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1、吉林省长春市2022-2023学年度上学期高二年级期末考试（一卷）数学本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共 150分，考试时间 120分钟.第I卷 1 至3 页，第II卷 4 至 5 页.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.并在规定位置粘贴考试用条形码.2.请认真阅读答题卡上的注意事项，在答题卡上与题号相对应的答题区域内答题，写在试卷、草稿纸上或答题卡非题号对应答题区域的答案一律无效.不得在答题卡上做任何标记.3.回答选择题时，选出每小题答案后，用 2 B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.4
2、.考试结束后，答题卡要交回，试卷由考生自行保存.第 I卷一、单选题：本题共8 小题，每小题5 分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1,若=（23”=（2，6,8）,且 月为共线向量,则加一的值为（）5A.2 B.2 C.6 D.8【答案】A【解析】【分析】由Z /为共线向量，建立小，等式，解出即可.【详解】解:由 题 知,为 共 线 向 量，因为a =（2,3,?）B =（2,6,8）2 3 m=所以有2 6 8,解得=2,相=4,故加一=2.故选:A2.已知数列 4为等差数列，其前 项和为北，若 仇=支4=1 5,则 公 差 等 于()5A.3 B.-2 C.
3、3 D.-1【答案】D【解析】【分析】通过已知条件得出伉，即可由等差数列通项得出答案.【详解】数列J为等差数列，其前项和为，,.=A X3=152 ,瓦=4/.4=6b3=4 +2 d =6 +2 d =4解得d=T,故选：D.3.若函数/(X)的导函数的图象关于y轴对称，则/(X)的解析式可能为()A /(x)=3 c o s x B f(x)=x 3+x2C /(x)=e +x D /(x)=l +s i n 2 x【答案】D【解析】【分析】A选项，求导后得到 (x)=-3 s m x,为奇函数，A错误；B选项，求导后/(x)=3 x +2 x,为非奇非偶函数，错误；c选项，求导后/()=
4、e +l,不是偶函数，舍去；D选项，求导后()=2 c s 2”为偶函数，满足题意【详解】A选项，/)=-3 s m”定义域为R,且r(-x)=-3 s i n(-x)=3 s i n x =-rW,故/()=-3 s i n x为奇函数，关于原点对称,A错误；B选项，/(x)=3 x 2 +2 x,定 义 域 为 氐 由 于/(-X)=3X2_2X H/(X),故/O+2 x不关于y轴对称，B错误；正b f(x)=er+l 士、，启不 ,f(-x)=e-j r+l f(x),C选项，/、J,定乂域为R,由于、/，人故f ix=Qx+7 不关于、轴对称，C错误；D选项，/(X)=2C O S2
5、X,定义域为匕 则，(r)=2cos(-2x)=2cos 2x =/,(x)f故/(x)-2cos 2x关于夕轴对称，口正确故选：D4.圆与x轴相切于S O),与夕轴正半轴交于两点A ,B,且 囱=2,则圆0的标准方程为A (x I)2+(y-A/2)2=2B(x-l)2+(y -2)2=2c.(x+1)+(y +V2)2=4D (x 1)*+(j?-V2)2=4【答案】A【解析】【详解】设圆心C(LM,。，则有/=1 +1 =2,团=夜”，因此圆c的标准方程为5.已知/G)=x(2021+ln x),/,(%)=2023,则x0=()2 B.e c.1 D I n 2【答案】B【解析】【分析
