《2022年全国高考数学真题分类汇编：导数及其应用（附答案解析）.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年全国高考数学真题分类汇编：导数及其应用（附答案解析）.pdf（30页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、2022年全国高考数学真题分类汇编：导数及其应用选 择 题(共 2 小题)1.函数/(x)=c o&x+(x+1)s i m c+1在区间 0,2T T的最小值、最大值分别为()2 2A.-，719KB.-32L,2LC.-,2L+2D.3兀 f2L+2222 222222.当 x=1时,函数/(x)=R X+上取得最大值-2,则/X(2)=()A.-1B.-Ac.AD.1二.多 选 题(共 2 小题)(多 选)3.已知函数/(x)=#-x+l,则()A.f(x)有两个极值点B./(X)有三个零点C.点(0,1)是曲线y=/(x)的对称中心D.直线y=2 x是曲线y=/(x)的切线(多 选)4
2、.已知函数/(x)及其导函数/(x)的定义域均为几 记g (x)=/(x).若/(旦-2 x),g(2+x)均为偶函数，则()2A.f(0)=0 B.g()=0 C./(-1)=/(4)D.g(-l)=g(2)2三.填 空 题(共 4 小题)5 .若曲线y=(x+a)/有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是.6 .曲线y=/|x|过 坐 标 原 点 的 两 条 切 线 的 方 程 为,.7.已知x x和X X2分别是函数/(X)-la -ex2(a0且aW l )的极小值点和极大值点.若XI 0)后，图像经过(3,0),(5,0),求实数m的值.第 1页(共 30页)(2)若 a-3 且 a
3、 W O,求解不等式/(x)W/(6-x).1 0 .设函数/(x)=$+/6(x 0).(I )求/(x)的单调区间；(I I )已知“，b e R,曲线 y=/(X)上不同的三点(X I,/(xi),(X 2,f(X 2),(X 3,f(X 3)处的切线都经过点(a,b).证明：(i )若 a e,贝|J ob-f(a)A (A-1)；2 e(i i )若 0 “e,xix2x3,则2+-Z1_3+JL_/(5)+(Z).X1 3 .已知函数/(x)=-lnx+x-a.x(1)若/(x)0,求a的取值范围；(2)证明：若/(X)有两个零点X I,X 2,则X 1 X 2 0 时，/(x)l
4、n(w+1).12+1 V22+2n 2+n第3页(共30页)2022年全国高考数学真题分类汇编：导数及其应用参考答案与试题解析一.选 择 题(共2小题)1.函数/(x)=c os x+(x+1)s i n x+1在区间 0,2 i r 的最小值、最大值分别为()A _冗兀 R _ 3兀 兀 _兀兀+?口 .3兀兀+?2 2 2 2 2 2 2 2【解答】解：f(x)=c os x+(x+l)s i n x+1,xG 0,2I T,则/(x)=-s i n x+s i n x+(x+1)c os x=(x+1)c os x,令 c os x=0 得，x=-Z减3 兀2 2.当 xq o,2L)
5、时，/(x)o,y(x)单调递增；当(三,-二)时，f a)V O,f(x)单调递减；当 x (2 2 L,2 n 时，/(x)0,f(x)单调递增，2：.f(x)在区间 0,2司上的极大值为/(工)=工+2,极小值为/()=-4,2 2 2 2又；/(0)=2,/(2 i r)=2,二函数/(x)在区间 0,2司的最小值为-2 2 L,最大值为上1+2，2 2故选：D.2.当x=l时，函数/(x)=a/x+也取得最大值-2,则/(2)=()XA.-1 B.-A C.A D.12 2【解答】解：由题意/(I)=h=-2,则/(x)=alnx-1,X则/(X)=包 _卫2，Y 2 2A x x
6、,当X=1时函数取得最值，可得X=1也是函数的一个极值点，:(1)=a+2=0,即 a=-2.：.f(x)=0+2 ,2X易得函数在(0，1)上单调递增，在(1,+8)上单调递减，故x=l处，函数取得极大值，也是最大值，则/(2)=二2*2 2.=.22 2故选：B.第4页(共30页)二.多 选 题(共 2 小题)(多 选)3.已知函数/(x)=炉-*+1,贝 ij()A.f (x)有两个极值点B.f (x)有三个零点C.点(0,1)是曲线y=/(x)的对称中心D.直线夕=2 x 是曲线y=/(x)的切线【解答】解：/(x)=3/-1,令，(x)0,解 得 乂 喙，令，(X)0，f (争上警0
