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1、2 0 2 1年 第3期高考数学高分之路 数理天地 高中版高考数学高分之路.2021年高考数学模拟试题王勇 杜 晓 霞(湖 北 省 襄 阳 市 第 一 中 学4 4 1 0 0 0)王 勇 中 学 高 级 教 师.湖北 省 特 级 教 师，湖北省优秀教师.湖北省教科研学术带头人.享受政府特殊津贴.襄阳市数学学会常务理事、副理事长.现任襄阳市第一中学副校长。已发表 论 文1 5 0 0余篇。一、选择题1.已 知 集 合A=z|2 4 2，8 ,8=工|一 一2了4 0 ,则 A U B=()(A)z|0 3.(B)1?|1 4 h -l(a 0,6 0)的 左、右 顶 点,点M在E上.且AB|：
2、|BM|：I AM|=1：1：V J,则双曲线E的渐近线方程为()(A)y=士乃 z.(B)y=士;.r.(C)+2x.(D)=.r.7.已知ABC的垂心为H,且AB=3,AC=5,JW是B C的中点，则百 应 反：=()(A)5.(B)6.(0 7.(D)8.8.中国古代的五音，一般指五声音阶，依次为宫、商、角、徵、羽.如果把这五个音阶全用上，排成一个五个音阶的音序,且要求宫、羽两音阶在角音阶的同侧.则可排成这样的不同音序的种数为()(A)120.(B)90.(080.(D)60.9.自然界中具有两种稳定状态的组件普遍存在.如开关的开和关、电路的通和断等，非常适合表示计算机中的数，所以现在使
3、用的计算机设计为二进制.二进制以2为基数,只用0和1两个数码表示数.逢2进1,二进制数与十进制数遵循一样的运算规则.它们可以相互转化.如(521)io=1 X 20+0X 28+0 X 27+0 X 2fi+0 X 2s+0 X 21+1 X 2:,+0 X 22+0 X 2+1 X 2=(1000001001)2.我国数学史上,清代汪莱的 参两 算 经 是 较 早 系 统 论述非十进制数的文献.总结出了八进制数乘法口诀：(7 X 7)8=(61)S,(7X6)=(52)8,(7X5)S=(43)8,-,19 数理天地 高中版高考数学高分之路2021年第3期则八进制下(6 X 5 K等于()(
4、A)(36)8.(B)(37)8.(C)(40)8.(D)(41)8.10.已知三棱锥P-A B C中，八3 C是以角A为 直 角 的 直 角 三 角 形，AB=A C=2,P B =P C,P A=714,O,为A B C的外接圆的圆心，cos/PA O i=竽.那 么 三 棱 锥P-A B C外接球的体积为()(A*毕 5 o(0 2/1 4 .(D)77r./2 y 211.已 知P为椭圆77+4_=1上的一个动16 4点，过 点P作 圆M：(彳-1)2+?2=1的一条切线，切 点 为A,与 椭 圆 的 另 一 交 点 为Q,若 点A平 分 线 段P Q,且 直 线P Q的斜率为负数，则
5、直线A4A的斜率为()(A)4V2.(B)3V2.(O2V2.(D)V2.12.已知 a=41n3J,b=31n4,c=4liw3，则a ,C的大小关系是()(A)c a.(0 6 a c.二、填空题(B)a b c.(D)6 c a.13.已知(工+a)卜 一 的展开式中所有项的系数和为一 2,则展开式中的常数项为14.已知数列 明,)的 前 项 和 为S,满足2S=4a m.且数列”a“的 前5项和等于258,则m的值为.15.已知函数f (工)=asin2z,痣cos2;r的图 象 关 于 直 线.r=一 方 对 称，若 了|)/(K 2)=4,则|z z 2 I的最小值为.16.正方体
6、的棱长为2,M,N,E,F 分别是 A i%,A D,B C i,C D i 的中点，则 过E F且 与M N平行的平面横正方体所 得 截 面 的 面 积 为.C E和该截 面 所 成角 的 正 弦 值 为.三、解答题17.如 图1.P为ZXA8C内 一 点，满足/A P B =135,PB=1,A B=75.(1)求ZA PB的面积；(2)若P关于A B的对称点为 Q,且 QB J_ B C,ZC =60.求 sin/BA C 的值.18.如 图2,在 四 边 形ABC。中，A C D是边长为 图12的 正 三 角 形，AB=A C,且A B J.A C,现 将ACD沿A C翻 折，使 得