6、】利用导数法则及基本初等函数的导数公式，结合函数导数值即可求解【详解】由/(x)=x(2021+ln x),得/(x)=x (202 l +ln x)+x(2021 +I n x)=I n x +2022又因为(/)=2023,所 以/&)=I n x 0+2022=2023,解得x 0=e故选：B.206.在等比数列%中，4 4=1 6%+4=8,则Z7等 于()A l B.-3 C.l 或-3 D.T 或 3【答案】A(x-1)-+v-V2 J【解 析】%=/。_ _【分 析】设 S 公 比 为，而%。，由 牝&=16求 出4,再 由&+%=8求 出 仆,即可求出“得解.【详 解】设 公
7、比 为0,a 2a 6 =3 =电，=4,a8=8 a4=4,.-.7 =1,=10=1当&=4 时，%q,当 4=.4 时，。8=8-。4=12,；。4，。8 同号，故舍去.故选：A.7.如 图 所 示，在 三 棱 柱 B C-4 8 1 G中，底 面/8 C,/8 =8 C=4=2,NABC=90。，息E,尸 分 别 是 棱4 8,的中点，则 直 线 历 和8 G所 成 的 角 是（）A.45 B.6 0 C.90 D.120【答 案】B【解 析】【分 析】利用空间向量的坐标运算，求异面直线所成角的余弦值即可求解.【详 解】因 为 回,底 面4 8。，民 庆 七 底 面/町 所 以 日 一
8、 伉 用,夕且N/3 C =90。，所 以 以8为坐标原点，8 C,8 4 8 g为x j,z轴建系如图，则 8（0,0,0）,（0,1,0）,尸（0,0,1）,q（2,0,2）所 以 方=（0,-1,1）,南=（2,0,2）,设 直 线 矿 和 所 成 的 角 为6,a I 赤斤 I EFBC 2 1cos 0=cos =j_=T=-=则附 忸q 72x272 2因为o,4 6 4 9 0,所以e=6（r,故选:B.片+金=1 2 28.设M是椭圆16 7上一点，尸，。分别是两圆G+3）+V=1和（x-3）+/=1上的点，则|叫+|。|的最小值、最大值分别为（）A.8,11 B.8,12 C
9、.6,10 D.6,11【答案】C【解析】【分析】求出两圆圆心和半径，得到圆心（一3，）和（3，0）刚好为椭圆的两个焦点，从而 利 用 椭 圆 定 义 求 出 国+阿=8，可 得 胸+陶|的 最 大 值 为|皿+|阿+2尸，I四+须1的最小值为I皿+|阴 一2。求出答案【详解】6 +3）2十1 1的圆心为（），（）+2=1的圆心为5（3,0）,两圆半径均为厂=1,由于/=1 6,3=7,=16-7=9,所以椭圆的两个焦点分别为（T O）和8（3,0）,由椭圆定义可知：四网网=2。=8,所以|心|+|叫|的最大值为|“旬+|九创+2-=8+2=1|心|+阙 的 最 小 值 为|回 +|网-2r=
10、8-2=6故选：C二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.某物体的运动方程为式）=3 1（位移单位：m,时间单位：s）,若s（3+Af）-s（3）v=lim-12=i8m/s“T O X，则下列说法中错误的是（）A.1 8 m/s是物体从开始到3 s这段时间内的平均速度B.1 8 m/s是物体在3 s这一时刻的瞬时速度C.1 8 m/s是物体从3 s到0+A/）s这段时间内某一时刻的速度D.1 8 m/s是物体从3 s到G +Z）s这段时间内的平均速度【答案】A C D【解析】【分析】由瞬
11、时速度定义可得答案.|j m5（/+A r）-5（z）【详解】因A一&表示.秒这一时刻的瞬时速度，则 一。Z 表示在3 s这一时刻的瞬时速度，故不选B,选A C D.故选：A C D1 0 .给出下列命题，其中正确命题是（）A.垂直于同一平面的两直线平行 B.平行于同一平面的两直线平行C.平行于同一直线的两直线平行 D.空间中不相交的两直线平行【答案】A C【解析】【分析】根据线线、线面位置关系有关知识确定正确选项.【详解】A选项，垂直于同一平面的两直线平行，A正确，B选项，平行于同一平面的两直线可能相交、异面、平行，B错误.C选项，平行于同一直线的两直线平行，C正确.D选项，空间中不相交的两