7、,V (x)有两个极值点，有且仅有一个零点，故选项Z 正确，选项8 错误；又 f(X)-/(-X)=工3-x+1-x3+x+l=2,则 f(X)关 于 点(0,1 )对称，故选项 C 正确；假设y=2 x 是曲线夕=/(x)的切线，设切点为(a,6),则1 3 2 2-1=2,解得,a=l或(a=-l,2 a=b lb=2 lb=-2显 然(1,2)和(-I,-2)均不在曲线y=/(x)上，故选项。错误.故选：AC.(多 选)4.已知函数/(X)及其导函数/(x)的定义域均为R,记 g(x)=/(x).若/(旦-2x),g(2+x)均为偶函数，贝 I()2A.f (0)=0 B.g(_A)=0
8、 C./(-1)=/(4)D.g(-1)=g(2)2【解答】解：为偶函数，.可得/(3-2X)=/(2+2X),关于x2 2 2=3 对称，2令 X=,可得/(2.-2 X )=/(2+2 x 1),即/(-I)=/(4),故 C 正确；4 2 4 2 4Tg(2+x)为偶函数，/.g (2+x)=g (2-x),g(x)关于x=2 对称，故。不正确；V f(x)关于x=3 对 称，.x=2 是函数/(x)的一个极值点，2 2.函数/c o 在(3,力处的导数为o,即g(3)=f(旦)=o,2 2 2第5页(共30页)又.g(x)的图象关于x=2对称，；.g(A)=g(2)=0,.函数f (x
9、)在(旦，力2 2 2的导数为0,；.x=2是函数/(x)的极值点，又f(x)的图象关于x=3对称，；.(旦，f)关于=旦2 2 2 2的对称点为(-X/).2由x=a是函数y(x)的极值点可得x=-a一是函数/(X)的一个极值点，g(-工)=2 2 2f(-A)=o,2进而可得g(1)=g(1)=0,故X=2是函数/(x)的极值点，又/(x)的图象关于2 2 2x=3对称，2/.(,L,r)关于x=3的对称点为(-_ L,力，；.g(-A)f(A)=o,故8正确；2 2 2 2 2,/,(x)图象位置不确定，可上下移动，即每一个自变量对应的函数值是确定值，故/错误.解法二：构造函数法，令/(
10、x)=1 -s i nnx,则/(旦-2 x)=1+COS2TOC,则 g(x)f(x)=-i r cos nx,2g(x+2)=-ncos (2 n+i t r)=-TCOSTLV.满足题设条件，可得只有选项8 c正确，故选：BC.三.填 空 题(共4小题)5.若曲线y=(x+a)，有两条过坐标原点的切线，则。的取值范围是(-8,-4)U(0,+8).【解答】解：_/=/+(x+a)e*,设切点坐标为(x o，(x o+a)exo),二切线的斜率2 e*+(x o+a)e；切线方程为y-(x o+a)exo=(e*+(x 0+a)e)(x一出)，又 切线过原点，-G o+a)_xo=(pxo
11、+fY+-/o)(-x o),整理得：x j+ax o-an。，.切线存在两条，.方程有两个不等实根，第6页(共30页)A A =a2+4 a 0,解得。0,即a的取值范围是（-8,-4）U（0,+8）,故答案为：（-8,-4）U（0,+8）.6.曲线歹过坐标原点的两条切线的方程为 x-e”=0,x+e y=0.【解答】解：当x 0时，y=lnx,设切点坐标为（xo,出xo），.了=工，.切线的斜率左=.X 0.切线方程为y -（x-x o）,x0又;切线过原点，Tnxo=-L切线方程为厂l=L（x-e 即x-ey=0,e当x 0且aW l）的极小值点和极大值点.若x iX 2,则a的取值范围
12、是_（工，1）_.e【解答】解：对原函数求导，（x）=2 （cflna-ex）,分析可知：f（x）在定义域内至少有两个变号零点，对其再求导可得：f（x）=2ax（Ina）2-2 e,当a l时，易知/（x）在R上单调递增，此时若存在x o使 得/（3）=0，则，（x）在（-8,x o）单调递减，（x o，+8）单调递增，此时若函数/G）在X=X 1和X=X 2分别取极小值点和极大值点，应满足X 1 X 2,不满足题意；当0 a 0,第7页（共30页）即1-eio g?=a京 -=1加 e l a(ln a)2 (lna)2In一1(lna)2 lnalna lTn(lna)2,1I n a正解
