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1、2022-2023学年吉林省长春市高一上学期期末考试数学试题一、单选题1.已知全集。=电 集 合 =山=吟 集 合 85尸 +1 ,那 么/述 止（）A.0 B.（）C.（用 D.R【答案】B【分析】先 化 简 集 合 再 求 出 Q 8 即得解【详解】解：由题得/=”y=g =（，+8）,8=W y=&+i=+8）所 以 谒=（70,1）,所以&)=(1)故选：B1 +tan 15。2.l-tanl5 ()A.3 B.1【答案】C【分析】逆用正切的和差公式与特殊夕1 +tan 15 _ tan 45+tan 15【详解】l-tanl5-l-tan45tanl50故选：C._ 23.已知=既
2、26,3“=3 6,则 Ji2A.2 B.1【答案】B【分析】利用换底公式，对数运算性月an(45+15)=tan 600=6()C.2 D.4J_ 2:以6 为底的对数表示下，可得答案.Ig6 1 Ig2,、a=-=-2=I og,2【详解】由换底公式，2,则。6 .7因3:3 6,则于=以修=加 叫 3=2 o11叫32 _则 a+b 9(,2+I og6 3=1故选：B4.将函数/(x)=sin 2x+j+l71的图像向右平移个单位长度，得到函数g（x）的图像，则g（x）图像 的 对 称 中 心 可 以 为（）A.B.D.-沙【答 案】D【分 析】根据图像变换求得g（）的解析式，再求得g
3、（x）的对称中心.【详 解】函数sinf 2x4-j+171的图像向右平移Z个单位长度，得到函数n+6y=sin 2卜一.+1 =sin(2x-)+1 g(x)=sin(2x-)+16，所 以3 6，_ 7t.7t z._ x2x=lat,x=+(A r G Z)0/八令 6 2 12v。即 的 对 称 中 心 为包+工12,1/e Z)2令=T,求 得g ）的一个对称中心为故选：Df.5兀cos 2a+I 6)._5C.97D.9【分 析】由条件根据二倍角余弦公式可求cos l a-I 6,再结合诱导公式求cos 2 a+2I 6【详 解】因为V23,所以cos 2 a-I 12=l-2 s
4、in2(二1，/9 9即cos 2 a-I 659所以cos 2C+2I 6=COS71l a-+7i=-cos l a-6659故 选：C.6.如图所示，有 一 半 径 为10米的水轮，水轮的圆心与水面的距离为6米，若水轮每分钟逆时针转4 圈，且水轮上的点尸在，=时刚刚从水中浮现，则5秒钟后点尸与水面的距离是（结果精确到 米）（）（参考数据心力.41 4,V3 1.7 32）A.69米B.1 5.3 米C.9.9 米D.9.3 米【答案】A【分析】以点为坐标原点，力所在直线作了轴建立平面直角坐标系，设点尸在/时的纵坐标为F,y =1 0 si n（6 W Z +）coQ,-（p 0,-(p0
5、,(p ,即-8或a 4,若 g（x）在 S 上存在 1 个零点，则g（l）g（3）4。,即（9-2a）（17-4 a）4 0,L a 解 得 4 2,4 2.g（i og（3 0 若 g（x）在口同上存在2 个零点，则.1 23,.4 0 的解集为*k 1 *4 时，x-1的最小值是5a +的解集为 N T x 5号成立，故 X-1,错误；a+2a H 4 2D.当。时，a,当且仅当。=1时等号成立，故存在。=1,使 a,正确;故选：A B D.,1 ,1 人l og -l og,-010.已知 2 2,则下列不等式一定成立 的 是（）1 1A.S）2 U/c,2l n（a/,）=2n o-
6、2h D,【答案】A B C【分析】根据对数的运算法则、换底公式及对数函数的性质得到1。6,根据塞函数的性质判断A,根据指数函数的性质判断B,根据指数辱的运算法则及对数的运算性质判断C,根据对数函数的性质判断D.【详解】解：因为1呜5 噫5 ,即-唾“2-1叫20所以bg 2 l og 2 0,所以 l og 2a og2b,所以 0 l og 2 a l og z 6 ,所以1”6,因为y =/在（I,M）上单调递增，所 以.后，故A正确；因为在（1,例）上单调递减，所以（2）,故B正确；对于C：2叱2*2 3=2 故C正确;因为1。0）图像的最小正周期是兀，则（）P MA./（X）的图像关
7、于点I 8 J 对称7 1B.将/（X）的图像向左平移同个单位长度，得到的函数图像关于y 轴对称C.“X）在 I 上的值域为 T 向3兀 nD.”X）在I 8 7 上单调递增【答案】BC【分析】先应用辅助角公式把函数化简为/(x)=V2sin(2x+；，再根据三角函数的对称性，值域和单调性依次判断A.B.C.D即可./（x）=夜 sin【详解】应用辅助角公式把函数化简为71(DX+_ 2 7 1因为最小正周期是兀8，所以0=2,即f(X)=V2sin(2%+；r ,兀/T l kn._z.x H =kit、x=-1-,k GZ对于A：令 4 即 8 2,对称中心为兀 kn 丁一+,08 2，所
