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1、2022-2023学年第一学期济南2022级数学科期末考试说明：本试卷满分150分，分为第I卷（选择题）和第n 卷（非选择题）两部分，试题答案请用2 B 铅笔或0.5mm签字笔填涂到答题卡规定位置上，书写在试题上的答案无效.考试时间120分钟.一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.I 若2 =3 2 4,8 =”N|7 x3,则（）A.何T x2 C.1 D.H T x 3【答案】B【解析】【分析】解不等式求出集合A,列举法写出集合8,由交集的定义求N C8即可.【详解】由2、4,得x2,所 以 =中 ，x 2 _ x K 0
2、”的 否 定 是（)A 3 x 0,x2-x 0,x2-x 0C Vx 0,x2-x 0D Vx 0【答案】B【解析】【分析】根据全称量词命题的否定方法写出命题的否定即可.【详解】因为全称量词命题的否定是存在量词命题，所以命题“Vx0,x2-的否定为：“土0,x2-x0”.故选：B.f （x）=e*+x 4.函数 2（e2.7183）的零点所在的区间为（）A（T 0）【答案】B【解析】D.（L2）【分析】利用零点存在定理进行逐一验证.f (x)=ex+x【详解】因为 2,所以v 7 e 2 e 2 2/(0)=e+0-=-1-1 =02 23 1/(l)=e+l-=e-0/(2)=e2+2-|
3、=e2+-02则八。）飞）c bB.abc八1s i n，=一s i n屈+工 且 3 ,贝 ij 1 的 值 为（)74 724 72B.9C.9D 9Q cba D b a c【答案】D【解析】【分析】由对数函数与指数函数的单调性求解即可l n l l n 2 l ,I n l,c=I n a c.故选：D（目0 e 0,-6.已知 I J,7A.9【答案】A【解析】【分析】根据诱导公式及二倍角公式即得.:6 e 0,-1 s i n =【详解】1 2九 3 ,s i n 2。+乌=co s 2。=1-2 s i n2 =1-=I 2；9 9故选：A.7.已知函数 一厂+2 3 a,x l
4、在R上单调递减，则a的取值范围为（）A.I B.H Q C.曰+8）D.S V）【答案】A【解析】【分析】由已知可得关于a的不等式组，求解得答案.【详解】当x l时，/（x）=r+2单调递减，且/（x）e（l,+o o）当X以 时，/（x）=*+2 a x-3 a单调递减，则g l,/（%）x+2,x 1,因为函数 一X +2-3 a,x 2 l在R上单调递减，”1所以U 2 T +2”3 a,解得-故。的取值范围为上 训.故选：A.8.周髀算经中给出的弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，直角三角形中最小的一个角为。（0a 45）,且小正方形与大正方形的
5、面积之比为1 ：4,则4-5 4+近 4+g 4-V7A.3 B.3 C.5 D.5【答案】A【解析】【分析】设大正方形的边长为。，则小正方形的边长为(csa-s m a),根据已知可得a2(cosor-sin)-14,由同角三角函数关系化简得3tan2。-8tana+3=,结合角的范围求tana.【详解】设大正方形的边长为。，则小正方形的边长为(csa-sin”)，a(cosa-sm a)1 .1-=l-2sm acosa=一故。4,故 4,即,3 sin a cos a 3 tan a 3sin a cos a=；-；=-=,8 sin 6/4-cos a 8 tan a+1 8=3 ta
6、rra-8 tan a+3=0,解得4-币 4+V7tan a -tan a -3 或 34-币tan a=-因为0 a 4 5,则0 ta n a =（-一3隙+3卜”的图象不过原点，则实数加的取值为（）A.0 B.2 C.1 D.无解【答案】B C【解析】【分析】利用已知条件可得出关于实数加的等式与不等式，由此可解得实数加的值.m2-+3 =1V【详解】由已知可得”厂一加一2 4 0 ,解得机=1或2.故选：B C.1 0.若6 0,则下列不等式恒成立的是f +6 +|4A.。一+1。B.I 。八+|4Qb）D a +9 6 a【答案】A B C【解析】【分析】根据基本不等式分别判断选项.