12、直线可能是异面或平行，D错误.故选:A C1 1 .已知抛物线：/=4 的焦点为/7,准线为/,过点E的直线与抛物线交于尸（和 必）,。（莅 ）两点，点尸在/上的射影为6,则下列说法正确的是（）A,若芯+W=6,则|尸。|=8B.以0。为直径的圆与V轴相切C,设河（，1）,则1 P M+1尸制2夜D.过点乂（）与抛物线C有且仅有一个公共点的直线至多有2条【答案】A C【解析】【分析】已知抛物线的方程，利用抛物线的性质，焦点弦的性质，数形结合判断各选项.【详解】取P Q的中点N,N在/上 的 投 影 为。在/的 投 影 为 如 图 所 示：对于选项A,因为。=2,所以忸。|=|尸+|。0=+2+
13、2=8,故 人正确;对于选项B,根据抛物线的性质 I I I I I ,I I ,I 为梯形的中位线,故即|抑 用+|四）-PQ 以P。为直径的圆与准线,相切，故B不正确；对于选项C,因为“，所以BM+I吗=1尸 叫+四 以 阳=0,故c正确；对于选项D,显然直线工=,=1与抛物线只有一个公共点，y=kx+l,设过M的直线方程为丁=+1（%）,联立b=缶可得r+（2 4）x +l =0.令A =，解得=1,所以直线卜=才+1与抛物线也只有一个公共点，此时有三条直线符合题意，故D错误.故选：A C.1 2,若 数 列 应 满足%=1,%=1,%=%+（N 3,e N ）,则称数列%为斐波那契数列
14、，斐波那契数列被誉为是最美的数列.则下列关于斐波那契数列结论正确的是（）Aa,+a2+a3+-+an an+2-B a1+a.+a5+-+a 2n_x a2n-lC%=5 D 6 +%+%+%+%+&=2 0【答案】A C D【解析】【分析】由递推公式，利用累加法得到A B选项，计算出前6项，从而判断C D选项.【详解】当“2 3时，由%=%-1+。-2可得。3 =%一。2,%=。5一。3,，an=,.+l/T .又由q=i,。2 =1,可得=2,即累加可得|+2+%+%=4|+(%6)+(44-42)+(4 +1 _ 4-1),=%+1+%一。2=%+2-1,故 A 正确：又弓=1%=%。2
15、%=&一q a2n-la2n-a2n-2累加可得“1+%+%+a2n-=a+(f l4 -%)+(4%)+(%a2n-2)=a-a2+a2n=q-出 +生 =1 -1 +4 =%，故 g 错误；,%=1，%=1，an=an_ an_2(3)，所以 =%+%=2 a4-a3+a2-3 a5-a4+a3-5 a6-a5+a4-S所以C正确；乂%+(1-,H-F C lb 20所以D正确；故选：ACD.第n卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.y_1 M 停,o 13.曲线 sinx+cosx 2在点 14 J处的 切 线 方 程 为.x-2 y-0【答案】-4【解析】【分析】求导后代入
16、切点x的值得出切线的斜率，即可由点斜式得出切线方程.sinx 1y ；-【详解】sinx+cosx 2,cos x(sin x+cosx)-sin x(cos x-sin x)1 y-7 =；(sinx+cosy 1 +sin 2x,1 1万x=1 +sin 当 4时，2就 仔,o 又，切点为14 兀所求的切线方程为x-2 y-04x-2 y =0故答案为：,4 .1 4.平面直角坐标系中直线y=2 x+l 关于点(1,1)对 称 的 直 线 方 程 是.【答案】y=2x-3【解析】【分析】首先在直线V=2 x+1 上任取两个点8(1,3),分别求出两点关于(1 1)的对称点M,N 的坐标，再