8、以A 错误;it对于B：将，（x）的图像向左平移A个单位长度,得到的函数为 y=yj2sin 2呜 卜I =V2sin I 2x+I=V2cos2x42即函数为偶函数关于V轴对称，所以B正确;八 兀 c 兀 兀5兀XG 0,2x+e,2 4 4 4兀兀4对于C：2sin 2x+-eI 4 j6 I-，2x）的值域为所以C 正确;兀3兀25TX G对于D：3兀 兀T 4,2 x+2x+G当 47 1 3兀一,-2 4兀 兀X 即 L 8 4 时/（X）是单调递减的，所以D错误.故选：BC.1 2.已知函数/（=Jl+cosx+Jl-co sx ,下列说法正确的有（）A.函数/G）是偶函数B.函数
9、/（、）的最小正周期为27rC.函数/（X）的值域为（L2【答案】AD71D.函数/（X）图象的相邻两对称轴间的距离为5【分析】先将函数/G）利用三角恒等变换公式化简，再结合奇偶性、周期性、对称性以及值域逐项判断即可.f 1 +cos x0【详解】解：由l-s s x N O 得：-iW cosxW l,所以函数/（*）=Jl+cosx+J l-c o s x 的定义域为:x e R1 +cos x=l+2cos2-1=2 cos2 因为 2 2,l-cosx=l-fl-2 s in2 j=2sin2 工/(.x)=V 2l cos|对 A,+s in 2 J所以函数/（X）是偶函数，故 A
10、正确;f2(x)=2x cos +sin =2x0+|sinx|)=2+2|sinx|对 B,.I 2 2 J所以/G)=j2 +2sinx|因为，=|sinx|的最小正周期为乃所以/(x)=/丽 词 的 最 小 正 周 期 为 左，故B错误；对 C,/2(x)=2 +2卜 inx|因为0 讣 inx|41所以 242+2 卜 inx|44即 2。）4,所 以&a（x）42所以函数，（“）的值域为 0 2 ,故 C 错误；r _ 对 D,由选项B 的分析可知，函数,（X）图象的相邻两对称轴间的距离为万一5,故 D 正确.故选：AD.【点睛】关键点睛：对/G）=J2 +2同n x|求最小正周期时
11、，直接求N引sinx|的最小正周期即可.三、填空题1 3 .方程2 +x =8的根xe化上+1）,k e Z,则 加【答案】2【分析】构造函数/（）2 +x-8,利用零点存在性定理及单调性判断其在（2,3）上有唯一零点,进而可推得的值.【详解】令/（X）=2 +X-8,易知函数单调递增，且/（1）=2-8 +1 =-5 0,/（2）=4-8 +2 =-2 0所以/（）=2、+x-8的唯一零点x。（2.3）所以方程2 +x =8的根/2,3）,故=2故答案为：21 4 .若 函 数 幻 g G 在（2,+刃）上是增函数，则实数q的 取 值 范 围 是.【答案】1 4,町【分析】根据（2，+吟 是
12、函数/3=晚 2_ 6+”）递增区间的子集求得实数.的取值范围.【详解】解：；小）=唾6-办+3。）在（2,+0 0）上是增函数，7（2）2 0 一a-V 224+a0即 4 4 ,解得-4 4 a 4 4.故答案为:卜4,4 1 5.函数/（x）=a s i n 2 x +6 t a n x +3 满足/（-2）=1,贝1 j/（2-）=【答案】5【分析】依题意可得a s i n 4 +6 t a n 2 =2,代入2-%,利用诱导公式求出/（2-幻【详解】解：函数/（x）=s i n 2 x +6 t a n x +3满足/（-2）=1,/（-2）=a s i n（-4）+b t a n（
13、-2）+3 =-a s i n 4 -/（t a n 2 +3 =1sin4+btan2=2则 f(2-7t)=a s i n(4 -2乃)+b t a n(2 一4)=a s i n 4 +/?t a n 2 +3 =2 +3 =5故答案为：5.n1 6.已知函数/(x)=2 s i n cox+3 0)在 区 间 一尊 上恰有三个零点，则。的取值范围为【答 案】【分 析】答案.【详 解】5K 7兀兀C O X 4-由X的取值范围，计算整体 4的范围，根 据 夕轴左侧的零点情况讨论列不等式组解得/(x)=2 s i n7 1(OX H-4因为 且 0,4兀6 9 X +e所以 47 1 7
14、1-6 9 +,6 9 +4 4（I）若 在y轴左侧没有零点，则函数在x e -L l 上恰有三个零点,则需7 T2 7 1 6 9 4-3 7 147 1 ,八-7 C-6 9 +-04 化简得7兀,1 1K-47 145 7 1 CD 44 此时不等式组无解;（2）若 在 了轴左侧恰有1个零点，则 函数在XT I上恰有三个零点,则需7 17 1 刃+一 2 7 14c 兀一2 兀V-G+W 兀4 化简得3 7 17几 0)4 45兀 9兀 69 ，解 得4(o 5兀7兀444.（3）若 在y轴左侧恰有2个零点，则函数在x e T1上恰有三个零点,则需0 WG+兀4一3兀v-G +2 兀4