7、【详解】A.根据基本不等式可知。时，a2+2 a a,即/+i2 a,所以A正确：c i H 2 2/a 2B当a 0,6 0时，a V a,当a =1时等号成立，6 +2.b-2|H （I|4b N b,当b =l时等号成立，所以当a）b）,当 =l，b =l时等号成立，故B正确；（4 +6）己 +口 =1 +1 =2 +2 +&2+2=4C.a a b V a b 当 时等号成立，故c正确；D./+9 2 2 J彳=6 a,当/=9时等号成立，又因为。0,所以=3等号成立，即/+9 N 6 a,故D不正确.故选：A B C【点睛】本题考查基本不等式，重点考查公式的理解和简单应用，属于基础题
8、型./（%）=_ 2_ 51 1.已知函数 一厂一2 x,x 4 0,则以下判断正确的是（）A.若函数g（x）=x）一”有3个零点，则实数加的取值范围是（）B,函数/（X）在（-8 ）上单调递增c.直线丁=i与函数=/（）的图象有两个公共点D.函数/（X）的图象与直线丁 =+2有且只有一个公共点【答案】A C【解析】【分析】作出/（*）的图像如图所示，B可直接由图像或二次函数单调性判断；AC零点及交点问题均可以通过歹=/（x）与、=加 交点个数判断；D通过图像或者联立方程求解即可判断.详解当x 4 0,y=_ _ _ 2 x =_（x +）2+l,故|-x -2 x,x 的图像如图所示，对A
9、C,函数gO/G）一”有3个零点，相当于，=/（）与 片 团 有3个交点,故 加 的 取 值 范 围 是 直 线 歹=1 与函数V =/（X）的图象有两个公共点，AC对;对 B,函数/（“）在 S ）上先增后减,B错;y=x+2 fx=-2 fx =-1歹=一/一 2”可得解得1 歹二0 或 1 歹=1 ,由图右侧一定有一个交点，故函数/（“）的图象与直线夕=+2不止一个公共点，D错.故选：A C/,(%)=s in(2 x +6 9)-1 2.已知函数(712(P 2x=兀的图象关于直线 3对称，则（）兀71 71A.函数/（“）在1 3 2 上为减函数小+色）B.函 数 I 3 J 为偶函
10、数C.由/GJ/（）可得玉一%是兀的整数倍D,函数/（X）在区间（上 有 1 9 个零点【答案】A B【解析】【分析】由函数的对称性求出夕的值，从而可得/（“）的解析式.对于A,由三角函数的性质即可判断；/f x +=c o s 2 x x,=-x2=-对于B,化 简 I 3）即可判断；对于C,当 6,-2时，即可得出判断；对于D,令7 T ,r 1 1 八 2 x kit,k w Z 左 2 0 J（x）=,则 6 ,由 题 意 解 得 6 6 ,由此即可判断._兀【详解】因为函数/（X）的 图 象 关 于 直 线 对 称，2C x 万 +=1乃 +兀 (p=K T7 i 兀,k 7eZr7
11、所以 3 2,k e Z,可得 67T 7 1 7 1 0 0,且 =/-2 a x +1 +a在(川 上单调递减，故只需当x =l 时，x1-2ax+a Q代入x =l解得。2,所以。的取值范围是 1,2)故答案为：1 2).四、解答题：本题共6 小题，共 70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.4 c os a-s i na _ 1(2)已知 3s i na +2 c os a 4 ,求 t a n a 的值.【答案】(1)1(2)2【解析】【分析】(1)利用指数、对数的运算及其运算性质计算求解.4 c o s a-s i n a _ 1(2)3s i n a +2c o s a