7、点D到 达 点P的位置,且AB _L P C，点E.F分别是A P和A B的中点.图2(1)求 证：CE P B；(2)若 点G在 线 段B C上，且C E 平面P F G，求 直 线A G与 平 面B C E所成角的正弦值.19.为实现有效利用扶贫资金，增加贫困村民的收入，扶贫工作组结合某贫困村水质优良的特点，决定利用扶贫资金，从外地购买甲、乙、丙三种鱼苗在鱼塘中进行养殖试验，试验后选择 其 中 一 种 进行大面积养殖，已知鱼苗甲的自然成活率为2夕一 1.鱼苗乙、丙的自然成活率均为,且 甲、乙、丙三种鱼苗是否成活相互独立.(1)试验时从甲、乙、丙三种鱼苗中各取一尾，记自然成活的尾数为S.求S
8、的分布列；(2)试 验 后 发 现 乙 种 鱼 苗 较 好,扶 贫 工 作组决定购买尾乙种鱼苗进行大面积养殖.若将(D中满足数学期望E(g)不超过2 6的p的 20 2021年 第 3 期高考数学高分之路 数理天地 高中版最大值作为乙种鱼苗自然成活的概率.养殖后发现乙种鱼苗有个别因不适应环境而不能自然成活,对这些因不适应环境而不能自然成活的80%鱼 苗 采 取 增 氧、换 鱼 塘 等 措 施，采取措施后 成 活 的 概 率 为6 2.5%.若每尾乙种鱼苗最终成活后可获.利1 0 0元，不 成 活 则 亏 损2 0元，若扶 贫 工 作 组 的 扶 贫 目 标 是 获 利 不 低 于3 7 6万元
9、，问需至少购买多少尾乙种鱼苗？2 0.已知抛物线C的顶点为坐标原点O,焦点F在y轴的正半轴上.过点F的直线/与抛物线C相交于A,B两 点.且 满 足 市 O B =-.4(1)求 抛 物 线C的方程；(2)若P是抛物线C上的动点，点M,N在n 轴 上，圆./+(?-1)2=1 内切于求/X P M N面积的最小值.21.已知I 1，工2(孙V/2)是 函 数f C x)=cr+l n(j r +1)ax(a 6 R)的两个极值点.(1)求a的取值范围；(2)证 明：/(I 2)/(w I)21na.22.(选修4 4 ：坐标与参数方程)在极坐标系中,已 知 曲 线C的极坐标方程2为p=:.以
10、极 点 为 原 点，极 轴 为x，5 co s 21一m轴正半轴建立直角坐标系.(1)若 曲 线C为双曲线,求？的取值范围；(2)当m=1时，在 直 角 坐 标 系 中 过 点P(2,0)作 直 线/交 曲 线C于两点，若|P A|P B|=4 8,且 前 与 万 百 方 向 相 同，求直线/的倾斜角.23 .(选修4一5：不等式选讲)已 知a,。，c均为正实数.(1)若“6+0 c+a c=3,求 证：Q+A+C)3；(2)设Q+人=1,求 证：(1T)参考答案题号12345678910答案ABCABDDCAB题号111213141516答案CI)一8047 TT2氏嘤17 .(1)在Z S
11、 A P B中，由余弦定理得A B2=A P2+B P-2A P B P c o s Z A P B ,即 5 =1+P A2-2X 1 X P A co s l 3 5 0,P A2+V 2 P A -4=0,解得 P A =四 或 一2成(舍去)，从而 SW B=y PA-P Bs i nl 3 5 0=y.(2)设NAB P=a，由对称性知/A B Q=a,在Z V I P B中，由正弦定理得A B A Ps i nl 3 5 0 s i na 即历X也A P s i nl 3 5 V 21 AB Vs底则2co s a=,V 5从而 s i n/A BC=s i n(9 0 a)=co
12、 s a=一，A/5co s N A B C =,V 5s i nZ BA C=s i n(18 0-ZC -Z A B C)=s i n(6 00+N A B C)=s i n6 0co s-A BC+co s 6 0s i n/A 3 C=Txi +Tx_/15 +2V 5=10,18 .(1)因 为 A C D是正三角形，所以翻折后，A C P是正三角形，21 数理天地 高中版高考数学高分之路2021年 第3期因为E为A P的中点，在RtZABC中，易知所以C E _L PA.A B=A C=2,因为A B _L A C,A B J_ PC,所以 3 C=/A B 2+AC2=2,2 ,
13、A C n P C=C,所以A B _L 平面 ACP.C G =B C =+,又C E U 平面 ACP.I 所以C E _L AB.所以 A G=JA C2+CG2-2AC CGcos j因为C E J_ P A,A B 口 PA=A,275所以C E 1 平面 PAB.3，又P B U 平面 PAB,所以 sinZ A G T=A T=43，所以CE _L PB.AG 5(2)解 法1 设BE D PF=H，连接GH.即直线A G与平面BC E所成角的正弦值为因为C E /平面 PFG.所以又所以平 面B C E n平 面P F G=G H,G H /CE.E.F分别是A P和A B的中