15、化简得5兀综上所述，0的 取 值 范 围 为4故答案为:5兀7兀T T兀,3兀CD 9兀,1 3兀 a)-co2,.lg2 0.301xx 1 +log,2=1 +-x 1 +-8.3.=1在 R 上单调递增，则 Igl 0 0 41,故该企业从第9 年 开 始(2020年为第一年)，每年投入的资金数将超过200万元./(x)=；sin(2x+总(xeR)61 9.已知函数2x+-67T6137rX71/(x)(1)填写上表，并用“五点法”画出/G)在 网 句 上的图象；(2)先将V=/(x)的图象向上平移1 个单位长度，再将图象上所有点的横坐标缩短为原来的7C将得到的图象向右平移7 个单位长
16、度，得到g(x)的图象，求g(x)的对称轴方程.【答案】(1)表格见解析，图象见解析最后【分析】（1）利用解析式以及五点作图法即可求解.g（x）=sin（4 x-5万（2）根据三角函数的平移、伸缩变换可得 2 I 5 兀 7 C 1 1 74x-=一+%乃，左 GZ代入可得 6 2,解方程即可求解.【详解】（1）（1）由题意可得表格如下：+1,再由正弦函数的对称轴整体2x+-6716汽2713422乃13%X0n6542乃T1 711 T兀/(x)j_420-20_4（2）将=/（*）的图象向上平移1 个单位长度得到y=1sinf 2x+U l的图象,12 y=再将图象上所有点的横坐标缩短为原
17、来的2 可得到71最后将得到的图象向右平移7 个单位长度，7T的图象,-sin f4x+-|+12671可得y=；sin(4x +l=；sin(4x 516+162的图象,51T(x)=7s i nl 4%-即 2 I+1.5%万，7T kn,4 x-=Fkr,%wZ x I-,k GZ令 6 2，解得 3 47 tk 7 lx=I-,k e Z所以S IR 的对称轴方程是 3 4/(x)=sin(2x+g J+sin(2x-+百(2cos2x _ 1)x w R将函数/）化为sin（s +8）（Z 0M 0,0e|+sin|2x-+73(2cos2x-1)【详解】3)3)=sin 2x+-c
18、os 2x+sin 2x-cos 2x+百 cos 2x2222=sin2x+J5 cos 2x=2sin 2x+一I 3T _所以/（x）的最小正周期一 5兀/兀 X 0 时，/。）=3+3-二 求/（X）的解析式；（2）若 对 于 任 意 的），不等式/0）-切、（x）+6 0 恒成立，求实数7的取值范围.rx+3x,x 0/（x）=,0,x=0-3-x-3r,x0【答案】（1）(2)5 4 4【分析】（1）根据奇函数的性质，可得答案；（2）利用参变分离和分离常数，结合基本不等式，可得答案.【详解】（1）令 x ,即/（-、）=3一+3二由函数/G）为奇函数，则/即/6）=-（3-+3）因
19、为函数/G）在R上为奇函数，所以3-+3 r 0/（x）=0,x =0,-3x-3x,x 0,因为3 +3 ,3=2,当且仅当3T =3）即x =时，取等号,33+32、6 （3-、+3I-2 6m 2 x/4 =4因为 3一，+3，当且仅当x =0 时等号成立，所以，所求实数机的取值范围为机4 立2 2.已 知 函 数 八 幻=皿（）一；（1）试判断x）在其定义域上是否具有奇偶性，若有，请加以证明；=/（-x）_ 1 2 fa-2 1（2）若函数 2 I 2 1 在 R上只有一个零点，求实数”的取值范围.【答案】（1）函数“X）为R上的偶函数；证明见解析（2）。2 2 或 a=l【分析】（1
20、）利用偶函数的定义进行判断和证明;（2）把函数零点问题转化为方程根的问题，结合换元法和判别式进行求解.【详解】（1）偶函数，证明如下:证明：函数Y/(x)=l o g4(4v+l)-定义域为R,关于原点对称,/(-x)=lo g4(4-I+l)+=Iog4(卜 卜 5=log4 与-+=log4(1+4v)-x +|=log4(l+4)-|=/(x)所以函数/(x)为 R上的偶函数.(2)解：因为函数(X)在尺上只有一个零点，/(x)=lo g ja，2，T+所以关于x 的方程 21 2 1有唯一的实数解，log”黑 卜 1 吗 a 2，T+击 +)即方程 I 2 1 2 有唯一的实数解，4=h+j即 2、2 m 有唯一的实数解，f+a-2x-=0化简得12 2,令E =2、0,下面研究关于f 的方程G-2)+2 a 1-l=何时仅有一个正根 当 a=2时，符合题意；当 a#2 时，则A=4(a+2)(1),aa IiI=,2=T=1 0 A.A-4=,2=z-=v 0当。=1时，2-a 符合，当a=-2 时，-2-a 2(舍)7 2时，2 0,方程有异号的两个实根，符合题意；综上所述，实数。的取值范围为。2 2 或。=1.