13、得：l ae，又因为故La 0)后，图像经过(3,0),(5,0),求实数”,m的值.(2)若 a -3 且 a W O,求解不等式/(x)W/(6-x).【解答】解：(1)因为函数/(x)=log 3(a+x)+log 3(6 -x),将函数/(x)图像向下移 m(m 0)后，得(x)-w =log 3(a+x)+log 3(6 -x)-第8页（共30页）m的图像，由函数图像经过点(3,0)和(5,0),log o(3+a)+l_m=0所以 3,log3(5+a)+0-m=0解得 a=-2,m=,(2)a -3 且 aWO 时，不等式/(x)W/(6-x)可化为 logs(a+x)+log3
14、(6-x)Wlogs(a+6-x)+logwa+x 06-x 0等价于a+6-x 0 ,x 0(a+x)(6-x)-ax 6解得，x 0a (x-3)0当-3V a 0 时，0 V-a V 3,3 a+6 6,解不等式得-“x0 时，-QVO,a+6 6,解不等式得 3WxV6；综上知，-3 VQ V 0 时，不等式f(x)W f(6-x)的解集是(-4，3,Q 0时，不等式/(x)W/(6-x)的解集是3,6).1 0.设函数/(x)=-+/HX(X0).(I)求/(x)的单调区间；(I I )已知 4,b R,曲线 y=/(x)上不同的三点(xi，f(XI),(X2,f(X2),(X3，f
15、(X3)处的切线都经过点(a，b),证明：(i)若 a e9 则 06-f(a)(-1 )；2 e(i i )若 0 a e,xX2x3,则2+-Z&v：_ L+_ l _ 0),2x(小 力9黄 第9页(共30页)由f，（x）用 工 0,得 X旦，./（x）在（且，+8）上单调递增；由f，（x）=2x-e.0,得 0 x 旦，/（x）在（0,且）上单调递减.2x2 2-2（II）（/）证明：过，b）有三条不同的切线，设切点分别为（XI，f（X I）,（X2，f（X2）（X3，f（X3）：.f (x/)-b=f()(xz-a),(z=l,2,3),工方程/(x)-b=f(x)(x-a)有 3个
16、不同的根,该方程整理为(工 )(x-)-?_nx+b=0,x 2x2 2xe设 g(x)=(X则 g，(x)=X2xe)(x-a)-Inx+h,2 2x2x2+(x-a)二 +巳 5-=-(x-)，x/Jx YA n2 x xJ当 OVxVe 或 时，g(x)0,g（x）在（0,e）,（a,+8）上为减函数，在（,。）上为增函数,Vg G)有 3 个不同的零点，g(e)VO且 g()0,:.(-)(e-a)历e+6V0,且(-)(a-a)-?_na+b 0，e 2e2 2e a 2a2 2a整理得到且b -+ln a 二 f(aA/e Na此时，b -+r 且b -+lna=f (a N a
17、/a止 匕 时，b-f (a)二(包-1)(-+lna )-lna+b 0，N 6/a N a N a整理得b寻+L 且b +lna=f (a),N a N a此时，b-f (a)-A (2+1-(导+na)一品-Ina)Ne Ze Na Ne Z Z/a设u(a)为(e,+8)上的减函数，(a)3.-ln e=0，2 2e,*0 b-f (a)春(-1)-N e(ii)当 0 a e 时，同(i)讨论，得：g（x）在（0,a）,（e,+8）上为减函数，在（%e）上为增函数，不妨设xix2Vx3，则 0 xiV ax2ex3，：g（x）有 3 个不同的零点，；.g（a）0,-（e-“）-Ine
18、+b 0）且（。）一 -lna+b 0e 2e2 2e a 2 a2 2a第10页（共30页）整 理 得 成+lb 或+lna，V x i X 2 X 3，0 x iaX2e 旦 1,?=包 1,t g X1 a e要证：2户 包!2上 国e 6 e2 X1 x3 a 6e2即证21匕+匕 会-b e 1 a6 e即证:c 2 (m-13)(i r i-m+12)+1 3-2 j 菰五一，而-(m+1)t j +-t 12+lnt1+b=0,且 一(?+l)t3+-t32+lnt3+b=0,*,lnt j -lnt3+-(t 12-t32)-(m+l)(八-n)=0,.2 2、，lnt r l
19、nt 3.%+13-2不=不 又 -，:.即证-2 1 6叮-1酸 且 0,即 证(k+1)Ink(m-13)(企m+)k-1 72 口记。(k)=,.?k l 则。(k)=_ (k 4-2 1 n k)0,k-1(k-1)2 k*.(p (k)在(1,+)为增函数，.(p Qk)(p(m).第11页(共30页).(k+1)Ink(m-13)(m2-m+12)(m+l)lnm(m-13)(m2-m+12)-+-+-,k-l 72 m-1 722设o)(z w)=历加+(:-1)li r r l*J (m-m+12),0 机 1,72(m+l)则co，(x)=(m-1)J (3m3-20mJ-4