14、点,H为/SPA B的重心，所以BG BH=-2-BC B E 3点，过 点A垂 直 于平面ABC的直线为z轴，八3.A C所在刍直线分别为了小轴建立如图4A F R X所示的空间直角坐标系，则 图 A（0,0,0）,13（2,0,0）,即G为线段B C上靠近点C的三等分点.由（1）,知 CE _L平 面PAB,因为 C E U平 面3CE,所以 平 面BCE J_平 面PA及因为所以C(O,2,O),P(O,1，V3).E,F分别是A。和A B的中点,E（0,.F(l,0,0),过 点A作A T J_ B E于点T,则 AT J.平 面BCE.连 接GT,所以 N A G T为直线AG与平面
15、B C E所成的角.由（1）,知所以BC=(-2,2,0),所以A B _L 平面 PAC,A B _L PA.A图3在R tA A B E中，易知A B=2,A E=y A P =1,则所以B E =V A B2+A E2=展，即故A TA B A E 2V5B E5 2 2 CP=(O.-1PF=(1.-1,-V 3).设 坊=4 B C,W OG(2 2A,24,0),FG=(1-2A,2A.0).设平面P F G的法向量为n=（1，3/,之），n-F Gn P F=0,=0,|(1 2A)J;+2义=0,x-y-A/3%=0令 h=2/，则2021年 第3期高考数学高分之路 数理天地
16、高中版八1 V3y=2A l,z =,所 以=(24，2；1 1,等)是平面P F G的一个法向量，因为 CE 平 面PFG,所以 CE _Ln,CE n=0,即|等X =。,2解得 A =y,所以 G(U，0)而=信,4,0).设平面B C E的法向量为m=(K ,V),BC=0,则 彳 一m CE=0,2#+2y=0,即 1 3,用,|一万)十5 2 =0.令 w=l,则 痣，所 以/=(1,1,7 3)是 平 面B C E的一个法向量，所 以 cosAG，/九 =.|AG：|m|5设直线A G与平面5 C E所成的角为 Q则 sind=|c o s l=J，5即直线A G与平面BCE所成
17、角的正弦值为？.19.(1)易知随机变量E的所有可能取值为0,1,2,3,则 P(=0)=(2-2/)(1 =2(1-”，P($=l)=(2 p -1)(1-p)z+2(2 2 P lp c p)=6 p 13/+8/1,P(E=2)=(2-2 p)p2+2(2 p-l)p(l-p)=-6p:2 2p P(=3)=(2p I?=2炉 p 故?的分布列为(2)由(1),知e0123p6,3 13p2+8。-16”+8Pz 2p2”(,2E(f)0 X 2(1-p y +1 X(6p3-13/2+8/-l)+2(-6/):!+8/2-2 p)+3(2 p3-p2)=6 -13p2+8/-1-12P
18、s+16/24p+6/3 3/2=4/J 1,因为”一l&2 6,所有 9,即 乙种鱼苗自然成活的概率为a 9.依题意知一尾乙种鱼苗最终成活的概率为0.9+0.1 X 0.80 X 0.625=0.95,那 么n尾乙种鱼苗最终成活的尾数是0.95,不成活的尾数是(1 0.95)”.记F()为购买 尾乙种鱼苗最终可获得的利润，则 F()=100 X 0.9 5 n-2 0 X(l-0.95)3760000,解得 n 40000.所以需至少购买40000尾乙种鱼苗，才能确保获利不低于376万元.20.(1)由题意，设抛物线C的方程为jc2=2py(p 0),则 焦 点F的坐标为(0,设直线/的方程
19、为Py=kx+7，A(?i 4 ),8(1 2，y2)，2=2py,联立方程，得 py=丘+万，消 去)得 x2-2 p k x -p2=0.=4p2k2 +4/2 0,所以 X +J 2 =2pk,2 3 数理天地 高中版高考数学高分之路2021年第3 期7 172=一 加，丁 12=因为 OA-OB=x x2+y y2所以 p=L故 抛物线C 的方程为=2 6（2）设 P（xQ yQ）（xoo WO）,M,0）,N（7 2 ,0）,易知点M,N 的横坐标与点P 的横坐标均不相同.不妨设“易得直线P M 的方程为化 简 得，0才（久。m）y m yu=0,又 圆心（0,1）到直线P M 的距
20、离为1.所以=1.+（#o-7 ）2所以（。一7 +=-m）2+2 2yo（比Q -7 ）+7 /；，不难发现 村 2,故上式可化为 2）7 7 2 2+2%0？30=0,同 理 可 得（丁 0 2）2 +2迎0 一？。=0.所以 可看作是关于f 的方程（）。-2）产+2#/3o=0 的两个实根,则 m+=2,2 4 所以 in-n=-,No-1yn所以 SPMN=-7(7 -)o =-3 V)2?o-N?2 卬-2)-+4=8,当且仅当(y。-2)2 =4 时取等号，此时 y()=4,JC0=2A/2,故 A P M N 面积的最小值为8.2 1.(1)由题意得/(1)=e“H-Q 一 1,