12、1分子分母同时除以c o s a ,把弦化切进行求解.(1+(-2产+岫5乂 详解】(1)原式V g)+(-2)+lglO=2-2+1=14cosa-sina _ 1(2)因为3sina+2cosa 4,且cosawO,所以分子分母同除以cosa有:4cosa-sina _ 4 tan a _ 13 sin a+2cos a 3tana+2 4即3tana+2=16-4tana,7 tana=14解得 tana=2.c 兀 c c 1 3/n0 a ,0 p cosa=,cos(a+)=-18.已知 2 2,且 5 10(1)求sinf 2a+(的值;（2）求 的值.【答案】（1）177250
13、(2)吟【解析】【分析】（1）s m a J cos2a=-工 sin2a=*由同角平方关系可得 5,再由二倍角正余弦公式有 25、25最后利用和角正弦公式求值.sin（+）=（2）由题设可得 10，根据A=（a+）-a,结合差角余弦公式求出,对应三角函数值,由角的范围确定角的大小.【小 问1详解】0 a -c o s a =-s i n =-由 2,5 ,则 5 ,c o s 2a=2 c o s2 a -1 =-s i n 2a =2 s i n a c o s a =一所以 25 ,25 ,而s i n(2a +三I 4 J日(s i n 2a +c o s 2a)7 2 1 7-X 2
14、 251 7 V l5 0【小问2详解】R c o s(a+/?)=-由题设0。+用 兀，而 1 0 ，/m 7万s i n(a +)=则1 0,c o s 0=c o s (a +，)一 a =c o s(a +/?)c o s a+s i n(a +/7)s i n a =一V|x3+7 V 2x4 =交而 1 0 5 1 0 5 20 /7 -又 2则呜1 9.已知关于x的不等式（噬3%）-21 0 g 3-3 WO的解集为吃（1）求集合“；./（x）=l o g3（3x）/l o g3（2）若xe,求函数 V 的最值.1 1 z 251 较案】3,27 彳 /（x）m a x=0L 合
15、泰:J V 1 /；（2），【解析】【分析】由（唾3）一2四3、一3 得1 唾3、3,可解出实数X的范围，即可得出集合M；换 元 二 噢3，可得出T4Y3,则/（x）=（+l）（-4）,问题转化为求二次函数y=（+O C T在/亡 T3 上的最值问题，然后利用二次函数的性质求解即可.【详解】由（噫）-21 o g3x-3 得-1 4 k g/4 3,解的3 V27因此,M=-,273(2)f(x)(l o g3 x +l o g3 3)(l o g3 x-l o g3 8 1)=+1 -4)=产一3/_ 4/X GP27-,则=晦6 一1，3 1二次函数y=t2 3/4=(/-t=-/(x)=
16、y.=-当 2 时，J 7 m i n.mm 4又当 =-1 时，蚱 ,当 f=3 时，y=-4,，/6)而=0_25因此，函数V=/（”）在区间河 上的最大值为,最小值为 4【点睛】本题考查对数不等式的求解，同时也考查了对数型函数的最值问题，解题的关键就是利用换元法将对数型函数的最值问题转化为二次函数的最值问题来求解，考查化归与转化思想，属于中等题.f (x)=2V2sin20.已知函数9兀xsm 里+x+2sm 也19兀46 x e（0,兀）,求函数/（x）的单调区间;/,（%）（2）求函数,2的解集.3 7i 7 兀【答案】（1）单增区间是L 8 8，单减区间是八3兀 7兀0,，兀8 8
17、、7兀87.(2)7 1 ,17兀,_F KH.F k it，左 N24-24【解析】os I 2xH 1 4人 然后根据三角函数的性质f （x）=V2c【分析】（1）利用诱导公式及三角函数恒等变换可得,即得;（2）根据余弦函数的图象和性质即得.【小 问1详解】因 为/（、）=2而 出（三-x sin|巫+x+2 s in193兀746=272coSXS1nx+c o sX2 x1 2 2=-2 sinxcosx+2cos2 x-1=cos2x-sin2x=V 2c o s I 2x H I 42kli+兀 2.xH W 2兀 +2kn,k G Z ku+x ku+,k e Z令4 ，得 8