17、用两点式即可求出对称的直线方程.【详解】在直线卜=2+1 上任取两个点力(0,1),8(1,3),则点A关于点(1，1)对称的点为“(2，1),点B关于点0，1)对称的点为N(l,-1)y +1 _ x-1由两点式求出对称直线脑7的方程为1 +1 2-1 ,即夕=2 x-3故答案为：y=2 x-3【点睛】本题主要考查直线关于点的对称问题，同时考查了点关于点的对称问题，属于简单题.f(x)=l n x+x2+av _1 5.若曲线 2 存在与直线5 一歹=平行的切线，则实数。的最大值为.【答案】3【解析】【分析】首先求导，根据题意得到“5 在(Q+8)有解，再设g(x)5 +x e(0,+8),
18、根据 g(x)W3 求解即可f(x)=+X+0)【详解】x,/(x)=In x-t-x2-ax因为曲线 2 存在与直线5%一二 0平行的切线，所以+5在 但+)有解.即“5 在(.+)有解.设 g(x)=5 出+x)1(。改)g(x)=5则=3当且仅当x,即=1时等号成立，即g G)43所以。4 3,即”的最大值为3.故答案为：32 2F F f 与=1(0力 0)16.已知点巧，4是 双 曲 线b-的左右焦点，若双曲线左支上存在点_ b尸与点鸟关于直线 a对称，则该双曲线的离心率为【答案】亚【解析】【分析】结合己知条件，利用对称关系表示出点坐标，然后将其代入双曲线方程即可求解.y_Q=_ _
19、 fX_C【详解】过焦点R(c，)且垂直渐近线的直线方程为 b 即N=_/_ c)b a(、a aby=x y=(x-c)x=y=联立渐近线方程。与 b，可得 c,c,(T ab,故对称中心的点坐标为。，2a2 2abP-c,-由中点坐标公式可得对称点I,C(2a2-c2)_将其代入双曲线的方程可得 a/h2c2,4a4-4a2c2+c4 4a2 1-_ .i即：a2c2 c2 c4=5c2a2 c2=5a2 _e-f故 a故答案为：旧.四、解答题：本题共6 小题，共 70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.1 7.设直线/的方程为（+1卜+夕+2-4 =0（4 1 1）（1）求直线/
20、所过定点的坐标；（2）若/在两坐标轴上的截距相等，求/的方程.【答案】（1）0 一 ）3 x+y =0 或 x+y +2 =0【解析】【分析】将 方 程S +l）f+2-0变形为（x-1+*+八2 =0,解方x-l=0V程 组1 x+y +2 =,就可得到直线/所过的定点坐标.（2）首先根据直线方程求出过原点时，满足题意的。的值；再根据它在两坐标轴上的截距相等（不过原点时），求出。的值，进而分别得出直线/的方程.【小问1详解】因直线/的方程为（”+l）x+y +2 -x-l=0可得（1+*+八2 =0 4+、+2 =0 x=1 +2 =1 8.已知数列 4是等差数列，也 是等比数列，4=3,4
21、=9,%=4，al4=b4（1）求 、的通项公式:(2)设C =a +b,求数列%的前 项和S .【答案】氏=2-1,bn=3 T【解析】q =j.1【分析】（I）由 H可求得数列饪，）的公比，由等比数列通项公式可得“，进而得到%，q 4；由 1 3 可 求 得 数 列 的 公 差，由等差数列通项公式可得乙；（2）由（1）可得%,采用分组求和法，结合等差、等比数列求和公式可得S.【小 问1详解】q =J=3 nl设等比数列也 的公比为”则 2,:也=b 0-2 =3 T ；,.d =-4 -q =2又d,%4=儿=2 7 ,设等差数列，)的公差为d,则 1 3 一=1 +2 (-1)=2 1【
22、小问2详解】由 得:%=(2 -1)+3二Sn=(q +“2 +,+%)+(A +&+)=(1 +3 +2/7-l)+(l+3 +3 i)1 +2M-11-3-n-2-1-321 9,已知圆。经过（2,4）,（L 3）,圆心。在直线x +l =。上，过点（）且斜率为%的直线/与圆C有公共点.（1）求圆C的方程；（2）求直线/的斜率上的取值范围.【答案】（-2）+（.】、3）4一2 y 4 +5/7（2）3 3【解析】=1【分析】设 圆0的方程为（A。）+（歹一。）=厂把（2 M）,0,3）代入方程，圆心代入x-y +l =O,列方程求解.(2)直线与圆相交满足圆心到直线的距离小于半径.【小 问