20、9 m+72)(nr l)2(3m，3)。,72m(+1)2 72m(m+l)2.,.(1)(?)在(0,1 )上是增函数，.*.0)(加)0)(1)=0,./什旦二义鱼二”)域 二 史 也_ 0m-1 H 72，若 O V a V e,xi X2%3，则2+立生_ _ 1_#_0,解 得 二3令(x)0,解得Y二O X /(s)+f(t).【解答】解：(I)对函数求导可得：父(x)=eX l n(x+l)-f -x+1将x=0代入原函数可得/(O)=0,将x=0代入导函数可得：f(0)=1,故在x=0处切线斜率为1,故y-O=l (x-0),化简得：y=x；(H)由(I)有：gG)=f，(x
21、)=m(x+l)心，g (x)=eX i n(x+1)+令h (x)=l n(x+1)十2_ _x+11x+1 (x+1)令 户1=左(421),2小22设m(k)=l nk+ym (k)=R”0恒成立，k k2 k3故(x)在 0,+8)单调递增，又因为人(0)=1,故(x)0 在 0,+8)恒成立，故 g (x)0,故g (x)在 0,+8)单调递增；(I I I)证明：由(I I )有g (x)在 0,+8)单调递增，又g (0)=1,故g (x)0在 0,+8)恒成立，故/(x)在 0,+8)单调递增，设 w(x)f(x+f)-f(x),w(x)f(x+f)-f(x),由(H)有g (
22、x)在 0,+8)单调递增，又因为x+f x,所以/(x+Z)f (x),故w(x)单调递增，又因为s 0,故w(s)w(0),即：f(5+Z)-f(5)/(f)-f(0),又因为函数/(O)=0,故/X s+力 /(S)4/a),得证.X1 3.已知函数/(x)=-lnx+x-a.X第13页(共30页)(1)若/(x)2 0,求“的取值范围；(2)证明：若/(X)有两个零点X I，XI,则 X 1 X 2 1.【解答】解 的 定 义 域 为(0，+8),f，(x)=C (-1)_ 工+1=0,解得X1,故函数/G)在(0,1)单调递减，(1,+8)单调递增,故/(%)力=/(1)=e+l -
23、a,要使得/(x)2 0 恒成立，仅需 e+1 -故 a W e+1,故 a的取值范围是(-8,e+l ；(2)证明：由已知有函数/(x)要有两个零点，故/(I)=e+l-a V 0,即 a e+l,不妨设0 X l l X 2,要证明X 1 X 2 1,即证明x0J j2 xtV0 x i i，X1即证明：又因为/(X)在(1,+8)单调递增，2 X1即证明：f(X 2)f f(X )f ，2 X1 1 X1构造函数h (x)=f (x)-f 0 x 因为 O V x V l,所以 Q X X故/(x)0在(0,1)恒成立，故 加(x)在(0,1)单调递增,故 m(x)0在(0,1)恒成立，
24、故 G)在(0,1)单调递增,又因为%(1)=0,故 (%)/(1)=0,故 f(X i )f 即X 1 X 2 0 则f，(x)=_=1-声X X X X易知函数/(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+8)上单调递减，/(x)在X=1处取得极大值，同时也是最大值，函数/G)的最大值为/(I)=-1;c,/、1 a+1 ax2-(a+1)x+l_(x-1)(ax-1)f(x)=a4-T-=-2-2-，X A X X 当。=0时，由(1)可知，函数/,(X)无零点；当aVO时，易知函数/G)在(0,1)上单调递增，在(1,+8)上单调递减，又故此时函数/(X)无零点；当OVqVl时，易知函数/
25、(尢)在(0,1),(工，MQ)上单调递增，在(1,工)单a a调递减，且/(I)=。7 0，f()=l-a+(a+1)lna 0,a又 由(1)可得，4-inxr 即 则。lrr/x 则 ln x l 时，f(x)=ax-(a+1)lnxax2-2(a+1)*Vx ax-(2a+3)Vx,X X故存在m=(3+2)2工，使得/()0,a a,此 时/(x)在(0,+8)上存在唯一零点；当Q=1时，f，(x)=x-1)函数/(X)在(0，+)上单调递增，X又/(I)=0,故此时函数/(X)有唯一零点；当。1时，易知函数/(X)在(0,工)，(1,+8)上单调递增，在 3，1)上单a a调递减，