18、82kn 2x-2kn 4-TI,Z r G Z kn-x kii+,k eZ令 4 ，得 8 8故函数/（x）的递调递增区间为.3兀,7 兀化 兀 +，兀 H-,k e Z8 8kji-,kn+，左 c Z,单调递减区间为L 8 8乂 x e(O,7 i),3兀 7 兀所以函数/（X）的单增区间是L 8 8（37 r 7 兀）单减区间是I *L 8 ）.【小问2 详解】f(x)=V 2c o s f 2x +-cos|2 x+7 j-7由 L 1 4)2,可得2TTi t 5 7 r一+24 兀 2x +-卜 2kit,k G Z所以3 4 3兀 ，,J 1 /兀，,r-F ku x -F
19、kit,k w Z即 24 24 ,兀 ,17 兀.|,_-FK71,-卜kit，攵 w Z所以不等式的解集是 24 24 21.某创业团队拟生产月、8两种产品，根据市场预测，/产品的利润与投资额成正比（如 图 1）,8产品的利润与投资额的算术平方根成正比（如图2）,（注：利润与投资额的单位均为万元）（1）分别将X、8两种产品的利润/（*）、gG）表示为投资额x的函数;（2）该团队已筹集到10 万元资金，并打算全部投入工、5两种产品的生产，问：当 B 产品的投资额为多少万元时，生产2、8两种产品能获得最大利润，最大利润为多少？x)=，(xiO)【答案】4g(x)=；4(x N 0)(2)6.2
20、5 万元，4.0625 万元【解析】【分析】(1)设/(x)=(x N 0),g(x)=m G(x N 0),代入点的坐标，求出解析式;(2)设8产品的投资额为x万元，创业团队获得的利润为y万元，列出y=Vx+(10-x)(0 x 0),_ 5将(4,25)代入，解得：m=2.5,解得：m 4,g(x)=V x(x0)故 4；【小问2详解】设6产品的投资额为x万元，则/产品的投资额为(1一”)万元，创业团队获得的利润为y万元,y=g(x)+/(1 0-x)=Vx+(10-x)(0 x 10)则 4 4Vx=r(b z V10)y=_；/+令 V、4可得 4 4 2+p(oz Vio)5t 当
21、2,即x=6.25时，y取得最大值4.0625.答：当8产品的投资额为6.25万元时，生产4 8两种产品能获得最大利润.获得的最大利润为4.0625万兀./（x）=?（a,b e R）j /0）=；22.已知函数”+。是定义在L 上的奇函数且 2（1）求函数/（“）的解析式；（2）判断函数/G）的单调性；并利用单调性定义证明你的结论；设g O/（xT）+2,当 孙，/eg，1,使得x J+g（x”10/（X 2）0成立，试求实数机的所有可能取值.小）=告【答案】（1）X+1（2）函数/（*）在 卜I 上增函数，证明见解析（3）2加 W 5.【解析】【分析】（1）利用题给条件列出关于。、b的方程
22、，解之即可求得。、b的值，进而得到函数/（“）的解析式；（2）利用函数单调性定义去证明函数/（*）在 一1口上为增函数；（3）利用函数/（“）在15 1上为增函数，构造关于实数加的不等式，解之即可求得实数加的取值范围.【小 问1详解】由/（x）在 TJ 上的奇函数，/（0）=0 f（x）=所以 a,则6 =0,贝 x +a由 1 +4 2,得4=1,所以 X+1 .经检验符合题意；【小问2详解】函数/（X）在 T l 上增函数，证明如下：设 V X ,工2 1，1 且 X 1）=言令又玉VW,所以玉一“2 0,（项-*2）（1 -川冉）0所以 G：+i）G+i）,则/&）0成立，即 也,”别，使 得/伽%_$一1）+/6-1）一10小）+4 0成立即 f （m xi-x,-1）+/（x,2-1 ）10/（x2）-4J（d=吗卜；即 叫 叫1使/-）+*+1）吟一4=。成立,“月5，使得/（町-须-1）/（1 -X；）,马 p l即X X 1 1 X1 且 一 W mX Xj-W 即m -x H-1-1 m 2且1W/MW 5,解得：2m5