21、7 十 1令 g(%)=/(%)=er H-a 1,Z 十 1则 g i)=e，工 V，(4 十 1)令 人(/)=/(久)=eJ-二 一 1 2则/(/)+-0,(支+1尸所以 A(.r)在(一1,+8)上单调递增，且 h(0)=0,当 n e(1,0)时，/(/)=(彳)0,g(.r)单调递增.所以 g(i)g(0)=2-a.当Q W 2 时，f(jc)=g(z)g(0)=2 a 0,/(/)在(-1,+)上单调递增，此时，/(#)无极值.当。2 时，因为g-1)=0,g(0)=2 a V 0,所以 i -1,0),g(i i)=0,当 6(一1,小)时，g(i )=/(7)0,2021年
22、 第3期高考数学高分之路 数理天地 高中版/(1)单调递增；当 彳e(1,o)时，g(i)=/(z)V 0,f(x)单调递减.所以 才=2 1是/(久)的极大值点.因为 g(l n a)=f 一 0,1 +Inag(0)=2-a 0,所以 3 x2 G (0,l m z),g(j r2)=0.当 n (0,以)时，g(i)=/()0,f C x)单调递减；当 w e(i 2 ,+)时，g(i)=/(/)o,/(i)单调递增.所以=12是/()的极小值点.综上所述，a G (2,+8).(2)由(1)得 a (2,十8),-1 1 012 0,i+1 1 a1 2+11+I n a ,1 2 一
23、 ier2 _=_ _ _ _ _ _：_ _ _ _!_ _ _ _(为+1)(2+D，(J T 1 +1)(2+D “，7 2 +11 ,er(7 +1)(r 2 +1)e-r 2 _ e-r 1/。(/+1)(彳2+1)1)(4 +1)(以+1)所以-7 2)一/(叫)X O +1=eJ，2 er,十 I n 1 a(g z 1)2 T+1=(1 2 H 1)1 I_(,#1 +.,，,a.-1)2+1)_I n -2 ；na21 i十1=2 I n ez.222.(1)由 0 =7:,A/5COS2D m得 p 2(5 c o s 2。一z)=4,即 5 P 2 c o s 2 f m
24、p2=4.将 JC=pcosO 2 +y2=p 2,代入，得5/一加(/+J)=4,即(5?/z )j r2 m y1=4.因为 曲线C为双曲线，所以(5 m )(一?)0,即(5)？V 0,解得 0加 5.所 以 当 曲 线C为双曲线时，”的取值范围是(0,5).(2)当帆=1时,曲线C的直角坐标方程为4/2 y2=4.设直线/的倾斜角为a,则直线/的参数方程为x=2+E c o s a ,a为参数).y=Z s i n a ,代 入C的方程，得4(2+tcosa)2-(E s i n a 尸=4,即 (4 c o s 2a s i n?a )t2 1 6 Z c o s a +1 2=0,
25、（下转第32页）2 5 数理天地 高中版高考数学高分之路20 21年 第3期解集为 11 0 V#/(1)max，首 先 求 函 数/小)的最大值.解法 1 /(2)|1+2|-2|1一1|0,即当1=1时等号成立，所以/()m x =/(1)=3.解法 2/(1)=|#+2|-2 1 -1 1(力一4,X一2,3#,2 1 0.设方程(火)的两实根分别为，八，因为 前 与 A 声方向相同，所以 tAtn=PA-PB 1 =48.12所以%?=48,5cos a 1解得 cos2a=g,4即 cosa=;.因为 a G 0,7 F),所以 a=或驾，O J故 直线/的倾斜角为卷或竽.J 023
26、.(1)因为 a2+b2 2 a b,b+c2 2bc,c2+2)Zac,递减，所以/()m ax =/(1)=3.综上知，+6+c=3.下面证明待证不等式：解 法1由基本不等式得.2 2 2(y +j +y)+(a +6+c)=(7+a)+(y+z,)+(7+c)2。+26+2c,l 2 2 2所以-F-I 3Q+C=3.a b c解 法2 由柯西不等式得(1+1 +)(a+6+c)(a+6+c)2,j 2 2 2所 以 F-I a+0+c=3 a b c三式相加可得a 2 +,2 9+%+*所以(a+b+c)2=a2+62+c2+2.ab+26c+2acai+be+ac+2ah+be+ac)=3(u/+be+ac)=9.当且仅当a=b=c时取等号，又 a ,c均为正实数，所以 a+0+c 3.(2)因为 a+b=l,所以 a2+2ab+A2=1,所以(/j)停 t)=5+*+必b a当且仅当华=4!a=b=时等号成立.b a 2 3 2