26、且/=a-10,又由(1)可得，当 0%1，则 1一则 lnx 2(1 一XV X V X止 匕 时 f(x)=ax-2(a+1)(1 )，+(g D,x Vx x Vx故存在n=一_-X 使得/()0,f(x)无最小值，故。0,当/(x)=0 时，x=lna,当 g，(x)=0 时，x=fa当xlna时，f(x)0,函数/G)在(hm,+8)上单调递增，故 f(x)min f(Ina)=a -alna,g(x)的定义域为(0,+8),V g (x)ax-lnx91 g (x)=a -令 g (x)=0,解得了=工，a当 O Vx V-i j l 寸，g(x)0,函数g (x)在(工，+8)上
27、单调递增，a a故 g (x)min=+lna,.函数/(x)=e-o x 和g(x)=o x -有相同的最小值 a-alna 1+历a,Va 0,:.a-alna=+lna 化为 Ina-1二 n，a+1令 h(x)=lnx-xT,x 0,x+1第16页(共30页)贝 co _ 2 _=_ A2ti_X (x+1)2 X (x+i)2 x(x+l)2Vx0,2x1./(x)=-o恒成立，x(x+1)2：.h(x)在(0,+8)上单调递增，又 =0,：.h(a)=h(1),仅有此一解，：.a=l.(2)证明：由(1)知 a=l,函数/(x)=/-%在(-8,0)上单调递减，在(0,+8)上单调
28、递增，函数g G)=x-Inx S (0,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增，设 u(x)=f(x)-g(x)=-2x+lnx(x0),则 (x)-2+-2,当 时，u1(x)2 e-2 0,x所以函数(X)在(1,+8)上单调递增，因为(1)=e-2 0,所以当了2 1 时，u(x)(1)0 恒成立，即/(x)-g(x)0 在 时 恒 成 立，所以 时，f (x)g(x),因为/(0)=1,函数/(x)在(0,+8)上单调递增，g(1)=1,函数g(x)在(0,1)上单调递减，所以函数/(x)与函数g(x)的图象在(0,1)上存在唯一交点，设该交点为3n,/(加)(0 w l),的大致
29、图象,由图象知当直线y=b 与两条曲线y=/(x)和y=g(x)共有三个不同的交点时,第”页(共30页)直线y=6必经过点A/(?,/(?),即，=/(机)，因为/(;)g(w),所以 d-机=加-/?，即 e -2加+/加=0,令/(x)b=f(?w)得 e*-x=e -m m-Inm,解得 x=m 或 xlnm,由 0 w 1,得lnmO 0时，/(X)ln(+1).【解答】解：(1)当。=1 时，y(x)=x/-/=/a-1),f(x)=/(x -1)+ef=xex,W0,.当 x (0,+8)时，(X)0,/(X)单调递增；当 x e(-8,0)时，(X)0),：f(x)-1,/(x)
30、+l 0,.g(x)0 上恒成立，又 g (x)=*+.叩 泮-令(x)=g(x),则/(x)=aeax+a x+axeax-(=a(2eO A+a x ea x)-：.h(0)=2a-1,当 2a-l 0,即 a 上，h(0)=.取名 底)飞 0)=g 但)0,2*城 x-0*扉 x第 18页(共 30页).,.3x o O,使得当 x e(0,x o),有,g (X)0,:，(x)0,X所以g (x)单调递增，g(x o)g(0)=0当 2a-1 W 0,即2g(x)=e+xa*_/=(1+a x)泮-若 1+a x W O,贝！J g1(x)0,则 g (x)=eax+xax-/0(所以
31、g (x)在 0,+8)上单调递减，g(x)综上所述，实数a的取值范围是a W上.2(3)由(2)可知，当。=1寸，/(x)=,25令 x=In(1+A.)(N*)得，.n n整理得，I n (id)1d 0n V n n1),矛盾；,g (0)=0,符合题意.e)W g (0)=0,符合题意.j,eT x-eOX 0),I n(l-U-)e-e、i,./ln(),厂V n +n n k=W k=ln(+l),即/1 +/1 +.+/1V 12+1 V 22+2 V n2+nIn(k+1 )=/X X X n+1 )2+k 念 k 1 2 n ln(+l).第 19页（共 30页）考点卡片1.
32、对数函数的图象与性质【知识点归纳】对数函数的性质图象l o g a X(a l)l o g a x(0 a 0 且 aWl)1 0 gMx)=_!_*(l o gae)=-(a 0 Ji.ax xlnaWl)=工.x第 20页（共 30页）2、和差积商的导数，(x)+g (x)了 =/(x)+g (x)/(x)-g(X)=f(x)-g (x)/(x)g (x)=f(x)g (x)+f(x)g(x)f(x),f(x)g(x)-f(x)g(x)g(x)g(x)23、复合函数的导数设 y=u(f),(x),则 y(x)=u (/)v(x)=u v(x)vr(x)【典型例题分析】题型一：和差积商的导数
