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1、2022-2023学年吉林省长春市高一上学期期末数学试题一、单选题1 .已知集 合 =8 =-2,-1,0,1,2 ,则4n8=(A.-2,T O B,-1,0,1)C.-叫 D.【答案】C【分析】根据交集的定义直接求解即可.【详解】因 为 =卜 卜 2 V x 1 ,8 =-2,-1,0,1,2 ,所以4n八 T，。,故选：C2.s i n 2 4 0 =()_1 _ /3 直A.2 B.2 C.2【答案】B【分析】利用诱导公式进行化简并求值【详解】)2故选：B3 .对于实数。，6，。，“。匕”是“改2 从2 的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件)1D.2D.既不充分也不必
2、要条件【答案】B【详解】试题分析：由于不等式的基本性质,%尸=、广13广”必须有。-0这一条件.解：主要考查不等式的性质.当c=0 时显然左边无法推导出右边，但右边可以推出左边.故选B【解析】不等式的性质点评：充分利用不等式的基本性质是推导不等关系的重要条件.4 .我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征.我们从这个商标中抽象出一个图象如图，其对应的函数可能是()A.C.B.M-11/(x)=D.x +1【答案】B【分析】由图象知函数的定义域排除选项
3、选项A、D,再根据/()二-1不成立排除选项C,即可得正确选项.【详解】由图知/G)的定义域为 回尤*1 ,排除选项A、D,又因为当x =O0寸，/()=T,不符合图象/()=1,所以排除选项C,故选：B.J(x)=5.函数I n x的零点所在的大致区间是B.Q，e)C.(e,3)D.G，+8)A.B)()【答案】C3f(x)=I n x 【详解】X,，函数f(x)在(0,+0 0)上单调递增,3 3v f(3)=l n 3-l 0,f(e)=l n e-e =1-e 0,.1.f(3)f(e)l o g,X2log.xlog.XC.W x e(0,+8),i iD.命题 Tx e R,s i
4、 n x +c o s x 1【答案】BD【解析】根据基函数的定义判断A,结合图象判断8 C,根据特称命题的否定为全称命题可判断。.【详解】解：对于A：若幕函数/（）=苫 过点（2）丐 _则 梦 0 解得a =-2,故A 错误V =l o g|X对于8：在同一平面直角坐标系上画出 与 5 两函数图象，如图所示y=l o g i X y=l o g X对于C：在同一平面直角坐标系上画出 3 与 2 两函数图象，如图所示小，、l o g,x l o glx l o g,x =l o g,X 八 l o g,x l o g,X由图可知，当 x e(0,l)时，I 5 ,当x =l 时，i 3 ,当x
5、 e(l,+8)时，,j ,故C 错误；对于。：根据特称命题的否定为全称命题可知，命题“女 R,s i n x +cosx 2,进一步利用正弦型函数的周期公式以及对称性判断A B；利用单调性判断C；利用三角函数图象的变换规则判断D.，/、.2/X -1 -c o s 2x 5/3 s i n 2x.万、1f(x)=s i n x +，3 s i n x c o s x =-+-=s i n 2x +【详解】函数 2 2 I 6 J 2,21.函数”刈的最小正周期为2JT()=sin1,13 几+=1 +=X=2 2 2,图象关于 3 对称，故A正确;2 x-=k7v令 6x+丝 eZ 、12
6、2,函数J。)的对称中心是7 11 2 +，故 B 错误;r71 5 乃X G,12 12 时,2TT2x-e 0,6 3y=sin x+，显然 2 在L喘 上不单调，故 C 错误;,即3/、c 1 1g(x)=cos2x+2 的图象向右平移3 个单位得到g(x-g)=cos(2x-+1=cos2(2，-会 9+呆 2-|+9小)，故 D 正确.2乃故选：AD.2+3+lg|+lg4=5+lg f5|x 4)=5+l=62三、填空题,7 1 53,og32+92+lg-+21g2=13.2.【答案】6【解析】由幕的运算法则和对数运算法则计算.【详解】原式=故答案为：6./、2/、2 tan a
7、sin(a+/7)=,s in(a-/)=-14.已知 3 5,贝 ij tan/?的值为.【答案】48 2sin a cos B-,cos a sin B-【分析】由两角和与差的正弦公式展开，联立方程组，求得 15 1 5,再结合三角函数的基本关系式，即可求解.2sin(a+)=sin a cos B+cos a sin =一【详解】由题意，可得 3,2sin(-/7)=sin a cos(3-cos a sin f3=5 f8 2sin a cos B=,cos a sin B-联立方程组，可得 15 15,t an a _ sin a cos P _Ts _t an p cos a si
