一 个 法 向 量 为m=(N,、，f C产*m=O f(jr+y+n=0,z),贝IJ 即 令N=EF-m =0,y=091,得 N=-1,所以 m=(l,0,l)o所 以8 s 期,m=用 =.|B H|m|4设 直 线B H与 平 面C E F所 成 角 为 心 则sin 0=哆，所 以 直 线B H与 平 面C E F所成4角 的 余 弦 值 为 工 时=学。19.(1)系
26、 统G不 需 要 维 修 的 概 率 为(2)设X为 维 修 的 系 统G的 个 数，则X 且 Y=5 0 0 X,所 以 P(Y=500A O=P(X =&)=C：(3)由 题 意 知 系 统G有5个 电 子 元 件。若 前3个 电 子 元 件 中 有1个 正 常 工 作，同 时 新 增 的2个 必 须 都 正 常 工 作，则 概 率 为若 前3个 电 子 元 件 中 有2个 正 常 工 作，同 时 新 增 的2个 至 少 有1个 正 常 工 作，则概率 为C；(/)+C”y/=亮(2力一仑2);若 前3个 电 子 元 件 都 正 常 工 作，则 不 管新 增 的2个 元 件 能 否 正 常
27、 工 作，系 统G均能正 常 工 作，则 概 率 为C：(y)3=y-所 以 新 增2个 元 件 后 系 统G能正常工作的概率为3Q Q力 2+京(2户 一1)2+1+O O O O3 113由丁 p+方 =不(2 9-1)知，当2p4 O O-1 0,即 v p v i时，可 以 提 高 整 个 系 统G正 常 工 作 的 概 率。20.(1)设 动 圆N的 半 径 为r，由 题 意 可知，点N满 足|?：|二2方 一，|?1|=入所以INCI+INM I=2 6，由 椭 圆 的 定 义 知 点2 2N的 轨 迹 是 以C,M为焦点的椭圆三7+台=a ol(a b 0),于是 a=%c=2,
28、6=&，故曲x2 v2线E的 方 程 为+5=1。(2)设 直 线I的 方 程 为=A(H 2),代入 曲 线E的 方 程/+3/=6,化 简 整 理 得(3 1 +1)工2 -124&+12&6=0。因为直线I过 椭 圆 内 的 定 点 所 以A 0恒 成 立。设 A(H i,”)，B(孙，”)，则 X)+x2=12Az，对工2=1*2A22-u；6，所以1W,I ABI=4ZT-4T-T公T5 k十1 6 k十1I%1一I=(l+X)C r+书)2 -4百与 =2痣(公+1)-3 f +1-设A B的 中 点 为Q(n。，)o),则 n。=6 1I三 J,直 线P Q的 斜 率 为 一 h
29、(由 题 意 知34十1 女A r 0),又P为 直 线N=3上 的 一 点，所 以 NP=3,所 以 I 尸QI=jcQ xP I=717蜜。当A B P为 等 边 三 角 形 时，I尸QI=俘竺解得&=1,或&=-1,所 以 直o k十1线/的 方 程 为N+J 2=0,或 N、-2=0。21.(1)由/(x)=e*(1 4-mln 工)，得，(工)=e，(l+?+mln x)(x 0).令 Zi(工)=11-F m In(N 0),则X无，8=哼工工0).令 人 ()0,得N 1,所 以 函 数 无(N)在(1,+8)上 是 增 函 数；令 九 (幻V 0,得 Z V I,所 以 函 数
30、 内(工)在(0,1)上 是 减 函 数，则 函 数 无(工)在x=l处 取 得 最 小 值A(l)=1+m o55因 为/z(x)y e i恒 成 立，即A(x)y53恒 成 立，所 以1+加 万，解 得772 2，所以加的 取 值 范 围 为 ,+8).(2)因 为 函 数f(H)=e(l+m ln工)的零点 为No,所 以1+m ln工0=0,解 得 了o=e 0),则 g (n)=e(l+)+m I n z)。令 H (工)=1+-r-1-m ln n,贝U7 xr r,.、2m 2m m m Cx2 2N+2)H (x)=-j-4-5-X X X X 0,故 函 数H(N)在(0,+
31、8)上 是 增 函 数，又 H(l)=1 4-m 0,H(y)=1 mln 2 0,g(N)0,函数 g(H)单 调 递增，所 以,(H)存 在 极 小 值 点X,.因为 H(H0)=1+生 一 号+m ln x0=No Xom(2 o l)2,c 门 一2、1 Y、1-2-，由 e2 V 8,得 e 2 匕，T，N oO_z_于是 2 z -l =2e-l 2 e 7 1 0,所以H(工。)0,即 H(xo)H(x,)0又 因 为 函 数H(N)在(0,+8)上 是 增 函数，所 以x0 xl.=a+/,1x22.(1)由 y消 去 参 数，得x-R y-a=0。由q=2cos 6,得 p2
32、=2pcos。，将 J+1y 2=p 2,/=pcos 8 代 入，化筒 得了2 +/-2z=0,即(N 1)2+y 2 =1。所 以 直 线Z的 普 通 方 程 为 工 一 伍 一a=o,圆C的 直 角 坐 标 方 程 为(/-1)2+/=1。(2)由(1)得 圆C的 圆 心 为(1,0),半 径R=1,所 以 圆 心C到 直 线Z的 距 离d=门 彳 1=-1-.于 是 I AB|=2 J R d。=21 1-(幼2 =遍，又 原 点。到 直 线I的距离 力=1,所以 S=y|A B|d1=y.23.(1)由 a=2.6=1.得/(x)=|2x+l|-4工+I 2N 1|=2,，求 得 不 等 式4N-,/(x)4的 解 集 为 工|一1 工 1。(2)因 为 对 任 意 满 足0 工 1的 实 数 工，都有 f (e)I a x 6|1,即|0工 +6|1,令 r=0,得|6|1,令N=1,得|0+6|1,故|=|b+a +6|4|一6|4-|a 4-6|2所以 当。=2,6=1时，a取 最 大 值2。(贵 任 编 辑 王 福 华)77(C)1994-2022 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http:,/