33、典 例 1：已知函数/(x)=s i n r 也：3+4 (R,bW R),(x)为/(x)的导函数，则/(20 1 4)-20 1 4)4/(20 1 5)-/(-20 1 5)=()A.0 B.20 1 4 C.20 1 5 D.8解：f(x)=a co s x+36%2,:，(-x)=acos(-x)+3b(-x)2：.f(x)为偶函数；f(20 1 5)-f(-20 1 5)=0A/(20 1 4)4/(-20 1 4)=asin(20 1 4)+/)-20 1 43+4+t z s i n (-20 1 4)+b(-20 1 4)3+4 =8；,V(20 1 4)4/(-20 1 4
34、)+f故选D题型二：复合函数的导数典例2：下列式子不正确的是A.(3X2+C OSX)=6 x-s i n xC,(2s i n 2x)=2co s 2x解：由复合函数的求导法则对于选项力，(3X2+C OSX)=6x-s i n x 成立，故/正 确；(20 1 5)-/(-20 1 5)=8()B.U nx-2X)=工 _ 2*/2XD.(sirix)，xcosx-sinx第 21页（共 30页）对于选项6,(l n x-2X)二工-2，l n 2成立，故8正确；x对于选项 C,(2s i n 2x)f=4 co s 2x 7 2co s 2x,故 C 不正确；/对于选项D,伊11，)二
35、三。54二5”壬成立，故。正确.X X2故选C.【解题方法点拨】1 .由常数函数、幕函数及正、余弦函数经加、减、乘运算得到的简单的函数均可利用求导法则与导数公式求导，而不需要回到导数的定义去求此类简单函数的导数.2.对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则.求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用.在实施化简时，首先要注意化简的等价性，避免不必要的运算失误.3 .利用导数研究函数的单调性【知识点的知识】1、导数和函数的单调性的关系：(1)若，(x)0在(。，6)上恒成立，则/(x)在(a,b)上是增函数，f(x)0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；
36、(2)若/(x)0在(a,b)上恒成立，则/(x)在(a,b)上是减函数，f(x)0,则/(x)在对应区间上是增函数,对应区间为增区间；f(x)2,则/(x)2x+4的解集为()A.(-1,1)B.(-1,+)C.(-8,-1)D.(-0 0,+0)解:f(x)2 x+4,即 f(x)-lx-4 0,设 g (x)f(x)-2 x-4,则 g (x)=/(x)-2,.对任意*e R,f(x)2,对任意 xC R,g(x)0,即函数g (x)单调递增，,：f(-1)=2,：.g(-1)=/(-I)+2 -4=4 -4=0,则由 g (x)g (-1)=0 得x -1,即/(x)2 x+4 的解集
37、为(-1,+8),故选：B题型二：导数和函数单调性的综合应用典例 2：已知函数(x)alnx-ax-3(a G R).(I )求函数/(x)的单调区间；(H )若函数y=/(x)的图象在点(2,/(2)处的切线的倾斜角为4 5 ,对于任意的正口，2 ,函数g(x)=x3+x 2 f,(x)贵 在 区 间(3 3)上总不是单调函数，求加的取值范围；(I I I)求证：X-2,n N*)-2 3 4 n n解(x)=L(x 0)(2 分)x当。0 时，/(x)的单调增区间为(0,1,减区间为 1,+8)；当 0 时，/(x)的单调增区间为 1,+8),减区间为(0,1；当”=0 时，/(X)不是单
38、调函数(4 分)第23页(共30页)(II)f，(2)=*=1得 a=-2,/(x)-2lnx+2x-3 g (x)=x3+(y+2)X2-2X；.g (x)=3X2+(m+4)x-2(6 分)V g (x)在 区 间(f,3)上总不是单调函数，且g (0)=-2(t)0:g o(8分)由题意知：对于任意的正 1,2 ,g (/)。恒成立，Y(1)0所以有：，g (2)o 3(111)令 a=-1 此时/(x)=-lnx+x-3,所以/(I)=-2,由(I )知/(4)=-lnx+x-3在(1,+8)上单调递增，当 xW (1,+8)时/G)/(1),BP -Inx+x-1 0,历xV x-1