8、n P 2又由 1 5 .故答案为：4.log,a+log,b=1 6 sin-cos-1 5 .已 知 一 -1 2 1 2 ,则a+b 的最小值为.【答案】8【解析】由已知结合对数的运算性质及二倍角的正弦公式进行化简可求成的值，然后利用基本不等式即可求解.log,a+log,b=16sin-cos=8sin=4【详解】因为 12 12 6,所以 log2 a6 =4,故川=1 6,贝I a+b2y/ab=8,当且仅当a 5=4 时取等号，的最小值8.故答案为：8.1 6 .已知函数/3=噢 2（八以-1）,下列说 法 中 错 误 的 序 号 是.,0）一定有最小值.当 a=0 时，/（X）
9、的定义域为 当 a=0 时，/（X）的值域为R 若/（x）在区间R,+8）上单调递增，则实数a 的取值范围是”.2-4【答案】【分析】求出函数的值域为R,可知错误；求出函数定义域可知错误；求出函数的值域为R,可知正确：当。=-4 时，/（x）=lg2（f-4x+3）在 冲 2 处无定义，可知错误【详解】对于，当。=0 时，/（*）=噪 2（公一1）,此 时 （-8,-1 2（1,+8）2 _ 0,+8）,此时/（x）=I O g2 G2-1）值域为R ,故错误；对于，当。=0 时，解不等式炉-1 0 得x e（f，-l）U（l，+8）,故错误；对于，由知，正确；对于，若/（X）在区间 2,+8
10、）上单调递增,2 x =W 2此时y =x +办-。-1对称轴 2 ，解得。2-4.但当a=-4时，/6）=唾2白2-4 8+3）在*=2处无定义，故错误.故答案为：.四、解答题1 7.已知函数/（x）=lg,（l+x）（a%D,且/=1.（1）求。值及函数/（X）的定义域；（2）若关于x的方程=在区间 0,3 上有解，求实数切的取值范围.【答案】2,（T+0 0）0 2【分析】（1）根据/0）=1代入即可求出参数。的值，再根据对数函数的真数大于零得到不等式，解得即可；（2）依题意函数、=/。）与 =用在区间1 ，3 上有公共点，根据对数函数的单调性求出/（X）在 3 上的值域，即可求出参数掰
11、的取值范围；【详解】解:因 为 x）=log.（l +x）（a 0且1）,且/。）=1,所以/（1）=1吗2 =1:.a=2,所以/（x）=bg2（l+x）,令l +x0,解得x7,所以x）的定义域为（T，+8）（2）解：方程“X）-机=在区间03上有解，所以函数丁=/（幻与夕=加在区间1 0，引上有公共点，因为x）=log2（l +x）在区间 0,3 上单调递增，所以当x =0时，“X）取最小值0,当x =3时，/（X）取最大值2,所以函数/的值域为0 2,所以实数机的取值范围为22时，函数y =/（x）与 在区间 0,3 上有公共点，综上：实数小的取值范围为1 ，2(n)(3T T、cos
12、+x cos +x/(x)_ 12 J12_ _,1 8.已知函数 sin(7t-x)cos(2K-x)求 I 4 J 值；sinx(sinx+cosx)若，(x)=-2,求 l+sin2x 的值.【答案】(1)1;2(2)3.7 K【分析】(1)用诱导公式和同角三角函数基本关系化简/(,将彳代入计算;(2)由条件得tanx的值，将代数式化简成由tanx 表示，代入计算即可.、-sinx-sinx/(X)=-=-tan x【详解】(1)sinx-cosx,/7兀 7兀 .兀、7 1 1/()=-tan =-tan()=tan =1所以4 4 4 4(2)x)=-tanx=-2,所以 tanx=
13、2,sin x(sinx+cosx)sin2 x+sinxcosx tan2 x+tanx 2-=-=-=l+sin2 x 2 sin2 x+cos2 x 2tan2x+l 31 9.如图，角6 的顶点与平面直角坐标系工帆的原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点尸，且夕为第二象限角，若点。的坐标为K T.(1)求 tan0-sin2e 的值;(2)若将。尸绕原点。按逆时针方向旋转4 0,得到角a，设tana=m,求 tan.+85)的值21【答案】(1)丽7 W +1 1 -加【分析】（1）由三角函数定义求得cos。，再由同角间三角函数关系求得sin,t a n e,用二倍角
14、公式得sin 2。后可得结论；（2）由角的关系得9+850=。+4 5 ,利用两角和的正切公式可求得tan 0 +85）.【详解】(i)终边与单位圆交于点2，且 为第二象限角，点尸的坐标为t5 A所以_4n-5 4cos=-=15,-a-asin=vl-cos2 0=-tan6=则-5,4,.tan 0-sin 20=tan-2sincos(2)由题意知。=0+4 0 ,则8=a-4 0则 tan(夕 +85)=tan(a+45)_ tan a+tan 451 -tan a tan 457 7 7 4-1 m.Jx)=sin x(cos x+/3sinx)-2 0.已知函数 2.小)(1)求I