23、1详解】设圆C的方程为(X -4 +3 一6)2 =/a=1b=3解 得 卜=1,.圆。的方程为(X-2)+0-3)=1【小问2详解】(2-4+(4-犷=/：=平面 PCD,:.BCLDE,：P D=C D,E 是 PC 的中点，DE-PC,P C B C=C,且尸C u面PC8,B C u面尸C6：.D E m PCB【小问2详解】以点。为坐标原点，分别以直线。4 D C,。尸为x轴，y轴，z轴,建立如图所示的空间直角坐标系，由题意知：Z）（0,0,0）,P（0,0,2）,5（2,2,0）,（0,1,1）,丽=（2,2,0）屈=（0,1,1）火 J,设平面血的法向量为=（X J*）,n,DB
24、-0 2x+2y 0则 储.诙=0=17+2=0,令z=i,得至IJV=T，X=L0=（1,-1,1）又,（，）（，），贝 ij,（，），且“C_L平面PD8平面P D B的一个法向量为.=J ，）,设二面角 一5。一P的平面角为a,c o s。=|c o s 则 1 1|l +l +0|_ V 6V 2 xV 3 巫所以二面角尸的余弦 值 为3 .2 1.已知数列%的前项和S“=2，+1-2 ,数 列 也 满足b“=a,+an+l(eN,)(1)求数列也 的通项公式；(2)若 一 l g 2，(e N ),求 数 列 也，的前项和【答案】,=3 x 2”(2)T；,=3(/7-1)X2H+I
25、+6【解析】耳，=1 =J s C、w N*分析(1)由|，,一S,T，2 2 一r组仿，可 得，后可得I”的通项公式;由 可 得C_l o g2%=，后可由错位相减法求数列也,的前项和7；【小 问1详解】当=时，q=H=2,当？2 时，=2又=2满足上式，.4=2(e N*).=%+%=3 x 2【小问2详解】由 得，=2，=3 x 2,*%=，.，-j=3 x 2.骞=3 x(1 x 2 +2 x 2?+3 x 2 3+x 2)x 2 得 2，=3 x (1 x 2?+2 x 2 +3 x 2 +x 2+)-得 一北=3 x(2 +2?+2 -x 2)=3 x (l 一)x 2 i -2.
26、1=3(-1)x 2叫 6A/:+=l（a b 0）述2 2.已知椭圆 y 的 离 心 率 为3 ,且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形周长为6+4人.（I）求椭圆”的方程；（I I ）设直线/与椭圆M交于A,8两点，且 以 为 直 径 的 圆 过 椭 圆 的 右 顶 点C,求 B C面积的最大值.-x-2-V,y 2=1,3-【答案】（I）9 :（II）8.【解析】【详解】（I ）因为椭圆M上一点和它的两个焦点构成的三角形周长为6+所以噩嘴密e绕 题 丽，2 7 2 c 2 /2 7 2-_ =-c=-a又椭圆的离心率为3 ,即a 3 ,所以 3所以=3,c =2 所以6=1,椭圆”的方
27、程为9（II）不妨设直线4 8的方程=+加.X =如+加，r22 _ 1由9 +-消去x得 倘+9）V +2优 严 加2-9 =0设8（、：.）：）,2km m2-9则有.因 为 以 为 直 径 的 圆 过 点C,所以B-3=0.由 C4 =（须 一 3,y）,C8=卜 3,%）,得（玉一 3）（乙一 3）+必y 2 =。将 x,=ky+m,x2=ky2 m 代入上式，得 12tn=将 代 入 上 式，解得 5或掰=3（舍）.m=2）（,0）所以 5 （此时直线28经过定点 5 ,与椭圆有两个交点）,-|Z）C|-y2|=（乂+、2）2 _4 7/2 =|z=!,o /-设上+9 9,。9 1 144 2则 八 .t=-e（O,所 以 当2 88 9时，S版2 5（左 2+9）-14 4 2 5（左 2+9）23。取得最大值8.