39、对 一 切(1,+8)成立，(12分)22,EN*,贝I J有 0V/V-1,.Q lnnn 0,则/(x)仍为增函数(减函数的情形完全类似).即在区间内，(x)0是 八x)在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件.4.利用导数研究函数的极值【知识点的知识】1、极值的定义：(1)极大值：一般地，设函数/(X)在点X 0附近有定义，如果对X 0附近的所有的点，都有,f(x)f(xo),就说/(xo)是函数/(x)的一个极小值，记作V极 小 值=/(xo),X 0是极小值点.2、极值的性质：(1)极值是一个局部概念，由定义知道，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味
40、着它在函数的整个的定义域内最大或最小：(2)函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个；(3)极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值；(4)函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点，而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点.3、判别/(xo)是极大、极小值的方法：若xo满足，G o)=0,且在xo的两侧f(x)的导数异号，则xo是/(x)的极值点，/(刈)是极值，并且如果，(x)在xo两侧满足“左正右负”，则x o是/(x)的极大值点，f(xo)是极大值；如果/(x)在x o两侧满足“
41、左负右正”，则x o是/(x)的极小值点，/(x o)是极小值.4、求函数/(x)的极值的步骤：(1)确定函数的定义区间，求导数/G)；(2)求方程/(x)=0的根；(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查/(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么/(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么/(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则/(x)在这个根处无极值.【解题方法点拨】在理解极值概念时要注意以下几点:(1)按定义，极值点x o是区间 a,切内部的点，不会是端点a,b(因为在端点不可导).第25页(共3 0页)（
42、2）极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可.要注意极值必须在区间内的连续点取得.一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小.（3）若/（X）在（a,b）内有极值，那么/（x）在（a,b）内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值.（4）若函数/（x）在口，切上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数/（x）在 小 句 上连续且有有限个极值点时，函数
43、/（X）在 a,0内的极大值点、极小值点是交替出现的，（5）可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点.5.利用导数研究函数的最值【利用导数求函数的最大值与最小值】1、函数的最大值和最小值观察图中一个定义在闭区间 a,0上的函数/（x）的图象.图中/（x i）与/（X 3）是极小值,/（X 2）是极大值.函数/（X）在口，上的最大值是/（6）,最小值是/（X I）.一般地，在闭区间口，可上连续的函数/（x）在 a,切上必有最大值与最小值.说明：（1）在开区间（a,b）内连续的函数/（x）不一定有最大值与最小值.如函数/（x）=在
44、（0,+8）内连续，但没有最大值与最小值；x（2）函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的.（3）函数/（X）在闭区间 a,6 上连续，是f （x）在闭区间口，6 上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件.（4）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个2、用导数求函数的最值步骤：由上面函数/（x）的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了.第26页（共30页）设函数/(x)在口，句上连续，在(a,b)内可导，则求/(x)在 a,0上的最大值与最小值的步骤