15、 3 J 的值及函数/(x)的单调增区间；Vxe 以二（2）若 口2 2 ，不等式“/（）加+2恒成立，求实数机的取值集合.百 7万 7 ,5乃 （1）【答案】（1）2,单调增区间L 12 12J,k e Z.（2）1 2）【解析】（1）根据三角恒等变换化简函数人R，代值求用整体代换法求单调递增区间;n n（2）求 出 函 数 在 上 的 值 域,71 71原不等式等价于函数/（X）在 上 的 值 域 是（机，?+2）的子集，列出不等式组化简即可.2k 冗-2 x-2k TV+(keZ)k n-x k n -(k e Z)由 2 3 2 ,得 12 12Vk7T-,4乃 +(k j Z)故函数
16、的单调增区间为12 1271 7 T 、71 71 21当X G 12 2 时，2x 3 61-6-,3 ，/（工）所以 2因为 U 2 2 不等式机/（x）?+2 恒成立所以1m -1 /w 21 7 +2所以实数，的取值集合22【点睛】求三角函数单调区间的2 种方法：（1）代换法:就是将比较复杂的三角函数处理后的整体当作一个角（或，），利用基本三角函数的单调性来求所要求的三角函数的单调区间；（2）图象法:函数的单调性表现在图象上是从左到右，图象上升趋势的区间为单调递增区间，图象下降趋势的区间为单调递减区间，画出三角函数的图象，结合图象易求它的单调区间.2 1.为了节能减排，某农场决定安装一
17、个可使用10年的太阳能供电设备，使用这种供电设备后，该农场每年消耗的电费C（单位：万元）与太阳能电池板面积x（单位：平方米）之间的函数关系2,0 4 x 4 1 0C（X）=L+20 10-,x 10为 I X-1（机为常数）.已知太阳能电池板面积为5 平方米时，每年消耗的电费为 8 万元，安装这种供电设备的工本费为0.5x（单位：万元），记 尸6）为该农场安装这种太阳能供电设备的工本费与该农场10年消耗的电费之和.求常数m 的值；写出尸（X）的解析式;（3）当x为多少平方米时，尸（、）取得最小值？最小值是多少万元?【答案】（1）心=6 0；12 0-7.5%,0 x l。两种情况，分别计算最
18、小值，比较得到答案.【详解】抄式=8,解得。；（2）F（x）=1 0 C（x）+0.5 x =6 0-4%1 0 x-+0.5 x,0 x 1 0 x-11 2 0-7.5 x,0 x 1 0（3）当 0 4 x 4 1 0 时，尸（x）=1 2 0-7.5,尸（也“=尸（1 0）=4 5 ；尸（x）=史 +0.5 x =筌&+0.5（X-1）+0.5当x 1 0 时，7 x-1 x-1 2.1 X0.5（X3）+0.5=4 0.5 =0,5（x-l），当 x-l ,即=4 1 时等号成立.综上所述：当*=4 1 平方米时，/（X）有最小值为4 0 6 万元.cc n 2 6）=4 一。2+。
19、+12 2.已知函数，1）（1）若”=2,求不等式/（*）的解集；（2）若、一8,0）时，不等式/（x）2 一 恒成立，求。的取值范围；（3）求函数/G）在区间口团上的最小值（）5-3。,。2（1 力（Q）=+1,2 4【分析】当。=2 时，可得出/（X）=4-4 2+3 =（2 T）（2:3）,解出2,的取值范围，进而可求得原不等式的解集；（2）将所求不等式变形为2 a2、+1,求得当x 0时，2 +l e（l,2）,根据题意可得出关于实数。的不等式，进而可求得实数。的取值范围；（3）当x e L 2 时，令，=2 e 2,4 ,g（t）=r-2at+a+则问题可等价转化为函数g）在，e 2
20、,4 上的最小值，然后对实数。的取值分类讨论，分析出函数g（,）在 2,4 上的单调性，由此 可 得 出 关 于。的表达式.【详解】当。=2 时，可得/（X）=4 -4.2 +3 =（2 ）（2J3）,由/（x）。，得（2 -*2，-3）0,可得2.、3,解得0 噫3,因此，当=2时，不等式/G）的解集为（g 2 3）；（2）因为 4 -a.2，+i+a+l 2-a,即 4,-2a 2+2 a-1 0 ,Q-孵-2 q+）0 ,：x 0,则2 -l 0,可得2 a2 +1,当 x 0 时，2 +1 1,2）,.2 a4 1,解得（1-因此，实数。的取值范围是10 0 5；（3）当x e l,2
21、 时，令f =2*e 2,4 ,则/（x）=-2 a/+a+1,令g（/）=-2 af +l,则二次函数g（）的图象开口向上，该函数的对称轴为玲当时，g（。在I M 上单调递增，g（/）1 nM=g（2）=5-3 a；当2 a 4时，g（）在Ra 上单调递减，g（）在 口用上单调递增，=g（）=-+1 ；当a 2 4时，g（。在 2,可上单调递减，则g（，L=g（4）=1 7-7a.h（a）=综上可得：5-3a,a 2-a2+a+l,2 a 4【点睛】方法点睛：”动轴定区间”型二次函数最值的方法:（1）根据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论;（2）根据二次函数的单调性，分别讨论参数在不同取值下的最值，必要时需要结合区间端点对应的函数值进行分析;（3）将分类讨论的结果整合得到最终结果.