45、如下：(1)求/(x)在(a,b)内的极值；(2)将/(x)的各极值与/(a)、/(6)比较得出函数/(x)在口，6 上的最值.【解题方法点拨】在理解极值概念时要注意以下几点：(1)按定义，极值点刖是区间 a,3内部的点，不会是端点”，(因为在端点不可导).(2)极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可.要注意极值必须在区间内的连续点取得.一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小.(3)若/(x)在(a,b)内有极值，那么/(x)在(a,b)内绝不
46、是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值.(4)若函数/(x)在口，可上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数/(x)在 a,仪上连续且有有限个极值点时，函数/(x)在 a,切内的极大值点、极小值点是交替出现的，(5)可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点.6.极限及其运算【知识点的知识】1.数列极限(1)数列极限的表示方法：t a n%=a当 -8 时,4 a .(2)几个常用极限：l im C=C (C为常数)l im _
47、 L=o (左&N,娓常数)-0才第27页(共30页)对于任意实常数，当同 1 时，lim a=O，n f 8当同=1 时，若。=1,则若。=-1,则 lim。(-1)不存在n-oo oo当间1时，lim d=不存在.n8(3)数列极限的四则运算法则：如 果 把 产&映 熄=,那么 limla内 幼皎)=a b lim(an bn)=a bZ 2-4 C D lim =g(b#0)一 九 b特别地，如果C 是常数，那 么 把 9 4)=期。期*=C a-.(4)数列极限的应用：求无穷数列的各项和，特别地，当团1时，无穷等比数列的各项和为S=H (团1).1-q(化循环小数为分数方法同上式)注：
48、并不是每一个无穷数列都有极限.lim f(x)=aX-*x。2.函数极限；(1)当自变量x 无限趋近于常数出(但不等于x o)时，如果函数/)无限趋进于一个常数 a,就是说当x 趋近于xo时，函数/(x)的极限为a.记 作 lim f (x)=。或当xo时，x-*xof (x)*a.注：当x-x o 时，/(X)是否存在极限与/G)在 xo处是否定义无关，因为X-XO并不要求X=xo.(当然，/(x)在 xo是否有定义也与/(x)在 X0处是否存在极限无关.函数/(X)在X0有 定 义 是 Mm f(v)存在的既不充分乂不必要条件.)XfV 1,V 1如 P(x)=|X，x-L 在 =1处无定
49、义，但 lim P(x)存在，因为在x=l处左右极-x+1;x 1 X X。限均等于零.第28页(共30页)(2)函数极限的四则运算法则:如 果 巴/，那么 l im(f(x)g(x)=ab l im(f(x)g(x)=a bX T XQ l imX T R g(x)b特别地，如果。是常数，那么l im(C /(x)=C l im/(x).JR X T Rl im=Hm f(x)n(we.V*)X T%X T%.注：各个函数的极限都应存在.四则运算法则可推广到任意有限个极限的情况，但不能推广到无限个情况.(3)几个常用极限：l im 2=0 x l im ax=0 (X a l)r,x C D
50、.l i.m-s-i-n-x=1 4 =lvim -x-=1.x-0 x x-0 sinx1 l un G +l)x=e,f oi(l +x)：=e (=2.7 1 8 2 8 1 8 3 )x-oo x x-03.函数的连续性：(1)如果函数/(x),g(X)在某一点x=xo连续，那么函数f(x)g (x).f(x).g(x),f(x),(g (x)W0)在 点X=X O处都连续.g(x)(2)函数/(x)在点x=x o处连续必须满足三个条件：函数/(X)在点x=x o处有定义；l i m f(x)存在；函数/(X)在点x=x o处的极xx0限值等于该点的函数值，即.l i m f (x)=